Generalization of the binomial distribution
多項分布 パラメータ n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}} 試行回数 相互に排他的なイベントの数（整数） k > 0 {\displaystyle k>0}
p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}} 事象確率、ここで p 1 + ⋯ + p k = 1 {\displaystyle p_{1}+\dots +p_{k}=1} サポート { ( x 1 , … , x k ) | ∑ i = 1 k x i = n , x i ≥ 0 ( i = 1 , … , k ) } {\displaystyle \left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}\geq 0\ (i=1,\dots ,k)\right\rbrace } PMF n ! x 1 ! ⋯ x k ! p 1 x 1 ⋯ p k x k {\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}} 平均 E ( X i ) = n p i {\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}} 分散 Var ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})} Cov ( X i , X j ) = − n p i p j ( i ≠ j ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)} エントロピ − log ( n ! ) − n ∑ i = 1 k p i log ( p i ) + ∑ i = 1 k ∑ x i = 0 n ( n x i ) p i x i ( 1 − p i ) n − x i log ( x i ! ) {\displaystyle {\begin{aligned}&-\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})\\&+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)\end{aligned}}} MGF ( ∑ i = 1 k p i e t i ) n {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}} CF ( ∑ j = 1 k p j e i t j ) n {\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}} どこ i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} PGF ( ∑ i = 1 k p i z i ) n {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}z_{i}\right)^{n}} のために ( z 1 , … , z k ) ∈ C k {\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}}
確率論 において 、 多項分布は 二項分布 の一般化です 。例えば、 k 面サイコロを n 回振った場合の各面の出目の確率をモデル化します。各試行が k 個のカテゴリーのうち1つにのみ成功をもたらすような n回の 独立した 試行において、各カテゴリーには与えられた固定の成功確率が与えられている場合、多項分布は様々なカテゴリーにおける成功数の任意の組み合わせの確率を与えます。
k が2で n が1の場合 、多項分布は ベルヌーイ分布 です。kが2でnが1より大きい場合 、 二 項 分布です 。k が 2より大きく n が1の場合、 カテゴリ分布 です 。この4つの関係を強調するために、カテゴリ分布に対して「マルチヌーリ」という用語が使用されることがあります（つまり、 nが 接尾辞、 kが 接頭辞を決定します）。
ベルヌーイ 分布は、1回の ベルヌーイ試行 の結果をモデル化します 。言い換えれば、（おそらく 偏りのある ）コインを1回投げた結果が成功（表）か失敗（裏）かを表します。 二項分布は、これを同じコインを n 回独立に投げる（ベルヌーイ試行）際に表が出る回数に一般化します。多項分布は、 n回 の実験の結果をモデル化します 。この場合、各試行の結果は カテゴリ分布 に従います。例えば、（おそらく 偏りの ある） k 面サイコロを n 回振る場合などです。
k を 固定の有限数とします。数学的には、互いに排他的な結果が k 個あり 、 それぞれ の確率は p 1 、...、 p k 、および n 回 の独立した試行です。k 個 の結果は互いに排他的で、必ず 1 つが発生するため、 i = 1、...、 k およびに対して p i ≥ 0が成立します 。この場合、ランダム変数 X i が n 回の 試行で 結果番号 i が観測される回数を示すとすると、ベクトル X = ( X 1 、...、 X k ) は、パラメータ n および p を持つ多項分布に従います( p = ( p 1 、...、 p k ))。試行は独立していますが、結果 X i は 合計すると n になる必要があるため従属的です。 ∑ i = 1 k p i = 1 {\textstyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}
定義
確率質量関数 袋から k色の異なる n 個のボール を取り出し、取り出したボールを毎回元に戻す実験を行うとします。同じ色のボールは等価です。取り出したボールの色 i （ i = 1, ..., k ）の個数を変数 X i とし、取り出したボールが色 i である確率を p i とします。 この多項分布の 確率関数は以下となります。
f ( x 1 , … , x k ; n , p 1 , … , p k ) = Pr ( X 1 = x 1 and … and X k = x k ) = { n ! x 1 ! ⋯ x k ! p 1 x 1 × ⋯ × p k x k , when ∑ i = 1 k x i = n 0 otherwise, {\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\text{ and }}\dots {\text{ and }}X_{k}=x_{k})\\[1ex]&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\times \cdots \times p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\text{when }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}
非負整数 x 1 、...、 x k の場合。
確率質量関数は ガンマ関数 を使用して次のように表すことができます。
f ( x 1 , … , x k ; p 1 , … , p k ) = Γ ( ∑ i x i + 1 ) ∏ i Γ ( x i + 1 ) ∏ i = 1 k p i x i . {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k};p_{1},\ldots ,p_{k})={\frac {\Gamma (\sum _{i}x_{i}+1)}{\prod _{i}\Gamma (x_{i}+1)}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}.}
この形式は、 共役事前分布 である ディリクレ分布 との類似性を示しています。
例 ある大国で行われた三者択一選挙で、候補者Aが20%、候補者Bが30%、候補者Cが50%の票を獲得したとします。6人の有権者を無作為に抽出した場合、標本中に候補者Aの支持者が1人、候補者Bの支持者が2人、候補者Cの支持者が3人いる確率はどれくらいでしょうか？
注：投票母集団が大きいと仮定しているため、標本に投票者が選ばれた後は確率は変化しないと考えるのが妥当かつ許容されます。技術的には、これは非復元抽出であるため、正しい分布は 多変量超幾何分布 ですが、固定標本サイズと比較して母集団が大きくなるにつれて、分布は収束します 。 [1]
Pr ( A = 1 , B = 2 , C = 3 ) = 6 ! 1 ! 2 ! 3 ! ( 0.2 1 ) ( 0.3 2 ) ( 0.5 3 ) = 0.135 {\displaystyle \Pr(A{=}1,B{=}2,C{=}3)={\frac {6!}{1!2!3!}}\left(0.2^{1}\right)\left(0.3^{2}\right)\left(0.5^{3}\right)=0.135}
プロパティ
正規化 多項分布は次のように正規化されます。
∑ ∑ j = 1 k x j = n f ( x 1 , … , x k ; n , p 1 , … , p k ) = 1 {\displaystyle \sum _{\sum _{j=1}^{k}x_{j}=n}f(x_{1},\dots ,x_{k};n,p_{1},\dots ,p_{k})=1}
ここで、和は となるすべての順列にわたって求められ ます 。 x j {\displaystyle x_{j}} ∑ j = 1 k x j = n {\textstyle \sum _{j=1}^{k}x_{j}=n}
期待値と分散 n回の 試行で結果 i が観測される 期待 回数 は
E ( X i ) = n p i . {\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.\,}
共 分散行列は 以下の通りである。対角要素はそれぞれ二項分布に従う確率変数の 分散 であり、したがって
Var ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).\,}
対角要素以外の要素は 共分散 である。
Cov ( X i , X j ) = − n p i p j {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}\,}
i と j は 異なる 。
n が固定されている場合、多項式ベクトルの 1 つの要素が増加すると、別の要素が減少する必要がある ため、すべての共分散は負になります。
これらの式をi、j 要素 を持つ行列に結合すると、 階数 k − 1 の k × k 正 半正定値 共分散行列 が生成されます。k = n かつ p i が すべて等しい 特殊なケースでは 、共分散行列は 中心化行列 になります。 cov ( X i , X j ) , {\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j}),}
対応する相関行列 の要素 は
ρ ( X i , X i ) = 1 ρ ( X i , X j ) = Cov ( X i , X j ) Var ( X i ) Var ( X j ) = − p i p j p i ( 1 − p i ) p j ( 1 − p j ) = − p i p j ( 1 − p i ) ( 1 − p j ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (X_{i},X_{i})&=1\\[1ex]\rho (X_{i},X_{j})&={\frac {\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}}\\&={\frac {-p_{i}p_{j}}{\sqrt {p_{i}(1-p_{i})p_{j}(1-p_{j})}}}\\&=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.\end{aligned}}}
この式では 試行回数 nが省略されていることに注意してください。
k 個のコンポーネントのそれぞれは、下付き文字 i の適切な値に対して、パラメーター n と p i を持つ二項分布を個別に持ちます 。
多項分布の サポートは 、
{ ( n 1 , … , n k ) ∈ N k ∣ n 1 + ⋯ + n k = n } . {\displaystyle \left\{(n_{1},\dots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}\mid n_{1}+\cdots +n_{k}=n\right\}.}
その要素数は
( n + k − 1 k − 1 ) . {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}.}
行列表記 行列表記では、 E ( X ) = n p , {\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )=n\mathbf {p} ,\,}
そして Var ( X ) = n { diag ( p ) − p p T } , {\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {X} )=n\lbrace \operatorname {diag} (\mathbf {p} )-\mathbf {p} \mathbf {p} ^{\rm {T}}\rbrace ,\,}
ここで、 p T は列ベクトル p の転置行ベクトル です 。
視覚化
一般化されたパスカルの三角形のスライスとして 二項分布を パスカルの三角形 の（正規化された）1次元（1D）スライスとして 解釈できるのと同様に 、多項分布も パスカルのピラミッドの2次元（三角形）スライス、あるいはパスカルの三角形の高次元類似体の3次元/4次元/+（ピラミッド型）スライスとして解釈できます。これは、分布の 値域 の解釈、すなわち任意の次元における離散化された正三角形「ピラミッド」、すなわち格子を持つ 単体 の解釈を明らかにします 。 [ 要出典 ]
多項式の係数として 同様に、二項分布 を展開したときの多項式係数として 解釈できるのと同様に 、多項分布を展開したときの係数として解釈できます。 ただし、係数の合計は 1 になる必要があることに注意してください。 ( p + q ) n {\displaystyle (p+q)^{n}} ( p 1 + p 2 + p 3 + ⋯ + p k ) n {\displaystyle (p_{1}+p_{2}+p_{3}+\cdots +p_{k})^{n}}
大偏差理論
漸近解析 スターリングの公式 によれば 、 の極限において となり、ここで データの 相対頻度は経験分布 からの確率として解釈でき 、は カルバック・ライブラー情報 となる 。 n , x 1 , … , x k → ∞ {\displaystyle n,x_{1},\dots ,x_{k}\to \infty } ln ( n x 1 , … , x k ) + ∑ i = 1 k x i ln p i = − n D KL ( p ^ ‖ p ) − k − 1 2 ln ( 2 π n ) − 1 2 ∑ i = 1 k ln ( p ^ i ) + o ( 1 ) {\displaystyle \ln {\binom {n}{x_{1},\dots ,x_{k}}}+\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln p_{i}=-nD_{\text{KL}}({\hat {p}}\|p)-{\frac {k-1}{2}}\ln(2\pi n)-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{k}\ln({\hat {p}}_{i})+o(1)} p ^ i = x i / n {\displaystyle {\hat {p}}_{i}=x_{i}/n} p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} D KL {\displaystyle D_{\text{KL}}}
この式は次のように解釈できます。
カテゴリ 上のすべての可能な分布の空間 を 考えてみましょう 。これは 単体 です。 カテゴリ分布から独立にサンプルを抽出した後 （多項分布を構築する方法）、経験分布 が得られます 。 Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} { 1 , 2 , … , k } {\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} p ^ {\displaystyle {\hat {p}}}
漸近公式によれば、経験分布が実際の分布から逸脱する 確率は 指数関数的に減少し、その割合は となる 。実験回数が増え、 と の差が大きくなるほど 、そのような経験分布が見られる可能性は低くなる。 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} p {\displaystyle p} n D KL ( p ^ ‖ p ) {\displaystyle nD_{\text{KL}}({\hat {p}}\|p)} p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} p {\displaystyle p}
が の閉部分集合である 場合 、 を に分割し、 各部分における の成長率について推論すると、 サノフの定理が 得られます 。これは、 A {\displaystyle A} Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} A {\displaystyle A} P r ( p ^ ∈ A ϵ ) {\displaystyle Pr({\hat {p}}\in A_{\epsilon })} A ϵ {\displaystyle A_{\epsilon }} lim n → ∞ 1 n ln Pr ( p ^ ∈ A ) = − inf p ^ ∈ A D KL ( p ^ ‖ p ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \Pr({\hat {p}}\in A)=-\inf _{{\hat {p}}\in A}D_{\text{KL}}({\hat {p}}\|p)}
大規模な集中 n 指数関数的減衰 により 、 が大きい場合 、確率質量のほぼすべてが の小さな近傍に集中します。この小さな近傍において、 の テイラー展開 の 最初の非ゼロ項を取る と、 が得られます。 これはガウス分布に似ており、次の定理が示唆されます。 n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} D K L {\displaystyle D_{KL}} ln ( n x 1 , ⋯ , x k ) p 1 x 1 ⋯ p k x k ≈ − n 2 ∑ i = 1 k ( p ^ i − p i ) 2 p i = − 1 2 ∑ i = 1 k ( x i − n p i ) 2 n p i {\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\binom {n}{x_{1},\cdots ,x_{k}}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}&\approx -{\frac {n}{2}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {({\hat {p}}_{i}-p_{i})^{2}}{p_{i}}}\\&=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}\end{aligned}}}
定理。 極限では 、 分布は カイ2乗分布 に収束します 。 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } n ∑ i = 1 k ( p ^ i − p i ) 2 p i = ∑ i = 1 k ( x i − n p i ) 2 n p i {\displaystyle n\sum _{i=1}^{k}{\frac {({\hat {p}}_{i}-p_{i})^{2}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}} χ 2 ( k − 1 ) {\displaystyle \chi ^{2}(k-1)}
多項分布 からサンプルを抽出し 、2次元単体（ここでは黒の三角形で表示）内のサンプルのヒートマップをプロットすると、 のにつれて 分布は点 の周りのガウス分布に収束し 、等高線は楕円形に収束し、半径は のにつれて収束することがわかります 。一方、離散点間の距離は のにつれて収束する ため、離散多項分布は連続ガウス分布に収束します。 M u l t i n o m i a l ( n ; 0.2 , 0.3 , 0.5 ) {\displaystyle \mathrm {Multinomial} (n;0.2,0.3,0.5)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ( 0.2 , 0.3 , 0.5 ) {\displaystyle (0.2,0.3,0.5)} 1 / n {\displaystyle 1/{\sqrt {n}}} 1 / n {\displaystyle 1/n} [証拠]
カテゴリ上のすべての分布の空間は 単体 : で あり、実験後のすべての可能な経験分布の集合は 単体 : の部分集合である 。つまり、これは 格子 と の交差である 。 { 1 , 2 , … , k } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,k\}} Δ k = { ( y 1 , … , y k ) : y 1 , … , y k ≥ 0 , ∑ i y i = 1 } {\displaystyle \Delta _{k}=\left\{(y_{1},\ldots ,y_{k})\colon y_{1},\ldots ,y_{k}\geq 0,\sum _{i}y_{i}=1\right\}} n {\displaystyle n} Δ k , n = { ( x 1 / n , … , x k / n ) : x 1 , … , x k ∈ N , ∑ i x i = n } {\displaystyle \Delta _{k,n}=\left\{(x_{1}/n,\ldots ,x_{k}/n)\colon x_{1},\ldots ,x_{k}\in \mathbb {N} ,\sum _{i}x_{i}=n\right\}} Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} ( Z k ) / n {\displaystyle (\mathbb {Z} ^{k})/n}
が増加すると、確率質量の大部分は の 近く のサブセットに集中し 、 の近くの確率分布は によってよく近似されます。 このことから、質量が集中しているサブセットの半径は のオーダーであることがわかります が、サブセット内の点は のオーダーの距離で隔てられている ため、 の大部分では 、点は連続体に融合します。これを離散確率分布から連続確率密度に変換するには、 における の各点が占める体積を に掛ける必要があります 。 ただし、対称性により、境界上の無視できるセットを除くすべての点は正確に同じ体積を占めるため、確率密度 が得られます。 ここで、 は定数です。 n {\displaystyle n} Δ k , n {\displaystyle \Delta _{k,n}} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} ( n x 1 , ⋯ , x k ) p 1 x 1 ⋯ p k x k ≈ e − n 2 ∑ i ( p ^ i − p i ) 2 p i {\displaystyle {\binom {n}{x_{1},\cdots ,x_{k}}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}\approx e^{-{\frac {n}{2}}\sum _{i}{\frac {\left({\hat {p}}_{i}-p_{i}\right)^{2}}{p_{i}}}}} 1 / n {\displaystyle 1/{\sqrt {n}}} 1 / n {\displaystyle 1/n} n {\displaystyle n} Δ k , n {\displaystyle \Delta _{k,n}} Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} ρ ( p ^ ) = C e − n 2 ∑ i ( p ^ i − p i ) 2 p i {\displaystyle \rho ({\hat {p}})=Ce^{-{\frac {n}{2}}\sum _{i}{\frac {\left({\hat {p}}_{i}-p_{i}\right)^{2}}{p_{i}}}}} C {\displaystyle C}
最後に、単体は 全体ではなく 、 次元平面内のみであるため、目的の結果が得られます。 Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)}
条件付き集中 n 上記の集中現象は、線形制約を条件とした場合に容易に一般化できます。これが ピアソンのカイ二乗検定 の理論的根拠です。
定理。 点を含むデータセットで観測された 頻度が与えられた場合 、経験分布 がこれらの制約をすべて同時に満たすような 独立した線形 制約
を課す （最初の制約は、経験分布の和が1になるという要件に過ぎないことに 注意）。 線形制約によって許容される単体のサブ領域へ の事前分布の -射影をとする。極限において、線形制約 を条件とする 多項式分布から サンプリングされたカウントは によって支配され、 その 分布は カイ2乗分布 に収束する 。 x i ∈ N {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {N} } n {\displaystyle n} ℓ + 1 {\displaystyle \ell +1} { ∑ i p ^ i = 1 , ∑ i a 1 i p ^ i = b 1 , ∑ i a 2 i p ^ i = b 2 , ⋯ , ∑ i a ℓ i p ^ i = b ℓ {\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}{\hat {p}}_{i}=1,\\\sum _{i}a_{1i}{\hat {p}}_{i}=b_{1},\\\sum _{i}a_{2i}{\hat {p}}_{i}=b_{2},\\\cdots ,\\\sum _{i}a_{\ell i}{\hat {p}}_{i}=b_{\ell }\end{cases}}} p ^ i = x i / n {\displaystyle {\hat {p}}_{i}=x_{i}/n} q {\displaystyle q} I {\displaystyle I} p {\displaystyle p} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } n p ^ i {\displaystyle n{\hat {p}}_{i}} 2 n D KL ( p ^ | | q ) ≈ n ∑ i ( p ^ i − q i ) 2 q i {\displaystyle 2nD_{\text{KL}}({\hat {p}}\vert \vert q)\approx n\sum _{i}{\frac {({\hat {p}}_{i}-q_{i})^{2}}{q_{i}}}} χ 2 ( k − 1 − ℓ ) {\displaystyle \chi ^{2}(k-1-\ell )}
[証拠]
同様の証明は、カウント変数 における連立線形方程式のディオファントス問題にも適用できますが [2] 、 今回は と の 交点であり 、いずれも線形独立な超平面であるため、確率密度は -次元平面 に制限されます 。特に、制約付き問題において、KLダイバージェンスを その最小値 （ へ の の -射影 ）を中心に展開すると、 -ダイバージェンスのピタゴラス定理により 、カウント内の定数項と線形項は、 それらのカウントを多国間でサンプリングする条件付き確率から消えることが保証されます。 n p ^ i {\displaystyle n{\hat {p}}_{i}} Δ k , n {\displaystyle \Delta _{k,n}} ( Z k ) / n {\displaystyle (\mathbb {Z} ^{k})/n} Δ k {\displaystyle \Delta _{k}} ℓ {\displaystyle \ell } ρ ( p ^ ) {\displaystyle \rho ({\hat {p}})} ( k − ℓ − 1 ) {\displaystyle (k-\ell -1)} D K L ( p ^ | | p ) {\displaystyle D_{KL}({\hat {p}}\vert \vert p)} q {\displaystyle q} I {\displaystyle I} p {\displaystyle p} Δ k , n {\displaystyle \Delta _{k,n}} I {\displaystyle I} n p ^ i {\displaystyle n{\hat {p}}_{i}}
定義により、 はすべて 有理数でなければならないのに対し、 は の任意の実数から選択でき 、ディオファントス方程式系を満たす必要はないことに注意してください。 の漸近的にのみ 、 の は 上の確率とみなすことができます 。 p ^ 1 , p ^ 2 , … , p ^ k {\displaystyle {\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},\dots ,{\hat {p}}_{k}} p 1 , p 2 , … , p k {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } p ^ i {\displaystyle {\hat {p}}_{i}} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
経験的に観察される制約 （モーメントや普及率など）から離れて、定理は一般化できます。 b 1 , … , b ℓ {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}
定理。
関数 が の近傍で連続的に微分可能であり 、ベクトルが 線形独立であるとすると、 f 1 , … , f ℓ {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{\ell }} p {\displaystyle p} ( 1 , 1 , … , 1 ) , ∇ f 1 ( p ) , … , ∇ f ℓ ( p ) {\displaystyle (1,1,\dots ,1),\nabla f_{1}(p),\dots ,\nabla f_{\ell }(p)} 与えられたシーケンス 、 各 に対して漸近的に となる 。 ϵ 1 ( n ) , … , ϵ ℓ ( n ) {\displaystyle \epsilon _{1}(n),\dots ,\epsilon _{\ell }(n)} 1 n ≪ ϵ i ( n ) ≪ 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}\ll \epsilon _{i}(n)\ll {\frac {1}{\sqrt {n}}}} i ∈ { 1 , … , ℓ } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,\ell \}} 制約条件 付きの 多項分布の場合 、量は 極限 で分布が収束することになります 。 f 1 ( p ^ ) ∈ [ f 1 ( p ) − ϵ 1 ( n ) , f 1 ( p ) + ϵ 1 ( n ) ] , … , f ℓ ( p ^ ) ∈ [ f ℓ ( p ) − ϵ ℓ ( n ) , f ℓ ( p ) + ϵ ℓ ( n ) ] {\displaystyle f_{1}({\hat {p}})\in [f_{1}(p)-\epsilon _{1}(n),f_{1}(p)+\epsilon _{1}(n)],\dots ,f_{\ell }({\hat {p}})\in [f_{\ell }(p)-\epsilon _{\ell }(n),f_{\ell }(p)+\epsilon _{\ell }(n)]} n ∑ i ( p ^ i − p i ) 2 p i = ∑ i ( x i − n p i ) 2 n p i {\displaystyle n\sum _{i}{\frac {({\hat {p}}_{i}-p_{i})^{2}}{p_{i}}}=\sum _{i}{\frac {(x_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}} χ 2 ( k − 1 − ℓ ) {\displaystyle \chi ^{2}(k-1-\ell )} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } すべてが等しい場合 、定理は最大エントロピーの周りのエントロピーの集中に帰着する。 [3] [4] p ^ i {\displaystyle {\hat {p}}_{i}}
自然言語処理 などの一部の分野では 、カテゴリ分布と多項分布は同義語であり、実際には カテゴリ分布 を指しているにもかかわらず、多項分布と呼ぶことがよくあります。これは、カテゴリ分布の結果を、範囲 内の整数ではなく、「1-of-k」ベクトル（1つの要素が1で、他のすべての要素が0であるベクトル）で表現する方が便利な場合があることに由来します 。この形式では、カテゴリ分布は1回の試行における多項分布と同等です。 1 … k {\displaystyle 1\dots k}
統計的推論
多項分布の同等性検定 同等性検定の目的は、理論的な多項分布と観測された計数頻度との一致を確立することです。理論的な分布は、完全に指定された多項分布、またはパラメトリックな多項分布族のいずれかです。
が理論的な多項分布を表し、が 真 の基礎分布であるとする。分布 と は、 距離 と許容パラメータに対して 同等であるとみなされる 。同等性検定問題は、 と を比較する問題である 。真の基礎分布は 未知である。代わりに、計数頻度 が観測される。ここで は サンプルサイズである。同等性検定では を棄却するために使用する 。 を棄却できる場合、 と の間の同等性が 所定 の有意水準で示される。ユークリッド距離の同等性検定は Wellek (2010) の教科書に記載されている。 [5] 総変動距離の同等性検定は Ostrovski (2017) で開発されている。 [6] 特定の累積距離の正確な同等性検定は Frey (2009) で提案されている。 [7] q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} d ( p , q ) < ε {\displaystyle d(p,q)<\varepsilon } d {\displaystyle d} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} H 0 = { d ( p , q ) ≥ ε } {\displaystyle H_{0}=\{d(p,q)\geq \varepsilon \}} H 1 = { d ( p , q ) < ε } {\displaystyle H_{1}=\{d(p,q)<\varepsilon \}} p {\displaystyle p} p n {\displaystyle p_{n}} n {\displaystyle n} p n {\displaystyle p_{n}} H 0 {\displaystyle H_{0}} H 0 {\displaystyle H_{0}} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q}
真の基礎分布と多項分布族 との間の距離 は で定義されます 。この場合、同値性検定問題は および で与えられます 。 この距離 は通常、数値最適化を用いて計算されます。この場合の検定は、最近Ostrovski (2018)によって開発されました。 [8] p {\displaystyle p} M {\displaystyle {\mathcal {M}}} d ( p , M ) = min h ∈ M d ( p , h ) {\displaystyle d(p,{\mathcal {M}})=\min _{h\in {\mathcal {M}}}d(p,h)} H 0 = { d ( p , M ) ≥ ε } {\displaystyle H_{0}=\{d(p,{\mathcal {M}})\geq \varepsilon \}} H 1 = { d ( p , M ) < ε } {\displaystyle H_{1}=\{d(p,{\mathcal {M}})<\varepsilon \}} d ( p , M ) {\displaystyle d(p,{\mathcal {M}})}
2つの割合の差の信頼区間 多項分布の設定では、2 つのイベントからの観測値の割合の差に対する信頼区間を構築するには 、サンプル推定値 との間の負の共分散を組み込む必要があります 。 p i − p j {\displaystyle p_{i}-p_{j}} p ^ i = X i n {\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {X_{i}}{n}}} p ^ j = X j n {\displaystyle {\hat {p}}_{j}={\frac {X_{j}}{n}}}
このテーマに関する文献の中には、マッチドペアのバイナリデータの使用例に焦点を当てたものもあり、その式を 任意の多項分布の一般的なケースに置き換える際には注意が必要です。本節では一般化された式を扱いますが、次の節ではマッチドペアのバイナリデータの使用例に焦点を当てます。 p i − p j {\displaystyle p_{i}-p_{j}}
ワルドの比率差の標準誤差（SE）は次式で推定できる: [9] : 378 [10]
SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) = ( p ^ i + p ^ j ) − ( p ^ i − p ^ j ) 2 n {\displaystyle {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})={\sqrt {\frac {\left({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j}\right)-\left({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j}\right)^{2}}{n}}}}
おおよその信頼区間 の場合 、 誤差の幅 には次のように 標準正規分布 からの適切な分位数が組み込まれることがあります。 100 ( 1 − α ) % {\displaystyle 100(1-\alpha )\%}
( p ^ i − p ^ j ) ± z α / 2 ⋅ SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) {\displaystyle ({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})\pm z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}
[証拠]
標本サイズ（ ）が増加すると、 多次元中心極限定理（ クラメール・ウォルドの定理 を用いて示すこともできる） により、 標本割合は 多変量正規分布 に近似的に従うようになる。したがって、それらの差も近似的に正規分布となる。また、これらの推定値は 弱整合的であり、これらを標準誤差推定値に代入すると、これも弱整合的になる。したがって、 スラツキーの定理 により 、 中心量は 標準正規分布 に 近似的に従う 。そして、そこから上記の 近似的な信頼区間 が直接導かれる。 n {\displaystyle n} ( p ^ i − p ^ j ) − ( p i − p j ) SE ( p ^ i − p ^ j ) ^ {\displaystyle {\frac {({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})-(p_{i}-p_{j})}{\widehat {\operatorname {SE} ({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}}}}
SE は、2 つのランダム変数の差の分散 計算を使用して構築できます 。 SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) = p ^ i ( 1 − p ^ i ) n + p ^ j ( 1 − p ^ j ) n − 2 ( − p ^ i p ^ j n ) = 1 n ( p ^ i + p ^ j − p ^ i 2 − p ^ j 2 + 2 p ^ i p ^ j ) = ( p ^ i + p ^ j ) − ( p ^ i − p ^ j ) 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})&={\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{i}(1-{\hat {p}}_{i})}{n}}+{\frac {{\hat {p}}_{j}(1-{\hat {p}}_{j})}{n}}-2\left(-{\frac {{\hat {p}}_{i}{\hat {p}}_{j}}{n}}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j}-{\hat {p}}_{i}^{2}-{\hat {p}}_{j}^{2}+2{\hat {p}}_{i}{\hat {p}}_{j}\right)}}\\&={\sqrt {\frac {({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j})-({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})^{2}}{n}}}\end{aligned}}}
連続性補正 を含む修正は、 次のように誤差の範囲を 増加させる： [11] ：102–103 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}
( p ^ i − p ^ j ) ± ( z α / 2 ⋅ SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) + 1 n ) {\displaystyle ({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})\pm \left(z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})+{\frac {1}{n}}\right)}
もう一つの選択肢は、ジェフリーズ事前 分布を用いたベイズ推定量に頼ることです。この方法では 、すべてのパラメータが0.5となる ディリクレ分布 を事前分布として用いることになります。事後分布は上記の計算値に、 k 個の要素それぞれに1/2を加えたものとなり、サンプルサイズは全体で だけ増加します。これはもともと4つのイベントを持つ多項式分布のために開発されたもので、マッチドペアデータの解析に用いられる wald+2 分布として知られています （詳細は次のセクションを参照）。 [12] k 2 {\displaystyle {\frac {k}{2}}}
これにより、次の SE が生成されます。
SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) w a l d + k 2 = ( p ^ i + p ^ j + 1 n ) n n + k 2 − ( p ^ i − p ^ j ) 2 ( n n + k 2 ) 2 n + k 2 {\displaystyle {\widehat {\operatorname {SE} }}{({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}_{wald+{\frac {k}{2}}}={\sqrt {\frac {\left({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j}+{\frac {1}{n}}\right){\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}-\left({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j}\right)^{2}\left({\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}\right)^{2}}{n+{\frac {k}{2}}}}}}
[証拠]
SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) w a l d + k 2 = ( x i + 1 / 2 n + k 2 + x j + 1 / 2 n + k 2 ) − ( x i + 1 / 2 n + k 2 − x j + 1 / 2 n + k 2 ) 2 n + k 2 = ( x i n + x j n + 1 n ) n n + k 2 − ( x i n − x j n ) 2 ( n n + k 2 ) 2 n + k 2 = ( p ^ i + p ^ j + 1 n ) n n + k 2 − ( p ^ i − p ^ j ) 2 ( n n + k 2 ) 2 n + k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\operatorname {SE} }}{({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}_{wald+{\frac {k}{2}}}&={\sqrt {\frac {\left({\frac {x_{i}+1/2}{n+{\frac {k}{2}}}}+{\frac {x_{j}+1/2}{n+{\frac {k}{2}}}}\right)-\left({\frac {x_{i}+1/2}{n+{\frac {k}{2}}}}-{\frac {x_{j}+1/2}{n+{\frac {k}{2}}}}\right)^{2}}{n+{\frac {k}{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left({\frac {x_{i}}{n}}+{\frac {x_{j}}{n}}+{\frac {1}{n}}\right){\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}-\left({\frac {x_{i}}{n}}-{\frac {x_{j}}{n}}\right)^{2}\left({\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}\right)^{2}}{n+{\frac {k}{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j}+{\frac {1}{n}}\right){\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}-\left({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j}\right)^{2}\left({\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}\right)^{2}}{n+{\frac {k}{2}}}}}\end{aligned}}}
これを次のように元の Wald の式に代入します。
( p i − p j ) n n + k 2 ± z α / 2 ⋅ SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) w a l d + k 2 {\displaystyle \left(p_{i}-p_{j}\right){\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}\pm z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}{({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}_{wald+{\frac {k}{2}}}}
発生と応用
マッチドペアの2値データにおける差の信頼区間（多項式を使用） k=4 ） マッチドペアのバイナリデータの場合、マッチしたイベントの割合の差の信頼区間を構築することが一般的なタスクです。例えば、ある疾患の検査があり、ある集団を対象に2つの時点（1と2）で検査結果を確認し、その期間中に疾患の陽性者の割合に変化があったかどうかを確認したいとします。
このようなシナリオは、各イベントの組み合わせを持つ要素の数を示す 2行2列の 分割表 を用いて表すことができます。標本頻度には小文字の f（ ）、 母集団頻度には大文字の F（ ） を使用できます。これらの4つの組み合わせは、多項分布（4つの潜在的な結果を持つ）から得られるものとしてモデル化できます。標本と母集団のサイズはそれぞれ n と N とすることができます。このような場合、次の（標本抽出された）分割表の周辺分布から、割合の差の信頼区間を構築することに関心があります。 f 11 , f 10 , f 01 , f 00 {\displaystyle f_{11},f_{10},f_{01},f_{00}} F 11 , F 10 , F 01 , F 00 {\displaystyle F_{11},F_{10},F_{01},F_{00}}
検査2件陽性 テスト2は陰性でした 行合計 検査1件陽性 f 11 {\displaystyle f_{11}} f 10 {\displaystyle f_{10}} f 1 ∗ = f 11 + f 10 {\displaystyle f_{1*}=f_{11}+f_{10}} テスト1は陰性でした f 01 {\displaystyle f_{01}} f 00 {\displaystyle f_{00}} f 0 ∗ = f 01 + f 00 {\displaystyle f_{0*}=f_{01}+f_{00}} 列合計 f ∗ 1 = f 11 + f 01 {\displaystyle f_{*1}=f_{11}+f_{01}} f ∗ 0 = f 10 + f 00 {\displaystyle f_{*0}=f_{10}+f_{00}} n {\displaystyle n}
この場合、周辺比率の差を確認するには、以下の定義を使用することになります： 、 。そして、信頼区間を構築したい差は次のようになります。 p 1 ∗ = F 1 ∗ N = F 11 + F 10 N {\displaystyle p_{1*}={\frac {F_{1*}}{N}}={\frac {F_{11}+F_{10}}{N}}} p ∗ 1 = F ∗ 1 N = F 11 + F 01 N {\displaystyle p_{*1}={\frac {F_{*1}}{N}}={\frac {F_{11}+F_{01}}{N}}}
p ∗ 1 − p 1 ∗ = F 11 + F 01 N − F 11 + F 10 N = F 01 N − F 10 N = p 01 − p 10 {\displaystyle p_{*1}-p_{1*}={\frac {F_{11}+F_{01}}{N}}-{\frac {F_{11}+F_{10}}{N}}={\frac {F_{01}}{N}}-{\frac {F_{10}}{N}}=p_{01}-p_{10}}
したがって、周辺正の比率の信頼区間（ ）は、2行2列の分割表の第2対角線からの比率の差の信頼区間（ ）を構築することと同じです。 p ∗ 1 − p 1 ∗ {\displaystyle p_{*1}-p_{1*}} p 01 − p 10 {\displaystyle p_{01}-p_{10}}
このような差の p値 を計算することは、 マクネマー検定 として知られています。p値の信頼区間は、2つの割合の差の信頼区間で説明した方法を用いて構築できます。
前節で示したワルド信頼区間は、この設定にも適用可能であり、文献では別の表記法を用いて示されている。具体的には、しばしば提示される標準誤差は、標本割合ではなく分割表の頻度に基づいている。例えば、上記に示したワルド信頼区間は、次のように表される。 [11] : 102–103
SE ^ ( p ∗ 1 − p 1 ∗ ) = SE ^ ( p 01 − p 10 ) = n ( f 10 + f 01 ) − ( f 10 − f 01 ) 2 n n {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{*1}-p_{1*})&={\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{01}-p_{10})\\[1ex]&={\frac {\sqrt {n\left(f_{10}+f_{01}\right)-\left(f_{10}-f_{01}\right)^{2}}}{n{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}}
文献のさらなる研究では、ワルド法と連続性補正法の両方にいくつかの欠点があることが明らかになっており、実用化に向けて他の方法が提案されている。 [11]
こうした修正の 1 つに、 Agresti と Min による Wald+2 （彼らの他の研究 [13] に類似）があり、各セル頻度 に追加の値が加えられています。 [12] これにより、 Wald+2 信頼区間が生まれます。ベイズ解釈では、これは、すべてのパラメーターが 0.5 に等しい ディリクレ分布 （実際には Jeffreys 事前分布 ）を事前分布として推定値を構築するようなものです。wald +2 という名前に含まれる +2 は、2 バイ 2 の分割表（4 つの可能性のあるイベントを持つ多項式分布）のコンテキストでは、各イベントに観測値の半分を追加するので、全体で 2 つの観測値が追加される（事前分布による）ことを意味すると解釈できます。 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
これにより、マッチしたペア データの場合には次の修正された SE が得られます。
SE ^ ( p ∗ 1 − p 1 ∗ ) = ( n + 2 ) ( f 10 + f 01 + 1 ) − ( f 10 − f 01 ) 2 ( n + 2 ) n + 2 {\displaystyle {\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{*1}-p_{1*})={\frac {\sqrt {\left(n+2\right)\left(f_{10}+f_{01}+1\right)-\left(f_{10}-f_{01}\right)^{2}}}{\left(n+2\right){\sqrt {n+2}}}}}
これを次のように元の Wald の式に代入します。
( p ∗ 1 − p 1 ∗ ) n n + 2 ± z α / 2 ⋅ SE ^ ( p ^ i − p ^ j ) w a l d + 2 {\displaystyle \left(p_{*1}-p_{1*}\right){\frac {n}{n+2}}\pm z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})_{wald+2}}
その他の修正としては、 Bonett と Price の Adjusted Wald や Newcombe の Score など があります。
計算方法
ランダム変数生成 まず、パラメータを 降順で並べ替えます（これは計算を高速化するためであり、厳密には必要ではありません）。次に、各試行において、一様(0, 1)分布から補助変数 X を取得します。結果として得られる結果は、成分 p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}
j = min { j ′ ∈ { 1 , … , k } : ( ∑ i = 1 j ′ p i ) − X ≥ 0 } . {\displaystyle j=\min \left\{j'\in \{1,\dots ,k\}\colon \left(\sum _{i=1}^{j'}p_{i}\right)-X\geq 0\right\}.}
{ X j = 1, X k = 0 ( k ≠ j の場合) は、 n = 1 の多項分布からの 1 つの観測値です。 この実験の独立した繰り返しの合計は、 n がそのような繰り返しの数に等しい 多項分布からの 1 つの観測値です。 p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}
繰り返し条件付き二項標本を用いたサンプリング パラメータ とサンプルの合計 が与えられ、 の場合、 状態空間を と でないに分割し、すでに取得されたサンプルを条件として、これを 繰り返し実行することにより、任意の状態 の数 を連続的にサンプリングする ことが可能です。 p 1 , p 2 , … , p k {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}} n {\displaystyle n} ∑ i = 1 k X i = n {\textstyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}=n} X i {\displaystyle X_{i}} i {\displaystyle i} i {\displaystyle i}
アルゴリズム: 条件付き二項サンプリング S = n rho = 1 for i in [ 1 ,k-1 ] : rho ! = 0 の場合 : X [ i ] ~ Binom ( S,p [ i ] /rho ) それ以外の場合 X [ i ] = 0 S = S - X [ i ] rho = rho - p [ i ]
X [ k ] = S 経験的に、二項標本抽出の各適用は、抽出可能なサンプル数を減らし、条件付き確率も同様に更新して論理的一貫性を確保します。 [14]
ソフトウェア実装 MultinomialCI Rパッケージは 、 観測値のセットが与えられた場合の多項分布の確率の同時信頼区間を計算することを可能にする。 [15]
参照
参考文献 ^ 「確率 - 多項式分布サンプリング」。Cross Validated . 2022年7月28日 閲覧 。 ^ Loukas, Orestis; Chung, Ho Ryun (2023). 「Total Empiricism: Learning from Data」. arXiv : 2311.08315 [math.ST]. ^ Loukas, Orestis; Chung, Ho Ryun (2022年4月). 「限界制約下における最大エントロピーのカテゴリカル分布」. arXiv : 2204.03406 [hep-th]. ^ Loukas, Orestis; Chung, Ho Ryun (2022年6月). 「エントロピーに基づくモデリング制約の特性評価」. arXiv : 2206.14105 [stat.ME]. ^ ウェレック、ステファン (2010). 同等性と非劣性の統計的仮説の検定 . チャップマン・アンド・ホール/CRC. ISBN 978-1439808184 。 ^ Ostrovski, Vladimir (2017年5月). 「多項式分布の同値性の検定」. Statistics & Probability Letters . 124 : 77–82 . doi :10.1016/j.spl.2017.01.004. S2CID 126293429. 公式ウェブリンク（登録が必要です）。代替の無料ウェブリンク。 ^ Frey, Jesse (2009年3月). 「同等性のための正確な多項式検定」. カナダ統計ジャーナル . 37 : 47–59 . doi :10.1002/cjs.10000. S2CID 122486567. 公式ウェブリンク（サブスクリプションが必要です）。 ^ Ostrovski, Vladimir (2018年3月). 「多項式分布族の同値性の検定と独立性モデルへの応用」. Statistics & Probability Letters . 139 : 61–66 . doi :10.1016/j.spl.2018.03.014. S2CID 126261081. 公式ウェブリンク（登録が必要です）。代替の無料ウェブリンク。 ^ フライス, ジョセフ・L.; レビン, ブルース; パイク, ミョンヒ・チョ (2003). 『比率と割合の統計的手法 （第3版）』 ホーボーケン, ニュージャージー: J. Wiley. p. 760. ISBN 9780471526292 。 ^ Newcombe, RG (1998). 「独立割合間の差の区間推定：11手法の比較」. Statistics in Medicine . 17 (8): 873– 890. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<873::AID-SIM779>3.0.CO;2-I. PMID 9595617. ^ abc 「2つの相関する割合の差の信頼区間」 （PDF） NCSS 。 2022年3月22日 閲覧 。 ^ ab Agresti, Alan; Min, Yongyi (2005). 「対応した割合を比較するための簡便で改良された信頼区間」 (PDF) . Statistics in Medicine . 24 (5): 729– 740. doi :10.1002/sim.1781. PMID 15696504. ^ Agresti, A.; Caffo, B. (2000). 「成功2回と失敗2回を加えることで、割合と割合の差に関する単純かつ効果的な信頼区間が得られる」 アメリカ統計学者 54 ( 4): 280– 288. doi :10.1080/00031305.2000.10474560. ^ 「11.5: 多項式分布」 Statistics LibreTexts . 2020年5月5日. 2023年9月13日 閲覧 。 ^ 「MultinomialCI - 多項式比率の信頼区間」CRAN、2021年5月11日。 2024年3月23日 閲覧 。
さらに読む
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\text{ および }}\dots {\text{ および }}X_{k}=x_{k})\\[1ex]&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\times \cdots \times p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\text{when }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4e2cef744ab984ac350a431285064b67b9fb71)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (X_{i},X_{i})&=1\\[1ex]\rho (X_{i},X_{j})&={\frac {\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}}\\&={\frac {-p_{i}p_{j}}{\sqrt {p_{i}(1-p_{i})p_{j}(1-p_{j})}}}\\&=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1bbcb045d9be051a8bdf01e049ac20d248e7fb)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle f_{1}({\hat {p}})\in [f_{1}(p)-\epsilon _{1}(n),f_{1}(p)+\epsilon _{1}(n)],\dots ,f_{\ell }({\hat {p}})\in [f_{\ell }(p)-\epsilon _{\ell }(n),f_{\ell }(p)+\epsilon _{\ell }(n)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ff7fc7d676180a79dbb1690690a7a54ac8f4ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{*1}-p_{1*})&={\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{01}-p_{10})\\[1ex]&={\frac {\sqrt {n\left(f_{10}+f_{01}\right)-\left(f_{10}-f_{01}\right)^{2}}}{n{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89959bac6146f163ca8c214d130ebdc6040d7816)
