平行軸定理

Theorem in planar dynamics

平行軸定理は、ホイヘンス・シュタイナー定理、あるいは単にシュタイナーの定理とも呼ばれ、クリスティアーン・ホイヘンスとヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられ、物体の重心を通る平行軸の周りの物体の慣性モーメント^と軸間の垂直距離が与えられれば、任意の軸の周りの剛体の慣性モーメントまたは断面二次モーメントを決定するために使用できます。

質量慣性モーメント

軸の周りの物体の質量慣性モーメントは、質量中心を通る平行軸の周りの質量慣性モーメントから決定できます。

質量mの物体が、その重心を通る軸zを中心に回転するとする。物体はこの軸に関してI _cmの慣性モーメントを持つ。平行軸定理によれば、物体を最初の軸に平行で距離dだけずれた新しい軸z′を中心に回転させると、新しい軸に関する慣性モーメントIはI _cmと次 の関係にある。

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}$

明示的には、dは軸zとz′間の垂直距離です。

平行軸の定理は、伸長則および垂直軸の定理と組み合わせて適用することで、さまざまな形状の慣性モーメントを求めることができます。

面積慣性モーメントにおける平行軸則

導出

一般性を失うことなく、直交座標系において、軸間の垂直距離はx軸に沿っており、質量中心は原点にあると仮定することができる。この場合、 z軸に対する慣性モーメントは

${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.}$

x軸に沿って質量中心から距離Dにある軸z′に対する慣性モーメントは、

${\displaystyle I=\int \left[(x-D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}$

括弧を展開すると

${\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}$

最初の項は I _cmで、2番目の項はMD ²になります。最後の項の積分は、重心のx座標の倍数です 。重心は原点にあるため、x座標は0です。したがって、方程式は次のようになります。

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.}$

テンソルの一般化

平行軸定理は、慣性テンソルを含む計算に一般化できる。^[2]物体の質量中心における慣性テンソルをI _ijとすると、新しい点に対する 慣性テンソルJ _{ij は次のように計算される。}

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}$

ここで、 は質量中心から新しい点までの変位ベクトルであり、δ _ijはクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$

対角要素（i = jの場合）の場合、回転軸に垂直な変位は、上記の平行軸定理の簡略化されたバージョンになります。

平行軸定理の一般化版は、座標フリー表記法で次のように 表現できる。

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],}$

ここで、E ₃は3 × 3の 単位行列であり、外積です。 ${\displaystyle \otimes }$

平行軸定理をさらに一般化すると、基準慣性テンソルに関連付けられたx、y、z軸の基準セットに平行な任意の直交軸セットの周りの慣性テンソルが与えられます。これらの軸は、質量の中心を通過するかどうかに関係なく適用されます。^[2]この一般化では、慣性テンソルは、任意の基準点の周りの計算から、関係行列を介して最終的な基準点に移動できます。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{ref}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{F}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I_{F}=I_{\mathrm {ref} }+m(M[\mathbf {R} ,\mathbf {R} ]-2M[\mathbf {R} ,\mathbf {C} ])}$

ここで、は初期参照点から物体の重心へのベクトルであり、は初期参照点から最終参照点（）へのベクトルである。関係行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{F}=\mathbf {R} _{ref}+\mathbf {R} }$

${\displaystyle M[\mathbf {r} ,\mathbf {c} ]=\left[{\begin{array}{rrr}(r_{y}c_{y}+r_{z}c_{z})&-1/2(r_{x}c_{y}+r_{y}c_{x})&-1/2(r_{x}c_{z}+r_{z}c_{x})\\-1/2(r_{x}c_{y}+r_{y}c_{x})&(r_{x}c_{x}+r_{z}c_{z})&-1/2(r_{y}c_{z}+r_{z}c_{y})\\-1/2(r_{x}c_{z}+r_{z}c_{x})&-1/2(r_{y}c_{z}+r_{y}c_{z})&(r_{x}c_{x}+r_{y}c_{y})\end{array}}\right]}$

面積の2次モーメント

平行軸のルールは、平面領域Dの断面2次モーメント（断面2次モーメント）にも適用されます。

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}$

ここで、I _zは平行軸に対するDの面積モーメント、 I _xは D の重心に対する面積モーメント、Aは平面領域Dの面積、rは新しい軸zから平面領域 D の重心までの距離です。Dの重心は、均一な密度を持つ同じ形状の物理的な板の重心と一致します。

平面力学における極慣性モーメント

ある点の周りの物体の極モーメントは、その質量中心の周りの極モーメントから決定できます。

平面に平行に運動するように拘束された剛体の質量特性は、その平面における質量中心R  = ( x ,  y ) と、平面に垂直な軸Rを通る軸周りの極モーメントI _Rによって定義されます。平行軸定理は、任意の点S周りのモーメント I _Sと質量中心 R周りのモーメント I _Rとの間に便利な関係を与えます。

質量中心Rは次の性質を持つ ことを思い出してください。

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,}$

ここで、rは物体の体積Vにわたって積分される。平面運動する物体の極モーメントは、任意の基準点 Sを基準として計算することができる。

${\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,}$

ここで、Sは定数であり、rは体積 Vにわたって積分されます。

慣性モーメントI _Rの観点から慣性モーメントI _Sを得るためには、 Sから質量中心Rへのベクトルdを導入し、

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}}$

最初の項は慣性モーメントI _R、2番目の項は質量中心の定義によりゼロ、最後の項は物体の全質量にベクトル dの2乗の大きさを乗じた値である。したがって、

${\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}$

これは平行軸定理として知られています。^[3]

慣性モーメント行列

剛体粒子系の慣性行列は、基準点の選択に依存する。^[4] 質量中心Rに対する慣性行列と別の点Sに対する慣性行列の間には、有用な関係がある。この関係は平行軸定理と呼ばれる。

基準点Sを基準として 測定された剛体粒子系に対して得られる慣性行列[I _{S ]を考えてみましょう。}

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}$

ここで、r _{i は}粒子P _i（i  = 1, ...,  n）の位置を定義する。[ r _i  −  S ]は、外積を求める歪対称行列であることを思い出してほしい。

${\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}$

任意のベクトル yに対して。

Rを剛体の質量中心とすると、

${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,}$

ここで、dは基準点Sから質量中心Rへのベクトルである。この式を用いて慣性行列を計算する。

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}$

この式を展開すると

${\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}$

最初の項は質量中心に対する慣性行列[ I _R ]である。2番目と3番目の項は質量中心Rの定義によりゼロである。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.}$

最後の項は、システム全体の質量に、dから構築された歪対称行列 [ d ] の2乗を掛けたものです。

その結果は平行軸定理である。

${\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}$

ここでdは基準点Sから質量中心Rへのベクトルである。^[4]

歪対称行列の恒等式

歪対称行列を使用した平行軸定理の定式化とテンソル定式化を比較するには、次の恒等式が役立ちます。

[ R ] を位置ベクトルR  = ( x ,  y ,  z ) に関連付けられた歪対称行列とすると、慣性行列の積は

${\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.}$

この積は、外積[ R R ^T ]によって形成される行列を使用して、恒等式を使用して 計算できます。

${\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}$

ここで[ E3 ]は3×3の単位行列である_。

また、

${\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}$

ここで、tr は外積行列の対角要素の合計、つまりトレースを表します。

参照

• クリスティアーン・ホイヘンス
• ヤコブ・シュタイナー
• 慣性モーメント
• 垂直軸定理
• 剛体力学
• ストレッチルール

参考文献

1. アーサー・エーリッヒ・ハース（1928年）『理論物理学入門』
2. Abdulghany, AR (2017年10月)、「回転慣性に対する平行軸定理の一般化」、American Journal of Physics、85 (10): 791– 795、Bibcode :2017AmJPh..85..791A、doi : 10.1119/1.4994835
3. ポール、バートン（1979）、平面機械の運動学と動力学、プレンティスホール、ISBN 978-0-13-516062-6
4. Kane, TR; Levinson, DA (2005), Dynamics, Theory and Applications , McGraw-Hill, New York

外部リンク

• 平行軸定理
• 慣性モーメントテンソル
• 慣性テンソルに関するビデオ

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Parallel_axis_theorem&oldid=1311905322"