粒子フィルター

Type of Monte Carlo algorithms for signal processing and statistical inference

粒子フィルタ（シーケンシャルモンテカルロ法とも呼ばれる）は、信号処理やベイズ統計的推論などの非線形状態空間システムのフィルタリング問題の近似解を求めるために使用されるモンテカルロアルゴリズムの集合である。^[1]フィルタリング問題は、部分的な観測が行われ、センサーと動的システムの両方にランダムな摂動が存在する場合の動的システムの内部状態を推定することから構成される。目的は、ノイズを含む部分的な観測が与えられた場合に、マルコフ過程の状態の事後分布を計算することである。「粒子フィルタ」という用語は、1960年代初頭から流体力学で使用されている平均場相互作用粒子法について、1996年にピエール・デル・モラルによって初めて造語された。 ^{[2] 「シーケンシャルモンテカルロ」という用語は、1998年に}ジュン・S・リウとロン・チェンによって造語された。^[3]

粒子フィルタリングは、ノイズを含む観測値や部分的な観測値が与えられた場合、確率過程の事後分布を表すために、粒子集合（サンプルとも呼ばれる）を用いる。状態空間モデルは非線形であってもよく、初期状態分布とノイズ分布は任意の形式をとることができる。粒子フィルタ技術は、状態空間モデルや状態分布に関する仮定を必要とせずに、必要な分布からサンプルを生成するための確立された手法^{[2] [4] [5]}を提供する。しかし、これらの手法は、非常に高次元のシステムに適用した場合、良好な性能を発揮しない。

粒子フィルタは、近似的（統計的）な方法で予測を更新します。分布からのサンプルは粒子の集合で表されます。各粒子には、確率密度関数からその粒子がサンプリングされる確率を表す尤度重みが割り当てられています。重みの不均衡が重みの崩壊につながることは、これらのフィルタリングアルゴリズムでよく発生する問題です。しかし、重みが不均衡になる前に再サンプリングステップを追加することで、この問題を軽減できます。重みの分散や一様分布に関する相対エントロピーなど、いくつかの適応型再サンプリング基準を使用できます。 ^[6]再サンプリングステップでは、無視できる重みを持つ粒子が、重みの高い粒子の近くにある新しい粒子に置き換えられます。

統計的および確率論的な観点からは、粒子フィルタは、ファインマン-カック確率測度の平均場粒子解釈として解釈することができる。 ^{[7] [8] [9] [10] [11]}これらの粒子統合手法は、分子化学および計算物理学において、 1951 年にセオドア・E・ハリスとハーマン・カーン、1955 年にマーシャル・N・ローゼンブルースとアリアナ・W・ローゼンブルース、^[12]さらに最近では 1984 年にジャック・H・ヘザリントンによって開発された^{。 [13]}計算物理学では、これらのファインマン-カックタイプのパス粒子統合法は、量子モンテカルロ法、より具体的には拡散モンテカルロ法でも使用されている。^{[14] [15] [16]}ファインマン-カック相互作用粒子法は、複雑な最適化問題を解決するために現在進化計算で使用されている突然変異選択遺伝的アルゴリズムにも深く関連している。

粒子フィルタ法は、隠れマルコフモデル（HMM）と非線形フィルタリング問題を解決するために使用されます。線形ガウス信号観測モデル（カルマンフィルタ）またはより広いクラスのモデル（ベネスフィルタ^[17]）の顕著な例外を除いて、ミレイユ・シャレイア＝モーレルとドミニク・ミシェルは1984年に、観測値が与えられた場合の信号のランダム状態の事後分布のシーケンス（最適フィルタとも呼ばれます）には有限再帰がないことを証明しました。^[18]固定グリッド近似、マルコフ連鎖モンテカルロ法、従来の線形化、拡張カルマンフィルタ、または（期待コスト-誤差の意味で）最適な線形システムを決定することに基づくその他のさまざまな数値手法は、大規模システム、不安定なプロセス、または十分に滑らかでない非線形性には対応できません。

粒子フィルタとファインマン・カック粒子法は、信号および画像処理、ベイズ推論、機械学習、リスク分析および稀なイベントのサンプリング、工学 およびロボット工学、人工知能、バイオインフォマティクス、^[19] 系統学、計算科学、経済学 および 数理ファイナンス、分子化学、計算物理学、薬物動態学、定量的リスクおよび保険^{[20] [21]}などの分野で応用されています。

歴史

ヒューリスティックなアルゴリズム

統計的および確率的観点から、粒子フィルタは分岐/遺伝的型アルゴリズム、および平均場型相互作用粒子法のクラスに属します。これらの粒子法の解釈は科学分野によって異なります。進化コンピューティングでは、平均場遺伝的型粒子法は、ヒューリスティックおよび自然探索アルゴリズム（別名メタヒューリスティック）としてよく使用されます。計算物理学および分子化学では、ファインマン-カッツ経路積分問題を解いたり、ボルツマン-ギブス測度、トップ固有値、シュレーディンガー演算子の基底状態を計算したりするために使用されます。生物学および遺伝学では、ある環境における個体または遺伝子の集団の進化を表します。

平均場型進化計算手法の起源は、1950年と1954年のアラン・チューリングの遺伝子型突然変異選択学習機械に関する研究^[22]と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所のニルス・オール・バリセリの論文^[23 ] に遡ります。^[24]統計手法における粒子フィルタの最初の痕跡は、1950年代半ばに遡ります。1954年にジョン・ハマーズリーらが提案した「貧者のモンテカルロ」 ^[25]には、今日使用されている遺伝子型粒子フィルタリング手法のヒントが含まれていました。 1963年、ニルス・オール・バリセリは、個体が単純なゲームをプレイする能力を模倣する遺伝子型アルゴリズムをシミュレートしました。^[26]進化計算の文献では、遺伝的突然変異選択アルゴリズムは、1970年代初頭のジョン・ホランドの独創的な研究、特に1975年に出版された著書^[27]を通じて人気を博しました。

1957年、オーストラリアの遺伝学者アレックス・フレイザーも生物学と遺伝学の分野で、生物の人為選択の遺伝子型シミュレーションに関する一連の論文を発表しました。 ^[28]生物学者による進化のコンピュータシミュレーションは1960年代初頭に一般的になり、その手法はフレイザーとバーネル（1970年）^{[29]とクロスビー（1973年） [30]}の著書で説明されました。フレイザーのシミュレーションには、現代の突然変異選択遺伝粒子アルゴリズムの重要な要素がすべて含まれていました。

数学的観点からは、部分的かつノイズの多い観測を与えられた信号のランダム状態の条件付き分布は、一連の尤度ポテンシャル関数によって重み付けされた信号のランダム軌道上のファインマン・カック確率によって記述されます。 ^{[7] [8]} 量子モンテカルロ法、より具体的には拡散モンテカルロ法は、ファインマン・カック経路積分の平均場遺伝的型粒子近似として解釈することもできます。^{[7] [8] [9] [13] [14] [31] [32]}量子モンテカルロ法の起源は、1948 年に中性子連鎖反応の平均場粒子解釈を開発したエンリコ・フェルミとロバート・リヒトマイヤーにあるとされることが多いが、^[33]量子システムの基底状態エネルギーを推定する（縮小行列モデル内）最初のヒューリスティックな遺伝的粒子アルゴリズム（別名、再サンプル・モンテカルロ法または再構成モンテカルロ法）は、1984 年のジャック・H・ヘザリントンによるものである。^{[13]また、粒子透過エネルギーを推定するために平均場だがヒューリスティックな遺伝的方法を使用している、1951 年に発表された粒子物理学における}セオドア・E・ハリスとハーマン・カーンの初期の独創的な研究を引用することもできる。^[34]分子化学において、遺伝的ヒューリスティックな粒子法（別名、剪定と濃縮戦略）の使用は、1955年のマーシャル・N・ローゼンブルースとアリアナ・W・ローゼンブルースの先駆的な研究にまで遡ることができます。^[12]

遺伝的粒子アルゴリズムが高度な信号処理やベイズ推論に利用されるようになったのは比較的最近のことである。1993年1月、北川源四郎は「モンテカルロフィルタ」^[35]を開発し、この論文の若干の修正版が1996年に発表された^[36]。 1993年4月、Neil J. Gordonらは、その独創的な論文^[37]において、ベイズ統計推論への遺伝的型アルゴリズムの応用を発表した。著者らは、このアルゴリズムを「ブートストラップフィルタ」と名付け、他のフィルタリング手法と比較して、ブートストラップアルゴリズムは状態空間やシステムのノイズに関する仮定を必要としないことを示した。これとは独立して、1990年代半ばには、ピエール・デル・モラル^[2]と、ヒミルコン・カルヴァリョ、ピエール・デル・モラル、アンドレ・モナン、ジェラール・サリュ^[38]による粒子フィルタに関する論文が発表されている。粒子フィルタは、1989年から1992年初頭にかけて、 LAAS-CNRSのP.デルモラル、JCノイヤー、G.リガル、G.サリュートによって信号処理分野でも開発され、STCAN（Service Technique des Constructions et Armes Navales）、IT企業DIGILOG、LAAS-CNRS（システム分析・アーキテクチャ研究所）と共同で、レーダー/ソナーおよびGPS信号処理の問題に関する一連の限定的かつ機密の研究報告書の中で発表された。^{[39] [40] [41] [42] [43] [44]}

数学の基礎

1950 年から 1996 年にかけて、計算物理学と分子化学で導入された刈り込み法や再サンプル法のモンテ カルロ法を含む粒子フィルタと遺伝的アルゴリズムに関するすべての出版物では、さまざまな状況に適用された自然でヒューリスティックなアルゴリズムが紹介されていますが、その一貫性の証明は一切なく、推定値の偏りや系図および祖先ツリーに基づくアルゴリズムに関する議論も一切ありません。

これらの粒子アルゴリズムの数学的基礎と最初の厳密な解析は、1996年にピエール・デル・モラル^{[2] [4]によって行われました。この論文[2]には、尤度関数と非正規化}条件付き確率測度の粒子近似の不偏特性の証明も含まれています。この論文で提示された尤度関数の不偏粒子推定量は、今日ベイズ統計推論において用いられています。

Dan Crisan、Jessica Gaines、およびTerry Lyons ^{[45] [46] [47]}とPierre Del Moral、およびTerry Lyons ^[48]は、1990年代末頃に様々な個体群サイズを持つ分岐型粒子手法を考案しました。P. Del Moral、A. Guionnet、およびL. Miclo ^{[8] [49] [50]}は 、2000年にこの主題でさらなる進歩を遂げました。Pierre Del MoralとAlice Guionnet ^[51]は1999年に最初の中心極限定理を証明し、Pierre Del MoralとLaurent Miclo ^{[8]は2000年にそれを証明しました。粒子フィルタの時間パラメータに関する最初の一様収束結果は、1990年代末にPierre Del Moralと}Alice Guionnetによって開発されました。^{[49] [50]}系図ツリーベースの粒子フィルタスムージングの最初の厳密な分析は、2001年にP.デルモラルとL.ミクロによって行われた^[52]。

ファインマン-カック粒子方法論と関連する粒子フィルタアルゴリズムの理論は、2000年と2004年に書籍で展開されました。^{[8] [5]}これらの抽象的な確率モデルには、遺伝的型アルゴリズム、粒子およびブートストラップフィルタ、相互作用カルマンフィルタ（別名ラオ-ブラックウェル化粒子フィルタ^[53]）、重要度サンプリングおよび再サンプリングスタイルの粒子フィルタ技術がカプセル化されており、フィルタリングとスムージングの問題を解決するための系図ツリーベースおよび粒子後方方法論が含まれています。その他の粒子フィルタリング手法としては、系図ツリーベースモデル、^{[10] [5] [54]}後方マルコフ粒子モデル、^{[10] [55]}適応平均場粒子モデル、^[6]島型粒子モデル、^{[56] [57]}粒子マルコフ連鎖モンテカルロ手法、^{[58] [59]}シーケンシャルモンテカルロサンプラー^{[60] [61] [62]}およびシーケンシャルモンテカルロ近似ベイズ計算法^[63]およびシーケンシャルモンテカルロABCベースベイズブートストラップ^{[64] がある。}

フィルタリングの問題

客観的

粒子フィルタの目的は、観測変数が与えられた場合に状態変数の事後密度を推定することです。粒子フィルタは、隠れマルコフモデル（隠れ変数と観測変数の両方を含むシステム）で使用することを目的としています。観測変数（観測プロセス）は、既知の関数形を介して隠れ変数（状態プロセス）にリンクされています。同様に、状態変数の発展を定義する力学系の確率的記述も既知です。

一般的な粒子フィルタは、観測測定プロセスを用いて隠れ状態の事後分布を推定します。以下の状態空間を例に挙げると、

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}X_{0}&\to &X_{1}&\to &X_{2}&\to &X_{3}&\to &\cdots &{\text{signal}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &\\Y_{0}&&Y_{1}&&Y_{2}&&Y_{3}&&\cdots &{\text{observation}}\end{array}}}$

フィルタリング問題は、任意の時間ステップkにおける観測プロセスの値が与えられたときに、隠れ状態の値を順次推定することです。 ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{0},\cdots ,Y_{k},}$

のすべてのベイズ推定値は事後密度から導かれる。粒子フィルタ法は、遺伝的粒子アルゴリズムに関連する経験的尺度を用いて、これらの条件付き確率の近似値を提供する。対照的に、マルコフ連鎖モンテカルロ法や重要度サンプリング法は、事後密度全体をモデル化する。 ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$ ${\displaystyle p(x_{0},x_{1},...,x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$

信号観測モデル

粒子法では多くの場合、次のような仮定が立てられ、観測結果は次のような形式でモデル化できます。 ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$

• ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$は、 （ある に対して）上のマルコフ過程であり、遷移確率密度 に従って発展する。このモデルは、次のように合成的に記述されることが多い。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}}}$ ${\displaystyle d_{x}\geqslant 1}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$

  ${\displaystyle X_{k}|X_{k-1}=x_{k}\sim p(x_{k}|x_{k-1})}$

初期確率密度 を持つ。 ${\displaystyle p(x_{0})}$

• 観測値は（ある に対して） 上の何らかの状態空間で値を取り、 が既知であれば条件付き独立である。言い換えれば、各 はのみに依存する。さらに、与えられたに対する条件付き分布が絶対連続であると仮定し、合成的に次式を得る。 ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{y}}}$ ${\displaystyle d_{y}\geqslant 1}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}=x_{k}}$

  ${\displaystyle Y_{k}|X_{k}=y_{k}\sim p(y_{k}|x_{k})}$

これらのプロパティを持つシステムの例は次のとおりです。

${\displaystyle X_{k}=g(X_{k-1})+W_{k-1}}$

${\displaystyle Y_{k}=h(X_{k})+V_{k}}$

ここで、と はどちらも既知の確率密度関数を持つ相互に独立したシーケンスであり、gとh は既知の関数です。これら2つの方程式は状態空間方程式として見ることができ、カルマンフィルタの状態空間方程式に似ています。上記の例で関数gとh が線形で、 と が両方ともガウス分布である場合、カルマンフィルタは正確なベイズフィルタリング分布を見つけます。そうでない場合、カルマンフィルタベースの手法は、1次近似（EKF）または2次近似（一般にUKFですが、確率分布がガウス分布の場合は3次近似が可能です）になります。 ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$

ルベーグ測度において、初期分布とマルコフ連鎖の遷移が連続であるという仮定は緩和できる。粒子フィルタを設計するには、マルコフ連鎖の遷移をサンプリングできると仮定し、尤度関数を計算すればよい（例えば、以下に示す粒子フィルタの遺伝的選択変異の説明を参照）。マルコフ遷移の連続性に関する仮定は、条件付き密度に対するベイズの定理を用いて、事後分布間の異なる式を非公式（かつむしろ乱用的）に導出するためにのみ用いられる。 ${\displaystyle X_{k-1}\to X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k},}$ ${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle X_{k}}$

近似ベイズ計算モデル

特定の問題では、信号のランダム状態を与えられた観測値の条件付き分布は密度を持たない可能性がある。後者は計算不可能か複雑すぎる可能性がある。^[19]このような状況では、追加の近似レベルが必要となる。一つの戦略は、信号をマルコフ連鎖に置き換え、次のような仮想観測を導入することである。 ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{k}=Y_{k}+\epsilon {\mathcal {V}}_{k}\quad {\mbox{for some parameter}}\quad \epsilon \in [0,1]}$

既知の確率密度関数を持つ独立確率変数の列に対して、中心となる考え方は次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{Law}}\left(X_{k}|{\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k}\right)\approx _{\epsilon \downarrow 0}{\text{Law}}\left(X_{k}|Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{k}=y_{k}\right)}$

部分観測が与えられたマルコフ過程に関連する粒子フィルタは、尤度関数が によって明らかに乱用的な表記で与えられることで定義される。これらの確率的手法は、近似ベイズ計算（ABC）と密接に関連している。粒子フィルタの文脈において、これらのABC粒子フィルタリング手法は1998年にP. Del Moral、J. Jacod、P. Protterによって導入された。^[65]これらはP. Del Moral、A. Doucet、A. Jasraによってさらに発展させられた。^{[66] [67]} ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}+d_{y}}}$ ${\displaystyle p({\mathcal {Y}}_{k}|{\mathcal {X}}_{k})}$

非線形フィルタリング方程式

条件付き確率に関するベイズの定理は次のようになります。

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})}{p(y_{0},\cdots ,y_{k})}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}p(y_{0},\cdots ,y_{k})&=\int p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})dx_{0}\cdots dx_{k}\\p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})&=\prod _{l=0}^{k}p(y_{l}|x_{l})\\p(x_{0},\cdots ,x_{k})&=p_{0}(x_{0})\prod _{l=1}^{k}p(x_{l}|x_{l-1})\end{aligned}}}$

粒子フィルタも近似値ではあるが、十分な粒子数があればより正確な値が得られる。^{[2] [4] [5] [49] [50]}非線形フィルタリング方程式は再帰式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&{\stackrel {\text{updating}}{\longrightarrow }}p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x'_{k})p(x'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx'_{k}}}\\&{\stackrel {\text{prediction}}{\longrightarrow }}p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})=\int p(x_{k+1}|x_{k})p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k}\end{aligned}}}$

式1

k = 0の規則に従います。非線形フィルタリングの問題は、これらの条件付き分布を順番に計算することです。 ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=p(x_{0})}$

ファインマン-カック定式化

時間範囲 n と観測シーケンスを固定し、各k = 0, ..., nに対して以下を設定します。 ${\displaystyle Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{n}=y_{n}}$

${\displaystyle G_{k}(x_{k})=p(y_{k}|x_{k}).}$

この記法では、原点k = 0から時刻k = nまでの軌道の集合上の任意の有界関数Fに対して、ファインマン-カックの公式が成り立ちます。 ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}&={\frac {\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})\left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}{\int \left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}}\\&={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}\end{aligned}}}$

ファインマン-カック経路積分モデルは、計算物理学、生物学、情報理論、コンピュータサイエンスなど、様々な科学分野で用いられている。^{[8] [10] [5]}これらのモデルは、適用分野によって解釈が異なる。例えば、状態空間のサブセットの指標関数を選べば、与えられたチューブ内に留まるマルコフ連鎖の条件付き分布を表すことができる。つまり、以下の式が成り立つ。 ${\displaystyle G_{n}(x_{n})=1_{A}(x_{n})}$

${\displaystyle E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})|X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}}$

そして

${\displaystyle P\left(X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)=E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}$

正規化定数が厳密に正であれば。

粒子フィルター

遺伝的粒子アルゴリズム

最初に、このようなアルゴリズムは、共通の確率密度を持つN個の独立した確率変数から始まる。遺伝的アルゴリズムは、選択突然変異遷移^{[2] [4]} ${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle p(x_{0})}$

${\displaystyle \xi _{k}:=\left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{selection}}{\longrightarrow }}{\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{mutation}}{\longrightarrow }}\xi _{k+1}:=\left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

最適フィルタ進化の更新予測遷移を模倣/近似する（式1）：

• 選択更新遷移中に、共通の（条件付き）分布を持つN個の（条件付き）独立確率変数をサンプリングする。 ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

ここで、は与えられた状態 a におけるディラック測度を表します。 ${\displaystyle \delta _{a}}$

• 突然変異予測遷移の間、選択された各粒子から独立して遷移をサンプリングする。 ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\longrightarrow \xi _{k+1}^{i}\sim p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i}),\qquad i=1,\cdots ,N.}$

上記の式では 、は で評価された尤度関数を表し、は で評価された条件付き密度を表します。 ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

各時刻kにおいて、粒子近似は次のようになる。

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

そして

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

遺伝的アルゴリズムと進化的コンピューティングのコミュニティでは、上記の突然変異-選択マルコフ連鎖は、しばしば比例選択を伴う遺伝的アルゴリズムと呼ばれます。論文では、ランダムな集団サイズを含むいくつかの分岐変種も提案されています。^{[5] [45] [48]}

モンテカルロ原理

粒子法は、他のサンプリングベースのアプローチ（例えば、マルコフ連鎖モンテカルロ）と同様に、フィルタリング密度を近似するサンプルのセットを生成する。

${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}).}$

たとえば、の近似事後分布からN 個のサンプルを取得するとします。この場合、サンプルには次のように上付き文字が付けられます。 ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{1},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k}^{N}.}$

そして、フィルタリング分布に関する期待値は次のように近似される。

${\displaystyle \int f(x_{k})p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\,dx_{k}\approx _{N\uparrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)=\int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

式2

と

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

ここで、は与えられた状態aにおけるディラック測度を表す。モンテカルロ法でよく使われる関数fは、ある程度の近似誤差を除けば、分布のモーメントなどを与えることができる。近似方程式（式2）が任意の有界関数fに対して満たされるとき、次のように書く。 ${\displaystyle \delta _{a}}$

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k}\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

粒子フィルタは、突然変異と選択の遷移によって進化する遺伝的粒子アルゴリズムとして解釈できます。祖先の系統を追跡することができます。

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$

粒子のランダム状態。下側の添え字l=0,...,kを持つランダム状態は、レベルl=0,...,kにおける個体の祖先を表す。この状況では、近似式は次のようになる。 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{l,k}^{i}}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\,dx_{0}\cdots dx_{k}&\approx _{N\uparrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)\\&=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\end{aligned}}}$

式3

経験的尺度による

${\displaystyle {\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))}$

ここでFは信号の経路空間上の任意の基礎関数を表す。より合成的な形（式3）は次式と等価である。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\,dx_{0}\cdots dx_{k}\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\end{aligned}}}$

粒子フィルタは様々な解釈が可能です。確率論的な観点からは、非線形フィルタリング方程式の平均場粒子解釈と一致します。最適フィルタ進化における更新-予測遷移は、個体の古典的な遺伝子型選択-突然変異遷移として解釈することもできます。シーケンシャルインポータンスリサンプリング法は、インポータンスサンプリングとブートストラップリサンプリングステップを組み合わせることで、フィルタリング遷移の別の解釈を提供します。最後に、粒子フィルタは、リサイクル機構を備えた受理-拒否法と見なすことができます。^{[10] [5]}

平均場粒子シミュレーション

一般確率原理

非線形フィルタリングの進化は、確率分布の集合からそれ自身への写像を表す、確率測度の集合における力学系として解釈できる。例えば、1ステップ最適予測器の進化は、 ${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{n+1}}$ ${\displaystyle \eta _{n}(dx_{n})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})dx_{n}}$

は確率分布から始まる非線形発展を満たす。これらの確率測度を近似する最も簡単な方法の一つは、共通の確率分布を持つ N個の独立した確率変数から始めることである。N個の確率変数の列を次のように 定義したとする。 ${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$ ${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$ ${\displaystyle \left(\xi _{n}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})\approx _{N\uparrow \infty }\eta _{n}(dx_{n})}$

次のステップでは、共通法則を使用してN 個の（条件付きで）独立したランダム変数をサンプリングします。 ${\displaystyle \xi _{n+1}:=\left(\xi _{n+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}\right)\approx _{N\uparrow \infty }\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$

フィルタリング方程式の粒子解釈

この平均場粒子原理を、1ステップ最適予測子の進化の文脈で説明する。

${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}\to p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})=\int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}')p(x'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx'_{k}}{\int p(y_{k}|x''_{k})p(x''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx''_{k}}}}$

式4

k = 0の場合、規則 を使用します。 ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1}):=p(x_{0})}$

大数の法則により、

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{0}^{i}}(dx_{0})\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{0})dx_{0}}$

という意味で

${\displaystyle \int f(x_{0}){\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{0}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{0})p(dx_{0})dx_{0}}$

任意の有界関数に対して。さらに 、あるランクkの粒子列を構築し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }~p(x_{k}~|~y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

任意の有界関数に対して、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{k}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

この状況では、 （式4 ）で述べた1ステップ最適フィルタの発展方程式の経験的尺度を置き換えると、次の式が得られる。 ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

${\displaystyle p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}}$

上記の式の右側の項は重み付き確率混合であることに注意する。

${\displaystyle \int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})=:{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

ここで、は における密度、 はにおける密度を表します。 ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N.}$

次に、共通の確率密度を持つN個の独立確率変数をサンプリングし 、 ${\displaystyle \left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle {\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k+1}^{i}}(dx_{k+1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}}$

この手順を繰り返して、次のようなマルコフ連鎖を設計する。

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

最適なフィルタは、ベイズの公式を用いて各時間ステップkで近似されることに注意してください。

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x'_{k}){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}~\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

「平均場近似」という用語は、各時間ステップにおいて確率測度を経験的近似に置き換えるという事実に由来する。フィルタリング問題における平均場粒子近似は、決して唯一のものではない。書籍ではいくつかの戦略が展開されている。^{[10] [5]} ${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

いくつかの収束結果

粒子フィルタの収束の解析は1996年に^{[2] [4]}、2000年に書籍^[8]と一連の論文[48]で開始された。^{[49] [50 ] [51] [52] [68] [69]}最近の展開は書籍^{[10] [5]}に記載されている。フィルタリング方程式が安定している場合（誤った初期条件を修正するという意味）、粒子推定値のバイアスと分散は

${\displaystyle I_{k}(f):=\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}(f):=\int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

非漸近一様推定値によって制御される

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}\left\vert E\left({\widehat {I}}_{k}(f)\right)-I_{k}(f)\right\vert \leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{N}}}$

1で制限される任意の関数fといくつかの有限定数に対して さらに、任意のに対して： ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$ ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {x\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

漸近的バイアスと粒子推定値の分散に関連するいくつかの有限定数、および有限定数cについて。1ステップの最適予測子を最適フィルタ近似に置き換えても、同じ結果が得られます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

系図と不偏性の性質

系図ツリーに基づく粒子スムージング

祖先の系譜を遡る

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right),\quad \left(\xi _{0,k}^{i},\xi _{1,k}^{i},\cdots ,\xi _{k-1,k}^{i},\xi _{k,k}^{i}\right)}$

個体の、そして各時間ステップkにおいて、粒子近似も得られる。 ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\left(={\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{k}^{i}\left(={\xi }_{k,k}^{i}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\ \\{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{0},\cdots ,dx_{k}\end{aligned}}}$

これらの経験的近似は粒子積分近似と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\ \\\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\end{aligned}}}$

信号のランダム軌道上の任意の有界関数Fに対して。 ^[54]に示されているように、系図樹の進化は、信号軌道の事後密度に関連する進化方程式の平均場粒子解釈と一致する。これらのパス空間モデルの詳細については、書籍^{[10] [5]を参照のこと。}

尤度関数の不偏粒子推定

積の式を使用します

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

と

${\displaystyle p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

慣例とk = 0の場合。経験的近似に置き換えると ${\displaystyle p(y_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(y_{0})}$ ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(x_{0}),}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

上記の式では、尤度関数の次のような不偏粒子近似を設計する。

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}{\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

と

${\displaystyle {\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$

ここで、はで評価された密度を表す。この粒子推定の設計と不偏性は、1996年の論文^{[2]で証明されている。改良された分散推定値は[5]と[10]}に記載されている。 ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$

後方粒子スムージング

ベイズの定理を用いると、次の式が得られる。

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})p(x_{n-1}|x_{n},y_{0},\cdots ,y_{n-1})\cdots p(x_{1}|x_{2},y_{0},y_{1})p(x_{0}|x_{1},y_{0})}$

注意してください

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\propto p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1})&\propto p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})\end{aligned}}}$

これは、

${\displaystyle p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})p(x_{k}|x'_{k-1})p(x'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})dx'_{k-1}}}}$

ワンステップ最適予測変数を粒子経験的尺度に置き換える ${\displaystyle p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\left(\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})):={p}(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}\right)}$

私たちは、

${\displaystyle {\begin{aligned}p(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\&:={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1}){\widehat {p}}(dx_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})~p(x_{k}|x'_{k-1}){\widehat {p}}(dx'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{i})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{j})}}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\end{aligned}}}$

我々は次のように結論づけた。

${\displaystyle p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

後方粒子近似を用いた

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{1}|x_{2},(y_{0},y_{1})){\widehat {p}}(dx_{0}|x_{1},y_{0})\end{aligned}}}$

確率測定

${\displaystyle {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

は、k=n から k=0 まで時間的に逆方向に進み、各時間ステップ k で粒子の集団に関連付けられた状態空間で進化するマルコフ連鎖のランダムパスの確率である。 ${\displaystyle \left(\mathbb {X} _{k,n}^{\flat }\right)_{0\leqslant k\leqslant n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}^{i},i=1,\cdots ,N.}$

• 初期（時刻k=n）では、チェーンは分布が ${\displaystyle \mathbb {X} _{n,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})}$

• 時刻kから時刻(k-1)まで、時刻kのある状態から始まる連鎖は、時刻(k-1)で離散重み付き確率で選択されたランダムな状態に移動する。 ${\displaystyle \mathbb {X} _{k,n}^{\flat }=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{k-1,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))=\sum _{j=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum _{l=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})}}~\delta _{\xi _{k-1}^{j}}(dx_{k-1})}$

上記の式において、は で評価された 条件付き分布を表します。同様に、およびはおよびで評価された条件付き密度を表します。これらのモデルは、上で説明した連鎖のマルコフ遷移に関する行列演算によって、密度に関する積分を簡約することを可能にします。 ^[55]例えば、任意の関数について、粒子推定値 ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}$ ${\displaystyle p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}$ ${\displaystyle p(y_{k-1}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle x_{k-1}=\xi _{k-1}^{j}.}$ ${\displaystyle p((x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})&|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&=\int {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k+1},(y_{0},\cdots ,y_{k}))f_{k}(x_{k})\\&=\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbb {M} _{k}=(\mathbb {M} _{k}(i,j))_{1\leqslant i,j\leqslant N}:\qquad \mathbb {M} _{k}(i,j)={\frac {p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})~p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum \limits _{l=1}^{N}p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})}}}$

これはまた、もし

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x_{k})}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\\&={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\mathbb {M} _{n-2}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

粒子の平滑化は、固定遅延近似による単一のオンラインパスで達成することもできる。^[70]

いくつかの収束結果

フィルタリング方程式は、誤った初期条件を修正するという意味において安定していると仮定します。

この状況では、尤度関数の粒子近似は不偏であり、相対分散は

${\displaystyle E\left({\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})\right)=p(y_{0},\cdots ,y_{n}),\qquad E\left(\left[{\frac {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}{p(y_{0},\cdots ,y_{n})}}-1\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {cn}{N}},}$

有限定数cに対して成り立つ。さらに、任意の に対して成り立つ。 ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\vert {\frac {1}{n}}\log {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}-{\frac {1}{n}}\log {p(y_{0},\cdots ,y_{n})}\right\vert \leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

粒子推定値の漸近的バイアスと分散に関連するいくつかの有限定数、および有限定数c。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

系図の祖先系統に基づく粒子推定値のバイアスと分散

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{k}^{path}(F)&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\\&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\end{aligned}}}$

非漸近一様推定値によって制御される

${\displaystyle \left|E\left({\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\right)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant {\frac {c_{1}k}{N}},\qquad E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}k}{N}},}$

1で制限される任意の関数Fといくつかの有限定数に対して、さらに任意のに対して： ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$ ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c_{1}{\frac {kx}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {kx}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {xn\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

粒子推定値の漸近的バイアスと分散に関連する有限定数、および有限定数cについて成り立つ。同様のバイアスと分散の推定値は、後方粒子スムージングにも当てはまる。加法関数が以下の形式である場合、 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{0\leqslant k\leqslant n}f_{k}(x_{k})}$

と

${\displaystyle I_{n}^{path}({\overline {F}})\approx _{N\uparrow \infty }I_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}}):=\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

1で制限される関数の場合、 ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \sup _{n\geqslant 0}{\left\vert E\left({\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}})\right)-I_{n}^{path}({\overline {F}})\right\vert }\leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

そして

${\displaystyle E\left(\left[{\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}(F)-I_{n}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{nN}}+{\frac {c_{3}}{N^{2}}}}$

いくつかの有限定数については、指数関数的に小さい誤差の確率を含むより洗練された推定値が開発されている。^[10] ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}.}$

シーケンシャル・インポータンス・リサンプリング（SIR）

モンテカルロフィルタとブートストラップフィルタ

シーケンシャルインポータンスリサンプリング（SIR）、モンテカルロフィルタリング（Kitagawa 1993 ^[35]）、ブートストラップフィルタリングアルゴリズム（Gordon et al. 1993 ^[37]）、および単一分布リサンプリング（Bejuri WMYB et al. 2017 ^[71]）も、フィルタリング確率密度を重み付きNサンプル セットで近似する、一般的に適用されるフィルタリングアルゴリズムである。 ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle \left\{\left(w_{k}^{(i)},x_{k}^{(i)}\right)\ :\ i\in \{1,\cdots ,N\}\right\}.}$

重要度の重み は、サンプルの相対的な事後確率（または密度）の近似値であり、 ${\displaystyle w_{k}^{(i)}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}=1.}$

逐次重要度サンプリング（SIS）は、重要度サンプリングの逐次的（すなわち再帰的）バージョンである。重要度サンプリングと同様に、関数fの期待値は加重平均として近似できる。

${\displaystyle \int f(x_{k})p(x_{k}|y_{0},\dots ,y_{k})dx_{k}\approx \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}f(x_{k}^{(i)}).}$

有限のサンプル集合の場合、アルゴリズムのパフォーマンスは提案分布の選択に依存する。

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})\,}$。

「最適な」提案分布は目標分布として与えられる

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})={\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}~p(x_{k}|x_{k-1}).}$

この特定の提案遷移の選択は、1996年と1998年にP.デルモラルによって提案された。^[4]分布に従って遷移をサンプリングすることが難しい場合、 1つの自然な戦略は次の粒子近似を使用することである。 ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}&\simeq _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})}}{\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|X_{k}^{i}(x_{k-1}))}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|X_{k}^{j}(x_{k-1}))}}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})\end{aligned}}}$

経験的近似値

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})~\simeq _{N\uparrow \infty }p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}$

与えられたランダム状態の条件付き分布に従うN個（または任意の多数のサンプル）の独立したランダムサンプルに関連付けられた。この近似から得られる粒子フィルタの整合性とその他の拡張は^[4]で展開されている。上記の表示は、与えられた状態aにおけるディラック測度を表す。 ${\displaystyle X_{k}^{i}(x_{k-1}),i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}=x_{k-1}}$ ${\displaystyle \delta _{a}}$

ただし、遷移事前確率分布は、粒子（またはサンプル）を描画してその後の重要度重み計算を実行する方が簡単なため、重要度関数としてよく使用されます。

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1}).}$

遷移事前確率分布を重要度関数として使用する SIR ( Sequential Importance Resampling ) フィルターは、一般にブートストラップ フィルターおよび凝縮アルゴリズムとして知られています。

再サンプリングは、アルゴリズムの退化の問題を回避するために用いられます。つまり、重要度の重みの1つを除いてすべてがゼロに近づく状況を回避するためです。アルゴリズムの性能は、適切な再サンプリング方法の選択によっても影響を受けます。Kitagawa (1993 ^{[35] ) が提案した}層別サンプリングは、分散の観点から最適です。

順次重要度再サンプリングの 1 つのステップは次のとおりです。

1)提案分布からの抽出サンプル ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle x_{k}^{(i)}\sim \pi (x_{k}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}$

2)重要度の重みを正規化定数まで更新します。 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}{\frac {p(y_{k}|x_{k}^{(i)})p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})}{\pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}}.}$

遷移事前確率分布を重要度関数として使用する場合、

${\displaystyle \pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})=p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)}),}$

これを簡略化すると次のようになります。

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}p(y_{k}|x_{k}^{(i)}),}$

3)正規化された重要度の重みを計算するには、 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle w_{k}^{(i)}={\frac {{\hat {w}}_{k}^{(i)}}{\sum _{j=1}^{N}{\hat {w}}_{k}^{(j)}}}}$

4) 有効粒子数の推定値を計算する。

${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}\left(w_{k}^{(i)}\right)^{2}}}}$

この基準は重みの分散を反映しています。その他の基準については、厳密な分析や中心極限定理など、論文^{[6]に記載されています。}

5) 有効な粒子数が指定された閾値より少ない場合は、再サンプリングを実行します。 ${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}<N_{thr}}$

a)現在の粒子集合から、重みに比例した確率でN個の粒子を取り出し、現在の粒子集合をこの新しい粒子集合に置き換えます。

b)セットの場合 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle w_{k}^{(i)}=1/N.}$

SIRフィルタを指す際に「サンプリング・インポータンス・リサンプリング」という用語も使用されることがあるが、 「リサンプリング」という言葉は最初のサンプリングがすでに行われていることを意味するため、「インポータンス・リサンプリング」という用語の方が正確である。^[72]

順次重要度サンプリング（SIS）

シーケンシャル・インポータンス・サンプリング（SIS）はSIRアルゴリズムと同じですが、リサンプリング段階がありません。このバージョンでは、粒子重みの崩壊（すべての確率が1つまたは2つの粒子に集中し、残りの粒子重みは非常に小さな確率に対応する）がしばしば発生します。リサンプリングの導入により、この問題は軽減されます。

「直接版」アルゴリズム

「直接版」アルゴリズム^[要出典]は（他の粒子フィルタリングアルゴリズムと比較して）かなり単純で、合成と除去を用いています。kにおける単一のサンプルxを生成するには、次のようにします。 ${\displaystyle p_{x_{k}|y_{1:k}}(x|y_{1:k})}$

1) n = 0を設定します（これにより、これまでに生成された粒子の数をカウントします）

2)範囲からインデックスiを一様に選択する ${\displaystyle \{1,...,N\}}$

3)分布からテストを生成する ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k-1}=x_{k-1|k-1}^{(i)}}$

4)測定値がどこから使用されるかの確率を生成する ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k}),~{\mbox{with}}~x_{k}={\hat {x}}}$ ${\displaystyle y_{k}}$

5) もう一つの均一なuを生成する。 ${\displaystyle [0,m_{k}]}$ ${\displaystyle m_{k}=\sup _{x_{k}}p(y_{k}|x_{k})}$

6) uと ${\displaystyle p\left({\hat {y}}\right)}$

6a) uが大きい場合は手順2から繰り返します

6b) uが小さい場合は名前を付けて保存し、nを増分する ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x_{k|k}^{(i)}}$

7) n == Nの場合は終了する

目標は、からの粒子のみを用いて、kに P 個の「粒子」を生成することです。そのためには、のみに基づいてを生成するマルコフ方程式を記述（および計算）できる必要があります。このアルゴリズムは、 からの P 個の粒子の合成を用いてkに粒子を生成し、 kに P 個の粒子が生成されるまで（手順 2～6）を繰り返します。 ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

x を2次元配列として見ると、より容易に視覚化できます。1次元目はkで、もう1次元目は粒子番号です。例えば、は における i^番目の粒子であり、 と書くこともできます（上記のアルゴリズムで行ったように）。ステップ3では、時刻 におけるランダムに選択された粒子 ( ) に基づいてポテンシャルを生成し、ステップ6でそれを棄却または承認します。つまり、値は以前に生成された を用いて生成されます。 ${\displaystyle x(k,i)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}^{(i)}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}^{(i)}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}}$

アプリケーション

粒子フィルタとファインマン-カック粒子法は、次のようなノイズの多い観測や強い非線形性に対処するための効果的な手段として、さまざまな状況で応用されています。

• ベイズ推論、機械学習、リスク分析、稀少事象サンプリング
• バイオインフォマティクス^[19]
• 計算科学
• 経済学、金融数学、数理ファイナンス：粒子フィルタは、マクロ経済学やオプション価格設定における動的確率一般均衡モデルなどの問題に関連する高次元および/または複雑な積分を計算するために必要なシミュレーションを実行できます^[73]
• エンジニアリング
• 感染症疫学では、季節性インフルエンザの流行予測など、多くの流行予測問題に適用されている^[74]
• 障害検出と分離：オブザーバーベースのスキーマでは、粒子フィルタは予想されるセンサー出力を予測し、障害の分離を可能にする^{[75] [76] [77]}
• 分子化学と計算物理学
• 薬物動態学^[78]
• 系統学
• ロボット工学、人工知能：モンテカルロ法は移動ロボットの位置推定における事実上の標準である^{[79] [80] [81]}
• 信号および画像処理：視覚的位置特定、追跡、特徴認識^[82]

その他の粒子フィルター

• 補助粒子フィルター^[83]
• コスト参照粒子フィルター
• 指数関数的自然粒子フィルタ^[84]
• ファインマン・カック法と平均場粒子法^{[2] [10] [5]}
• ガウス粒子フィルタ
• ガウス・エルミート粒子フィルター
• 階層的/スケーラブル粒子フィルタ^[85]
• ナッジ粒子フィルタ^[86]
• 粒子マルコフ連鎖モンテカルロ法については、擬似周辺メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズムを参照してください。
• ラオ・ブラックウェル粒子フィルタ^[53]
• 正規化補助粒子フィルタ^[87]
• 拒絶サンプリングに基づく最適粒子フィルタ^{[88] [89]}
• 無香料粒子フィルター
• オンライン粒子スムージング^[70]

参照

• アンサンブルカルマンフィルタ
• 一般化フィルタリング
• 遺伝的アルゴリズム
• 平均場粒子法
• モンテカルロ法による局所化
• 移動地平線の推定
• 再帰ベイズ推定

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外部リンク

• ファインマン・カックモデルと相互作用粒子アルゴリズム（別名粒子フィルタリング）粒子フィルタの理論的側面と応用領域の一覧
• ケンブリッジ大学のシーケンシャルモンテカルロ法（粒子フィルタリング）のホームページ
• ディーター・フォックスのMCLアニメーション
• Rob Hessのフリーソフトウェア
• SMCTC: C++でSMCアルゴリズムを実装するためのテンプレートクラス
• 粒子フィルタリングに関するJavaアプレット
• vSMC: ベクトル化逐次モンテカルロ
• 自動運転車における粒子フィルタの説明

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