Infinite matrices with Pascal's triangle as elements
行列論 と 組合せ論 において 、パスカル 行列（パスカルぎょう、Pascal Matrix）は、 二項係数を 要素とする 行列 （ 無限大 の場合もある） である。 パスカルの三角形 を行列形式で表現したものと言える。パスカル行列を実現する自然な方法は3つある。 下三角行列 、 上三角行列 、 対称行列 である。例えば、5×5行列は以下のようになる。
L 5 = ( 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 3 1 0 1 4 6 4 1 ) {\displaystyle L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,} U 5 = ( 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,} S 5 = ( 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 ) = L 5 × U 5 {\displaystyle S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}} パスカルの三角形を行列形式にする方法は他にもありますが、これらは簡単に無限に拡張できません。
意味 パスカル行列の非ゼロ要素は 二項係数 で与えられる。
L i j = ( i j ) = i ! j ! ( i − j ) ! , j ≤ i {\displaystyle L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(i-j)!}},j\leq i} U i j = ( j i ) = j ! i ! ( j − i ) ! , i ≤ j {\displaystyle U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(j-i)!}},i\leq j} S i j = ( i + j i ) = ( i + j j ) = ( i + j ) ! i ! j ! {\displaystyle S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}}
インデックス i 、 j は 0 から始まり、! は 階乗 を表します。
プロパティ これらの行列は S n = L n U n という良好な関係を持つ。このことから、3つの行列すべてが行列式 1を持つことが容易に分かる 。三角行列の行列式は対角要素の積に過ぎず、 L n と U n の 両方において対角要素はすべて1であるからである。言い換えれば、行列 S n 、 L n 、 U n は ユニモジュラ行列 であり、 L n と U n は トレース n を持つ 。
S n のトレース は次のように与えられる。
tr ( S n ) = ∑ i = 1 n [ 2 ( i − 1 ) ] ! [ ( i − 1 ) ! ] 2 = ∑ k = 0 n − 1 ( 2 k ) ! ( k ! ) 2 {\displaystyle {\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}} 最初のいくつかの項は、1、3、9、29、99、351、1275、... というシーケンスで与えられます ( OEIS のシーケンス A006134 )。
工事 パスカル行列は、実際には、特殊な下対角 行列または 上対角 行列の 行列指数 をとることで構築できます 。以下の例では7×7のパスカル行列を構築していますが、この方法は任意の n × nの パスカル行列にも適用できます。以下の行列内の点は、ゼロ要素を表します。
L 7 = exp ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . ] ) = [ 1 . . . . . . 1 1 . . . . . 1 2 1 . . . . 1 3 3 1 . . . 1 4 6 4 1 . . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 ] ; U 7 = exp ( [ 1 . 1 . . . . . 1 . . 2 . . . . 1 . . . 3 . . . 1 . . . . 4 . . 1 . . . . . 5 . 1 . . . . . . 6 1 . . . . . . . ] ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 4 5 6 . . 1 3 6 10 15 . . . 1 4 10 20 . . . . 1 5 15 . . . . . 1 6 . . . . . . 1 ] ; ∴ S 7 = exp ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . ] ) exp ( [ i . 1 . . . . . i . . 2 . . . . i . . . 3 . . . i . . . . 4 . . i . . . . . 5 . i . . . . . . 6 i . . . . . . . ] ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 462 1 7 28 84 210 462 924 ] . {\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}} n × n 行列 A と B に対して、 単純に exp( A ) exp( B ) = exp( A + B ) と仮定することはできません。この等式は、 AB = BA （つまり、行列 A と Bが 可換な 場合）の場合にのみ成立します。上記のような対称パスカル行列の構築では、下対角行列と上対角行列は可換ではないため、（おそらく）魅力的な行列の加算を伴う単純化を行うことはできません。
構築に使用されるサブ対角行列とスーパー対角行列の便利な特性は、両方とも べき乗で あることです。つまり、十分に大きな 整数乗すると、 ゼロ行列 に退化します 。（ 詳細については、 シフト行列を参照してください。）使用している n × n の一般化シフト行列は n 乗するとゼロになるため、行列の指数を計算するときは、正確な結果を得るために 無限 級数の最初の n + 1 項のみを考慮すれば済みます 。
変種 行列対数 PL 7 を明らかに変更し、次に行列指数を適用することで、興味深い変種を得ることができます。
以下の最初の例では、対数行列の値の2乗を使用して、7×7の「ラゲール」行列（または ラゲール多項式の係数の行列）を構築します。
L A G 7 = exp ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 4 . . . . . . . 9 . . . . . . . 16 . . . . . . . 25 . . . . . . . 36 . ] ) = [ 1 . . . . . . 1 1 . . . . . 2 4 1 . . . . 6 18 9 1 . . . 24 96 72 16 1 . . 120 600 600 200 25 1 . 720 4320 5400 2400 450 36 1 ] ; {\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}} ラゲール行列は、実際には他のスケーリングや符号交替方式と組み合わせて用いられます。（高次数への一般化に関する文献はまだ見つかっていません）
以下の2番目の例では、対数行列の値の 積 v （ v + 1）を使用して、7×7の「Lah」行列（または Lah数 の係数の行列）
を構築します。
L A H 7 = exp ( [ . . . . . . . 2 . . . . . . . 6 . . . . . . . 12 . . . . . . . 20 . . . . . . . 30 . . . . . . . 42 . ] ) = [ 1 . . . . . . . 2 1 . . . . . . 6 6 1 . . . . . 24 36 12 1 . . . . 120 240 120 20 1 . . . 720 1800 1200 300 30 1 . . 5040 15120 12600 4200 630 42 1 . 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1 ] ; {\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}} 代わりにv ( v − 1)を使用すると、 右下への対角シフトが実現されます。
以下の3番目の例では、元のPL 7 行列の平方を 2で割ったもの、つまり、2番目の対角要素の1次二項式（二項式（ k 、2））を使用して、ガウス 誤差関数の 微分 と 積分の コンテキストで発生する行列を構築します 。
G S 7 = exp ( [ . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . 3 . . . . . . . 6 . . . . . . . 10 . . . . . . . 15 . . ] ) = [ 1 . . . . . . . 1 . . . . . 1 . 1 . . . . . 3 . 1 . . . 3 . 6 . 1 . . . 15 . 10 . 1 . 15 . 45 . 15 . 1 ] ; {\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}} この行列を 反転させる と（例えば、負の対数行列を用いて）、この行列は符号が交互に変化し、ガウスの誤差関数の微分係数（さらには積分係数）を与えます。（より大きなべき乗への一般化に関する文献はまだ見つかっていません。）
元の行列を負の値 に拡張することで、別の変形を取得できます 。
exp ( [ . . . . . . . . . . . . − 5 . . . . . . . . . . . . − 4 . . . . . . . . . . . . − 3 . . . . . . . . . . . . − 2 . . . . . . . . . . . . − 1 . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . 5 . ] ) = [ 1 . . . . . . . . . . . − 5 1 . . . . . . . . . . 10 − 4 1 . . . . . . . . . − 10 6 − 3 1 . . . . . . . . 5 − 4 3 − 2 1 . . . . . . . − 1 1 − 1 1 − 1 1 . . . . . . . . . . . 0 1 . . . . . . . . . . . 1 1 . . . . . . . . . . 1 2 1 . . . . . . . . . 1 3 3 1 . . . . . . . . 1 4 6 4 1 . . . . . . . 1 5 10 10 5 1 ] . {\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}
参照
参考文献
Call, GS; Velleman, DJ (1993年4月)、「パスカルの行列」、 アメリカ数学月刊誌 、 100 (4): 372–6 、 doi :10.1080/00029890.1993.11990415、 JSTOR 2324960 エデルマン、アラン; ストラング、ギルバート (2004年3月)、「パスカル行列」、 アメリカ数学月刊誌 、 111 (3): 361– 385、 doi :10.1080/00029890.2004.11920065、 JSTOR 4145127 エンドル、K. (1956)。 「超多項式システムとヘルミテッシェン多項式システムの管理システム」。 数学的ツァイシュリフト 。 65 (1): 7–15 . 土井 :10.1007/BF01473866。
外部リンク G.ヘルムズパスカル行列は、数論的行列に関する事実の集積プロジェクトにおいて、 G. ヘルムズガウス行列 ワイスタイン、エリック W. ガウス関数 ワイスタイン、エリック W. エルフ関数 ワイススタイン、エリック・W.「エルミート多項式」エルミート多項式 OEIS シーケンスA066325（ユニタリエルミート多項式Hen(x)の係数）（ガウス行列に関連）。
![{\displaystyle {\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807ef023bf273f4d6285d938df8948ab45df0332)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right )=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\したがって &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045770725c1da8f518f4ce851e764ea0e35d76d5)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\ begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ba5c1436107e3df27418ec52690307031066f)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&. \\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f5fa329b5cef35f151bd8d7a04c7021bbe48ba)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right t)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1258220d051b41ff146243babe85ae98c066b71d)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&..\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.&.\ \.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\lef t[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&. &.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc8c5d05a829836beceb789cb8275b2c86b5c2f)
