浸透閾値

Threshold of percolation theory models

パーコレーション閾値はパーコレーション理論における数学的概念であり、ランダムシステムにおける長距離接続の形成を記述する。閾値以下では巨大な接続成分は存在しないが、閾値を超えるとシステムサイズ程度の巨大な成分が存在する。工学やコーヒーの淹れ方において、パーコレーションは多孔質媒体を通る流体の流れを表すが、数学や物理学の世界では一般にランダムシステムまたはネットワーク（グラフ）の簡略化された格子モデルと、それらの接続の性質を指す。パーコレーション閾値は占有確率pの臨界値、またはより一般的には、無限の接続性（パーコレーション）が初めて発生するパラメータ群p ₁、p ₂ 、… の臨界面である。^[1]

パーコレーションモデル

最も一般的なパーコレーションモデルは、正方格子などの規則的な格子を取り、統計的に独立した確率pでサイト（頂点）または結合（エッジ）をランダムに「占有」することで、ランダムネットワークを構築するというものです。臨界閾値p _cでは、大規模なクラスターと長距離接続が初めて現れ、これをパーコレーション閾値と呼びます。ランダムネットワークを得る方法に応じて、サイトパーコレーション閾値と結合パーコレーション閾値を区別します。より一般的なシステムには、複数の確率p ₁、p ₂などがあり、遷移は臨界面または多様体によって特徴付けられます。また、重なり合うディスクや球をランダムに配置した連続体システムや、負の空間（スイスチーズモデル）を考慮することもできます。

閾値を理解するために、占有されたサイトまたは結合に沿って、つまり単一のクラスター内で、ある境界から別の境界への連続的な経路が存在する確率などの量について考えることができます。たとえば、正方システムを考え、上部境界から下部境界への経路が存在する確率Pを求めることができます。占有確率pの関数として、 p =0 での P= 0 から p=1 での P=1 まで変化するシグモイド プロットが見つかります。格子間隔と比較して正方形が大きいほど、遷移は急峻になります。システムのサイズが無限大になると、閾値 p c でP ( p )はステップ関数になります。_有限の大規模システムの場合、P(p _c )は定数であり、その値はシステムの形状によって異なります。上で説明した正方システムでは、単純な対称性の議論により、どの格子に対してもP(p _c )= 1 ⁄ 2となります。

臨界閾値を示す他の兆候も存在します。例えば、サイズ分布（サイズsのクラスター数）は、大きなsに対して閾値n _s (p _c ) ~ s ^−τでべき乗則に従って減少します。ここで、τ は次元依存のパーコレーション臨界指数です。無限系の場合、臨界閾値は、クラスターのサイズが無限大になる最初の点（p の増加に伴って）に対応します。

これまで説明してきたシステムでは、サイトまたは結合の占有は完全にランダムであると仮定してきました。これはいわゆるベルヌーイパーコレーションです。連続体システムの場合、ランダム占有はポアソン過程によって配置される点に対応します。さらなるバリエーションには、結合がフォーチュイン–カステライン法によって配置される、強磁性体のイジングモデルやポッツモデルに関連するパーコレーションクラスターなどの相関パーコレーションが含まれます。 ^[2]ブートストラップパーコレーションまたはk-satパーコレーションでは、サイトや結合が最初に占有され、次にサイトに少なくともk個の隣接サイトがない場合にシステムから順次除去されます。まったく異なる普遍性クラスにおけるもう1つの重要なパーコレーションモデルは、有向パーコレーションです。これは、結合に沿った接続性がフローの方向に依存します。最近注目されているもう1つのバリエーションは爆発的パーコレーションで、その閾値はそのページにリストされています。

過去数十年にわたり、様々な系におけるパーコレーション閾値の正確な値と近似値を見つけるための膨大な研究が行われてきました。正確な閾値が知られているのは、自己双対配列に分解可能な特定の2次元格子の場合のみであり、このような格子は三角形-三角形変換を施しても系は変化しません。数値解析を用いた研究は、アルゴリズムの数多くの改良といくつかの理論的発見につながっています。

2 次元における単純な双対性は、すべての完全に三角形に分割された格子 (三角形、ユニオン ジャック、クロス デュアル、マティーニ デュアルとアサノハまたは 3-12 デュアル、およびドロネー三角形分割) のサイトしきい値がすべて1 ⁄ 2であり、自己双対格子 (正方形、マティーニ B) の結合しきい値が1 ⁄ 2であることを意味します。

^{(4,8 2} )のような表記はグリュンバウムとシェパード[ ^3]に由来し、与えられた頂点の周りを時計回りに進んでいくと、まず正方形、次に2つの八角形に出会うことを示しています。すべてのサイトが等価な正多角形で構成される11個のアルキメデス格子に加えて、異なるクラスのサイトを持つより複雑な格子も数多く研究されてきました。

最後の桁のエラーバーは括弧内の数字で示されます。例えば、0.729724(3) は 0.729724 ± 0.000003 を意味し、0.74042195(80) は 0.74042195 ± 0.00000080 を意味します。エラーバーは、情報源に応じて、正味誤差（統計誤差および期待される系統誤差を含む）の1標準偏差または2標準偏差、あるいは経験的信頼区間を表します。

ネットワーク上のパーコレーション

次数相関のないランダムツリー型 ネットワーク（つまり、サイクルのない連結ネットワーク）の場合、そのようなネットワークは巨大な成分を持つことができ、パーコレーション閾値（伝達確率）は次のように与えられる ことが示される。

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}={\frac {\langle k\rangle }{\langle k^{2}\rangle -\langle k\rangle }}}$。

ここで、 は過剰次数分布に対応する生成関数、はネットワークの平均次数、は次数分布の2次モーメントです。例えば、ERネットワークの場合、次数分布 はポアソン分布であるため、閾値は となります。 ${\displaystyle g_{1}(z)}$ ${\displaystyle {\langle k\rangle }}$ ${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }}$ ${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle =\langle k\rangle ^{2}+\langle k\rangle },}$ ${\displaystyle p_{c}={\langle k\rangle }^{-1}}$

クラスタリングが低いネットワークでは、臨界点は次のようにスケーリングされます。^[4] ${\displaystyle 0<C\ll 1}$ ${\displaystyle (1-C)^{-1}}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.}$

これは、与えられた次数分布において、クラスタリングがより大きなパーコレーション閾値をもたらすことを示している。これは主に、リンク数が一定である場合、クラスタリング構造はネットワークのコアを強化するが、その代償としてグローバルな接続を希薄化するからである。クラスタリングの高いネットワークでは、強いクラスタリングによってコア-周辺構造が生じる可能性があり、その場合、コアと周辺は異なる臨界点でパーコレーションする可能性があり、上記の近似的な扱いは適用できない。^[5]

2Dでのパーコレーション

アルキメデス格子の閾値

これは11個のアルキメデス格子、または均一タイリングの図^[6]です。これらの格子では、すべての多角形が正多角形で、各頂点は同じ多角形の列に囲まれています。例えば、「(3 ⁴ , 6)」という表記は、すべての頂点が4つの三角形と1つの六角形に囲まれていることを意味します。これらの格子に付けられた一般的な名前のいくつかを下の表に示します。

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
3-12またはスーパーカゴメ、（3、12 2）	3	3	0.807900764... = (1 − 2 sin ( π /18)) 1 ⁄ 2 [7]	0.74042195(80), [8] 0.74042077(2), [9] 0.740420800(2), [10] 0.7404207988509(8), [11] [12] 0.740420798850811610(2), [13]
十字、切頂三角形（4、6、12）	3	3	0.746, [14] 0.750, [15] 0.747806(4), [7] 0.7478008(2) [11]	0.6937314(1), [11] 0.69373383(72), [8] 0.693733124922(2) [13]
正方形八角形、バスルームタイル、4-8、切頂正方形 （4、8 2）	3	-	0.729、[14] 0.729724(3), [7] 0.7297232(5) [11]	0.6768, [16] 0.67680232(63), [8] 0.6768031269(6), [11] 0.6768031243900113(3), [13]
ハニカム (6 3 )	3	3	0.6962(6), [17] 0.697040230(5), [11] 0.6970402(1), [18] 0.6970413(10), [19] 0.697043(3), [7]	0.652703645... = 1-2 sin (π/18)、1+ p 3 -3 p 2 =0 [20]
かごめ（3, 6, 3, 6）	4	4	0.652703645... = 1 − 2 sin( π /18) [20]	0.5244053(3), [21] 0.52440516(10), [19] 0.52440499(2), [18] 0.524404978(5), [9] 0.52440572..., [22] 0.52440500(1), [10] 0.524404999173(3), [11] [12] 0.524404999167439(4) [23] 0.52440499916744820(1) [13]
ルビー、[24] 菱形三六角形（3, 4, 6, 4）	4	4	0.620, [14] 0.621819(3), [7] 0.62181207(7) [11]	0.52483258(53), [8] 0.5248311(1), [11] 0.524831461573(1) [13]
正方形 (4 4 )	4	4	0.59274(10), [25] 0.59274605079210(2), [23] 0.59274601(2), [11] 0.59274605095(15), [26] 0.59274621(13), [27] 0.592746050786(3), [28] 0.59274621(33), [29] 0.59274598(4), [30] [31] 0.59274605(3), [18] 0.593(1), [32] 0.591(1), [33] 0.569(13), [34] 0.59274(5) [35]	1 ⁄ 2
六角形のスナブ、カエデの葉[36] (3 4 ,6)	5	5	0.579 [15] 0.579498(3) [7]	0.43430621(50), [8] 0.43432764(3), [11] 0.4343283172240(6), [13]
スナブスクエア、パズル（3 2、4、3、4）	5	5	0.550, [14] [37] 0.550806(3) [7]	0.41413743(46), [8] 0.4141378476(7), [11] 0.4141378565917(1), [13]
フリーズ、細長い三角形（3 3、4 2）	5	5	0.549、[14] 0.550213(3), [7] 0.5502(8) [38]	0.4196(6), [38] 0.41964191(43), [8] 0.41964044(1), [11] 0.41964035886369(2) [13]
三角形 (3 6 )	6	6	1 ⁄ 2	0.347296355... = 2 sin ( π /18)、1 + p 3 − 3 p = 0 [20]

注: ハニカムの代わりに「六角形」が使用されることもありますが、文脈によっては三角格子が六角形格子と呼ばれることもあります。z =バルク 配位数。

拡張された複雑な近傍を持つ2次元格子

この節では、sq-1,2,3は正方形(NN+2NN+3NN)に対応します。^[39]など。square-2N+3N+4N、^[40] sq(1,2,3)に相当します。^[41] tri = 三角形、hc = ハニカム。

格子	z	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
平方1、平方2、平方3、平方5	4	0.5927... [39] [40]（正方形のサイト）
sq-1,2、sq-2,3、sq-3,5... 3x3の正方形	8	0.407... [39] [40] [42]（正方形マッチング）	0.25036834(6), [18] 0.2503685, [43] 0.25036840(4) [44]
平方1,3	8	0.337 [39] [40]	0.2214995 [43]
sq-2,5: 2NN+5NN	8	0.337 [40]
hc-1,2,3: ハニカムNN+2NN+3NN	12	0.300, [41] 0.300, [15] 0.302960... = 1-p c (サイト, hc) [45]
tri-1,2: 三角形-NN+2NN	12	0.295, [41] 0.289, [15] 0.290258(19) [46]
tri-2,3: 三角形-2NN+3NN	12	0.232020(36), [47] 0.232020(20) [46]
スクエア4: スクエア4NN	8	0.270... [40]
sq-1,5: 平方NN+5NN (r ≤ 2)	8	0.277 [40]
sq-1,2,3: スクエアNN+2NN+3NN	12	0.292, [48] 0.290(5) [49] 0.289, [15] 0.288, [39] [40] 0.2891226(14) [50]	0.1522203 [43]
sq-2,3,5: square-2NN+3NN+5NN	12	0.288 [40]
sq-1,4: 正方形-NN+4NN	12	0.236 [40]
sq-2,4: 正方形-2NN+4NN	12	0.225 [40]
tri-4: 三角形-4NN	12	0.192450(36), [47] 0.1924428(50) [46]
hc-2,4: ハニカム-2NN+4NN	12	0.2374 [51]
tri-1,3: 三角形-NN+3NN	12	0.264539(21) [46]
tri-1,2,3: 三角-NN+2NN+3NN	18	0.225, [48] 0.215, [15] 0.215459(36) [47] 0.2154657(17) [46]
sq-3,4: 3NN+4NN	12	0.221 [40]
平方1,2,5: NN+2NN+5NN	12	0.240 [40]	0.13805374 [43]
平方-1,3,5: NN+3NN+5NN	12	0.233 [40]
sq-4,5: 4NN+5NN	12	0.199 [40]
平方1,2,4: NN+2NN+4NN	16	0.219 [40]
平方1,3,4: NN+3NN+4NN	16	0.208 [40]
平方2,3,4: 2NN+3NN+4NN	16	0.202 [40]
平方1,4,5: NN+4NN+5NN	16	0.187 [40]
平方2,4,5: 2NN+4NN+5NN	16	0.182 [40]
スクエア3,4,5: 3NN+4NN+5NN	16	0.179 [40]
sq-1,2,3,5 アスタリスクパターン	16	0.208 [40]	0.1032177 [43]
トライ4,5: 4NN+5NN	18	0.140250(36), [47]
平方1,2,3,4: NN+2NN+3NN+4NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {5}}}$	20	0.19671(9), [52] 0.196, [40] 0.196724(10), [53] 0.1967293(7) [50]	0.0841509 [43]
平方1,2,4,5: NN+2NN+4NN+5NN	20	0.177 [40]
平方1,3,4,5: NN+3NN+4NN+5NN	20	0.172 [40]
平方2,3,4,5: 2NN+3NN+4NN+5NN	20	0.167 [40]
sq-1,2,3,5,6 アスタリスクパターン	20		0.0783110 [43]
sq-1,2,3,4,5: NN+2NN+3NN+4NN+5NN ( 、5 x 5 の正方形内) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {8}}}$	24	0.164、[15] 0.164、[40] 0.1647124(6) [50]
sq-1,2,3,4,6: NN+2NN+3NN+4NN+6NN (ダイヤモンド) ${\displaystyle r\leq 3}$	24	0.16134, [54]
トリ1,4,5: NN+4NN+5NN	24	0.131660(36) [47]
sq-1,...,6: NN+...+6NN (r≤3)	28	0.142、[15] 0.1432551(9) [50]	0.0558493 [43]
トリ2,3,4,5: 2NN+3NN+4NN+5NN	30	0.117460(36) [47] 0.135823(27) [46]
トライ-1、2、3、4、5: NN+2NN+3NN+4NN+5NN	36	0.115、[15] 0.115740(36)、[47] 0.1157399(58) [46]
平方-1,...,7: NN+...+7NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {10}}}$	36	0.113、[15] 0.1153481(9) [50]	0.04169608 [43]
平方緯度、ダイヤモンド境界：距離≤4	40	0.105(5) [49]
平方-1,...,8: NN+..+8NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {13}}}$	44	0.095、[37] 0.095765(5)、[53] 0.09580(2)、[52] 0.0957661(9) [50]
sq-1,...,9: NN+..+9NN (r≤4)	48	0.086 [15]	0.02974268 [43]
平方1,...,11: NN+...+11NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {18}}}$	60		0.02301190(3) [43]
平方-1,...,23 (r ≤ 7)	148		0.008342595 [44]
平方-1,...,32: NN+...+32NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {72}}}$	224		0.0053050415(33) [43]
sq-1,...,86: NN+...+86NN (r≤15)	708		0.001557644(4) [55]
平方1,...,141: NN+...+141NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {389}}}$	1224		0.000880188(90) [43]
sq-1,...,185: NN+...+185NN (r≤23)	1652		0.000645458(4) [55]
sq-1,...,317: NN+...+317NN (r≤31)	3000		0.000349601(3) [55]
平方1,...,413: NN+...+413NN ( ) ${\displaystyle r\leq {\sqrt {1280}}}$	4016		0.0002594722(11) [43]
平方緯度、ダイヤモンド境界：距離≤6	84	0.049(5) [49]
平方緯度、ダイヤモンド境界：距離≤8	144	0.028(5) [49]
平方緯度、ダイヤモンド境界：距離≤10	220	0.019(5) [49]
2x2の接する格子正方形*（sq-1、2、3、4と同じ）	20	φ c = 0.58365(2)、[53] p c = 0.196724(10)、[53] 0.19671(9)、[52]
3x3の接する格子正方形*（sq-1,...,8と同じ）	44	φ c = 0.59586(2)、[53] p c = 0.095765(5)、[53] 0.09580(2) [52]
4x4の接する格子状の正方形*	76	φ c = 0.60648(1)、[53] p c = 0.0566227(15)、[53] 0.05665(3)、[52]
5x5の接する格子状の正方形*	116	φ c = 0.61467(2)、[53] p c = 0.037428(2)、[53] 0.03745(2)、[52]
6x6の接する格子状の正方形*	220	p c = 0.02663(1)、[52]
10x10の接する格子状の正方形*	436	φ c = 0.63609(2)、[53] p c = 0.0100576(5) [53]
11 x 11の正方形内（r=5）	120		0.01048079(6) [55]
15 x 15の正方形内（r=7）	224		0.005287692(22) [55]
20x20の接する格子状の正方形*	1676	φ c = 0.65006(2)、[53] p c = 0.0026215(3) [53]
31 x 31の正方形内（r=15）	960		0.001131082(5) [55]
100x100の接する格子状の正方形*	40396	φ c = 0.66318(2), [53] p c = 0.000108815(12) [53]
1000x1000の接する格子状の正方形*	4003996	φ c = 0.66639(1), [53] p c = 1.09778(6)E-06 [53]

ここでNN = 最近傍、2NN = 2番目に近い隣人（または次に最も近い隣人）、3NN = 3番目に近い隣人（またはさらに次の最も近い隣人）などです。これらは、いくつかの論文ではそれぞれ2N、3N、4Nと呼ばれることもあります。^[39]

• 重なり合ったり接触したりする正方形の場合、ここで与えられる（サイト）は、連続体パーコレーションにおける占有サイトの正味割合に類似しています。2×2正方形の場合、NN+2NN+3NN+4NNまたはsq-1,2,3,4の正方格子のパーコレーションに相当し、閾値は となります。[ ^53] 3×3正方形は、z =44、 の 場合のsq-1,2,3,4,5,6,7,8に相当します。k x k正方形の場合のzの値は(2 k +1) ² -5です。 ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle 1-(1-\phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)\ldots }$ ${\displaystyle \phi _{c}=0.58365(2)}$ ${\displaystyle p_{c}=1-(1-\phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)\ldots }$

2次元の歪んだ格子

ここでは、ボックス内で頂点を均一に移動することで単位間隔の規則的な格子を歪ませ、サイトが互いにユークリッド距離内にある場合の浸透を考慮します。 ${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha )}$ ${\displaystyle d}$

格子	${\displaystyle {\overline {z}}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle d}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
四角		0.2	1.1	0.8025(2) [56]
		0.2	1.2	0.6667(5) [56]
		0.1	1.1	0.6619(1) [56]

2D格子上の重なり合う形状

サイト閾値は、格子サイトあたりの重なり合うオブジェクトの数です。kは長さ（正味面積）です。重なり合う正方形は、複合体近傍セクションに表示されます。ここで、zはいずれかの方向のk量体に対する配位数であり、棒の場合はk量体です。 ${\displaystyle z=k^{2}+10k-2}$ ${\displaystyle 1\times k}$

システム	け	z	サイトカバレッジ φ c	サイト浸透閾値 p c
1 x 2 二量体、正方格子	2	22	0.54691 [52] 0.5483(2) [57]	0.17956(3) [52] 0.18019(9) [57]
1 x 2 整列二量体、正方格子	2	14(?)	0.5715(18) [57]	0.3454(13) [57]
1 x 3トリマー、正方格子	3	37	0.49898 [52] 0.50004(64) [57]	0.10880(2) [52] 0.1093(2) [57]
1 x 4 スティック、正方形格子	4	54	0.45761 [52]	0.07362(2) [52]
1 x 5 スティック、正方形格子	5	73	0.42241 [52]	0.05341(1) [52]
1 x 6 スティック、正方形格子	6	94	0.39219 [52]	0.04063(2) [52]

スティックによって特定のサイトと重複するサイトが存在するため、 カバレッジはスティックごとに計算されます 。 ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{2k}}$ ${\displaystyle 1\times k}$ ${\displaystyle 2k}$

整列したスティックの場合: ${\displaystyle 1\times k}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{k}}$

アルキメデス格子の閾値の近似式

格子	z	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
（3、12 2）	3
（4、6、12）	3
（4、8 2）	3		0.676835..., 4 p 3 + 3 p 4 − 6 p 5 − 2 p 6 = 1 [58]
ハニカム (6 3 )	3
かごめ（3, 6, 3, 6）	4		0.524430..., 3 p 2 + 6 p 3 − 12 p 4 + 6 p 5 − p 6 = 1 [59]
（3、4、6、4）	4
正方形 (4 4 )	4		1 ⁄ 2（正確）
（3 4,6）	5		0.434371..., 12 p 3 + 36 p 4 − 21 p 5 − 327 p 6 + 69 p 7 + 2532 p 8 − 6533 p 9 + 8256 p 10 − 6255 p 11 + 2951 p 12 − 837 p 13 + 126 p 14 − 7 p 15 = 1 [引用が必要]
スナブスクエア、パズル (3 2、 4 、 3 、 4 )	5
（3 3、4 2 ）	5
三角形 (3 6 )	6	1 ⁄ 2（正確）

2DにおけるABパーコレーションとカラーパーコレーション

ABパーコレーションでは、aはBサイトに対するAサイトの割合であり、反対種のサイト間に結合が描かれます。^[60]これは反パーコレーションとも呼ばれます。 ${\displaystyle p_{\mathrm {site} }}$

着色パーコレーションでは、占有サイトは等確率でいずれかの色に割り当てられ、異なる色の隣接サイト間の結合に沿って接続が行われます。^[61] ${\displaystyle n}$

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値
三角形AB	6	6	0.2145、[60] 0.21524(34), [62] 0.21564(3) [63]
正方被覆格子上のAB	6	6	${\displaystyle 1-{\sqrt {1-p_{c}(site,sq)}}=0.361835}$[64]
正方形の3色	4	4	0.80745(5) [61]
正方形の4色	4	4	0.73415(4) [61]
正方形の5色	4	4	0.69864(7) [61]
正方形6色	4	4	0.67751(5) [61]
三角形の2色	6	6	0.72890(4) [61]
三角形の3色	6	6	0.63005(4) [61]
三角形の4色	6	6	0.59092(3) [61]
三角形の五色	6	6	0.56991(5) [61]
三角形の6色	6	6	0.55679(5) [61]

2Dにおけるサイト結合パーコレーション

サイト結合パーコレーション。ここではサイト占有確率、は結合占有確率であり、経路上のサイトと結合の両方が占有されている場合にのみ接続が確立されます。臨界条件は曲線= 0 となり、いくつかの具体的な臨界ペアを以下に示します。 ${\displaystyle p_{s}}$ ${\displaystyle p_{b}}$ ${\displaystyle f(p_{s},p_{b})}$ ${\displaystyle (p_{s},p_{b})}$

正方格子：

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
四角	4	4	0.615185(15) [65]	0.95
			0.667280(15) [65]	0.85
			0.732100(15) [65]	0.75
			0.75	0.726195(15) [65]
			0.815560(15) [65]	0.65
			0.85	0.615810(30) [65]
			0.95	0.533620(15) [65]

ハニカム（六角形）格子：

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
ハニカム	3	3	0.7275(5) [66]	0.95
			0. 0.7610(5) [66]	0.90
			0.7986(5) [66]	0.85
			0.80	0.8481(5) [66]
			0.8401(5) [66]	0.80
			0.85	0.7890(5) [66]
			0.90	0.7377(5) [66]
			0.95	0.6926(5) [66]

カゴメ格子：

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
かごめ	4	4	0.6711(4), [66] 0.67097(3) [67]	0.95
			0.6914(5), [66] 0.69210(2) [67]	0.90
			0.7162(5), [66] 0.71626(3) [67]	0.85
			0.7428(5), [66] 0.74339(3) [67]	0.80
			0.75	0.7894(9) [66]
			0.7757(8), [66] 0.77556(3) [67]	0.75
			0.80	0.7152(7) [66]
			0.81206(3) [67]	0.70
			0.85	0.6556(6) [66]
			0.85519(3) [67]	0.65
			0.90	0.6046(5) [66]
			0.90546(3) [67]	0.60
			0.95	0.5615(4) [66]
			0.96604(4) [67]	0.55
			0.9854(3) [67]	0.53

* 異なる格子上の値については、「多くの格子上のサイトボンドパーコレーションの調査」を参照。^[66]

ハニカム格子上のサイトボンドパーコレーションの近似式

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	しきい値	注記
（6 3）ハニカム	3	3	${\displaystyle p_{b}p_{s}[1-({\sqrt {p_{bc}}}/(3-p_{bc}))({\sqrt {p_{b}}}-{\sqrt {p_{bc}}})]=p_{bc}}$等しい場合: p s = p b = 0.82199	近似式、p s = サイト確率、p b = 結合確率、p bc = 1 − 2 sin ( π /18 )、[19] p s =1、p b =p bcで正確。

アルキメデスの双対（ラーベス格子）

画像キャプションの例

ラーベス格子はアルキメデス格子の双対である。図は以下から。^[6]均一タイリング も参照。

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
カイロ五角形 D(3 2 ,4,3,4)=( 2 ⁄ 3 )(5 3 )+( 1 ⁄ 3 )(5 4 )	3,4	3 1 ⁄ 3	0.6501834(2), [11] 0.650184(5) [6]	0.585863... = 1 − p c結合(3 2 ,4,3,4)
五角形 D(3 3 ,4 2 )=( 1 ⁄ 3 )(5 4 )+( 2 ⁄ 3 )(5 3 )	3,4	3 1 ⁄ 3	0.6470471(2), [11] 0.647084(5), [6] 0.6471(6) [38]	0.580358... = 1 − p c結合(3 3 ,4 2 ), 0.5800(6) [38]
D(3 4 ,6)=( 1 ⁄ 5 )(4 6 )+( 4 ⁄ 5 )(4 3 )	3,6	3 3 ⁄ 5	0.639447 [6]	0.565694... = 1 − p c結合(3 4 ,6 )
サイコロ、菱形タイル D(3,6,3,6) = ( 1 ⁄ 3 )(4 6 ) + ( 2 ⁄ 3 )(4 3 )	3,6	4	0.5851(4), [68] 0.585040(5) [6]	0.475595... = 1 − p c結合(3,6,3,6 )
ルビーデュアル D(3,4,6,4) = ( 1 ⁄ 6 )(4 6 ) + ( 2 ⁄ 6 )(4 3 ) + ( 3 ⁄ 6 )(4 4 )	3,4,6	4	0.582410(5) [6]	0.475167... = 1 − p c結合(3,4,6,4 )
ユニオンジャック、テトラキススクエアタイル D(4,8 2 ) = ( 1 ⁄ 2 )(3 4 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3 8 )	4,8	6	1 ⁄ 2	0.323197... = 1 − p c結合(4,8 2 )
二等分六角形、[69]十字形 D(4,6,12)= ( 1 ⁄ 6 )(3 12 )+( 2 ⁄ 6 )(3 6 )+( 1 ⁄ 2 )(3 4 )	4,6,12	6	1 ⁄ 2	0.306266... = 1 − p c結合(4,6,12)
麻の葉[70] D(3, 12 2 )=( 2 ⁄ 3 )(3 3 )+( 1 ⁄ 3 )(3 12 )	3,12	6	1 ⁄ 2	0.259579... = 1 − p c結合(3, 12 2 )

2-均一格子

上位3つの格子: #13 #12 #36
下位3つの格子: #34 #37 #11

20 2つの均一格子

^[3]

上の2つの格子: #35 #30
下の2つの格子: #41 #42

20 2つの均一格子

^[3]

上位4つの格子: #22 #23 #21 #20
下位3つの格子: #16 #17 #15

20 2つの均一格子

^[3]

上の2つの格子: #31 #32
下の格子: #33

20 2つの均一格子

^[3]

#	格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
41	( 1 ⁄ 2 )(3, 4, 3, 12) + ( 1 ⁄ 2 )(3, 12 2 )	4,3	3.5	0.7680(2) [71]	0.67493252(36) [要出典]
42	( 1 ⁄ 3 )(3,4,6,4) + ( 2 ⁄ 3 )(4,6,12)	4,3	3 1 ⁄ 3	0.7157(2) [71]	0.64536587(40) [引用が必要]
36	( 1 ⁄ 7 )(3 6 ) + ( 6 ⁄ 7 )(3 2 ,4,12)	6,4	4 2 ⁄ 7	0.6808(2) [71]	0.55778329(40) [引用が必要]
15	( 2 ⁄ 3 )(3 2 ,6 2 ) + ( 1 ⁄ 3 )(3,6,3,6)	4,4	4	0.6499(2) [71]	0.53632487(40) [引用が必要]
34	( 1 ⁄ 7 )(3 6 ) + ( 6 ⁄ 7 )(3 2 ,6 2 )	6,4	4 2 ⁄ 7	0.6329(2) [71]	0.51707873(70) [要出典]
16	( 4 ⁄ 5 )(3,4 2 ,6) + ( 1 ⁄ 5 )(3,6,3,6)	4,4	4	0.6286(2) [71]	0.51891529(35) [引用が必要]
17	( 4 ⁄ 5 )(3,4 2 ,6) + ( 1 ⁄ 5 )(3,6,3,6)*	4,4	4	0.6279(2) [71]	0.51769462(35) [引用が必要]
35	( 2 ⁄ 3 )(3,4 2 ,6) + ( 1 ⁄ 3 )(3,4,6,4)	4,4	4	0.6221(2) [71]	0.51973831(40) [要出典]
11	( 1 ⁄ 2 )(3 4 ,6) + ( 1 ⁄ 2 )(3 2 ,6 2 )	5,4	4.5	0.6171(2) [71]	0.48921280(37) [要出典]
37	( 1 ⁄ 2 )(3 3 ,4 2 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,6,4)	5,4	4.5	0.5885(2) [71]	0.47229486(38) [引用が必要]
30	( 1 ⁄ 2 )(3 2 ,4,3,4) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,6,4)	5,4	4.5	0.5883(2) [71]	0.46573078(72) [要出典]
23	( 1 ⁄ 2 )(3 3 ,4 2 ) + ( 1 ⁄ 2 )(4 4 )	5,4	4.5	0.5720(2) [71]	0.45844622(40) [引用が必要]
22	( 2 ⁄ 3 )(3 3 ,4 2 ) + ( 1 ⁄ 3 )(4 4 )	5,4	4 2 ⁄ 3	0.5648(2) [71]	0.44528611(40) [要出典]
12	( 1 ⁄ 4 )(3 6 ) + ( 3 ⁄ 4 )(3 4 ,6)	6.5	5 1⁄4​​	0.5607(2) [71]	0.41109890(37) [要出典]
33	( 1 ⁄ 2 )(3 3 ,4 2 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3 2 ,4,3,4)	5.5	5	0.5505(2) [71]	0.41628021(35) [引用が必要]
32	( 1 ⁄ 3 )(3 3 ,4 2 ) + ( 2 ⁄ 3 )(3 2 ,4,3,4)	5.5	5	0.5504(2) [71]	0.41549285(36) [要出典]
31	( 1 ⁄ 7 )(3 6 ) + ( 6 ⁄ 7 )(3 2 ,4,3,4)	6.5	5 1 ⁄ 7	0.5440(2) [71]	0.40379585(40) [要出典]
13	( 1 ⁄ 2 )(3 6 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3 4 ,6)	6.5	5.5	0.5407(2) [71]	0.38914898(35) [要出典]
21	( 1 ⁄ 3 )(3 6 ) + ( 2 ⁄ 3 )(3 3 ,4 2 )	6.5	5 1 ⁄ 3	0.5342(2) [71]	0.39491996(40) [引用が必要]
20	( 1 ⁄ 2 )(3 6 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3 3 ,4 2 )	6.5	5.5	0.5258(2) [71]	0.38285085(38) [要出典]

不均質2均一格子

2-均一格子 #37

この図は 2-均一格子 #37 に似ていますが、ポリゴンがすべて正多角形ではなく、2 つの正方形の代わりに長方形があり、ポリゴンのサイズが変更されています。この格子は等放射状表現で表され、各ポリゴンは単位半径の円に内接します。等放射状条件を満たすためには、2-均一格子の 2 つの正方形を 1 つの長方形として表す必要があります。格子は黒い縁で示され、二重格子は赤い破線で示されています。緑の円は、元の格子と二重格子の両方における等放射状制約を示しています。黄色のポリゴンは格子上の 3 種類のポリゴンを強調表示し、ピンクのポリゴンは二重格子上の 2 種類のポリゴンを強調表示しています。格子の頂点タイプは( 1 ⁄ 2 )(3 ³ ,4 ² ) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,6,4)ですが、デュアル格子の頂点タイプは( 1 ⁄ 15 )(4 ⁶ )+( 6 ⁄ 15 )(4 ² ,5 ² )+( 2 ⁄ 15 )(5 ³ )+( 6 ⁄ 15 )(5 ² ,4)です。臨界点は、長い結合（格子格子と双対格子の両方）の占有確率 p = 2 sin (π/18) = 0.347296... であり、これは三角格子における結合パーコレーション閾値である。一方、短い結合の占有確率 1 − 2 sin(π/18) = 0.652703... であり、これは六角格子における結合パーコレーション閾値である。これらの結果は等半径条件^[72]から導かれるだけ でなく、ハニカム格子上の特定のスターにスター-トライアングル変換を適用することによっても導かれる。最後に、これは、3 つの異なる方向に 3 つの異なる確率、つまり長い結合の場合はp ₁、 p ₂、p _{3を持ち、短い結合の場合は}1 − p ₁、1 − p ₂、1 − p _{3 を}持つように一般化できます。ここで、 p ₁、p ₂、p ₃は、不均質三角格子の臨界面を満たします。

2次元ボウタイ格子とマティーニ格子の閾値

左、中央、右はそれぞれ、マティーニ格子、マティーニA格子、マティーニB格子です。下は、マティーニ被覆格子／中間格子。カゴメ型格子の2×2、1×1サブネット（削除済み）と同じです。

画像キャプションの例

一般化されたボウタイ格子 (ad) と格子の双対 (eh) の他の例:

画像キャプションの例

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
マティーニ ( 3 ⁄ 4 )(3,9 2 )+( 1 ⁄ 4 )(9 3 )	3	3	0.764826..., 1 + p 4 − 3 p 3 = 0 [73]	0.707107... = 1/ √2 [ 74 ]
蝶ネクタイ（c）	3,4	3 1 ⁄ 7		0.672929..., 1 − 2 p 3 − 2 p 4 − 2 p 5 − 7 p 6 + 18 p 7 + 11 p 8 − 35 p 9 + 21 p 10 − 4 p 11 = 0 [75]
蝶ネクタイ（d）	3,4	3 1 ⁄ 3		0.625457..., 1 − 2 p 2 − 3 p 3 + 4 p 4 − p 5 = 0 [75]
マティーニ A ( 2 ⁄ 3 )(3,7 2 )+( 1 ⁄ 3 )(3,7 3 )	3,4	3 1 ⁄ 3	1/ √2 [ 75 ]	0.625457..., 1 − 2 p 2 − 3 p 3 + 4 p 4 − p 5 = 0 [75]
蝶ネクタイデュアル（e）	3,4	3 2 ⁄ 3		0.595482..., 1-p c結合（ボウタイ（a））[75]
蝶ネクタイ（b）	3,4,6	3 2 ⁄ 3		0.533213..., 1 − p − 2 p 3 -4p 4 -4p 5 +15 6 + 13p 7 -36p 8 +19p 9 + p 10 + p 11 =0 [75]
マティーニカバー/内側 ( 1 ⁄ 2 )(3 3 ,9) + ( 1 ⁄ 2 )(3,9,3,9)	4	4	0.707107... = 1/ √2 [ 74 ]	0.57086651(33) [引用が必要]
マティーニ B ( 1 ⁄ 2 )(3,5,3,5 2 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3,5 2 )	3、5	4	0.618034... = 2/(1 + √ 5 )、1- p 2 − p = 0 [73] [75]	1 ⁄ 2 [74] [75]
蝶ネクタイデュアル（f）	3,4,8	4 2 ⁄ 5		0.466787..., 1 − p c結合（ボウタイ（b））[75]
蝶ネクタイ (a) ( 1 ⁄ 2 )(3 2 ,4,3 2 ,4) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,3)	4,6	5	0.5472(2), [38] 0.5479148(7) [76]	0.404518..., 1 − p − 6 p 2 + 6 p 3 − p 5 = 0 [75] [77]
蝶ネクタイデュアル（h）	3,6,8	5		0.374543..., 1 − p c結合（ボウタイ（d））[75]
ボウタイデュアル（g）	3,6,10	5 1⁄2​​	0.547... = p cサイト(bow-tie(a))	0.327071..., 1 − p c結合（ボウタイ（c））[75]
マティーニデュアル ( 1 ⁄ 2 )(3 3 ) + ( 1 ⁄ 2 )(3 9 )	3,9	6	1 ⁄ 2	0.292893... = 1 − 1/ √2 [ 74 ]

2次元被覆格子、中間格子、マッチング格子の閾値

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
(4, 6, 12) カバー/内側	4	4	p c結合(4, 6, 12) = 0.693731...	0.5593140(2), [11] 0.559315(1) [引用が必要]
(4, 8 2 ) 覆う/内側、四角い籠目	4	4	p c結合(4,8 2 ) = 0.676803...	0.544798017(4), [11] 0.54479793(34) [要出典]
（3 4 , 6）内側	4	4		0.5247495(5) [11]
(3,4,6,4) 内側	4	4		0.51276 [11]
(3 2 , 4, 3, 4) 内側	4	4		0.512682929(8) [11]
（3 3 , 4 2）内側	4	4		0.5125245984(9) [11]
正方形の覆い（非平面）	6	6	1 ⁄ 2	0.3371(1) [58]
正方格子（非平面）	8	8	1 − p cサイト（正方形） = 0.407253...	0.25036834(6) [18]

2次元キメラ非平面格子上の閾値

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
K(2,2)	4	4	0.51253(14) [80]	0.44778(15) [80]
K(3,3)	6	6	0.43760(15) [80]	0.35502(15) [80]
K(4,4)	8	8	0.38675(7) [80]	0.29427(12) [80]
K(5,5)	10	10	0.35115(13) [80]	0.25159(13) [80]
K(6,6)	12	12	0.32232(13) [80]	0.21942(11) [80]
K(7,7)	14	14	0.30052(14) [80]	0.19475(9) [80]
K(8,8)	16	16	0.28103(11) [80]	0.17496(10) [80]

サブネット格子の閾値

画像キャプションの例

2×2、3×3、4×4のサブネットカゴメ格子。2×2サブネットは「三角カゴメ」格子とも呼ばれる。^[81]

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
チェッカーボード – 2 × 2 サブネット	4,3			0.596303(1) [82]
チェッカーボード – 4 × 4 サブネット	4,3			0.633685(9) [82]
チェッカーボード – 8 × 8 サブネット	4,3			0.642318(5) [82]
チェッカーボード – 16 × 16 サブネット	4,3			0.64237(1) [82]
チェッカーボード – 32 × 32 サブネット	4,3			0.64219(2) [82]
チェッカーボード –サブネット ${\displaystyle \infty }$	4,3			0.642216(10) [82]
カゴメ – 2 × 2 サブネット = (3, 12 2 ) カバー/中間	4		p c結合(3, 12 2 ) = 0.74042077...	0.600861966960(2), [11] 0.6008624(10), [19] 0.60086193(3) [9]
kagome – 3 × 3 サブネット	4			0.6193296(10), [19] 0.61933176(5), [9] 0.61933044(32) [要出典]
kagome – 4 × 4 サブネット	4			0.625365(3), [19] 0.62536424(7) [9]
カゴメ –サブネット ${\displaystyle \infty }$	4			0.628961(2) [19]
カゴメ – (1 × 1):(2 × 2) サブネット = マティーニカバー/中間	4		p c結合（マティーニ） = 1/ √2 = 0.707107 ...	0.57086648(36) [引用が必要]
カゴメ – (1 × 1):(3 × 3) サブネット	4,3		0.728355596425196... [9]	0.58609776(37) [引用が必要]
カゴメ – (1 × 1):(4 × 4) サブネット			0.738348473943256... [9]
カゴメ – (1 × 1):(5 × 5) サブネット			0.743548682503071... [9]
カゴメ – (1 × 1):(6 × 6) サブネット			0.746418147634282... [9]
カゴメ – (2 × 2):(3 × 3) サブネット				0.61091770(30) [引用が必要]
三角形 – 2 × 2 サブネット	6,4			0.471628788 [82]
三角形 – 3 × 3 サブネット	6,4			0.509077793 [82]
三角形 – 4 × 4 サブネット	6,4			0.524364822 [82]
三角形 – 5 × 5 サブネット	6,4			0.5315976(10) [82]
三角形 –サブネット ${\displaystyle \infty }$	6,4			0.53993(1) [82]

ランダムに連続的に吸着された物体の閾値

（詳細な結果とジャム密度との比較については、「ランダムシーケンシャル吸着」を参照してください）

システム	z	サイトの閾値
ハニカム格子上の二量体	3	0.69、[83] 0.6653 [84]
三角格子上の二量体	6	0.4872(8), [83] 0.4873, [84]
三角格子上に整列した線状二量体	6	0.5157(2) [85]
三角格子上に整列した線状4量体	6	0.5220(2) [85]
三角格子上に整列した線状8量体	6	0.5281(5) [85]
三角格子上に整列した線状12量体	6	0.5298(8) [85]
三角格子上の線状16量体	6	整列0.5328(7) [85]
三角格子上の線状32量体	6	整列0.5407(6) [85]
三角格子上の線状64塩基	6	整列0.5455(4) [85]
三角格子上に整列した直線状の80量体	6	0.5500(6) [85]
三角格子上の整列線形k ${\displaystyle \longrightarrow \infty }$	6	0.582(9) [85]
二量体および5%の不純物、三角格子	6	0.4832(7) [86]
正方格子上の平行二量体	4	0.5863 [87]
正方格子上の二量体	4	0.5617、[87] 0.5618(1), [88] 0.562、[89] 0.5713 [84]
正方格子上の線状3量体	4	0.528 [89]
3サイト120°角、不純物5%、三角格子	6	0.4574(9) [86]
3サイト三角形、不純物5%、三角格子	6	0.5222(9) [86]
線状三量体および5%の不純物、三角格子	6	0.4603(8) [86]
正方格子上の線状4量体	4	0.504 [89]
正方格子上の線状5量体	4	0.490 [89]
正方格子上の線状6量体	4	0.479 [89]
正方格子上の線状8量体	4	0.474、[89] 0.4697(1) [88]
正方格子上の線状10量体	4	0.469 [89]
正方格子上の線状16量体	4	0.4639(1) [88]
正方格子上の線状32量体	4	0.4747(2) [88]

閾値は、サイトパーコレーションが最初に起こったとき（完全なジャミング時ではない）に、オブジェクトが占有するサイトの割合を示す。より長いk-merについては、文献^{[90]を参照のこと。}

二次元格子の完全二量体被覆の閾値

ここでは、格子を二量体で覆い、残りの結合における結合パーコレーションを考慮することで得られるネットワークを扱っています。離散数学では、この問題は「完全マッチング」問題または「二量体被覆」問題として知られています。

システム	z	債券の閾値
平行被覆、正方格子	6	0.381966... [91]
シフトカバー、正方格子	6	0.347296... [91]
千鳥格子模様	6	0.376825(2) [91]
ランダム被覆、正方格子	6	0.367713(2) [91]
平行被覆、三角格子	10	0.237418... [91]
千鳥格子模様	10	0.237497(2) [91]
ランダム被覆、三角格子	10	0.235340(1) [91]

正方格子上のポリマーの閾値（ランダムウォーク）

システムは正方格子上の長さlの通常の（回避しない）ランダムウォークから構成される。^[92]

l（ポリマー長）	z	結合パーコレーション
1	4	0.5（正確）[93]
2	4	0.47697(4) [93]
4	4	0.44892(6) [93]
8	4	0.41880(4) [93]

ランダム逐次吸着によって追加された長さkの自己回避歩行の閾値

け	z	サイトの閾値	債券の閾値
1	4	0.593(2) [94]	0.5009(2) [94]
2	4	0.564(2) [94]	0.4859(2) [94]
3	4	0.552(2) [94]	0.4732(2) [94]
4	4	0.542(2) [94]	0.4630(2) [94]
5	4	0.531(2) [94]	0.4565(2) [94]
6	4	0.522(2) [94]	0.4497(2) [94]
7	4	0.511(2) [94]	0.4423(2) [94]
8	4	0.502(2) [94]	0.4348(2) [94]
9	4	0.493(2) [94]	0.4291(2) [94]
10	4	0.488(2) [94]	0.4232(2) [94]
11	4	0.482(2) [94]	0.4159(2) [94]
12	4	0.476(2) [94]	0.4114(2) [94]
13	4	0.471(2) [94]	0.4061(2) [94]
14	4	0.467(2) [94]	0.4011(2) [94]
15	4	0.4011(2) [94]	0.3979(2) [94]

2次元不均質格子上の閾値

格子	z	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
1つの非対角結合 でp = 1 ⁄ 2の蝶ネクタイ	3		0.3819654(5), [95] [58] ${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$

2D連続体モデルの閾値

システム	Φ c	η c	n c
半径rの円板	0.67634831(2), [96] 0.6763475(6), [97] 0.676339(4), [98] 0.6764(4), [99] 0.6766(5), [100] 0.676(2), [101] 0.679, [102] 0.674 [103] 0.676, [104] 0.680 [105]	1.1280867(5), [106] 1.1276(9), [107] 1.12808737(6), [96] 1.128085(2), [97] 1.128059(12), [98] 1.13, [要出典] 0.8 [108]	1.43632505(10), [109] 1.43632545(8), [96] 1.436322(2), [97] 1.436289(16), [98] 1.436320(4), [110] 1.436323(3), [111] 1.438(2), [112] 1.216 (48) [113]
均一な半径(0,r)の円板	0.686610(7), [114] 0.6860(12), [99] 0.680 [103]		${\displaystyle \rho _{c}r^{2}}$= 1.108010(7) [114]
楕円、ε = 1.5	0.0043 [102]	0.00431	2.059081(7) [111]
楕円、ε =  5 ⁄ 3	0.65 [115]	1.05 [115]	2.28 [115]
楕円、ε = 2	0.6287945(12), [111] 0.63 [115]	0.991000(3), [111] 0.99 [115]	2.523560(8), [111] 2.5 [115]
楕円、ε = 3	0.56 [115]	0.82 [115]	3.157339(8), [111] 3.14 [115]
楕円、ε = 4	0.5 [115]	0.69 [115]	3.569706(8), [111] 3.5 [115]
楕円、ε = 5	0.455、[102] 0.455、[104] 0.46 [115]	0.607 [102]	3.861262(12), [111] 3.86 [102]
楕円、ε = 6			4.079365(17) [111]
楕円、ε = 7			4.249132(16) [111]
楕円、ε = 8			4.385302(15) [111]
楕円、ε = 9			4.497000(8) [111]
楕円、ε = 10	0.301、[102] 0.303、[104] 0.30 [115]	0.358 [102] 0.36 [115]	4.590416(23) [111] 4.56, [102] 4.5 [115]
楕円、ε = 15			4.894752(30) [111]
楕円、ε = 20	0.178、[102] 0.17 [115]	0.196 [102]	5.062313(39), [111] 4.99 [102]
楕円、ε = 50	0.081 [102]	0.084 [102]	5.393863(28), [111] 5.38 [102]
楕円、ε = 100	0.0417 [102]	0.0426 [102]	5.513464(40), [111] 5.42 [102]
楕円、ε = 200	0.021 [115]	0.0212 [115]	5.40 [115]
楕円、ε = 1000	0.0043 [102]	0.00431	5.624756(22)、[111] 5.5
超楕円、ε = 1、m = 1.5	0.671 [104]
超楕円、ε = 2.5、m = 1.5	0.599 [104]
超楕円、ε = 5、m = 1.5	0.469 [104]
超楕円、ε = 10、m = 1.5	0.322 [104]
ディスコ長方形、ε = 1.5			1.894 [110]
ディスコ長方形、ε = 2			2.245 [110]
辺の整列した正方形 ${\displaystyle \ell }$	0.66675(2), [53] 0.66674349(3), [96] 0.66653(1), [116] 0.6666(4), [117] 0.668 [103]	1.09884280(9), [96] 1.0982(3), [116] 1.098(1) [117]	1.09884280(9), [96] 1.0982(3), [116] 1.098(1) [117]
ランダムな方向の正方形	0.62554075(4), [96] 0.6254(2) [117] 0.625, [104]	0.9822723(1), [96] 0.9819(6) [117] 0.982278(14) [118]	0.9822723(1), [96] 0.9819(6) [117] 0.982278(14) [118]
角度内でランダムに向いた正方形 ${\displaystyle \pi /4}$	0.6255(1) [117]	0.98216(15) [117]
長方形、ε = 1.1	0.624870(7)	0.980484(19)	1.078532(21) [118]
長方形、ε = 2	0.590635(5)	0.893147(13)	1.786294(26) [118]
長方形、ε = 3	0.5405983(34)	0.777830(7)	2.333491(22) [118]
長方形、ε = 4	0.4948145(38)	0.682830(8)	2.731318(30) [118]
長方形、ε = 5	0.4551398(31), 0.451 [104]	0.607226(6)	3.036130(28) [118]
長方形、ε = 10	0.3233507(25), 0.319 [104]	0.3906022(37)	3.906022(37) [118]
長方形、ε = 20	0.2048518(22)	0.2292268(27)	4.584535(54) [118]
長方形、ε = 50	0.09785513(36)	0.1029802(4)	5.149008(20) [118]
長方形、ε = 100	0.0523676(6)	0.0537886(6)	5.378856(60) [118]
長方形、ε = 200	0.02714526(34)	0.02752050(35)	5.504099(69) [118]
長方形、ε = 1000	0.00559424(6)	0.00560995(6)	5.609947(60) [118]
長さのある棒（針） ${\displaystyle \ell }$			5.63726(2), [119] 5.6372858(6), [96] 5.637263(11), [118] 5.63724(18) [120]
対数正規分布の長さ分布を持つ棒。STD=0.5			4.756(3) [120]
相関角度分布s=0.5の棒			6.6076(4) [120]
べき乗則ディスク、x  = 2.05	0.993(1) [121]	4.90(1)	0.0380(6)
べき乗則ディスク、x  = 2.25	0.8591(5) [121]	1.959(5)	0.06930(12)
べき乗則ディスク、x  = 2.5	0.7836(4) [121]	1.5307(17)	0.09745(11)
べき乗法則ディスク、x  = 4	0.69543(6) [121]	1.18853(19)	0.18916(3)
べき乗則ディスク、x  = 5	0.68643(13) [121]	1.1597(3)	0.22149(8)
べき乗則ディスク、x  = 6	0.68241(8) [121]	1.1470(1)	0.24340(5)
べき乗法則ディスク、x  = 7	0.6803(8) [121]	1.140(6)	0.25933(16)
べき乗則ディスク、x  = 8	0.67917(9) [121]	1.1368(5)	0.27140(7)
べき乗則ディスク、x  = 9	0.67856(12) [121]	1.1349(4)	0.28098(9)
半径rの円板の周りの空隙	1 − Φ c（円板） = 0.32355169(2), [96] 0.318(2), [122] 0.3261(6) [123]

ディスクを用いた2次元連続体パーコレーション

アスペクト比2の楕円を持つ2次元連続体パーコレーション

ディスクの場合、は単位面積あたりのディスクの臨界数に等しく、直径の単位で測定されます。ここで、はオブジェクトの数、はシステムのサイズです。 ${\displaystyle n_{c}=4r^{2}N/L^{2}}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$

ディスクの場合、重要な合計ディスク領域に相当します。 ${\displaystyle \eta _{c}=\pi r^{2}N/L^{2}=(\pi /4)n_{c}}$

${\displaystyle 4\eta _{c}}$影響円（半径 2 r）内のディスク中心の数を示します。

${\displaystyle r_{c}=L{\sqrt {\frac {\eta _{c}}{\pi N}}}={\frac {L}{2}}{\sqrt {\frac {n_{c}}{N}}}}$臨界ディスク半径です。

${\displaystyle \eta _{c}=\pi abN/L^{2}}$楕円の長半径と短半径はそれぞれaとbです。アスペクト比は です。 ${\displaystyle \epsilon =a/b}$ ${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle \eta _{c}=\ell mN/L^{2}}$寸法およびの長方形の場合。のアスペクト比。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \epsilon =\ell /m}$ ${\displaystyle \ell >m}$

${\displaystyle \eta _{c}=\pi xN/(4L^{2}(x-2))}$、の べき乗分布円板の場合。 ${\displaystyle {\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}}$ ${\displaystyle R\geq 1}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$臨界面積率に等しい。

ディスクについては文献^[101]で使用されており、ここでは半径 のディスクの密度である。 ${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\pi x/2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle n_{c}=\ell ^{2}N/L^{2}}$ 単位面積あたりの最大長さの物体の数に等しい。 ${\displaystyle \ell =2a}$

楕円の場合、 ${\displaystyle n_{c}=(4\epsilon /\pi )\eta _{c}}$

ボイドパーコレーションの場合、臨界ボイド率です。 ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

楕円の値の詳細については、^{[111] [115]を参照してください。}

長方形の値の詳細については^{[118]を参照。}

楕円と長方形はどちらも超楕円に属し、 である。超楕円のパーコレーション値の詳細については、^{[104]を参照のこと。} ${\displaystyle |x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1}$

単分散粒子系の場合、凹面形状のスーパーディスクのパーコレーション閾値は^{[124]に示されているように得られる。}

ディスクの連星分散については、^{[97] [125] [114]を参照。}

2次元ランダム格子および準格子上の閾値

ボロノイ図（実線）とその双対であるドロネー三角形分割（点線）は、点のポアソン分布を表す。

ドロネー三角形分割

ボロノイ被覆または折れ線グラフ（赤い点線）とボロノイ図（黒い線）

相対近傍グラフ（黒線）^[126]をドローネ三角形（黒線と灰色線）に重ね合わせたものである。

ガブリエルグラフはドロネー三角形分割の部分グラフであり、各辺を囲む円がグラフの他の点を囲まないグラフである。

均一無限平面三角形分割。結合クラスターを示す。^[127]より

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
相対的近隣グラフ		2.5576	0.796(2) [126]	0.771(2) [126]
ボロノイ分割	3		0.71410(2), [128] 0.7151* [71]	0.68、[129] 0.6670(1), [130] 0.6680(5), [131] 0.666931(5) [128]
ボロノイ被覆/内側	4		0.666931(2) [128] [130]	0.53618(2) [128]
ランダム化かごめ/正方形八角形、分数r= 1 ⁄ 2	4		0.6599 [16]
ペンローズ菱形双対	4		0.6381(3) [68]	0.5233(2) [68]
ガブリエルグラフ		4	0.6348(8), [132] 0.62 [133]	0.5167(6), [132] 0.52 [133]
ランダムラインテッセレーション、デュアル		4	0.586(2) [134]
ペンローズ菱形		4	0.5837(3), [68] 0.0.5610(6) （加重債券）[135] 0.58391(1) [136]	0.483(5), [137] 0.4770(2) [68]
八角形格子、「化学的な」リンク（アマン・ベーンカータイリング）		4	0.585 [138]	0.48 [138]
八角形格子、「強磁性」リンク		5.17	0.543 [138]	0.40 [138]
十二角形格子、「化学的な」リンク		3.63	0.628 [138]	0.54 [138]
十二角形格子、「強磁性」リンク		4.27	0.617 [138]	0.495 [138]
ドロネー三角形分割		6	1 ⁄ 2 [139]	0.3333(1) [130] 0.3326(5), [131] 0.333069(2) [128]
均一無限平面三角形分割[140]		6	1 ⁄ 2	( 2√3-1 ) /11 ≈ 0.2240 [127] [141]

*理論的な推定

2次元相関システムの閾値

べき乗相関を仮定する ${\displaystyle C(r)\sim |r|^{-\alpha }}$

格子	α	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
四角	3	0.561406(4) [142]
四角	2	0.550143(5) [142]
四角	0.1	0.508(4) [142]

スラブの敷居

hはスラブの厚さで、h × ∞ × ∞です。境界条件（bc）はスラブの上面と下面を参照します。

格子	h	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
単純立方体（オープン立方体）	2	5	5	0.47424、[143] 0.4756 [144]
bcc（オープンbc）	2			0.4155 [144]
hcp（オープンbc）	2			0.2828 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	2			0.5451 [144]
単純立方体（オープン立方体）	3			0.4264 [144]
bcc（オープンbc）	3			0.3531 [144]
bcc（周期的bc）	3				0.21113018(38) [145]
hcp（オープンbc）	3			0.2548 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	3			0.5044 [144]
単純立方体（オープン立方体）	4			0.3997、[143] 0.3998 [144]
bcc（オープンbc）	4			0.3232 [144]
bcc（周期的bc）	4				0.20235168(59) [145]
hcp（オープンbc）	4			0.2405 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	4			0.4842 [144]
単純立方格子（周期的bc）	5	6	6		0.278102(5) [145]
単純立方体（オープン立方体）	6			0.3708 [144]
単純立方格子（周期的bc）	6	6	6		0.272380(2) [145]
bcc（オープンbc）	6			0.2948 [144]
hcp（オープンbc）	6			0.2261 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	6			0.4642 [144]
単純立方格子（周期的bc）	7	6	6	0.3459514(12) [145]	0.268459(1) [145]
単純立方体（オープン立方体）	8			0.3557、[143] 0.3565 [144]
単純立方格子（周期的bc）	8	6	6		0.265615(5) [145]
bcc（オープンbc）	8			0.2811 [144]
hcp（オープンbc）	8			0.2190 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	8			0.4549 [144]
単純立方体（オープン立方体）	12			0.3411 [144]
bcc（オープンbc）	12			0.2688 [144]
hcp（オープンbc）	12			0.2117 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	12			0.4456 [144]
単純立方体（オープン立方体）	16			0.3219、[143] 0.3339 [144]
bcc（オープンbc）	16			0.2622 [144]
hcp（オープンbc）	16			0.2086 [144]
ダイヤモンド（オープンBC）	16			0.4415 [144]
単純立方体（オープン立方体）	32			0.3219, [143]
単純立方体（オープン立方体）	64			0.3165, [143]
単純立方体（オープン立方体）	128			0.31398, [143]

3Dでの浸透

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	充填率*	充填率*	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
（10,3）-a酸化物（またはサイト結合）[146]	2 3 3 2	2.4			0.748713(22) [146]	= ( p c,bond (10,3) – a ) 1 ⁄ 2 = 0.742334(25) [147]
(10,3)-b酸化物（またはサイト結合）[146]	2 3 3 2	2.4	0.233 [148]	0.174	0.745317(25) [146]	= ( p c,bond (10,3) – b ) 1 ⁄ 2 = 0.739388(22) [147]
二酸化ケイ素（ダイヤモンドサイト結合）[146]	4,2 2	2 2 ⁄ 3			0.638683(35) [146]
修正（10,3）-b [149]	3 2 ,2	2 2 ⁄ 3				0.627 [149]
（8,3）-a [147]	3	3			0.577962(33) [147]	0.555700(22) [147]
(10,3)-a [147]ジャイロイド[150]	3	3			0.571404(40) [147]	0.551060(37) [147]
（10,3）-b [147]	3	3			0.565442(40) [147]	0.546694(33) [147]
立方酸化物（立方サイト結合）[146]	6,2 3	3.5			0.524652(50) [146]
bccデュアル		4			0.4560(6) [151]	0.4031(6) [151]
氷Ih	4	4	π√3 / 16 = 0.340087	0.147	0.433(11) [152]	0.388(10) [153]
ダイヤモンド（アイスIc）	4	4	π√3 / 16 = 0.340087	0.1462332	0.4299(8), [154] 0.4299870(4), [155] 0.426+0.08 −0.02, [156] 0.4297(4) [157] 0.4301(4), [158] 0.428(4), [159] 0.425(15), [160] 0.425, [41] [48] 0.436(12) [152]	0.3895892(5), [155] 0.3893(2), [158] 0.3893(3), [157] 0.388(5), [160] 0.3886(5), [154] 0.388(5) [159] 0.390(11) [153]
ダイヤモンドデュアル		6 2 ⁄ 3			0.3904(5) [151]	0.2350(5) [151]
3Dカゴメ（ダイヤモンド格子の被覆グラフ）	6		π√2 / 12 = 0.37024	0.1442	0.3895(2) [161] =ダイヤモンド双対の場合はp c (サイト)、ダイヤモンド格子の場合はp c (結合) [151]	0.2709(6) [151]
ボウタイスタックデュアル		5 1 ⁄ 3			0.3480(4) [38]	0.2853(4) [38]
ハニカムスタック	5	5			0.3701(2) [38]	0.3093(2) [38]
八角形スタックデュアル	5	5			0.3840(4) [38]	0.3168(4) [38]
五角形のスタック		5 1 ⁄ 3			0.3394(4) [38]	0.2793(4) [38]
カゴメスタック	6	6	0.453450	0.1517	0.3346(4) [38]	0.2563(2) [38]
FCCデュアル	4 2,8​	5 1 ⁄ 3			0.3341(5) [151]	0.2703(3) [151]
単純立方体	6	6	π / 6 = 0.5235988	0.1631574	0.307(10), [160] 0.307, [41] 0.3115(5), [162] 0.3116077(2), [163] 0.311604(6), [164] 0.311605(5), [165] 0.311600(5), [166] 0.3116077(4), [167] 0.3116081(13), [168] 0.3116080(4), [169] 0.3116060(48), [170] 0.3116004(35), [171] 0.31160768(15) [155]	0.247(5), [160] 0.2479(4), [154] 0.2488(2), [172] 0.24881182(10), [163] 0.2488125(25), [173] 0.2488126(5), [174]
HCPデュアル	4 4 ,8 2	5 1 ⁄ 3			0.3101(5) [151]	0.2573(3) [151]
サイコロの山	5,8	6	π√3 / 9 = 0.604600	0.1813	0.2998(4) [38]	0.2378(4) [38]
蝶ネクタイスタック	7	7			0.2822(6) [38]	0.2092(4) [38]
積み重ねられた三角形/単純な六角形	8	8			0.26240(5), [175] 0.2625(2), [176] 0.2623(2) [38]	0.18602(2), [175] 0.1859(2) [38]
八角形（ユニオンジャック）スタック	6,10	8			0.2524(6) [38]	0.1752(2) [38]
bcc	8	8			0.243(10), [160] 0.243, [41] 0.2459615(10), [169] 0.2460(3), [177] 0.2464(7), [154] 0.2458(2) [158]	0.178(5), [160] 0.1795(3), [154] 0.18025(15), [172] 0.1802875(10) [174]
3NN の単純 3 次関数(bcc と同じ)	8	8			0.2455(1), [178] 0.2457(7) [179]
fcc、D 3	12	12	π / ( 3√2 ) = 0.740480	0.147530	0.195, [41] 0.198(3), [180] 0.1998(6), [154] 0.1992365(10), [169] 0.19923517(20), [155] 0.1994(2), [158] 0.199236(4) [181]	0.1198(3), [154] 0.1201635(10) [174] 0.120169(2) [181]
hcp	12	12	π / ( 3√2 ) = 0.740480	0.147545	0.195(5), [160] 0.1992555(10) [182]	0.1201640(10), [182] 0.119(2) [160]
La 2−x Sr x Cu O 4	12	12			0.19927(2) [183]
2NNの単純立方体（FCCと同じ）	12	12			0.1991(1) [178]
NN+4NNの単純立方体	12	12			0.15040(12), [184] 0.1503793(7) [50]	0.1068263(7) [185]
3NN+4NNの単純立方体	14	14			0.20490(12) [184]	0.1012133(7) [185]
bcc NN+2NN (= sc(3,4) sc-3NN+4NN)	14	14			0.175, [41] 0.1686,(20) [186] 0.1759432(8)	0.0991(5), [186] 0.1012133(7), [45] 0.1759432(8) [45]
FCC上のナノチューブファイバー	14	14			0.1533(13) [187]
NN+3NNの単純立方体	14	14			0.1420(1) [178]	0.0920213(7) [185]
2NN+4NNの単純立方体	18	18			0.15950(12) [184]	0.0751589(9) [185]
NN+2NNの単純立方体	18	18			0.137, [48] 0.136, [188] 0.1372(1), [178] 0.13735(5), [要出典] 0.1373045(5) [50]	0.0752326(6) [185]
NN+2NN（=sc-2NN+4NN）のfcc	18	18			0.136, [41] 0.1361408(8) [50]	0.0751589(9) [45]
短距離相関を持つ単純三次	6歳以上	6歳以上			0.126(1) [189]
NN+3NN+4NNの単純立方体	20	20			0.11920(12) [184]	0.0624379(9) [185]
2NN+3NNの単純立方体	20	20			0.1036(1) [178]	0.0629283(7) [185]
NN+2NN+4NNの単純立方体	24	24			0.11440(12) [184]	0.0533056(6) [185]
2NN+3NN+4NNの単純立方体	26	26			0.11330(12) [184]	0.0474609(9)
NN+2NN+3NNの単純立方体	26	26			0.097、[41] 0.0976(1), [178] 0.0976445(10), 0.0976444(6) [50]	0.0497080(10) [185]
NN+2NN+3NN の bcc	26	26			0.095、[48] 0.0959084(6) [50]	0.0492760(10) [45]
NN+2NN+3NN+4NNの単純立方体	32	32			0.10000(12), [184] 0.0801171(9) [50]	0.0392312(8) [185]
NN+2NN+3NNのfcc	42	42			0.061、[48] 0.0610(5), [188] 0.0618842(8) [45]	0.0290193(7) [45]
NN+2NN+3NN+4NN の fcc	54	54			0.0500(5) [188]
sc-1,2,3,4,5単純立方格子（NN+2NN+3NN+4NN+5NN）	56	56			0.0461815(5) [50]	0.0210977(7) [45]
sc-1,...,6 (2x2x2キューブ[52] )	80	80			0.0337049(9), [50] 0.03373(13) [52]	0.0143950(10) [45]
sc-1,...,7	92	92			0.0290800(10) [50]	0.0123632(8) [45]
sc-1,...,8	122	122			0.0218686(6) [50]	0.0091337(7) [45]
sc-1,...,9	146	146			0.0184060(10) [50]	0.0075532(8) [45]
sc-1,...,10	170	170				0.0064352(8) [45]
sc-1,...,11	178	178				0.0061312(8) [45]
sc-1,...,12	202	202				0.0053670(10) [45]
sc-1,...,13	250	250				0.0042962(8) [45]
3x3x3キューブ	274	274			φ c = 0.76564(1)、[53] p c = 0.0098417(7)、[53] 0.009854(6) [52]
4x4x4キューブ	636	636			φ c =0.76362(1)、[53] p c = 0.0042050(2)、[53] 0.004217(3) [52]
5x5x5キューブ	1214	1250			φ c =0.76044(2)、[53] p c = 0.0021885(2)、[53] 0.002185(4) [52]
6x6x6の立方体	2056	2056			0.001289(2) [52]

充填係数 = 各格子点において接する球によって満たされた空間の割合（均一な結合長を持つ系のみ）。原子充填係数とも呼ばれます。

充填率（または臨界充填率） = 充填係数 * p _c (サイト)。

NN = 最近傍、2NN = 次に近い隣接、3NN = 次のさらに近い隣接、など。

kxkxk 立方体は格子上の占有サイトの立方体であり、辺と角を削除した長さ (2k+1) の立方体の拡張範囲パーコレーションと同等で、z = (2k+1) ³ -12(2k-1)-9 となります (中心サイトは z にカウントされません)。

質問：hcp格子とfcc格子の結合閾値は、わずかな統計誤差の範囲内で一致しています。これらは同一でしょうか？もし異なる場合、どれくらい離れているでしょうか？どちらの閾値の方が大きいと予想されますか？氷格子とダイヤモンド格子についても同様です。^{[190]を参照。}

システム	ポリマーΦ c
非熱的ポリマーマトリックスの浸透排除体積（立方格子上の結合変動モデル）	0.4304(3) [191]

3D歪んだ格子

ここでは、立方体内で頂点を均一に移動することで単位間隔の規則的な格子を歪ませ、サイトが互いにユークリッド距離内にある場合の浸透を考慮します。 ${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha ),(z-\alpha ,z+\alpha )}$ ${\displaystyle d}$

格子	${\displaystyle {\overline {z}}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle d}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
キュービック		0.05	1.0	0.60254(3) [192]
		0.1	1.00625	0.58688(4) [192]
		0.15	1.025	0.55075(2) [192]
		0.175	1.05	0.50645(5) [192]
		0.2	1.1	0.44342(3) [192]

3D格子上の重なり合う形状

サイト閾値は、格子サイトあたりの重なり合うオブジェクトの数です。被覆率φ _cは、被覆されるサイトの正味の割合、vは体積（立方体の数）です。重なり合う立方体については、3次元格子の閾値の節で説明します。ここで、z はいずれかの方向の k-mer に対する配位数であり、 ${\displaystyle z=6k^{2}+18k-4}$

システム	け	z	サイトカバレッジ φ c	サイト浸透閾値 p c
1 x 2二量体、立方格子	2	56	0.24542 [52]	0.045847(2) [52]
1 x 3トリマー、立方格子	3	104	0.19578 [52]	0.023919(9) [52]
1 x 4 スティック、立方格子	4	164	0.16055 [52]	0.014478(7) [52]
1 x 5 スティック、立方格子	5	236	0.13488 [52]	0.009613(8) [52]
1 x 6 スティック、立方格子	6	320	0.11569 [52]	0.006807(2) [52]
2 x 2 プラケット、立方格子	2		0.22710 [52]	0.021238(2) [52]
3 x 3 プラケット、立方格子	3		0.18686 [52]	0.007632(5) [52]
4 x 4 プラケット、立方格子	4		0.16159 [52]	0.003665(3) [52]
5 x 5 プラケット、立方格子	5		0.14316 [52]	0.002058(5) [52]
6 x 6 プラケット、立方格子	6		0.12900 [52]	0.001278(5) [52]

カバレッジは、スティックの場合は 、プラケットの場合は から計算されます。 ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k^{2}}}$

3Dにおける二量体パーコレーション

システム	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
単純な立方体		0.2555(1) [193]

3D連続体モデルの閾値

詰まった球体とポリマー マトリックスを除いてすべて重なり合っています。

システム	Φ c	η c
半径rの球	0.289, [194] 0.293, [195] 0.286, [196] 0.295. [103] 0.2895(5), [197] 0.28955(7), [198] 0.2896(7), [199] 0.289573(2), [200] 0.2896, [201] 0.2854, [202] 0.290, [203] 0.290, [204] 0.2895693(26) [205]	0.3418(7), [197] 0.3438(13), [206] 0.341889(3), [200] 0.3360, [202] 0.34189(2) [116] [訂正済み], 0.341935(8), [207] 0.335, [208]
長半径r、アスペクト比4 ⁄ 3の扁平楕円体	0.2831 [202]	0.3328 [202]
短半径r、アスペクト比3 ⁄ 2の長楕円体	0.2757、[201] 0.2795、[202] 0.2763 [203]	0.3278 [202]
長半径r、アスペクト比2の扁平楕円体	0.2537、[201] 0.2629、[202] 0.254 [203]	0.3050 [202]
短半径r、アスペクト比2の長楕円体	0.2537、[201] 0.2618、[202] 0.25(2)、[209] 0.2507 [203]	0.3035、[202] 0.29(3) [209]
長半径r、アスペクト比3の扁平楕円体	0.2289 [202]	0.2599 [202]
短半径r、アスペクト比3の長楕円体	0.2033、[201] 0.2244、[202] 0.20(2) [209]	0.2541、[202] 0.22(3) [209]
長半径r、アスペクト比4の扁平楕円体	0.2003 [202]	0.2235 [202]
短半径r、アスペクト比4の長楕円体	0.1901、[202] 0.16(2) [209]	0.2108、[202] 0.17(3) [209]
長半径r、アスペクト比5の扁平楕円体	0.1757 [202]	0.1932 [202]
短半径r、アスペクト比5の長楕円体	0.1627、[202] 0.13(2) [209]	0.1776、[202] 0.15(2) [209]
長半径r、アスペクト比10の扁平楕円体	0.0895、[201] 0.1058 [202]	0.1118 [202]
短半径r、アスペクト比10の長楕円体	0.0724、[201] 0.08703、[202] 0.07(2) [209]	0.09105、[202] 0.07(2) [209]
長半径r、アスペクト比100の扁平楕円体	0.01248 [202]	0.01256 [202]
短半径r、アスペクト比100の長楕円体	0.006949 [202]	0.006973 [202]
長半径r、アスペクト比1000の扁平楕円体	0.001275 [202]	0.001276 [202]
長半径r、アスペクト比2000の扁平楕円体	0.000637 [202]	0.000637 [202]
H/D = 1の球状円筒	0.2439(2) [199]
H/D = 4の球状円筒	0.1345(1) [199]
H/D = 10の球状円筒	0.06418(20) [199]
H/D = 50の球状円筒	0.01440(8) [199]
H/D = 100の球状円筒	0.007156(50) [199]
H/D = 200の球状円筒	0.003724(90) [199]
整列したシリンダー	0.2819(2) [210]	0.3312(1) [210]
側面の整列した立方体 ${\displaystyle \ell =2a}$	0.2773(2) [117] 0.27727(2), [53] 0.27730261(79) [170]	0.3247(3), [116] 0.3248(3), [117] 0.32476(4) [210] 0.324766(1) [170]
ランダムに配向した二十面体		0.3030(5) [211]
ランダムな方向の十二面体		0.2949(5) [211]
ランダムに配向した八面体		0.2514(6) [211]
ランダムに向いた立方体の側面 ${\displaystyle \ell =2a}$	0.2168(2) [117] 0.2174, [201]	0.2444(3), [117] 0.2443(5) [211]
ランダムに配向した四面体		0.1701(7) [211]
半径rのランダムな方向の円板（3D）		0.9614(5) [212]
ランダムに向いた正方形の側面板 ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}r}$		0.8647(6) [212]
ランダムに向いた三角形のプレートの側面 ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}/3^{1/4}r}$		0.7295(6) [212]
詰まった球（平均Z = 6）	0.183(3)、[213] 0.1990、[214]下記の詰まった球の接触ネットワークも参照。	0.59(1) [213]（全球の体積分率）

${\displaystyle \eta _{c}=(4/3)\pi r^{3}N/L^{3}}$は総体積（球の場合）で、N はオブジェクトの数、L はシステムのサイズです。

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$重なり合ってランダムに配置されたオブジェクトに有効な臨界体積分率です。

ディスクとプレートの場合、これらは有効体積と体積分率です。

ボイド（「スイス・チーズ」モデル）の場合、臨界ボイド率です。 ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

楕円体および楕円板の周りのボイドパーコレーションに関する詳細な結果については、^{[215]を参照してください。}

楕円体浸透値の詳細については^{[202]を参照。}

球状円筒の場合、H/Dは円筒の高さと直径の比であり、円筒の頂部は半球で覆われている。その他の値は^{[199]に示されている。}

スーパーボールの場合、mは変形パラメータであり、浸透値は^{[216] [217]}で与えられます。さらに、凹面形状のスーパーボールの閾値も^{[124]で決定されています。}

直方体のような粒子（超楕円体）の場合、mは変形パラメータであり、より多くのパーコレーション値が与えられる。^[201]

3Dにおけるボイドパーコレーション

ボイドパーコレーションとは、重なり合う物体の周囲の空間におけるパーコレーションを指します。ここで は 臨界点における（粒子ではなく）ボイドが占める空間の割合を指し、 と関係があります。 は 上記の連続体パーコレーションのセクションと同様に定義されます。 ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

システム	Φ c	η c
半径rの円板の周りの空隙		22.86(2) [215]
ランダムに配向した四面体の周りの空隙	0.0605(6) [218]
長半径r、アスペクト比32の扁平楕円体の周りの空隙	0.5308(7) [219]	0.6333 [219]
大半径r、アスペクト比16の扁平楕円体の周りの空隙	0.3248(5) [219]	1.125 [219]
大半径r、アスペクト比10の扁平楕円体の周りの空隙		1.542(1) [215]
長半径r、アスペクト比8の扁平楕円体の周りの空隙	0.1615(4) [219]	1.823 [219]
長半径r、アスペクト比4の扁平楕円体の周りの空隙	0.0711(2) [219]	2.643、[219] 2.618(5) [215]
長半径r、アスペクト比2の扁平楕円体の周りの空隙		3.239(4)  [215]
アスペクト比8の長楕円体の周りの空隙	0.0415(7) [220]
アスペクト比6の長楕円体の周りの空隙	0.0397(7) [220]
アスペクト比4の長楕円体の周りの空隙	0.0376(7) [220]
アスペクト比3の長楕円体の周りの空隙	0.03503(50) [220]
アスペクト比2の長楕円体の周りの空隙	0.0323(5) [220]
アスペクト比2の整列した四角柱の周りの空隙	0.0379(5) [221]
アスペクト比20のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0534(4) [221]
アスペクト比15のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0535(4) [221]
アスペクト比10のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0524(5) [221]
アスペクト比8のランダムな向きの正方形柱の周りの空隙	0.0523(6) [221]
アスペクト比7のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0519(3) [221]
アスペクト比6のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0519(5) [221]
アスペクト比5のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0515(7) [221]
アスペクト比4のランダムな向きの正方形柱の周りの空隙	0.0505(7) [221]
アスペクト比3のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0485(11) [221]
アスペクト比5/2のランダムな向きの四角柱の周りの空隙	0.0483(8) [221]
アスペクト比2のランダムに配向された正方形柱の周囲の空隙	0.0465(7) [221]
アスペクト比3/2のランダムな向きの四角柱の周りの空隙	0.0461(14) [221]
半球の周りの空洞	0.0455(6) [222]
整列した四面体の周りの空隙	0.0605(6) [218]
ランダムに配向した四面体の周りの空隙	0.0605(6) [218]
整列した立方体の周りの空洞	0.036(1), [53] 0.0381(3) [218]
ランダムな方向の立方体の周りの空隙	0.0452(6), [218] 0.0449(5) [221]
整列した八面体の周りの空隙	0.0407(3) [218]
ランダムに配向した八面体の周りの空隙	0.0398(5) [218]
整列した十二面体の周りの空隙	0.0356(3) [218]
ランダムな方向の十二面体の周りの空隙	0.0360(3) [218]
整列した二十面体の周りの空隙	0.0346(3) [218]
ランダムに配向した二十面体の周りの空隙	0.0336(7) [218]
球の周りの空洞	0.034(7), [223] 0.032(4), [224] 0.030(2), [122] 0.0301(3), [225] 0.0294, [220] 0.0300(3), [226] 0.0317(4), [227] 0.0308(5) [222] 0.0301(1), [219] 0.0301(1) [218]	3.506(8), [226] 3.515(6), [215] 3.510(2) [107]

3次元ランダム格子および準格子の閾値

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
充填球の接触ネットワーク		6	0.310(5), [213] 0.287(50), [228] 0.3116(3), [214]
ランダムプレーンテッセレーション、デュアル		6	0.290(7) [229]
正二十面体ペンローズ		6	0.285 [230]	0.225 [230]
2つの対角線を持つペンローズ		6.764	0.271 [230]	0.207 [230]
8本の対角線を持つペンローズ		12.764	0.188 [230]	0.111 [230]
ボロノイネットワーク		15.54	0.1453(20) [186]	0.0822(50) [186]

他の3Dモデルのしきい値

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値	クリティカルカバレッジ率 ${\displaystyle \phi _{c}}$	結合浸透閾値
ドリリングパーコレーション、単純立方格子*	6	6	0.6345(3), [231] 0.6339(5), [232] 0.633965(15) [233]	0.25480
立方格子のZ方向にドリルし、単一サイトを削除します	6	6	0.592746（列）、0.4695（10）（サイト）[234]	0.2784
ランダムチューブモデル、単純立方格子†					0.231456(6) [235]
パックマンパーコレーション、単純立方格子					0.139(6) [236]

${\displaystyle ^{*}}$ドリリングパーコレーションにおいて、サイト閾値は各方向において除去されていない列の割合を表し、。1Dドリリングの場合、(列) (サイト) となる。 ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}^{3}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}}$ ${\displaystyle p_{c}}$

^†チューブパーコレーションにおいて、結合閾値は、隣接する垂直チューブセグメント間に結合を配置する確率が となるようなパラメータの値を表します。ここで、は2つの隣接するチューブセグメントの重なり高さです。^[235] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1-e^{-\mu h_{i}}}$ ${\displaystyle h_{i}}$

異なる次元空間における閾値

高次元連続体モデル

d	システム	Φ c	η c
4	重なり合う超球面	0.1223(4) [116]	0.1300(13), [206] 0.1304(5), [116] 0.1210268(19) [205]
4	整列したハイパーキューブ	0.1132(5), [116] 0.1132348(17) [170]	0.1201(6) [116]
4	超球面の周りの空隙	0.00211(2) [123]	6.161(10) [123] 6.248(2)、[107]
5	重なり合う超球面		0.0544(6), [206] 0.05443(7), [116] 0.0522524(69) [205]
5	整列したハイパーキューブ	0.04900(7), [116] 0.0481621(13) [170]	0.05024(7) [116]
5	超球面の周りの空隙	1.26(6)x10 −4 [123]	8.98(4)、[123] 9.170(8) [107]
6	重なり合う超球面		0.02391(31), [206] 0.02339(5) [116]
6	整列したハイパーキューブ	0.02082(8), [116] 0.0213479(10) [170]	0.02104(8) [116]
6	超球面の周りの空隙	8.0(6)x10 −6 [123]	11.74(8), [123] 12.24(2), [107]
7	重なり合う超球面		0.01102(16), [206] 0.01051(3) [116]
7	整列したハイパーキューブ	0.00999(5), [116] 0.0097754(31) [170]	0.01004(5) [116]
7	超球面の周りの空隙		15.46(5) [107]
8	重なり合う超球面		0.00516(8), [206] 0.004904(6) [116]
8	整列したハイパーキューブ		0.004498(5) [116]
8	超球面の周りの空隙		18.64(8) [107]
9	重なり合う超球面		0.002353(4) [116]
9	整列したハイパーキューブ		0.002166(4) [116]
9	超球面の周りの空隙		22.1(4) [107]
10	重なり合う超球面		0.001138(3) [116]
10	整列したハイパーキューブ		0.001058(4) [116]
11	重なり合う超球面		0.0005530(3) [116]
11	整列したハイパーキューブ		0.0005160(3) [116]

${\displaystyle \eta _{c}=(\pi ^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

4dでは、. ${\displaystyle \eta _{c}=(1/2)\pi ^{2}r^{4}N/L^{4}}$

5dでは、. ${\displaystyle \eta _{c}=(8/15)\pi ^{2}r^{5}N/L^{5}}$

6dでは、. ${\displaystyle \eta _{c}=(1/6)\pi ^{3}r^{6}N/L^{6}}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$重なり合う物体に有効な臨界体積分率です。

ボイドモデルでは、臨界ボイド率であり、重なり合う物体の総体積である。 ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

超立方格子の閾値

d	z	サイトの閾値	債券の閾値
4	8	0.198(1) [237] 0.197(6), [238] 0.1968861(14), [239] 0.196889(3), [240] 0.196901(5), [241] 0.19680(23), [242] 0.1968904(65), [170] 0.19688561(3) [243]	0.1600(1), [244] 0.16005(15), [172] 0.1601314(13), [239] 0.160130(3), [240] 0.1601310(10), [173] 0.1601312(2), [245] 0.16013122(6) [243]
5	10	0.141(1),0.198(1) [237] 0.141(3), [238] 0.1407966(15), [239] 0.1407966(26), [170] 0.14079633(4) [243]	0.1181(1), [244] 0.118(1), [246] 0.11819(4), [172] 0.118172(1), [239] 0.1181718(3) [173] 0.11817145(3) [243]
6	12	0.106(1), [237] 0.108(3), [238] 0.109017(2), [239] 0.1090117(30), [170] 0.109016661(8) [243]	0.0943(1), [244] 0.0942(1), [247] 0.0942019(6), [239] 0.09420165(2) [243]
7	14	0.05950(5), [247] 0.088939(20), [248] 0.0889511(9), [239] 0.0889511(90), [170] 0.088951121(1), [243]	0.0787(1), [244] 0.078685(30), [247] 0.0786752(3), [239] 0.078675230(2) [243]
8	16	0.0752101(5), [239] 0.075210128(1) [243]	0.06770(5), [247] 0.06770839(7), [239] 0.0677084181(3) [243]
9	18	0.0652095(3), [239] 0.0652095348(6) [243]	0.05950(5), [247] 0.05949601(5), [239] 0.0594960034(1) [243]
10	20	0.0575930(1), [239] 0.0575929488(4) [243]	0.05309258(4), [239] 0.0530925842(2) [243]
11	22	0.05158971(8), [239] 0.0515896843(2) [243]	0.04794969(1), [239] 0.04794968373(8) [243]
12	24	0.04673099(6), [239] 0.0467309755(1) [243]	0.04372386(1), [239] 0.04372385825(10) [243]
13	26	0.04271508(8), [239] 0.04271507960(10) [243]	0.04018762(1), [239] 0.04018761703(6) [243]

^{高次元超立方格子上の閾値については、漸近級数展開[238] [246] [249]}がある。

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

ここで、13次元の結合パーコレーションの場合、測定値との誤差は10 ⁻⁶未満であり、これらの式は高次元のシステムにも有用である。 ${\displaystyle \sigma =2d-1}$

他の高次元格子における閾値

d	格子	z	サイトの閾値	債券の閾値
4	ダイヤモンド	5	0.2978(2) [158]	0.2715(3) [158]
4	かごめ	8	0.2715(3) [161]	0.177(1) [158]
4	bcc	16	0.1037(3) [158]	0.074(1), [158] 0.074212(1) [245]
4	fcc、D 4、超立方 2NN	24	0.0842(3), [158] 0.08410(23), [242] 0.0842001(11) [181]	0.049(1), [158] 0.049517(1), [245] 0.0495193(8) [181]
4	超立方NN+2NN	32	0.06190(23), [242] 0.0617731(19) [250]	0.035827(1), [245] 0.0338047(27) [250]
4	超立方3NN	32	0.04540(23) [242]
4	超立方NN+3NN	40	0.04000(23) [242]	0.0271892(22) [250]
4	超三次2NN+3NN	56	0.03310(23) [242]	0.0194075(15) [250]
4	超立方NN+2NN+3NN	64	0.03190(23), [242] 0.0319407(13) [250]	0.0171036(11) [250]
4	超立方NN+2NN+3NN+4NN	88	0.0231538(12) [250]	0.0122088(8) [250]
4	超立方NN+...+5NN	136	0.0147918(12) [250]	0.0077389(9) [250]
4	超立方NN+...+6NN	232	0.0088400(10) [250]	0.0044656(11) [250]
4	超立方NN+...+7NN	296	0.0070006(6) [250]	0.0034812(7) [250]
4	超立方NN+...+8NN	320	0.0064681(9) [250]	0.0032143(8) [250]
4	超立方NN+...+9NN	424	0.0048301(9) [250]	0.0024117(7) [250]
5	ダイヤモンド	6	0.2252(3) [158]	0.2084(4) [161]
5	かごめ	10	0.2084(4) [161]	0.130(2) [158]
5	bcc	32	0.0446(4) [158]	0.033(1) [158]
5	fcc、D 5、超立方 2NN	40	0.0431(3), [158] 0.0435913(6) [181]	0.026(2), [158] 0.0271813(2) [181]
5	超立方NN+2NN	50	0.0334(2) [251]	0.0213(1) [251]
6	ダイヤモンド	7	0.1799(5) [158]	0.1677(7) [161]
6	かごめ	12	0.1677(7) [161]
6	fcc、D 6	60	0.0252(5), [158] 0.02602674(12) [181]	0.01741556(5) [181]
6	bcc	64	0.0199(5) [158]
6	E 6 [181]	72	0.02194021(14) [181]	0.01443205(8) [181]
7	fcc、D 7	84	0.01716730(5) [181]	0.012217868(13) [181]
7	E 7 [181]	126	0.01162306(4) [181]	0.00808368(2) [181]
8	fcc、D 8	112	0.01215392(4) [181]	0.009081804(6) [181]
8	E 8 [181]	240	0.00576991(2) [181]	0.004202070(2) [181]
9	fcc、D 9	144	0.00905870(2) [181]	0.007028457(3) [181]
9	${\displaystyle \Lambda _{9}}$[181]	272	0.00480839(2) [181]	0.0037006865(11) [181]
10	fcc、D 10	180	0.007016353(9) [181]	0.005605579(6) [181]
11	fcc、D 11	220	0.005597592(4) [181]	0.004577155(3) [181]
12	fcc、D 12	264	0.004571339(4) [181]	0.003808960(2) [181]
13	fcc、D 13	312	0.003804565(3) [181]	0.0032197013(14) [181]

1次元長距離パーコレーションにおける閾値

長距離結合パーコレーションモデル。線は結合確率が低下するにつれて幅が狭くなる可能性のある結合を表している（左パネル）。生成されたクラスターとモデルの例（右パネル）。

一次元鎖では、異なる部位と結合が指数 のべき乗法則に従って確率的に減少する。パーコレーションはの臨界値で発生する^{[252] [253]} 。数値的に決定されたパーコレーション閾値は次式で与えられる^[254]。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p={\frac {C}{|i-j|^{1+\sigma }}}}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle C_{c}<1}$ ${\displaystyle \sigma <1}$

${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle C_{c}}$	の関数としての臨界閾値。[254]点線は厳密な下限値である。[252] ${\displaystyle C_{c}}$ ${\displaystyle \sigma }$
0.1	0.047685(8)
0.2	0.093211(16)
0.3	0.140546(17)
0.4	0.193471(15)
0.5	0.25482(5)
0.6	0.327098(6)
0.7	0.413752(14)
0.8	0.521001(14)
0.9	0.66408(7)

双曲型格子、階層型格子、木格子の閾値

これらの格子には、2 つのパーコレーションしきい値が存在する可能性があります。下限しきい値は、それを超えると無限クラスターが出現する確率であり、上限しきい値は、それを超えると一意の無限クラスターが存在する確率です。

ポアンカレ円板上に投影された三角形双曲格子{3,7}の可視化（赤い結合）。緑の結合は{7,3}格子上の双対クラスターを示す^[255]

非平面ハノイネットワークHN-NPの描写^[256]

格子	z	${\displaystyle {\overline {z}}}$	サイト浸透閾値		結合浸透閾値
			より低い	アッパー	より低い	アッパー
{3,7} 双曲線	7	7	0.26931171(7), [257] 0.20 [258]	0.73068829(7), [257] 0.73(2) [258]	0.20、[259] 0.1993505(5) [257]	0.37、[259] 0.4694754(8) [257]
{3,8} 双曲線	8	8	0.20878618(9) [257]	0.79121382(9) [257]	0.1601555(2) [257]	0.4863559(6) [257]
{3,9} 双曲線	9	9	0.1715770(1) [257]	0.8284230(1) [257]	0.1355661(4) [257]	0.4932908(1) [257]
{4,5} 双曲線	5	5	0.29890539(6) [257]	0.8266384(5) [257]	0.27、[259] 0.2689195(3) [257]	0.52、[259] 0.6487772(3) [257]
{4,6} 双曲線	6	6	0.22330172(3) [257]	0.87290362(7) [257]	0.20714787(9) [257]	0.6610951(2) [257]
{4,7} 双曲線	7	7	0.17979594(1) [257]	0.89897645(3) [257]	0.17004767(3) [257]	0.66473420(4) [257]
{4,8} 双曲線	8	8	0.151035321(9) [257]	0.91607962(7) [257]	0.14467876(3) [257]	0.66597370(3) [257]
{4,9} 双曲線	8	8	0.13045681(3) [257]	0.92820305(3) [257]	0.1260724(1) [257]	0.66641596(2) [257]
{5,5} 双曲線	5	5	0.26186660(5) [257]	0.89883342(7) [257]	0.263(10), [260] 0.25416087(3) [257]	0.749(10) [260] 0.74583913(3) [257]
{7,3} 双曲線	3	3	0.54710885(10) [257]	0.8550371(5), [257] 0.86(2) [258]	0.53、[259] 0.551(10)、[260] 0.5305246(8) [257]	0.72、[259] 0.810(10), [260] 0.8006495(5) [257]
{∞,3} ケイリー木	3	3	1 ⁄ 2		1 ⁄ 2 [259]	1 [259]
拡張バイナリツリー（EBT）					0.304(1), [261] 0.306(10), [260] ( √13 − 3)/2 = 0.302776 [262]	0.48、[259] 0.564(1), [261] 0.564(10), [260] 1 ⁄ 2 [262]
強化されたバイナリツリーデュアル					0.436(1), [261] 0.452(10) [260]	0.696(1), [261] 0.699(10) [260]
非平面ハノイネットワーク（HN-NP）					0.319445 [256]	0.381996 [256]
祖父母とケイリーの木		8			0.158656326 [263]

注: {m,n}はシュレーフリ記号であり、n個の正m角形が各頂点で交わる双曲格子を表す。

{P,Q}上の結合パーコレーションについては、双対性により が成り立ちます。サイトパーコレーションについては、三角格子の自己整合により が成り立ちます。 ${\displaystyle p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$ ${\displaystyle p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$

配位数付きケーリー木（ベーテ格子） ${\displaystyle z:p_{c}=1/(z-1)}$

有向浸透の閾値

(1+1)Dかごめ格子

(1+1)D正方格子

(1+1)次元三角格子

(2+1)D SC格子

(2+1)次元BCC格子

格子	z	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
(1+1)-dハニカム	1.5	0.8399316(2), [264] 0.839933(5), [265] (1+1)-d平方の ${\displaystyle ={\sqrt {p_{c}({\mathrm {site} })}}}$	0.8228569(2), [264] 0.82285680(6) [264]
(1+1)-d カゴメ	2	0.7369317(2), [264] 0.73693182(4) [266]	0.6589689(2), [264] 0.65896910(8) [264]
(1+1)-d 正方形、対角線	2	0.705489(4), [267] 0.705489(4), [268] 0.70548522(4), [269] 0.70548515(20), [266] 0.7054852(3), [264]	0.644701(2), [270] 0.644701(1), [271] 0.644701(1), [267] 0.6447006(10), [265] 0.64470015(5), [272] 0.644700185(5), [269] 0.6447001(2), [264] 0.643(2) [273]
(1+1)-d三角形	3	0.595646(3), [267] 0.5956468(5), [272] 0.5956470(3) [264]	0.478018(2), [267] 0.478025(1), [272] 0.4780250(4) [264] 0.479(3) [273]
(2+1)次元単純立方対角平面	3	0.43531(1), [274] 0.43531411(10) [264]	0.382223(7), [274] 0.38222462(6) [264] 0.383(3) [273]
(2+1)-d 平方 nn (= bcc)	4	0.3445736(3), [275] 0.344575(15) [276] 0.3445740(2) [264]	0.2873383(1), [277] 0.287338(3) [274] 0.28733838(4) [264] 0.287(3) [273]
(2+1)-d面心立方			0.199(2)) [273]
(3+1)次元超立方体、対角線	4	0.3025(10), [278] 0.30339538(5) [264]	0.26835628(5), [264] 0.2682(2) [273]
(3+1)-d 立方格子、nn	6	0.2081040(4) [275]	0.1774970(5) [173]
(3+1)-d体心立方格子	8	0.160950(30), [276] 0.16096128(3) [264]	0.13237417(2) [264]
(4+1)次元超立方体、対角線	5	0.23104686(3) [264]	0.20791816(2), [264] 0.2085(2) [273]
(4+1)-d 超立方格子、nn	8	0.1461593(2), [275] 0.1461582(3) [279]	0.1288557(5) [173]
(4+1)-d 体心立方格子	16	0.075582(17), [276] 0.0755850(3), [279] 0.07558515(1) [264]	0.063763395(5) [264]
(5+1)次元超立方体、対角線	6	0.18651358(2) [264]	0.170615155(5), [264] 0.1714(1) [273]
(5+1)-d 超立方格子、nn	10	0.1123373(2) [275]	0.1016796(5) [173]
(5+1)次元超立方体心立方格子	32	0.035967(23), [276] 0.035972540(3) [264]	0.0314566318(5) [264]
(6+1)次元超立方体、対角線	7	0.15654718(1) [264]	0.145089946(3), [264] 0.1458 [273]
(6+1)-d 超立方格子、nn	12	0.0913087(2) [275]	0.0841997(14) [173]
(6+1)次元超立方体心立方格子	64	0.017333051(2) [264]	0.01565938296(10) [264]
(7+1)次元超立方体、対角線	8	0.135004176(10) [264]	0.126387509(3), [264] 0.1270(1) [273]
(7+1)-d 超立方体、nn	14	0.07699336(7) [275]	0.07195(5) [173]
(7+1)-d 体心立方	128	0.008 432 989(2) [264]	0.007 818 371 82(6) [264]

nn = 最近傍点。( d  + 1)次元超立方体システムの場合、超立方体はd次元であり、時間方向は2次元の最近傍点を指します。

複数の近傍を持つ有向浸透

拡張範囲の有向浸透近傍。上: z = 2, 4, 6; 下: z = 3, 5

zがNNの(1+1)-d正方格子、zが奇数の場合は正方格子、zが偶数の場合は傾斜正方格子

格子	z	サイト浸透閾値	結合浸透閾値
(1+1)-d平方	3		0.4395(3), [280]
(1+1)-d平方	5		0.2249(3) [280]
(1+1)-d平方	7		0.1470(2) [280]
(1+1)-d平方	9		0.1081(2) [280]
(1+1)-d平方	11		0.0851(2) [280]
(1+1)-d平方	13		0.0701(2) [280]
(1+1)-d 傾斜平方	2		0.6447(2) [280]
(1+1)-d 傾斜平方	4		0.3272(2) [280]
(1+1)-d 傾斜平方	6		0.2121(3) [280]
(1+1)-d 傾斜平方	8		0.1553(3) [280]
(1+1)-d 傾斜平方	10		0.1220(2) [280]
(1+1)-d 傾斜平方	12		0.0999(2) [280]

大きなzの場合、p _c ~ 1/z ^[280]

サイトボンド指向性パーコレーション

p_b = 債券閾値

p_s = サイト閾値

サイト結合パーコレーションは、接続の確率が異なることと同等です。

P_0 = どのサイトも接続されていない確率

P_2 = ちょうど1つの子孫が上位の頂点に接続されている確率（2つが接続されている）

P_3 = 両方の子孫が元の頂点に接続されている確率（3つすべてが接続されている）

数式:

P_0 = (1-p_s) + p_s(1-p_b)^2

P_2 = p_s p_b (1-p_b)

P_3 = p_s p_b^2

P_0 + 2P_2 + P_3 = 1

格子	z	p_s	p_b	P_0	P_2	P_3
(1+1)-d平方[281]	3	0.644701	1	0.126237	0.229062	0.415639
		0.7	0.93585	0.148376	0.196529	0.458567
		0.75	0.88565	0.169703	0.166059	0.498178
		0.8	0.84135	0.192304	0.134616	0.538464
		0.85	0.80190	0.216143	0.102242	0.579373
		0.9	0.76645	0.241215	0.068981	0.620825
		0.95	0.73450	0.267336	0.034889	0.662886
		1	0.705489	0.294511	0	0.705489

非均質系の正確な臨界多様体

不均一三角格子結合パーコレーション^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

不均一ハニカム格子結合パーコレーション = カゴメ格子サイトパーコレーション^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

不均質（3,12^2）格子、サイトパーコレーション^{[7] [282]}

${\displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$または ${\displaystyle s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)}$

不均質ユニオンジャック格子、確率によるサイトパーコレーション^[283] ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$

${\displaystyle p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}}$

不均質マティーニ格子、結合パーコレーション^{[75] [284]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

不均一なマティーニ格子、サイトパーコレーション。r =星のサイト

${\displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0}$

不均質マティーニA（3-7）格子、結合パーコレーション。左側（「A」の上から下まで）：。右側：。交差結合：。 ${\displaystyle r_{2},\ p_{1}}$ ${\displaystyle r_{1},\ p_{2}}$ ${\displaystyle \ r_{3}}$

${\displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

不均一マティーニB（3-5）格子、結合パーコレーション

外側を結合三角形で囲む不均質マティーニ格子、内側から外側への確率、結合パーコレーション^[284] ${\displaystyle y,x,z}$

${\displaystyle 1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0}$

不均質チェッカーボード格子、結合パーコレーション^{[59] [95]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

不均質ボウタイ格子、結合パーコレーション^{[58] [95]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0}$

ここで、 は正方形の周りの 4 つの結合であり、は結合との間の頂点を結ぶ対角結合です。 ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p_{4},p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$

参照

• 2Dパーコレーションクラスター
• ブートストラップパーコレーション
• 指向性パーコレーション
• 有効媒質近似
• 格子上の疫病モデル
• グラフ理論
• ネットワーク科学
• 浸透
• パーコレーション臨界指数
• パーコレーション理論
• 連続体パーコレーション理論
• ランダムシーケンシャル吸着
• 均一なタイリング

参考文献

1. シュタウファー、ディートリッヒ、アハロニー、アムノン (2003). 『パーコレーション理論入門』（改訂第2版）ロンドン: テイラー＆フランシス. ISBN 978-0-7484-0253-3。
2. Kasteleyn, PW; Fortuin, CM (1969). 「ランダムな局所特性を持つ格子系の相転移」.日本物理学会誌 補足. 26 : 11–14 . Bibcode :1969JPSJS..26...11K.
3. Grünbaum, Branko & Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . New York: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3。
4. Berchenko, Yakir; Artzy-Randrup, Yael; Teicher, Mina; Stone, Lewi (2009年3月30日). 「与えられた次数分布を持つクラスター化ランダムグラフにおける巨大成分の出現とサイズ」 . Physical Review Letters . 102 (13) 138701. Bibcode :2009PhRvL.102m8701B. doi :10.1103/PhysRevLett.102.138701. ISSN  0031-9007. PMID  19392410.
5. Li, Ming; Liu, Run-Ran; Lü, Linyuan; Hu, Mao-Bin; Xu, Shuqi; Zhang, Yi-Cheng (2021年4月25日). 「複雑ネットワークにおけるパーコレーション：理論と応用」. Physics Reports . 907 : 1– 68. arXiv : 2101.11761 . Bibcode :2021PhR...907....1L. doi :10.1016/j.physrep.2020.12.003. ISSN  0370-1573. S2CID  231719831.
6. パルヴィアイネン、ロバート (2005). アルキメデス格子とラーベス格子の連結性特性. 第34巻. ウプサラ数学論文集. p. 37. ISBN 978-91-506-1751-1。
7. Suding, PN; RM Ziff (1999). 「アルキメデス格子のサイトパーコレーション閾値」. Physical Review E. 60 ( 1): 275– 283. Bibcode :1999PhRvE..60..275S. doi :10.1103/PhysRevE.60.275. PMID  11969760.
8. Parviainen, Robert (2007). 「アルキメデス格子における結合パーコレーション閾値の推定」Journal of Physics A . 40 (31): 9253– 9258. arXiv : 0704.2098 . Bibcode :2007JPhA...40.9253P. doi :10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID  680787.
9. Ding, Chengxiang; Zhe Fu. Wenan Guo; FY Wu (2010). 「三角形型およびカゴメ型格子上のポッツ模型とパーコレーション模型の臨界境界II：数値解析」. Physical Review E. 81 ( 6) 061111. arXiv : 1001.1488 . Bibcode :2010PhRvE..81f1111D. doi :10.1103/PhysRevE.81.061111. PMID:  20866382. S2CID  : 29625353.
10. Scullard, CR; JL Jacobsen (2012). 「パーコレーションにおける一般化臨界多項式の転送行列計算」arXiv : 1209.1451 [cond-mat.stat-mech].
11. Jacobsen, JL (2014). 「グラフ多項式による高精度パーコレーション閾値とポッツモデルの臨界多様体」. Journal of Physics A. 47 ( 13) 135001. arXiv : 1401.7847 . Bibcode :2014JPhA...47m5001G. doi :10.1088/1751-8113/47/13/135001. S2CID  119614758.
12. Jacobsen, Jesper L.; Christian R. Scullard (2013). 「臨界多様体、グラフ多項式、そして正確な可解性」(PDF) . StatPhys 25, ソウル, 韓国 7月21日～26日.
13. Scullard, Christian R.; Jesper Lykke Jacobsen (2020). 「臨界多項式根からのアルキメデス格子上の結合パーコレーション閾値」. Physical Review Research . 2 (1) 012050. arXiv : 1910.12376 . Bibcode :2020PhRvR...2a2050S. doi :10.1103/PhysRevResearch.2.012050. S2CID  204904858.
14. d'Iribarne, C.; Rasigni, M.; Rasigni, G. (1995). 「最小スパニングツリーアプローチによる2次元モザイクのサイトパーコレーション遷移の決定」. Physics Letters A. 209 ( 1–2 ) : 95–98 . Bibcode :1995PhLA..209... 95D . doi :10.1016/0375-9601(95)00794-8.
15. d'Iribarne, C.; Rasigni, M.; Rasigni, G. (1999). 「格子長距離パーコレーションから連続体パーコレーションへ」. Phys. Lett. A . 263 ( 1– 2): 65– 69. Bibcode :1999PhLA..263...65D. doi :10.1016/S0375-9601(99)00585-X.
16. Schliecker, G.; C. Kaiser (1999). 「無秩序モザイクにおけるパーコレーション」. Physica A. 269 ( 2–4 ) : 189– 200. Bibcode :1999PhyA..269..189S. doi :10.1016/S0378-4371(99)00093-X.
17. Djordjevic, ZV; HE Stanley; Alla Margolina (1982). 「ハニカム格子と正方格子のサイトパーコレーション閾値」. Journal of Physics A. 15 ( 8): L405 – L412 . Bibcode :1982JPhA...15L.405D. doi :10.1088/0305-4470/15/8/006.
18. Feng, Xiaomei; Youjin Deng; HWJ Blöte (2008). 「2次元におけるパーコレーション遷移」. Physical Review E. 78 ( 3) 031136. arXiv : 0901.1370 . Bibcode :2008PhRvE..78c1136F. doi :10.1103/PhysRevE.78.031136. PMID  18851022. S2CID  29282598.
19. Ziff, RM; Hang Gu (2008). 「カゴメ状格子の臨界パーコレーション閾値に関する普遍条件」. Physical Review E. 79 ( 2) 020102. arXiv : 0812.0181 . doi :10.1103/PhysRevE.79.020102. PMID  19391694. S2CID  18051122.
20. Sykes, MF; JW Essam (1964). 「2次元におけるサイトおよびボンド問題に対する正確な臨界パーコレーション確率」. Journal of Mathematical Physics . 5 (8): 1117– 1127. Bibcode :1964JMP.....5.1117S. doi :10.1063/1.1704215.
21. Ziff, RM; PW Suding (1997). 「カゴメ格子における結合パーコレーション閾値の決定」. Journal of Physics A. 30 ( 15): 5351– 5359. arXiv : cond-mat/9707110 . Bibcode :1997JPhA...30.5351Z. doi :10.1088/0305-4470/30/15/021. S2CID  28814369.
22. Scullard, CR (2012). 「グラフ不変量としてのパーコレーション臨界多項式」. Physical Review E. 86 ( 4) 041131: 1131. arXiv : 1111.1061 . Bibcode :2012PhRvE..86d1131S. doi :10.1103/PhysRevE.86.041131. PMID:  23214553. S2CID:  33348328.
23. Jacobsen, JL (2015). 「周期的テンパリー・リーブ代数における固有値恒等式によるポッツ模型とO(N)模型の臨界点」. Journal of Physics A. 48 ( 45) 454003. arXiv : 1507.03027 . Bibcode :2015JPhA...48S4003L. doi :10.1088/1751-8113/48/45/454003. S2CID  119146630.
24. Lin, Keh Ying; Wen Jong Ma (1983). 「ルビー格子上の2次元イジング模型」. Journal of Physics A. 16 ( 16): 3895– 3898. Bibcode :1983JPhA...16.3895L. doi :10.1088/0305-4470/16/16/027.
25. Derrida, B.; D. Stauffer (1985). 「2次元パーコレーションおよび格子動物問題におけるスケーリングと現象論的再正規化の補正」(PDF) . Journal de Physique . 46 (45): 1623. doi :10.1051/jphys:0198500460100162300. S2CID  8289499.
26. Yang, Y.; S. Zhou.; Y. Li. (2013). 「Square++：接続ゲームを勝ち負けの補完と公平なプレイに変える」.エンターテインメント・コンピューティング. 4 (2): 105– 113. doi :10.1016/j.entcom.2012.10.004.
27. Newman, MEJ; RM Ziff (2000). 「効率的なモンテカルロアルゴリズムとパーコレーションの高精度結果」. Physical Review Letters . 85 ( 19 ): 4104–7 . arXiv : cond-mat/0005264 . Bibcode :2000PhRvL..85.4104N. CiteSeerX 10.1.1.310.4632 . doi :10.1103/PhysRevLett.85.4104. PMID  11056635. S2CID  747665. 
28. Mertens, Stephan (2022). 「正方格子上の正確なサイトパーコレーション確率」. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 55 (33): 334002. arXiv : 2109.12102 . Bibcode :2022JPhA...55G4002M. doi :10.1088/1751-8121/ac4195. ISSN  1751-8113.
29. de Oliveira, PMC; RA Nobrega; D. Stauffer (2003). 「パーコレーションにおける有限サイズスケーリングの補正」. Brazilian Journal of Physics . 33 (3): 616– 618. arXiv : cond-mat/0308525 . Bibcode :2003BrJPh..33..616O. doi :10.1590/S0103-97332003000300025. S2CID  8972025.
30. Lee, MJ (2007). 「グラフとパーコレーションのための補完アルゴリズム」. Physical Review E. 76 ( 2) 027702. arXiv : 0708.0600 . Bibcode :2007PhRvE..76b7702L. doi :10.1103/PhysRevE.76.027702. PMID  : 17930184. S2CID:  304257.
31. Lee, MJ (2008). 「擬似乱数生成器と正方形サイトパーコレーション閾値」. Physical Review E. 78 ( 3) 031131. arXiv : 0807.1576 . Bibcode :2008PhRvE..78c1131L. doi :10.1103/PhysRevE.78.031131. PMID:  18851017. S2CID:  7027694.
32. Levenshteĭn, ME; BI Shklovskiĭ; MS Shur; AL Éfros (1975). 「パーコレーション理論の臨界指数間の関係」Zh. Eksp. Teor. Fiz . 69 : 386– 392. Bibcode :1975JETP...42..197L.
33. Dean, P.; Bird, NF (1967). 「モンテカルロ法による臨界パーコレーション確率の推定」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 63 (2): 477– 479. Bibcode :1967PCPS...63..477D. doi :10.1017/s0305004100041438. S2CID  137386357.
34. Dean, P. (1963). 「格子上のパーコレーション問題に対する新しいモンテカルロ法」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 59 (2): 397– 410. Bibcode :1963PCPS...59..397D. doi :10.1017/s0305004100037026. S2CID  122985645.
35. Tencer, John; Forsberg, Kelsey Meeks (2021). 「正方格子上の勾配パーコレーション予測のための後処理技術」. Physical Review E. 103 ( 1) 012115. Bibcode :2021PhRvE.103a2115T. doi :10.1103/PhysRevE.103.012115. OSTI  1778027. PMID :  33601521 . S2CID :  231961701.
36. Betts, DD (1995). 「配位数5の新しい2次元格子」. Proc. Nova Scotian Inst. Sci . 40 : 95–100 . hdl :10222/35332.
37. d'Iribarne, C.; Rasigni, M.; Rasigni, G. (1999). 「モザイク上の最小全域木とパーコレーション：グラフ理論とパーコレーション」. J. Phys. A: Math. Gen. 32 ( 14): 2611– 2622. Bibcode :1999JPhA...32.2611D. doi :10.1088/0305-4470/32/14/002.
38. van der Marck, Steven C. (1997). 「パーコレーション閾値と普遍的な公式」. Physical Review E. 55 ( 2): 1514– 1517. Bibcode :1997PhRvE..55.1514V. doi :10.1103/PhysRevE.55.1514.
39. Malarz, K.; S. Galam (2005). 「隣接結合距離の増加に伴う正方格子サイトパーコレーション」. Physical Review E. 71 ( 1) 016125. arXiv : cond-mat/0408338 . Bibcode :2005PhRvE..71a6125M. doi :10.1103/PhysRevE.71.016125. PMID :  15697676 . S2CID:  119087463.
40. Majewski, M.; K. Malarz (2007). 「複合近傍における正方格子サイトパーコレーション閾値」. Acta Phys. Pol. B . 38 (38): 2191. arXiv : cond-mat/0609635 . Bibcode :2007AcPPB..38.2191M.
41. Dalton, NW; C. Domb; MF Sykes (1964). 「希薄強磁性体の臨界濃度の相互作用範囲への依存性」Proc. Phys. Soc . 83 (3): 496– 498. doi :10.1088/0370-1328/83/3/118.
42. コリアー、アンドリュー。「パーコレーション閾値：次近傍点の包含」。
43. Ouyang, Yunqing; Y. Deng; Henk WJ Blöte (2018). 「2次元における等価近傍パーコレーションモデル：平均場挙動と短距離挙動のクロスオーバー」. Physical Review E. 98 ( 6) 062101. arXiv : 1808.05812 . Bibcode :2018PhRvE..98f2101O. doi :10.1103/PhysRevE.98.062101. S2CID  119328197.
44. Xu, Wenhui; Junfeng Wang; Hao Hu; Youjin Deng (2021). 「非平面および連続体パーコレーションモデルにおける臨界多項式」. Physical Review E. 103 ( 2) 022127. arXiv : 2010.02887 . Bibcode :2021PhRvE.103b2127X. doi :10.1103/PhysRevE.103.022127. ISSN  2470-0045. PMID  33736116. S2CID  222140792.
45. Xun, Zhipeng; DaPeng Hao; Robert M. Ziff (2022). 「2次元および3次元におけるコンパクトな拡張範囲近傍を持つ正則格子上のサイトおよびボンドパーコレーション閾値」. Physical Review E. 105 ( 2) 024105. arXiv : 2111.10975 . Bibcode :2022PhRvE.105b4105X. doi :10.1103/PhysRevE.105.024105. PMID:  35291074. S2CID  : 244478657.
46. Malarz, Krzysztop (2021). 「第5配位領域までのサイトを含む近傍における三角格子上のパーコレーション閾値」. Physical Review E. 103 ( 5) 052107. arXiv : 2102.10066 . Bibcode :2021PhRvE.103e2107M. doi :10.1103/PhysRevE.103.052107. PMID :  34134312. S2CID  : 231979514.
47. Malarz, Krzysztof (2020). 「複雑な近傍を持つ三角格子上のサイトパーコレーション閾値」. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 30 (12) 123123. arXiv : 2006.15621 . Bibcode :2020Chaos..30l3123M. doi :10.1063/5.0022336. PMID :  33380057. S2CID  : 220250058.
48. Domb, C.; NW Dalton (1966). 「長距離力による結晶統計 I. 等価近傍モデル」Proc. Phys. Soc . 89 (4): 859– 871. Bibcode :1966PPS....89..859D. doi :10.1088/0370-1328/89/4/311.
49. Gouker, Mark; Family, Fereydoon (1983). 「長距離サイトパーコレーションにおける古典的臨界挙動の証拠」. Physical Review B. 28 ( 3): 1449. Bibcode :1983PhRvB..28.1449G. doi :10.1103/PhysRevB.28.1449.
50. Xun, Zhipeng; Dapeng Hao; Robert M. Ziff (2021). 「拡張近傍を持つ正方格子および単純立方格子上のサイトパーコレーションとその連続体極限」. Physical Review E. 103 ( 2) 022126. arXiv : 2010.02895 . Bibcode :2021PhRvE.103b2126X. doi :10.1103/PhysRevE.103.022126. PMID:  33735955. S2CID  : 222141832.
51. Malarz, Krzysztof (2022). 「複雑な近傍を持つハニカム格子上のランダムサイトパーコレーション」. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 32 (8) 083123. arXiv : 2204.12593 . doi :10.1063/5.0099066. PMID  36049902. S2CID  248405741.
52. Mecke, KR; Seyfried, A (2002). 「パーコレーション閾値の多分散性への強い依存性」. Europhysics Letters . 58 (1): 28– 34. Bibcode :2002EL.....58...28M. doi :10.1209/epl/i2002-00601-y. S2CID  250737562.
53. Koza, Zbigniew; Kondrat, Grzegorz; Suszczyński, Karol (2014). 「格子上の重なり合う正方形または立方体のパーコレーション」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2014 (11) P11005. arXiv : 1606.07969 . Bibcode :2014JSMTE..11..005K. doi :10.1088/1742-5468/2014/11/P11005. S2CID  118623466.
54. Malarz, Krzysztof (2023). 「第6配位領域までのサイトを含む複雑な近傍における正方格子上のランダムサイトパーコレーション閾値」Physica A . 632 (1) 129347. doi : 10.1016/j.physa.2023.129347 .
55. Deng, Youjin; Yunqing Ouyang; Henk WJ Blöte (2019). 「2次元における中距離パーコレーション」. J. Phys.: Conf. Ser . 1163 (1) 012001. Bibcode :2019JPhCS1163a2001D. doi : 10.1088/1742-6596/1163/1/012001 . hdl : 1887/82550 .
56. Mitra, S.; D. Saha; A. Sensharma (2019). 「歪んだ正方格子におけるパーコレーション」. Physical Review E. 99 ( 1) 012117. arXiv : 1808.10665 . Bibcode :2019PhRvE..99a2117M. doi :10.1103/PhysRevE.99.012117. PMID:  30780325.
57. Jasna, CK; V. Sasidevan (2024). 「格子上における整列および重なり合う物体のパーコレーションに対する形状非対称性の影響」. Phys. Rev. E. 109 064118. arXiv : 2308.12932 . doi : 10.1103/PhysRevE.109.064118. PMID  39020917.
58. Scullard, CR; RM Ziff (2010). 「一般不均質結合パーコレーション問題における臨界面」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2010 (3) P03021. arXiv : 0911.2686 . Bibcode :2010JSMTE..03..021S. doi :10.1088/1742-5468/2010/03/P03021. S2CID  119230786.
59. Wu, FY (1979). 「平面ポッツ模型の臨界点」. Journal of Physics C. 12 ( 17): L645 – L650 . Bibcode :1979JPhC...12L.645W. doi :10.1088/0022-3719/12/17/002.
60. Mai, T.; Halley, JW (1980). Sinha, SK (編). 2次元における秩序化. North-Holland, Amsterdam. pp.  369– 371.
61. Kundu, Sumanta; Manna, SS (2017年5月15日). 「Colored percolation」. Physical Review E. 95 ( 5) 052124. arXiv : 1709.00887 . doi :10.1103/PhysRevE.95.052124. ISSN  2470-0045. PMID  28618459.
62. 中西 浩 (1987). 「2次元におけるABパーコレーションの臨界挙動」 . Journal of Physics A: Mathematical and General . 20 (17): 6075– 6083. doi :10.1088/0305-4470/20/17/040. ISSN  0305-4470.
63. Debierre, J-M; Bradley, RM (1992). 「三角格子上の反浸透包のスケーリング特性」 . Journal of Physics A: Mathematical and General . 25 (2): 335– 343. doi :10.1088/0305-4470/25/2/014. ISSN  0305-4470.
64. Wu, Xian-Yuan; Popov, S. Yu. (2003). 「正方格子上のAB結合パーコレーションとその線グラフ上のABサイトパーコレーションについて」 . Journal of Statistical Physics . 110 (1/2): 443– 449. doi :10.1023/A:1021091316925.
65. Hovi, J.-P.; A. Aharony (1996). 「パーコレーションのスパニング確率におけるスケーリングと普遍性」. Physical Review E. 53 ( 1): 235– 253. Bibcode :1996PhRvE..53..235H. doi :10.1103/PhysRevE.53.235. PMID  9964253.
66. Tarasevich, Yuriy Yu; Steven C. van der Marck (1999). 「多数の格子におけるサイトボンドパーコレーションの調査」. Int. J. Mod. Phys. C. 10 ( 7): 1193– 1204. arXiv : cond-mat/9906078 . Bibcode :1999IJMPC..10.1193T. doi :10.1142/S0129183199000978. S2CID  16917458.
67. González-Flores, MI; AA Torres; W. Lebrecht; AJ Ramirez-Pastor (2021). 「2次元カゴメ格子におけるサイトボンドパーコレーション：解析的アプローチと数値シミュレーション」. Physical Review E. 104 ( 1) 014130. Bibcode :2021PhRvE.104a4130G. doi :10.1103/PhysRevE.104.014130. PMID:  34412224. S2CID  : 237243188.
68. 坂本 誠; 米澤 文; 堀 正之 (1989). 「2次元格子におけるパーコレーション閾値の推定に関する提案」J. Phys. A . 22 (14): L699 – L704 . Bibcode :1989JPhA...22L.699S. doi :10.1088/0305-4470/22/14/009.
69. Deng, Y.; Y. Huang; JL Jacobsen; J. Salas; AD Sokal (2011). 「4状態ポッツ反強磁性体の有限温度相転移」. Physical Review Letters . 107 (15) 150601. arXiv : 1108.1743 . Bibcode :2011PhRvL.107o0601D. doi :10.1103/PhysRevLett.107.150601. PMID:  22107278. S2CID  : 31777818.
70. Syozi, I (1972). 「イジングモデルの変換」. Domb, C.; Green, MS (編).臨界現象における相転移. 第1巻. アカデミック・プレス, ロンドン. pp.  270– 329.
71. Neher, Richard; Mecke, Klaus; Wagner, Herbert (2008). 「パーコレーション閾値の位相的推定」Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2008 (1) P01011. arXiv : 0708.3250 . Bibcode :2008JSMTE..01..011N. doi :10.1088/1742-5468/2008/01/P01011. S2CID  8584164.
72. Grimmett, G.; Manolescu, I (2012). 「等放射状グラフ上の結合パーコレーション：臨界性と普遍性」.確率論と関連分野. 159 ( 1–2 ): 273– 327. arXiv : 1204.0505 . doi :10.1007/s00440-013-0507-y. S2CID  15031903.
73. Scullard, CR (2006). 「サイト-ボンド変換とスタートライアングル変換を用いた正確なサイトパーコレーション閾値」. Physical Review E. 73 ( 1) 016107. arXiv : cond-mat/0507392 . Bibcode :2006PhRvE..73a6107S. doi :10.1103/PhysRevE.73.016107. PMID :  16486216 . S2CID  :17948429.
74. Ziff, RM (2006). 「一般化されたセル-デュアルセル変換とパーコレーションの正確な閾値」. Physical Review E. 73 ( 1) 016134. Bibcode :2006PhRvE..73a6134Z. doi :10.1103/PhysRevE.73.016134. PMID  16486243.
75. Scullard, CR; Robert M Ziff (2006). 「2次元における正確な結合パーコレーション閾値」. Journal of Physics A. 39 ( 49): 15083– 15090. arXiv : cond-mat/0610813 . Bibcode :2006JPhA...3915083Z. doi :10.1088/0305-4470/39/49/003. S2CID  14332146.
76. Ding, Chengxiang; Yancheng Wang; Yang Li (2012). 「ボウタイ格子上のポッツモデルとパーコレーションモデル」. Physical Review E. 86 ( 2) 021125. arXiv : 1203.2244 . Bibcode :2012PhRvE..86b1125D. doi :10.1103/PhysRevE.86.021125. PMID  23005740. S2CID  27190130.
77. Wierman, John (1984). 「スタートライアングル変換に基づく結合パーコレーション臨界確率測定」. J. Phys. A: Math. Gen. 17 ( 7): 1525– 1530. Bibcode :1984JPhA...17.1525W. doi :10.1088/0305-4470/17/7/020.
78. Mahmood Maher al-Naqsh (1983). 「MAH 007」.イランのタイル細工におけるドローイングのデザインと制作. 2017年1月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年11月18日閲覧。
79. 「西の墓塔、ハラカン」。
80. Melchert, Oliver; Helmut G. Katzgraber; Mark A. Novotny (2016). 「Kn,nベース格子におけるサイトおよびボンドパーコレーション閾値：キメラトポロジーにおけるランダム量子ビットおよびカップラー障害に対する量子アニーラーの脆弱性」Physical Review E . 93 (4) 042128. arXiv : 1511.07078 . Bibcode :2016PhRvE..93d2128M. doi :10.1103/PhysRevE.93.042128. PMID  27176275. S2CID  206249608.
81. 大久保 誠; 林 正治; 木村 俊一; 太田 秀; 本川 正治; 菊池 秀; 長澤 秀 (1998). 「三角籠目反強磁性体Cu9X2(cpa)6 (X=Cl, Br)のサブミリ波ESR」. Physica B. 246– 247 (2): 553– 556. Bibcode :1998PhyB..246..553O. doi :10.1016/S0921-4526(97)00985-X.
82. Haji Akbari, Amir; RM Ziff (2009). 「ボイドとボトルネックを持つネットワークにおけるパーコレーション」. Physical Review E. 79 ( 2) 021118. arXiv : 0811.4575 . Bibcode :2009PhRvE..79b1118H. doi :10.1103/PhysRevE.79.021118. PMID  19391717. S2CID  2554311.
83. Cornette, V.; AJ Ramirez-Pastor; F. Nieto (2003). 「浸透閾値の浸透種の大きさへの依存性」. Physica A. 327 ( 1): 71– 75. Bibcode :2003PhyA..327...71C. doi :10.1016/S0378-4371(03)00453-9. hdl : 11336/138178 .
84. Lebrecht, W.; PM Centres; AJ Ramirez-Pastor (2019). 「二次元格子上のモノマーおよびダイマーのサイトパーコレーション閾値の解析的近似」. Physica A. 516 : 133–143 . Bibcode : 2019PhyA..516..133L. doi :10.1016/j.physa.2018.10.023. S2CID  125418069.
85. Longone, Pablo; PM Centres; AJ Ramirez-Pastor (2019). 「2次元三角格子上における整列剛体ロッドのパーコレーション」. Physical Review E. 100 ( 5) 052104. arXiv : 1906.03966 . Bibcode :2019PhRvE.100e2104L. doi :10.1103/PhysRevE.100.052104. PMID  31870027. S2CID  182953009.
86. Budinski-Petkovic, Lj; I. Loncarevic; ZM Jacsik; SB Vrhovac (2016). 「急冷不純物を含む三角格子上の拡張物体のランダム逐次吸着におけるジャミングとパーコレーション」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2016 (5) 053101. Bibcode :2016JSMTE..05.3101B. doi :10.1088/1742-5468/2016/05/053101. S2CID  3913989.
87. チェルカソワ、バージニア州;ゆう。ゆう。タラセビッチ; NIレボフカ。 NV ヴィゴルニツキー (2010)。 「正方格子上に整列した二量体のパーコレーション」。ユーロ。物理学。 J.B.​ 74 (2 ) : 205–209.arXiv : 0912.0778 。Bibcode :2010EPJB...74..205C。土井：10.1140/epjb/e2010-00089-2。S2CID  118485353。
88. Leroyer, Y.; E. Pommiers (1994). 「正方格子上の線分のパーコレーションのモンテカルロ解析」Physical Review B . 50 (5): 2795– 2799. arXiv : cond-mat/9312066 . Bibcode :1994PhRvB..50.2795L. doi :10.1103/PhysRevB.50.2795. PMID  9976520. S2CID  119495907.
89. Vanderwalle, N.; S. Galam; M. Kramer (2000). 「針状結晶のランダム連続堆積に関する新たな普遍性」. Eur. Phys. J. B. 14 ( 3): 407– 410. arXiv : cond-mat/0004271 . Bibcode :2000EPJB...14..407V. doi :10.1007/s100510051047. S2CID  11142384.
90. Kondrat, Grzegorz; Andrzej Pękalski (2001). 「正方格子上の線状セグメントのランダム逐次吸着におけるパーコレーションとジャミング」. Physical Review E. 63 ( 5) 051108. arXiv : cond-mat/0102031 . Bibcode :2001PhRvE..63e1108K. doi :10.1103/PhysRevE.63.051108. PMID  11414888. S2CID  44490067.
91. Haji-Akbari, A.; Nasim Haji-Akbari; Robert M. Ziff (2015). 「二量体被覆とパーコレーションフラストレーション」. Physical Review E. 92 ( 3) 032134. arXiv : 1507.04411 . Bibcode :2015PhRvE..92c2134H. doi :10.1103/PhysRevE.92.032134. PMID :  26465453. S2CID  : 34100812.
92. Zia, RKP; W. Yong; B. Schmittmann (2009). 「有限ランダムウォークの集合のパーコレーション：薄いポリマー膜を介したガス透過モデル」. J​​ournal of Mathematical Chemistry . 45 : 58–64 . doi :10.1007/s10910-008-9367-6. S2CID  94092783.
93. Wu, Yong; B. Schmittmann ; RKP Zia (2008). 「パーコレーション近傍の2次元ポリマーネットワーク」. Journal of Physics A. 41 ( 2): 025008. Bibcode :2008JPhA...41b5004W. doi :10.1088/1751-8113/41/2/025004. S2CID  13053653.
94. Cornette, V.; AJ Ramirez-Pastor; F. Nieto (2003). 「正方格子上の多原子種のパーコレーション」. European Physical Journal B. 36 ( 3): 391– 399. Bibcode :2003EPJB...36..391C. doi :10.1140/epjb/e2003-00358-1. S2CID  119852589.
95. Ziff, RM; CR Scullard; JC Wierman; MRA Sedlock (2012). 「ボウタイ格子とチェッカーボード格子における不均質結合パーコレーションの臨界多様体」. Journal of Physics A. 45 ( 49) 494005. arXiv : 1210.6609 . Bibcode :2012JPhA...45W4005Z. doi :10.1088/1751-8113/45/49/494005. S2CID  2121370.
96. Mertens, Stephan; Cristopher Moore (2012). 「2次元における連続体パーコレーション閾値」. Physical Review E. 86 ( 6) 061109. arXiv : 1209.4936 . Bibcode :2012PhRvE..86f1109M. doi :10.1103/PhysRevE.86.061109. PMID  23367895. S2CID  15107275.
97. Quintanilla, John A.; RM Ziff (2007). 「2つの異なる半径を持つ完全貫通ディスクのパーコレーション閾値の非対称性」. Physical Review E. 76 ( 5): 051115 [6ページ]. Bibcode :2007PhRvE..76e1115Q. doi :10.1103/PhysRevE.76.051115. PMID  18233631.
98. Quintanilla, J; S. Torquato; RM Ziff (2000). 「完全に貫通可能なディスクのパーコレーション閾値の効率的な測定」. J. Phys. A: Math. Gen. 33 ( 42): L399 – L407 . Bibcode :2000JPhA...33L.399Q. CiteSeerX 10.1.1.6.8207 . doi :10.1088/0305-4470/33/42/104.  
99. Lorenz, B; I. Orgzall; H.-O. Heuer (1993). 「2つの異なる半径分布を持つパーコレーション連続体モデルにおける普遍性とクラスター構造」J. Phys. A: Math. Gen . 26 (18): 4711– 4712. Bibcode :1993JPhA...26.4711L. doi :10.1088/0305-4470/26/18/032.
100. Rosso, M (1989). 「2次元連続体パーコレーションへの濃度勾配アプローチ」J. Phys. A: Math. Gen. 22 ( 4): L131 – L136 . Bibcode :1989JPhA...22L.131R. doi :10.1088/0305-4470/22/4/004.
101. Gawlinski, Edward T.; H. Eugene Stanley (1981). 「2次元連続体パーコレーション：非相互作用円板のスケーリングと普遍性のモンテカルロテスト」J. Phys. A: Math. Gen . 14 (8): L291 – L299 . Bibcode :1981JPhA...14L.291G. doi :10.1088/0305-4470/14/8/007.
102. Yi, Y.-B.; AM Sastry (2004). 「重なり合う回転楕円体のパーコレーション閾値の解析的近似」Proceedings of the Royal Society A . 460 (5): 2353– 2380. Bibcode :2004RSPSA.460.2353Y. doi :10.1098/rspa.2004.1279. S2CID  2475482.
103. Pike, GE; CH Seager (1974). 「パーコレーションと伝導率：コンピュータによる研究 I」. Physical Review B. 10 ( 4): 1421– 1434. Bibcode :1974PhRvB..10.1421P. doi :10.1103/PhysRevB.10.1421.
104. Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2019). 「合同型および二元型超楕円体を含む二次元粒子系の連続体パーコレーション特性の測定」. Powder Technology . 347 : 17– 26. doi :10.1016/j.powtec.2019.02.036. S2CID  104332397.
105. Li, Mingqi; Chen, Huisu; Lin, Jianjun; Zhang, Rongling; Liu, Lin (2021年7月). 「多孔質複合材料のパーコレーション閾値と拡散率に対する細孔形状の多分散性の影響：理論および数値解析的研究」. Powder Technology . 386 : 382– 393. doi :10.1016/j.powtec.2021.03.055. ISSN  0032-5910. S2CID  233675695.
106. Koza, Zbigniew; Piotr Brzeski; Grzegorz Kondrat (2023). 「3脚クラスター法を用いた完全貫通ディスクのパーコレーション」J. Phys. A: Math. Theor . (印刷中) (16): 165001. Bibcode :2023JPhA...56p5001K. doi : 10.1088/1751-8121/acc3d0 . S2CID  257524315.
107. Charbonneau, Benoit; Patrick Charbonneau; Yi Hu; Zhen Yang (2021). 「高次元パーコレーション臨界性とランダムローレンツガスの平均場的ケージングのヒント」. Physical Review E. 104 ( 2) 024137. arXiv : 2105.04711 . Bibcode :2021PhRvE.104b4137C. doi :10.1103/PhysRevE.104.024137. PMID:  34525662. S2CID  : 234357912.
108. Gilbert, EN (1961). 「ランダムプレーンネットワーク」. J. Soc. Indust. Appl. Math . 9 (4): 533– 543. doi :10.1137/0109045.
109. Xu, Wenhui; Junfeng Wang; Hao Hu; Youjin Deng (2021). 「非平面および連続体パーコレーションモデルにおける臨界多項式」. Physical Review E. 103 ( 2) 022127. arXiv : 2010.02887 . Bibcode :2021PhRvE.103b2127X. doi :10.1103/PhysRevE.103.022127. ISSN  2470-0045. PMID  33736116. S2CID  222140792.
110. Tarasevich, Yuri Yu.; Andrei V. Eserkepov (2020). 「不等辺長方形のパーコレーション閾値：アスペクト比の範囲における数値推定」. Physical Review E. 101 ( 2) 022108. arXiv : 1910.05072 . Bibcode :2020PhRvE.101b2108T. doi :10.1103/PhysRevE.101.022108. PMID :  32168641. S2CID  : 204401814.
111. Li, Jiantong; Mikael Östling (2016). 「重なり合う楕円を含む2次元ランダムシステムの精密パーコレーション閾値」. Physica A. 462 : 940–950 . Bibcode : 2016PhyA..462..940L. doi :10.1016/j.physa.2016.06.020.
112. Nguyen, Van Lien; Enrique Canessa (1999). 「2次元連続体パーコレーションモデルにおける有限サイズスケーリング」. Modern Physics Letters B. 13 ( 17): 577– 583. arXiv : cond-mat/9909200 . Bibcode :1999MPLB...13..577N. doi :10.1142/S0217984999000737. S2CID  18560722.
113. Roberts, FDK (1967). 「2次元非構造化クラスター問題のモンテカルロ解法」. Biometrika . 54 (3/4): 625– 628. doi :10.2307/2335053. JSTOR  2335053. PMID  6064024.
114. Quintanilla, John A. (2001). 「異なる半径の完全貫通ディスクにおけるパーコレーション閾値の測定」. Physical Review E. 63 ( 6) 061108. Bibcode :2001PhRvE..63f1108Q. doi :10.1103/PhysRevE.63.061108. PMID  11415069.
115. Xia, W.; MF Thorpe (1988). 「ランダム楕円のパーコレーション特性」. Physical Review A. 38 ( 5): 2650– 2656. Bibcode :1988PhRvA..38.2650X. doi :10.1103/PhysRevA.38.2650. PMID  9900674.
116. Torquato, S.; Y. Jiao (2012). 「重なり合う超球体と超立方体の連続体パーコレーションに対する次元の影響。II. シミュレーション結果と解析」J. Chem. Phys . 137 (7): 074106. arXiv : 1208.3720 . Bibcode :2012JChPh.137g4106T. doi :10.1063/1.4742750. PMID  22920102. S2CID  13188197.
117. Baker, Don R.; Gerald Paul; Sameet Sreenivasan; H. Eugene Stanley (2002). 「相互浸透する正方形と立方体の連続体パーコレーション閾値」. Physical Review E. 66 ( 4): 046136 [5ページ]. arXiv : cond-mat/0203235 . Bibcode :2002PhRvE..66d6136B. doi :10.1103/PhysRevE.66.046136. PMID  12443288. S2CID  9561586.
118. Li, Jiantong; Mikael Östling (2013). 「2次元矩形連続体のパーコレーション閾値」. Physical Review E. 88 ( 1) 012101. Bibcode :2013PhRvE..88a2101L. doi :10.1103/PhysRevE.88.012101. PMID  23944408. S2CID  21438506.
119. Li, Jiantong; Shi-Li Zhang (2009). 「スティックパーコレーションにおける有限サイズスケーリング」. Physical Review E. 80 ( 4): 040104(R). Bibcode :2009PhRvE..80d0104L. doi :10.1103/PhysRevE.80.040104. PMID  19905260.
120. Tarasevich, Yuri Yu.; Andrei V. Eserkepov (2018). 「棒の浸透：棒の配列と長さの分散の影響」. Physical Review E. 98 ( 6) 062142. arXiv : 1811.06681 . Bibcode :2018PhRvE..98f2142T. doi :10.1103/PhysRevE.98.062142. S2CID  54187951.
121. Sasidevan, V. (2013). 「べき乗則テールを持つ半径分布を持つ重なり合う円板の連続体パーコレーション」. Physical Review E. 88 ( 2) 022140. arXiv : 1302.0085 . Bibcode :2013PhRvE..88b2140S. doi :10.1103/PhysRevE.88.022140. PMID:  24032808. S2CID  : 24046421.
122. van der Marck, Steven C. (1996). 「不等球体群におけるボイドパーコレーションへのネットワークアプローチ」. Physical Review Letters . 77 (9): 1785– 1788. Bibcode :1996PhRvL..77.1785V. doi :10.1103/PhysRevLett.77.1785. PMID  10063171.
123. Jin, Yuliang; Patrick Charbonneau (2014). 「ランダムローレンツガスの停止を単純なガラス形成体の動的遷移にマッピングする」. Physical Review E. 91 ( 4) 042313. arXiv : 1409.0688 . Bibcode :2015PhRvE..91d2313J. doi :10.1103/PhysRevE.91.042313. PMID  25974497. S2CID  16117644.
124. Lin, Jianjun; Zhang, Wulong; Chen, Huisu; Zhang, Rongling; Liu, Lin (2019). 「重なり合う凹面状細孔を有する多孔質媒体の浸透閾値および拡散率に対する細孔特性の影響」. International Journal of Heat and Mass Transfer . 138 : 1333– 1345. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.04.110. S2CID  164424008.
125. Meeks, Kelsey; J. Tencer; ML Pantoya (2017). 「二元ディスクシステムのパーコレーション：モデリングと理論」. Physical Review E. 95 ( 1) 012118. Bibcode :2017PhRvE..95a2118M. doi : 10.1103/PhysRevE.95.012118 . PMID  28208494.
126. Melchert, Oliver (2013). 「平面ユークリッド相対近傍グラフにおけるパーコレーション閾値」. Physical Review E. 87 ( 4) 042106. arXiv : 1301.6967 . Bibcode :2013PhRvE..87d2106M. doi :10.1103/PhysRevE.87.042106. PMID:  23679372. S2CID:  9691279.
127. Bernardi, Olivier; Curien, Nicolas; Miermont, Grėgory (2019). 「ランダム三角形分割におけるパーコレーションへのボルツマンアプローチ」Canadian Journal of Mathematics . 71 : 1– 43. arXiv : 1705.04064 . doi :10.4153/CJM-2018-009-x. S2CID  6817693.
128. Becker, A.; RM Ziff (2009). 「2次元ボロノイネットワークとデローネ三角形分割におけるパーコレーション閾値」. Physical Review E. 80 ( 4) 041101. arXiv : 0906.4360 . Bibcode :2009PhRvE..80d1101B. doi :10.1103/PhysRevE.80.041101. PMID:  19905267. S2CID  : 22549508.
129. Shante, KS; S. Kirkpatrick (1971). 「パーコレーション理論入門」. Advances in Physics 20 ( 85): 325– 357. Bibcode :1971AdPhy..20..325S. doi :10.1080/00018737100101261.
130. Hsu, HP; MC Huang (1999). 「平面ランダム格子とその双対におけるパーコレーション閾値、臨界指数、およびスケーリング関数」. Physical Review E. 60 ( 6): 6361– 6370. Bibcode :1999PhRvE..60.6361H. doi :10.1103/PhysRevE.60.6361. PMID  11970550. S2CID  8750738.
131. Huang, Ming-Chang; Hsiao-Ping Hsu (2002). 「球状ランダム格子上のパーコレーション閾値、臨界指数、およびスケーリング関数」International Journal of Modern Physics C . 13 (3): 383– 395. doi :10.1142/S012918310200319X.
132. Norrenbrock, C. (2014). 「平面ユークリッドガブリエルグラフにおけるパーコレーション閾値」. Journal of Physics A. 40 ( 31): 9253– 9258. arXiv : 0704.2098 . Bibcode :2007JPhA...40.9253P. doi :10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID  680787.
133. ベルティン、E; J.-M.ビリオット; R. ドルイエ (2002)。 「ガブリエルグラフにおける連続パーコレーション」。上級応用おそらく。34 (4): 689.土井:10.1239/aap/1037990948。S2CID  121288601。
134. Lepage, Thibaut; Lucie Delaby; Fausto Malvagi; Alain Mazzolo (2011). 「完全マルコフ確率幾何学のモンテカルロシミュレーション」.核科学技術の進歩. 2 : 743–748 . doi : 10.15669/pnst.2.743 .
135. Zhang, C.; K. De'Bell (1993). 「準格子上のパーコレーション問題の再定式化：パーコレーション閾値、化学次元、および振幅比の推定」. Physical Review B. 47 ( 14): 8558– 8564. Bibcode :1993PhRvB..47.8558Z. doi :10.1103/PhysRevB.47.8558. PMID  10004894.
136. Ziff, RM; F. Babalievski (1999). 「ペンローズ菱形格子上のサイトパーコレーション」. Physica A. 269 ( 2–4 ) : 201– 210. Bibcode :1999PhyA..269..201Z. doi :10.1016/S0378-4371(99)00166-1.
137. Lu, Jian Ping; Joseph L. Birman (1987). 「準格子上のパーコレーションとスケーリング」. Journal of Statistical Physics . 46 (5/6): 1057– 1066. Bibcode :1987JSP....46.1057L. doi :10.1007/BF01011156. S2CID  121645524.
138. Babalievski, F. (1995). 「八角形および十二角形準結晶格子のパーコレーション閾値とパーコレーション伝導率」. Physica A. 220 ( 1995): 245– 250. Bibcode :1995PhyA..220..245B. doi :10.1016/0378-4371(95)00260-E.
139. Bollobás, Béla; Oliver Riordan (2006). 「平面におけるランダムボロノイパーコレーションの臨界確率は1/2である」. Probab. Theory Relat. Fields . 136 (3): 417– 468. arXiv : math/0410336 . doi :10.1007/s00440-005-0490-z. S2CID  15985691.
140. Angel, Omer; Schramm, Oded (2003). 「一様無限平面三角形分割」. Commun. Math. Phys . 241 ( 2–3 ): 191– 213. arXiv : math/0207153 . Bibcode :2003CMaPh.241..191A. doi :10.1007/s00220-003-0932-3. S2CID  17718301.
141. エンジェル、O.キュリアン、ニコラス (2014)。 「ランダムマップ上のパーコレーション I: 半平面モデル」。アンリ・ポアンカレ研究所の統計、確率と統計。51 (2 ) : 405–431.arXiv : 1301.5311 。Bibcode :2015AIHPB..51..405A。土井：10.1214/13-AIHP583。S2CID  14964345。
142. Zierenberg, Johannes; Niklas Fricke; Martin Marenz; FP Spitzner; Viktoria Blavatska; Wolfhard Janke (2017). 「長距離相関欠陥を有する正方格子および立方格子のパーコレーション閾値とフラクタル次元」. Physical Review E. 96 ( 6) 062125. arXiv : 1708.02296 . Bibcode :2017PhRvE..96f2125Z. doi :10.1103/PhysRevE.96.062125. PMID:  29347311. S2CID  : 22353394.
143. Sotta, P.; D. Long (2003). 「2次元から3次元へのパーコレーションのクロスオーバー：理論と数値シミュレーション」. Eur. Phys. J. E. 11 ( 4): 375– 388. Bibcode :2003EPJE...11..375S. doi :10.1140/epje/i2002-10161-6. PMID  15011039. S2CID  32831742.
144. Horton, MK; Moram, MA (2017年4月17日). 「半導体合金量子井戸における合金組成変動とパーコレーション」. Applied Physics Letters . 110 (16): 162103. Bibcode :2017ApPhL.110p2103H. doi :10.1063/1.4980089. ISSN  0003-6951.
145. グリオッツィ、F.; S.ロッティニ; M.パネロ。 A. ラゴ (2005)。 「ゲージ理論としてのランダムパーコレーション」。核物理学 B．719 (3​​): 255–274。arXiv : cond-mat / 0502339 。ビブコード:2005NuPhB.719..255G。土井：10.1016/j.nuclphysb.2005.04.021。hdl :2318/5995。S2CID  119360708。
146. Yoo, Ted Y.; Jonathan Tran; Shane P. Stahlheber; Carina E. Kaainoa; Kevin Djepang; Alexander R. Small (2014). 「平均配位数が低い格子におけるサイトパーコレーション」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2014 (6) P06014. arXiv : 1403.1676 . Bibcode :2014JSMTE..06..014Y. doi :10.1088/1742-5468/2014/06/p06014. S2CID  119290405.
147. Tran, Jonathan; Ted Yoo; Shane Stahlheber; Alex Small (2013). 「3近傍格子における3次元格子上のパーコレーション閾値」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2013 (5) P05014. arXiv : 1211.6531 . Bibcode :2013JSMTE..05..014T. doi :10.1088/1742-5468/2013/05/P05014. S2CID  119182062.
148. Wells, AF (1984). 「3連結ネット10 ³ – bに基づく構造」. Journal of Solid State Chemistry . 54 (3): 378– 388. Bibcode :1984JSCSh..54..378W. doi :10.1016/0022-4596(84)90169-5.
149. Pant, Mihir; Don Towsley; Dirk Englund; Saikat Guha (2017). 「光子量子コンピューティングにおけるパーコレーション閾値」. Nature Communications . 10 (1): 1070. arXiv : 1701.03775 . doi :10.1038/s41467-019-08948-x. PMC 6403388. PMID  30842425 . 
150. Hyde, Stephen T.; O'Keeffe, Michael; Proserpio, Davide M. (2008). 「化学、材料、数学における捉えどころのない普遍的な構造の短い歴史」Angew. Chem. Int. Ed . 47 (42): 7996– 8000. doi :10.1002/anie.200801519. PMID  18767088.
151. van der Marck, Steven C. (1997). 「面心立方格子、六方最密充填格子、ダイヤモンド格子の双対格子のパーコレーション閾値」. Physical Review E. 55 ( 6): 6593– 6597. Bibcode :1997PhRvE..55.6593V. doi :10.1103/PhysRevE.55.6593.
152. Frisch, HL; E. Sonnenblick; VA Vyssotsky; JM Hammersley (1961). 「臨界浸透確率（サイト問題）」. Physical Review . 124 (4): 1021– 1022. Bibcode :1961PhRv..124.1021F. doi :10.1103/PhysRev.124.1021.
153. Vyssotsky, VA; SB Gordon; HL Frisch; JM Hammersley (1961). 「臨界パーコレーション確率（ボンド問題）」. Physical Review . 123 (5): 1566– 1567. Bibcode :1961PhRv..123.1566V. doi :10.1103/PhysRev.123.1566.
154. Gaunt, DS; MF Sykes (1983). 「3次元におけるランダムパーコレーションの連続研究」J. Phys. A . 16 (4): 783. Bibcode :1983JPhA...16..783G. doi :10.1088/0305-4470/16/4/016.
155. Xu, Xiao; Junfeng Wang; Jian-Ping Lv; Youjin Deng (2014). 「3次元パーコレーションモデルの同時解析」. Frontiers of Physics . 9 (1): 113– 119. arXiv : 1310.5399 . Bibcode :2014FrPhy...9..113X. doi :10.1007/s11467-013-0403-z. S2CID  119250232.
156. Silverman, Amihal; J. Adler (1990). 「二原子置換型ダイヤモンド格子のサイトパーコレーション閾値」. Physical Review B. 42 ( 2): 1369– 1373. Bibcode :1990PhRvB..42.1369S. doi :10.1103/PhysRevB.42.1369. PMID  :9995550.
157. van der Marck, Steven C. (1997). 「Erratum: Percolation thresholds and universal formulas [Phys. Rev. E 55, 1514 (1997)]」. Physical Review E. 56 ( 3): 3732. Bibcode :1997PhRvE..56.3732V. doi : 10.1103/PhysRevE.56.3732.2 .
158. van der Marck, Steven C. (1998). 「FCC、BCC、ダイヤモンド格子における高次元パーコレーション閾値の計算」International Journal of Modern Physics C . 9 (4): 529– 540. arXiv : cond-mat/9802187 . Bibcode :1998IJMPC...9..529V. doi :10.1142/S0129183198000431. S2CID  119097158.
159. Sykes, MF; DS Gaunt; M. Glen (1976). 「3次元におけるパーコレーション過程」J. Phys. A: Math. Gen . 9 (10): 1705– 1712. Bibcode :1976JPhA....9.1705S. doi :10.1088/0305-4470/9/10/021.
160. Sykes, MF; JW Essam (1964). 「級数法による臨界パーコレーション確率」. Physical Review . 133 (1A): A310 – A315 . Bibcode :1964PhRv..133..310S. doi :10.1103/PhysRev.133.A310.
161. van der Marck, Steven C. (1998). 「d次元カゴメ格子上のサイトパーコレーションとランダムウォーク」. Journal of Physics A. 31 ( 15): 3449– 3460. arXiv : cond-mat/9801112 . Bibcode :1998JPhA...31.3449V. doi :10.1088/0305-4470/31/15/010. S2CID  18989583.
162. Sur, Amit; Joel L. Lebowitz; J. Marro; MH Kalos; S. Kirkpatrick (1976). 「単純立方格子におけるパーコレーション現象のモンテカルロ法による研究」. Journal of Statistical Physics . 15 (5): 345– 353. Bibcode :1976JSP....15..345S. doi :10.1007/BF01020338. S2CID  38734613.
163. Wang, J; Z. Zhou; W. Zhang; T. Garoni; Y. Deng (2013). 「3次元における結合とサイトパーコレーション」. Physical Review E. 87 ( 5) 052107. arXiv : 1302.0421 . Bibcode :2013PhRvE..87e2107W. doi :10.1103/PhysRevE.87.052107. PMID :  23767487. S2CID  : 14087496.
164. Grassberger, P. (1992). 「3次元における臨界パーコレーションの数値的研究」. J. Phys. A. 25 ( 22): 5867– 5888. Bibcode :1992JPhA...25.5867G. doi :10.1088/0305-4470/25/22/015.
165. Acharyya, M.; D. Stauffer (1998). 「境界条件の臨界スパニング確率への影響」. Int. J. Mod. Phys. C. 9 ( 4): 643– 647. arXiv : cond-mat/9805355 . Bibcode :1998IJMPC...9..643A. doi :10.1142/S0129183198000534. S2CID  15684907.
166. Jan, N.; D. Stauffer (1998). 「3次元におけるランダムサイトパーコレーション」. Int. J. Mod. Phys. C. 9 ( 4): 341– 347. Bibcode :1998IJMPC...9..341J. doi :10.1142/S0129183198000261.
167. Deng, Youjin; HWJ Blöte (2005). 「2次元および3次元におけるサイトパーコレーションモデルのモンテカルロ研究」. Physical Review E. 72 ( 1) 016126. Bibcode :2005PhRvE..72a6126D. doi :10.1103/PhysRevE.72.016126. PMID  16090055.
168. Ballesteros, PN; LA Fernández; V. Martín-Mayor; A. Muñoz Sudepe; G. Parisi; JJ Ruiz-Lorenzo (1999). 「スケーリング補正：3次元におけるサイトパーコレーションとイジングモデル」. J​​ournal of Physics A. 32 ( 1): 1– 13. arXiv : cond-mat/9805125 . Bibcode :1999JPhA...32....1B. doi :10.1088/0305-4470/32/1/004. S2CID  2787294.
169. Lorenz, CD; RM Ziff (1998). 「3次元パーコレーションにおけるクラスター過剰数の普遍性と交差確率関数」. Journal of Physics A. 31 ( 40): 8147– 8157. arXiv : cond-mat/9806224 . Bibcode :1998JPhA...31.8147L. doi :10.1088/0305-4470/31/40/009. S2CID  12493873.
170. Koza, Zbigniew; Jakub Poła (2016). 「3次元から7次元における離散パーコレーションから連続パーコレーションへ」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2016 (10) 103206. arXiv : 1606.08050 . Bibcode :2016JSMTE..10.3206K. doi :10.1088/1742-5468/2016/10/103206. S2CID  118580056.
171. Škvor, Jiří; Ivo Nezbeda (2009). 「流体のパーコレーション閾値パラメータ」. Physical Review E. 79 ( 4) 041141. Bibcode :2009PhRvE..79d1141S. doi :10.1103/PhysRevE.79.041141. PMID  19518207.
172. Adler, Joan; Yigal Meir; Amnon Aharony; AB Harris; Lior Klein (1990). 「一般次元における低濃度系列」. Journal of Statistical Physics . 58 (3/4): 511– 538. Bibcode :1990JSP....58..511A. doi :10.1007/BF01112760. S2CID  122109020.
173. Dammer, Stephan M; Haye Hinrichsen (2004). 「高次元における免疫拡散」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2004 (7) P07011. arXiv : cond-mat/0405577 . Bibcode :2004JSMTE..07..011D. doi :10.1088/1742-5468/2004/07/P07011. S2CID  118981083.
174. Lorenz, CD; RM Ziff (1998). 「sc, fcc, bcc格子における結合パーコレーション閾値の精密決定と有限サイズスケーリング補正」. Physical Review E. 57 ( 1): 230– 236. arXiv : cond-mat/9710044 . Bibcode :1998PhRvE..57..230L. doi :10.1103/PhysRevE.57.230. S2CID  119074750.
175. Schrenk, KJ; NAM Araújo; HJ Herrmann (2013). 「積層三角格子：パーコレーション特性」. Physical Review E. 87 ( 3) 032123. arXiv : 1302.0484 . Bibcode :2013PhRvE..87c2123S. doi :10.1103/PhysRevE.87.032123. S2CID  2917074.
176. Martins, P.; J. Plascak (2003). 「2次元および3次元格子上のパーコレーション」. Physical Review . 67 (4) 046119. arXiv : cond-mat/0304024 . Bibcode :2003PhRvE..67d6119M. doi :10.1103/physreve.67.046119. PMID:  12786448 . S2CID:  31891392.
177. Bradley, RM; PN Strenski; J.-M. Debierre (1991). 「3次元パーコレーションクラスターの表面」. Physical Review B. 44 ( 1): 76– 84. Bibcode :1991PhRvB..44...76B. doi :10.1103/PhysRevB.44.76. PMID  9998221.
178. Kurzawski, Ł.; K. Malarz (2012). 「複雑近傍における単純立方ランダムサイトパーコレーション閾値」. Rep. Math. Phys . 70 (2): 163– 169. arXiv : 1111.3254 . Bibcode :2012RpMP...70..163K. CiteSeerX 10.1.1.743.1726 . doi :10.1016/S0034-4877(12)60036-6. S2CID  119120046. 
179. Gallyamov, SR; SA Melchukov (2013). 「第4近傍を持つ単純立方格子のパーコレーション閾値：理論と並列化による数値計算」（PDF） .第三回国際会議「高性能コンピューティング」HPC-UA 2013（ウクライナ、キエフ、2013年10月7日～11日） . オリジナル（PDF）から2019年8月23日アーカイブ。 2019年8月23日閲覧。
180. Sykes, MF; DS Gaunt; JW Essam (1976). 「面心立方格子上のサイト問題におけるパーコレーション確率」. Journal of Physics A. 9 ( 5): L43 – L46 . Bibcode :1976JPhA....9L..43S. doi :10.1088/0305-4470/9/5/002.
181. Hu, Yi; Patrick Charbonneau (2021). 「高次元D _nおよびE ₈関連格子におけるパーコレーション閾値」. Physical Review E. 103 ( 6) 062115. arXiv : 2102.09682 . Bibcode :2021PhRvE.103f2115H. doi :10.1103/PhysRevE.103.062115. PMID:  34271715. S2CID  : 231979212.
182. Lorenz, CD; R. May; RM Ziff (2000). 「HCP格子とFCC格子におけるパーコレーション閾値の類似性」(PDF) . Journal of Statistical Physics . 98 (3/4): 961– 970. doi :10.1023/A:1018648130343. hdl : 2027.42/45178 . S2CID  10950378.
183. Tahir-Kheli, Jamil; WA Goddard III (2007). 「銅酸化物超伝導のカイラルプラケットポーラロン理論」. Physical Review B. 76 ( 1) 014514. arXiv : 0707.3535 . Bibcode :2007PhRvB..76a4514T. doi :10.1103/PhysRevB.76.014514. S2CID  8882419.
184. Malarz, Krzysztof (2015). 「4番目に近い近傍を含む近傍に対する単純立方ランダムサイトパーコレーション閾値」. Physical Review E. 91 ( 4) 043301. arXiv : 1501.01586 . Bibcode :2015PhRvE..91d3301M. doi :10.1103/PhysRevE.91.043301. PMID :  25974606. S2CID  : 37943657.
185. Xun, Zhipeng; Robert M. Ziff (2020). 「拡張近傍を持つ単純立方格子上の結合パーコレーション」. Physical Review E. 102 ( 4) 012102. arXiv : 2001.00349 . Bibcode :2020PhRvE.102a2102X. doi :10.1103/PhysRevE.102.012102. PMID :  32795057. S2CID  : 209531616.
186. Jerauld, GR; LE Scriven; HT Davis (1984). 「3次元ボロノイネットワークと正規ネットワークにおけるパーコレーションと伝導：トポロジカルディスオーダーにおける2番目のケーススタディ」. J. Phys. C: Solid State Phys . 17 (19): 3429– 3439. Bibcode :1984JPhC...17.3429J. doi :10.1088/0022-3719/17/19/017.
187. Xu, Fangbo; Zhiping Xu; Boris I. Yakobson (2014). 「カーボンナノチューブ繊維のサイトパーコレーション閾値：マルコフ確率理論によるパーコレーションの高速検査」. Physica A. 407 : 341– 349. arXiv : 1401.2130 . Bibcode : 2014PhyA..407..341X. doi :10.1016/j.physa.2014.04.013. S2CID  119267606.
188. Gawron, TR; Marek Cieplak (1991). 「FCC格子のサイトパーコレーション閾値」(PDF) . Acta Physica Polonica A. 80 ( 3): 461. Bibcode :1991AcPPA..80..461G. doi : 10.12693/APhysPolA.80.461 .
189. Harter, T. (2005). 「3次元相関二元マルコフ連鎖ランダム場におけるパーコレーションの有限サイズスケーリング解析」. Physical Review E. 72 ( 2) 026120. Bibcode :2005PhRvE..72b6120H. doi :10.1103/PhysRevE.72.026120. PMID  16196657. S2CID  2708506.
190. Sykes, MF; Rehr, JJ; Glen, Maureen (1996). 「互いによく似た格子のペアのパーコレーション確率に関するノート」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 76 : 389–392 . doi :10.1017/S0305004100049021. S2CID  96528423.
191. Weber, H.; W. Paul (1996). 「凍結ポリマーマトリックスにおける浸透拡散：自由体積浸透の有限サイズスケーリング研究」. Physical Review E. 54 ( 4): 3999– 4007. Bibcode :1996PhRvE..54.3999W. doi :10.1103/PhysRevE.54.3999. PMID  9965547.
192. Mitra, S.; D. Saha; A. Sensharma (2022). 「歪みを伴う単純立方格子におけるパーコレーション」. Physical Review E. 106 ( 3) 034109. arXiv : 2207.12079 . Bibcode :2022PhRvE.106c4109M. doi :10.1103/PhysRevE.106.034109. PMID  : 36266842.
193. タラセビッチ、ユウ。ゆう。 VA チェルカソワ (2007)。 「単純な立方格子上の二量体のパーコレーションとジャミング」。ヨーロッパ物理ジャーナル B。60 (1): 97–100 . arXiv : 0709.3626。Bibcode :2007EPJB...60...97T。土井：10.1140/epjb/e2007-00321-2。S2CID  5419806。
194. Holcomb, D F..; JJ Rehr, Jr. (1969). 「高濃度ドープ半導体におけるパーコレーション*」. Physical Review . 183 (3): 773– 776. Bibcode :1969PhRv..183..773H. doi :10.1103/PhysRev.183.773.
195. Holcomb, D F.; F. Holcomb; M. Iwasawa (1972). 「ランダムに配置された球体のクラスタリング」. Biometrika . 59 : 207–209 . doi :10.1093/biomet/59.1.207.
196. Shante, Vinod KS; Scott Kirkpatrick (1971). 「パーコレーション理論入門」. Advances in Physics . 20 (85): 325– 357. Bibcode :1971AdPhy..20..325S. doi :10.1080/00018737100101261.
197. Rintoul, MD; S. Torquato (1997). 「3次元連続体パーコレーションモデルにおける臨界閾値と指数の精密決定」J. Phys. A: Math. Gen . 30 (16): L585. Bibcode :1997JPhA...30L.585R. CiteSeerX 10.1.1.42.4284 . doi :10.1088/0305-4470/30/16/005. 
198. Consiglio, R.; R. Baker; G. Paul; HE Stanley (2003). 「同型重なり合う球状円筒の連続体パーコレーション」. Physica A. 319 : 49– 55. doi : 10.1016/S0378-4371(02)01501-7.
199. Xu, Wenxiang; Xianglong Su; Yang Jiao (2016). 「同型重なり合う球状円筒の連続体パーコレーション」. Physical Review E. 93 ( 3) 032122. Bibcode :2016PhRvE..94c2122X. doi :10.1103/PhysRevE.94.032122. PMID  27078307.
200. Lorenz, CD; RM Ziff (2000). 「成長アルゴリズムを用いた3次元スイスチーズモデルの臨界パーコレーション閾値の正確な決定」(PDF) . J. Chem. Phys . 114 (8): 3659. Bibcode :2001JChPh.114.3659L. doi :10.1063/1.1338506. hdl : 2027.42/70114 .
201. Lin, Jianjun; Chen, Huisu; Xu, Wenxiang (2018). 「重なり合う粒子系における同型直方体状粒子の幾何学的パーコレーション閾値」. Physical Review E. 98 ( 1) 012134. Bibcode :2018PhRvE..98a2134L. doi :10.1103/PhysRevE.98.012134. PMID  30110832. S2CID  52017287.
202. Garboczi, EJ; KA Snyder; JF Douglas (1995). 「重なり合う楕円体の幾何学的パーコレーション閾値」. Physical Review E. 52 ( 1): 819– 827. Bibcode :1995PhRvE..52..819G. doi :10.1103/PhysRevE.52.819. PMID  9963485.
203. Li, Mingqi; Chen, Huisu; Lin, Jianjun (2020年1月). 「合同な重なり合う卵形体のランダムシステムのパーコレーション閾値の効率的な測定」. Powder Technology . 360 : 598–607 . doi :10.1016/j.powtec.2019.10.044. ISSN  0032-5910. S2CID  208693526.
204. Li, Mingqi; Chen, Huisu; Lin, Jianjun (2020年4月). 「非中心対称性超卵形細孔を有する多孔質複合材料のパーコレーション閾値と輸送特性に関する数値的研究」.応用力学・工学におけるコンピュータ手法. 361 112815. Bibcode :2020CMAME.361k2815L. doi :10.1016/j.cma.2019.112815. ISSN  0045-7825. S2CID  213152892.
205. Brzeski, Piotr; Kondrat, Grzegorz (2022). 「次元3から5における超球面のパーコレーション：離散から連続へ」 . Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2022 (5): 053202. Bibcode :2022JSMTE2022e3202B. doi :10.1088/1742-5468/ac6519. ISSN  1742-5468.
206. Dall, Jesper; Michael Christensen (2002). 「ランダム幾何学グラフ」. Physical Review E. 66 ( 1) 016121. arXiv : cond-mat/0203026 . Bibcode :2002PhRvE..66a6121D. doi :10.1103/PhysRevE.66.016121. PMID  12241440. S2CID  15193516.
207. Gori, Giacomo; Andrea Trombettoni (2015). 「3次元パーコレーションにおける共形不変性」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2015 (7) P07014. arXiv : 1504.07209 . Bibcode :2015JSMTE..07..014G. doi :10.1088/1742-5468/2015/07/P07014. S2CID  119292052.
208. Balberg, I.; N. Binenbaum (1984). 「3次元スティックシステムにおけるパーコレーション閾値」. Physical Review Letters . 52 (17): 1465. Bibcode :1984PhRvL..52.1465B. doi :10.1103/PhysRevLett.52.1465.
209. Yi, Y.-B.; AM Sastry (2004). 「重なり合う回転楕円体におけるパーコレーション閾値の解析的近似」Proc. R. Soc. Lond. A . 460 (2048): 2353– 2380. Bibcode :2004RSPSA.460.2353Y. doi :10.1098/rspa.2004.1279. S2CID  2475482.
210. Hyytiä, E.; J. Virtamo; P. Lassila; J. Ott (2012). 「透過性整列シリンダーとオポチュニスティックネットワーキングにおける連続体パーコレーション閾値」. IEEE Communications Letters . 16 (7): 1064– 1067. doi :10.1109/LCOMM.2012.051512.120497. S2CID  1056865.
211. Torquato, S.; Y. Jiao (2012). 「重なり合う非球状超粒子のパーコレーション閾値に対する次元の影響」. Physical Review E. 87 ( 2) 022111. arXiv : 1210.0134 . Bibcode :2013PhRvE..87b2111T. doi :10.1103/PhysRevE.87.022111. PMID :  23496464. S2CID  : 11417012.
212. Yi, YB; E. Tawerghi (2009). 「3次元空間における相互貫入プレートの幾何学的パーコレーション閾値」. Physical Review E. 79 ( 4) 041134. Bibcode :2009PhRvE..79d1134Y. doi :10.1103/PhysRevE.79.041134. PMID  19518200.
213. Powell, MJ (1979). 「ランダムに詰まった球体におけるサイトパーコレーション」. Physical Review B. 20 ( 10): 4194– 4198. Bibcode :1979PhRvB..20.4194P. doi :10.1103/PhysRevB.20.4194.
214. Ziff, RM; Salvatore Torquato (2016). 「無秩序に詰まった球状充填物のパーコレーション」. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 50 (8): 085001. arXiv : 1611.00279 . Bibcode :2017JPhA...50h5001Z. doi :10.1088/1751-8121/aa5664. S2CID  53003822.
215. Yi, YB; K. Esmail (2012). 「扁平粒子および薄板複合材料の空隙浸透閾値の計算測定」J. Appl. Phys . 111 (12): 124903–124903–6. Bibcode :2012JAP...111l4903Y. doi :10.1063/1.4730333.
216. Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2018). 「重なり合う立方体状粒子のランダムパッキングによる多孔質媒体の連続体パーコレーション」.理論・応用力学レター. 8 (5): 299– 303. doi : 10.1016/j.taml.2018.05.007 .
217. Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2018). 「粒子形態が粒子状多孔質体のパーコレーションに及ぼす影響：スーパーボールの研究」. Powder Technology . 335 : 388–400 . doi :10.1016/j.powtec.2018.05.015. S2CID  103471554.
218. Priour, Jr., DJ; NJ McGuigan (2018). 「ランダム配向多面体および軸対称粒子の周りの空隙を通じた浸透」. Physical Review Letters . 121 (22) 225701. arXiv : 1801.09970 . Bibcode :2018PhRvL.121v5701P. doi :10.1103/PhysRevLett.121.225701. PMID:  30547614. S2CID  : 119185480.
219. Novak, Igor L.; Fei Gao; Pavel Kraikivski; Boris M. Slepchenko (2011). 「ランダムな重なり合う障害物の中での拡散：類似点、不変量、近似値」J. Chem. Phys . 134 (15): 154104. Bibcode :2011JChPh.134o4104N. doi :10.1063/1.3578684. PMC 3094463. PMID  21513372 . 
220. Yi, YB (2006). 「重なり合う楕円体のボイドパーコレーションと伝導」. Physical Review E. 74 ( 3) 031112. Bibcode :2006PhRvE..74c1112Y. doi :10.1103/PhysRevE.74.031112. PMID  17025599.
221. Ballow, A.; P. Linton; DJ Priour Jr. (2023). 「トロイダル介在物周囲の空隙を通じた浸透」. Physical Review E. 107 ( 1) 014902. arXiv : 2208.10582 . Bibcode :2023PhRvE.107a4902B. doi :10.1103/PhysRevE.107.014902. PMID:  36797924. S2CID  : 251741342.
222. Priour, Jr., DJ; NJ McGuigan (2017). 「ランダム配向ファセット介在物周囲の空隙を通じた浸透」arXiv : 1712.10241 [cond-mat.stat-mech].
223. Kertesz, Janos (1981). 「重なり合う球体間のホールの浸透：臨界体積分率のモンテカルロ計算」（PDF） . Journal de Physique Lettres . 42 (17): L393 – L395 . doi :10.1051/jphyslet:019810042017039300. S2CID  122115573.
224. Elam, WT; AR Kerstein; JJ Rehr (1984). 「球面におけるボイドパーコレーション問題の臨界特性」. Physical Review Letters . 52 (7): 1516– 1519. Bibcode :1984PhRvL..52.1516E. doi :10.1103/PhysRevLett.52.1516.
225. Rintoul, MD (2000). 「重なり合う球の2つの分布におけるボイドパーコレーション閾値の正確な決定」. Physical Review E. 62 ( 6): 68– 72. Bibcode :2000PhRvE..62...68R. doi :10.1103/PhysRevE.62.68. OSTI  751216. PMID  11088435.
226. Höfling, F.; T. Munk; E. Frey; T. Franosch (2008). 「不均質環境における弾道粒子およびブラウン運動粒子の臨界ダイナミクス」J. Chem. Phys . 128 (16): 164517. arXiv : 0712.2313 . Bibcode :2008JChPh.128p4517H. doi :10.1063/1.2901170. PMID  18447469. S2CID  25509814.
227. Prior, Jr., DJ (2014). 「重なり合う球面の周りの空隙を通じた浸透：動的有限サイズスケーリング解析」. Physical Review E. 89 ( 1) 012148. arXiv : 1208.0328 . Bibcode :2014PhRvE..89a2148P. doi :10.1103/PhysRevE.89.012148. PMID:  24580213. S2CID  : 20349307.
228. Clerc, JP; G. Giraud; S. Alexander; E. Guyon (1979). 「導電性粒子と絶縁性粒子の混合物の導電性：次元効果」. Physical Review B. 22 ( 5): 2489– 2494. doi :10.1103/PhysRevB.22.2489.
229. C. Larmier; E. Dumonteil; F. Malvagi; A. Mazzolo; A. Zoia (2016). 「ポアソン幾何学における有限サイズ効果とパーコレーション特性」. Physical Review E. 94 ( 1) 012130. arXiv : 1605.04550 . Bibcode :2016PhRvE..94a2130L. doi :10.1103/PhysRevE.94.012130. PMID :  27575099. S2CID  : 19361619.
230. Zakalyukin, RM; VA Chizhikov (2005). 「立方近似法による3次元（20面体）ペンローズタイリングのパーコレーション閾値の計算」.結晶学レポート. 50 (6): 938– 948. Bibcode :2005CryRp..50..938Z. doi :10.1134/1.2132400. S2CID  94290876.
231. Kantor, Yacov (1986). 「サイト線を除去した3次元パーコレーション」. Physical Review B. 33 ( 5): 3522– 3525. Bibcode :1986PhRvB..33.3522K. doi :10.1103/PhysRevB.33.3522. PMID  9938740.
232. Schrenk, KJ; MR Hilário; V. Sidoravicius; NAM Araújo; HJ Herrmann; M. Thielmann; A. Teixeira (2016). 「ランダムドリリングの臨界破砕特性：木製立方体を崩壊させるにはいくつの穴を開ける必要があるか？」Physical Review Letters . 116 (5) 055701. arXiv : 1601.03534 . Bibcode :2016PhRvL.116e5701S. doi :10.1103/PhysRevLett.116.055701. PMID  26894717. S2CID  3145131.
233. Grassberger, P. (2017). 「ドリリングパーコレーションに関する若干の考察」. Physical Review E. 95 ( 1) 010103. arXiv : 1611.07939 . doi :10.1103/PhysRevE.95.010103. PMID  28208497. S2CID  12476714.
234. グラスバーガー、ピーター;マルセロ・R・イラリオ。ヴラダス・シドラヴィシウス（2017）。 「柱状障害を伴うメディアのパーコレーション」。J.Stat.物理学。168 (4 ) : 731–745。arXiv : 1704.04742 。Bibcode :2017JSP...168..731G。土井：10.1007/s10955-017-1826-7。S2CID  15915864。
235. Szczygieł, Bartłomiej; Kamil Kwiatkowski; Maciej Lewenstein; Gerald John Lapeyre, Jr.; Jan Wehr (2016). 「非一様結合確率を持つ離散-連続モデルのパーコレーション閾値」. Physical Review E. 93 ( 2) 022127. arXiv : 1509.07401 . Bibcode :2016PhRvE..93b2127S. doi :10.1103/PhysRevE.93.022127. PMID  26986308. S2CID  18110437.
236. Abete, T.; A. de Candia; D. Lairez; A. Coniglio (2004). 「酵素ゲル分解のためのパーコレーションモデル」. Physical Review Letters . 93 (22) 228301. arXiv : cond-mat/0402551 . doi :10.1103/PhysRevLett.93.228301. PMID  15601123.
237. カークパトリック, スコット (1976). 「高次元におけるパーコレーション現象：平均場極限へのアプローチ」. Physical Review Letters . 36 (2): 69– 72. Bibcode :1976PhRvL..36...69K. doi :10.1103/PhysRevLett.36.69.
238. Gaunt, DS; Sykes, MF; Ruskin, Heather (1976). 「d次元におけるパーコレーション過程」J. Phys. A: Math. Gen . 9 (11): 1899– 1911. Bibcode :1976JPhA....9.1899G. doi :10.1088/0305-4470/9/11/015.
239. Grassberger, Peter (2003). 「高次元における臨界パーコレーション」. Physical Review E. 67 ( 3) 036101: 4. arXiv : cond-mat/0202144 . Bibcode :2003PhRvE..67c6101G. doi :10.1103/PhysRevE.67.036101. PMID  12689126. S2CID  43707822.
240. Paul, Gerald; Robert M. Ziff; H. Eugene Stanley (2001). 「4次元および5次元におけるパーコレーション閾値、フィッシャー指数、最短経路指数」. Physical Review E. 64 ( 2): 8. arXiv : cond-mat/0101136 . Bibcode :2001PhRvE..64b6115P. doi :10.1103/PhysRevE.64.026115. PMID  11497659. S2CID  18271196.
241. バレステロス、HG; LAフェルナンデス。 V. マルティン市長; A. ムニョス・スドゥペ; G.パリシ; J.J.ルイス=ロレンソ (1997)。 「四次元サイトパーコレーションにおける臨界指数の測定」。物理学。レット。 B . 400 ( 3–4 ): 346– 351. arXiv : hep-lat/9612024。Bibcode :1997PhLB..400..346B。土井：10.1016/S0370-2693(97)00337-7。S2CID  10242417。
242. Kotwica, M.; P. Gronek; K. Malarz (2019). 「Hoshen–Kopelmanアルゴリズムのための効率的な空間仮想化」. International Journal of Modern Physics C . 30 (8): 1950055– 1950099. arXiv : 1803.09504 . Bibcode :2019IJMPC..3050055K. doi :10.1142/S0129183119500554. S2CID  4418563.
243. Mertens, Stephan; Christopher Moore (2018). 「超立方格子におけるパーコレーション閾値とフィッシャー指数」. Physical Review E. 98 ( 2) 022120. arXiv : 1806.08067 . Bibcode :2018PhRvE..98b2120M. doi :10.1103/PhysRevE.98.022120. PMID:  30253462. S2CID:  52821851.
244. Harris, AB; Fisch, R. (1977). 「ランダム抵抗ネットワークの臨界挙動」 . Physical Review Letters . 38 (15): 796– 799. Bibcode :1977PhRvL..38..796H. doi :10.1103/PhysRevLett.38.796.
245. Xun, Zhipeng (2020). 「いくつかの4次元格子における精密な結合パーコレーション閾値」. Physical Review Research . 2 (1) 013067. arXiv : 1910.11408 . Bibcode :2020PhRvR...2a3067X. doi :10.1103/PhysRevResearch.2.013067. S2CID  204915841.
246. Gaunt, DS; Ruskin, Heather (1978). 「d次元における結合パーコレーション過程」J. Phys. A: Math. Gen . 11 (7): 1369. Bibcode :1978JPhA...11.1369G. doi :10.1088/0305-4470/11/7/025.
247. Adler, Joan; Yigal Meir; Amnon Aharony; AB Harris (1990). 「一般次元におけるパーコレーションモーメントの級数研究」. Physical Review B. 41 ( 13): 9183– 9206. Bibcode :1990PhRvB..41.9183A. doi :10.1103/PhysRevB.41.9183. PMID  9993262.
248. Stauffer, Dietrich; Robert M. Ziff (1999). 「7次元サイトパーコレーション閾値の再検討」. International Journal of Modern Physics C. 11 ( 1): 205– 209. arXiv : cond-mat/9911090 . Bibcode :2000IJMPC..11..205S. doi :10.1142/S0129183100000183. S2CID  119362011.
249. メルテンス、ステファン；ムーア、クリストファー (2018). 「ℤ ^d上のパーコレーションにおける臨界密度の級数展開」J. Phys. A: Math. Theor . 51 (47): 475001. arXiv : 1805.02701 . doi :10.1088/1751-8121/aae65c. S2CID  119399128.
250. Zhao, Pengyu; Jinhong Yan; Zhipeng Xun; Dapeng Hao; Robert M. Ziff (2022). 「拡張近傍を持つ4次元単純超立方格子上のサイトおよびボンドパーコレーション」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2022 (3): 033202. arXiv : 2109.11195 . Bibcode :2022JSMTE2022c3202Z. doi :10.1088/1742-5468/ac52a8. S2CID  237605083.
251. Löbl, Matthias C. (2024). 「量子エミッターを用いた量子コンピューティングのためのロス耐性アーキテクチャ」. Quantum . 8 1302. arXiv : 2304.03796 . doi :10.22331/q-2024-03-28-1302.
252. Schulman, LS (1983). 「1次元における長距離パーコレーション」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 16 (17): L639 – L641 . Bibcode :1983JPhA...16L.639S. doi :10.1088/0305-4470/16/17/001. ISSN  0305-4470.
253. Aizenman, M.; Newman, CM (1986年12月1日). 「1次元1/|x−y|2パーコレーションモデルにおけるパーコレーション密度の不連続性」. Communications in Mathematical Physics . 107 (4): 611– 647. Bibcode :1986CMaPh.107..611A. doi :10.1007/BF01205489. ISSN  0010-3616. S2CID  117904292.
254. Gori, G.; Michelangeli, M.; Defenu, N.; Trombettoni, A. (2017). 「1次元長距離パーコレーション：数値的研究」. Physical Review E. 96 ( 1) 012108. arXiv : 1610.00200 . Bibcode :2017PhRvE..96a2108G. doi :10.1103/physreve.96.012108. PMID:  29347133. S2CID  : 9926800.
255. Baek, SK; Petter Minnhagen; Beom Jun Kim (2009). 「『強化バイナリツリーにおける2段階パーコレーション遷移のモンテカルロシミュレーション研究』に関するコメント」". J. Phys. A: Math. Theor . 42 (47) 478001. arXiv : 0910.4340 . Bibcode :2009JPhA...42U8001B. doi :10.1088/1751-8113/42/47/478001. S2CID  102489139.
256. Boettcher, Stefan; Jessica L. Cook; Robert M. Ziff (2009). 「スモールワールド結合を持つ階層的ネットワークにおけるパッチパーコレーション」. Physical Review E. 80 ( 4) 041115. arXiv : 0907.2717 . Bibcode :2009PhRvE..80d1115B. doi :10.1103/PhysRevE.80.041115. PMID :  19905281. S2CID  : 119265110.
257. Mertens, Stephan; Cristopher Moore (2017). 「双曲格子におけるパーコレーション閾値」. Physical Review E. 96 ( 4) 042116. arXiv : 1708.05876 . Bibcode :2017PhRvE..96d2116M. doi :10.1103/PhysRevE.96.042116. PMID:  29347529. S2CID  : 39025690.
258. Lopez, Jorge H.; JM Schwarz (2017). 「双曲格子上の制約パーコレーション」. Physical Review E. 96 ( 5) 052108. arXiv : 1512.05404 . Bibcode :2017PhRvE..96e2108L. doi :10.1103/PhysRevE.96.052108. PMID:  29347694. S2CID  : 44770310.
259. Baek, SK; Petter Minnhagen; Beom Jun Kim (2009). 「双曲格子上のパーコレーション」. Physical Review E. 79 ( 1) 011124. arXiv : 0901.0483 . Bibcode :2009PhRvE..79a1124B. doi :10.1103/PhysRevE.79.011124. PMID  19257018. S2CID  29468086.
260. Gu, Hang; Robert M. Ziff (2012). 「双曲格子上の交差」. Physical Review E. 85 ( 5) 051141. arXiv : 1111.5626 . Bibcode :2012PhRvE..85e1141G. doi :10.1103/PhysRevE.85.051141. PMID  23004737. S2CID  7141649.
261. 野川智明; 長谷川武久 (2009). 「強化二分木における二段階パーコレーション遷移のモンテカルロシミュレーション研究」J. Phys. A: Math. Theor . 42 (14) 145001. arXiv : 0810.1602 . Bibcode :2009JPhA...42n5001N. doi :10.1088/1751-8113/42/14/145001. S2CID  118367190.
262. Minnhagen, Petter; Seung Ki Baek (2010). 「拡張二分木のパーコレーション遷移に関する解析的結果」. Physical Review E. 82 ( 1) 011113. arXiv : 1003.6012 . Bibcode :2010PhRvE..82a1113M. doi :10.1103/PhysRevE.82.011113. PMID  20866571. S2CID  21018113.
263. Kozáková, Iva (2009). 「事実上自由群とその他の木状グラフの臨界パーコレーション」Annals of Probability . 37 (6): 2262– 2296. arXiv : 0801.4153 . doi :10.1214/09-AOP458.
264. ワン、ジュンフェン;周宗正。劉清泉ティモシー・M・ガローニ。トウ・ヨウジン（2013）。 「(d + 1) 次元での指向性パーコレーションの高精度モンテカルロ研究」。物理的レビュー E . 88 (4) 042102.arXiv : 1201.3006。ビブコード:2013PhRvE..88d2102W。土井：10.1103/PhysRevE.88.042102。PMID  24229111。S2CID 43011467  。
265. Jensen, Iwan ; Anthony J. Guttmann (1995). 「有向正方格子およびハニカム格子におけるパーコレーション確率の級数展開」J. Phys. A: Math. Gen . 28 (17): 4813– 4833. arXiv : cond-mat/9509121 . Bibcode :1995JPhA...28.4813J. doi :10.1088/0305-4470/28/17/015. S2CID  118993303.
266. Jensen, Iwan (2004). 「有向パーコレーションの低密度級数展開：III. いくつかの2次元格子」. J. Phys. A: Math. Gen. 37 ( 4): 6899– 6915. arXiv : cond-mat/0405504 . Bibcode :2004JPhA...37.6899J. CiteSeerX 10.1.1.700.2691 . doi :10.1088/0305-4470/37/27/003. S2CID  119326380. 
267. Essam, JW; AJ Guttmann; K. De'Bell (1988). 「2次元有向パーコレーションについて」J. Phys. A . 21 (19): 3815– 3832. Bibcode :1988JPhA...21.3815E. doi :10.1088/0305-4470/21/19/018.
268. Lübeck, S.; RD Willmann (2002). 「外部場における指向性パーコレーションと対接触過程の普遍的スケーリング挙動」J. Phys. A . 35 (48): 10205. arXiv : cond-mat/0210403 . Bibcode :2002JPhA...3510205L. doi :10.1088/0305-4470/35/48/301. S2CID  11831269.
269. Jensen, Iwan (1999). 「有向パーコレーションのための低密度級数展開：I. 正方格子への応用を含む新しい効率的アルゴリズム」J. Phys. A . 32 (28): 5233– 5249. arXiv : cond-mat/9906036 . Bibcode :1999JPhA...32.5233J. doi :10.1088/0305-4470/32/28/304. S2CID  2681356.
270. エッサム, ジョン; K. デベル; J. アドラー; FM バッティ (1986). 「有向正方格子上の結合パーコレーションに関する拡張級数の解析」. Physical Review B. 33 ( 2): 1982– 1986. Bibcode :1986PhRvB..33.1982E. doi :10.1103/PhysRevB.33.1982. PMID  9938508.
271. Baxter, RJ; AJ Guttmann (1988). 「有向正方格子におけるパーコレーション確率の級数展開」J. Phys. A . 21 (15): 3193– 3204. Bibcode :1988JPhA...21.3193B. doi :10.1088/0305-4470/21/15/008.
272. Jensen, Iwan (1996). 「正方格子および三角格子上の有向パーコレーションに対する低密度級数展開」. J. Phys. A. 29 ( 22): 7013– 7040. Bibcode :1996JPhA...29.7013J. doi :10.1088/0305-4470/29/22/007. S2CID  121332666.
273. Blease, J. (1977). 「有向結合パーコレーション問題に対する級数展開」. J. Phys. C: Solid State Phys . 10 (7): 917– 924. Bibcode :1977JPhC...10..917B. doi :10.1088/0022-3719/10/7/003.
274. Grassberger, P.; Y.-C. Zhang (1996). "標準的なパーコレーション現象の「自己組織化」定式化。Physica A. 224 (1): 169– 179. Bibcode :1996PhyA..224..169G. doi :10.1016/0378-4371(95)00321-5.
275. Grassberger, P. (2009). 「有向パーコレーションにおける局所的持続性」. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2009 (8) P08021. arXiv : 0907.4021 . Bibcode :2009JSMTE..08..021G. doi :10.1088/1742-5468/2009/08/P08021. S2CID  119236556.
276. Lübeck, S.; RD Willmann (2004). 「上部臨界次元付近における有向パーコレーションの普遍的スケーリング挙動」J. Stat. Phys . 115 ( 5– 6): 1231– 1250. arXiv : cond-mat/0401395 . Bibcode :2004JSP...115.1231L. CiteSeerX 10.1.1.310.8700 . doi :10.1023/B:JOSS.0000028059.24904.3b. S2CID  16267627. 
277. Perlsman, E.; S. Havlin (2002). 「数値解析を用いた臨界指数の推定法」. Europhys. Lett . 58 (2): 176– 181. Bibcode :2002EL.....58..176P. doi :10.1209/epl/i2002-00621-7. S2CID  67818664.
278. Adler, Joan ; J. Berger; MAMS Duarte; Y. Meir (1988). 「3+1次元における指向性パーコレーション」. Physical Review B. 37 ( 13): 7529– 7533. Bibcode :1988PhRvB..37.7529A. doi :10.1103/PhysRevB.37.7529. PMID  9944046.
279. Grassberger, Peter (2009). 「(4 + 1)次元有向パーコレーションにおける対数補正」. Physical Review E. 79 ( 5) 052104. arXiv : 0904.0804 . Bibcode :2009PhRvE..79e2104G. doi :10.1103/PhysRevE.79.052104. PMID  19518501. S2CID  23876626.
280. Soares, Danyel JB; José S Andrade Jr; Hans J. Herrmann (2006). 「正方格子上の様々な有向パーコレーションモデルの閾値の精密計算」J. Phys. A: Math. Gen . 38 (21): L413 – L415 . arXiv : cond-mat/0503408 . doi :10.1088/0305-4470/38/21/L06.
281. Tretyakov, A. Yu.; N Inui (1995). 「混合サイトボンド指向性パーコレーションの臨界挙動」J. Phys. A: Math. Gen . 28 (14): 3985– 3990. arXiv : cond-mat/9505019 . Bibcode :1995JPhA...28.3985T. doi :10.1088/0305-4470/28/14/017.
282. Wu, FY (2010). 「三角型およびカゴメ型格子上のポッツ模型とパーコレーション模型の臨界境界 I：閉形式表現」. Physical Review E. 81 ( 6) 061110. arXiv : 0911.2514 . Bibcode :2010PhRvE..81f1110W. doi :10.1103/PhysRevE.81.061110. PMID:  20866381. S2CID  : 31590247.
283. Damavandi, Ojan Khatib; Robert M. Ziff (2015). 「4辺を持つハイパーグラフ上のパーコレーション」J. Phys. A: Math. Theor . 48 (40) 405004. arXiv : 1506.06125 . Bibcode :2015JPhA...48N5004K. doi :10.1088/1751-8113/48/40/405004. S2CID  118481075.
284. Wu, FY (2006). 「ポッツモデルとパーコレーションモデルの新たな臨界領域」. Physical Review Letters . 96 (9) 090602. arXiv : cond-mat/0601150 . Bibcode :2006PhRvL..96i0602W. CiteSeerX 10.1.1.241.6346 . doi :10.1103/PhysRevLett.96.090602. PMID :  16606250 . S2CID  :15182833. 

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Percolation_threshold&oldid=1323851679"