Operation in Hamiltonian mechanics
シメオン・デニス・ポワソン 数学 と 古典力学 において 、 ポアソン括弧は ハミルトン力学 における 重要な 二項演算であり、ハミルトン 力学系 の時間発展を支配するハミルトンの運動方程式において中心的な役割を果たしている 。また、ポアソン括弧は、正 準変換 と呼ばれる座標変換の特定のクラスを区別し、正準座標系 を他の正準座標系にマッピングする 。「正準座標系」は、正準ポアソン括弧の関係を満たす正準位置変数と運動量変数（以下ではそれぞれ と で表す）で構成される 。 可能な正準変換の集合は常に非常に豊富である。例えば、ハミルトニアン自体を 新しい正準運動量座標の1つとして選択することがしばしば可能である。 q i {\displaystyle q_{i}} p i {\displaystyle p_{i}} H = H ( q , p , t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t)}
より一般的な意味では、ポアソン括弧は ポアソン代数を定義するために用いられ、 ポアソン多様体 上の関数の代数はその特別なケースです。他にも一般的な例があります。例えば、 リー代数 の理論では 、リー代数の テンソル代数 がポアソン代数を形成します。これがどのように実現されるかの詳細な構成は、 普遍包絡代数の項で説明されています。普遍包絡代数の量子変形は、 量子群 の概念につながります 。
これらのオブジェクトはすべて、フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソン にちなんで名付けられています 。彼は1809年に発表した力学に関する論文の中で、ポアソン括弧を導入しました。 [1] [2]
プロパティ 位相空間 と時間に依存する 2つの関数 f と g が与えられた場合、それらのポアソン括弧 は位相空間と時間に依存する別の関数となります。位相空間と時間の任意の3つの関数に対して、以下の規則が成り立ちます 。 { f , g } {\displaystyle \{f,g\}} f , g , h {\displaystyle f,\,g,\,h}
反可換性 { f , g } = − { g , f } {\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}} 双線形性 { a f + b g , h } = a { f , h } + b { g , h } , {\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},} { h , a f + b g } = a { h , f } + b { h , g } , a , b ∈ R {\displaystyle \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} } ライプニッツの法則 { f g , h } = { f , h } g + f { g , h } {\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}} ヤコビ恒等式 { f , { g , h } } + { g , { h , f } } + { h , { f , g } } = 0 {\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0} また、関数が 位相空間上で一定である場合（ただし時間に依存する可能性がある）、 任意の に対して となります 。 k {\displaystyle k} { f , k } = 0 {\displaystyle \{f,\,k\}=0} f {\displaystyle f}
標準座標における定義 位相空間 上の 標準座標（ ダルブー座標 とも呼ばれる ） において 、2つの関数とが与えられたとき 、 [注1] ポアソン括弧は次の形をとる 。 ( q i , p i ) {\displaystyle (q_{i},\,p_{i})} f ( p i , q i , t ) {\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)} g ( p i , q i , t ) {\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)} { f , g } = ∑ i = 1 N ( ∂ f ∂ q i ∂ g ∂ p i − ∂ f ∂ p i ∂ g ∂ q i ) . {\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}
標準座標のポアソン括弧は、 クロネッカーの デルタ です 。 { q k , q l } = ∑ i = 1 N ( ∂ q k ∂ q i ∂ q l ∂ p i − ∂ q k ∂ p i ∂ q l ∂ q i ) = ∑ i = 1 N ( δ k i ⋅ 0 − 0 ⋅ δ l i ) = 0 , { p k , p l } = ∑ i = 1 N ( ∂ p k ∂ q i ∂ p l ∂ p i − ∂ p k ∂ p i ∂ p l ∂ q i ) = ∑ i = 1 N ( 0 ⋅ δ l i − δ k i ⋅ 0 ) = 0 , { q k , p l } = ∑ i = 1 N ( ∂ q k ∂ q i ∂ p l ∂ p i − ∂ q k ∂ p i ∂ p l ∂ q i ) = ∑ i = 1 N ( δ k i ⋅ δ l i − 0 ⋅ 0 ) = δ k l , {\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}}
ハミルトンの運動方程式 ハミルトンの運動方程式は、 ポアソン括弧を用いて等価な表現を持つ。これは、明示的な座標系で最も直接的に証明できるだろう。 が解の軌道多様体上の関数であると仮定する。すると、多変数 連鎖律 から 、 f ( p , q , t ) {\displaystyle f(p,q,t)} d d t f ( p , q , t ) = ∂ f ∂ q d q d t + ∂ f ∂ p d p d t + ∂ f ∂ t . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}
さらに、 と を ハミルトン方程式 の解 とみなすこともできる 。つまり、 p = p ( t ) {\displaystyle p=p(t)} q = q ( t ) {\displaystyle q=q(t)} d q d t = ∂ H ∂ p = { q , H } , d p d t = − ∂ H ∂ q = { p , H } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}=\{q,{\mathcal {H}}\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=\{p,{\mathcal {H}}\}.\end{aligned}}}
それから d d t f ( p , q , t ) = ∂ f ∂ q ∂ H ∂ p − ∂ f ∂ p ∂ H ∂ q + ∂ f ∂ t = { f , H } + ∂ f ∂ t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}
このように、シンプレクティック多様体 上の 関数の時間発展は、 時間をパラメータとする 1パラメータ の シンプレクト同相写像 （すなわち、 正準変換 、面積保存微分同相写像）の族として与えられる。 ハミルトン運動は、ハミルトン運動によって生成される正準変換である。つまり、ポアソン括弧が保存されるため、 ハミルトン方程式の解における 任意の時刻は 、
括弧座標として用いることができる。 ポアソン括弧は 正準不変量 である。 f {\displaystyle f} t {\displaystyle t} t {\displaystyle t} q ( t ) = exp ( − t { H , ⋅ } ) q ( 0 ) , p ( t ) = exp ( − t { H , ⋅ } ) p ( 0 ) , {\displaystyle q(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})p(0),}
座標を落とすと、 d d t f = ( ∂ ∂ t − { H , ⋅ } ) f . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{{\mathcal {H}},\cdot \}\right)f.}
微分 の移流部分の演算子は 、リウヴィル演算子と呼ばれることもあります ( リウヴィルの定理 (ハミルトニアン) を 参照)。 i L ^ = − { H , ⋅ } {\displaystyle i{\hat {L}}=-\{{\mathcal {H}},\cdot \}}
ポアソン括弧の概念は、ポアソン行列を定義することによって行列の概念に拡張できます。
次の正準変換を考えてみましょう。 を定義すると 、ポアソン行列は と定義されます 。ここで は、座標集合を順序付けるのと同じ規則に従った シンプレクティック行列 です 。定義から次の式が成り立ちます。 η = [ q 1 ⋮ q N p 1 ⋮ p N ] → ε = [ Q 1 ⋮ Q N P 1 ⋮ P N ] {\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}} M := ∂ ( Q , P ) ∂ ( q , p ) {\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}} P ( ε ) = M J M T {\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}} J {\displaystyle J} P i j ( ε ) = [ M J M T ] i j = ∑ k = 1 N ( ∂ ε i ∂ η k ∂ ε j ∂ η N + k − ∂ ε i ∂ η N + k ∂ ε j ∂ η k ) = ∑ k = 1 N ( ∂ ε i ∂ q k ∂ ε j ∂ p k − ∂ ε i ∂ p k ∂ ε j ∂ q k ) = { ε i , ε j } η . {\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}
ポアソン行列は次の既知の特性を満たします。 P T = − P | P | = 1 | M | 2 P − 1 ( ε ) = − ( M − 1 ) T J M − 1 = − L ( ε ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}
ここで、 はラグランジュ行列と呼ばれ、その要素は ラグランジュ括弧 に対応します。最後の恒等式は次のようにも表すことができます。 ここでの和には、一般化座標と一般化運動量が含まれることに注意してください。 L ( ε ) {\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )} ∑ k = 1 2 N { η i , η k } [ η k , η j ] = − δ i j {\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}
ポアソン括弧の不変性は次のように表すことができ 、これは直接的にシンプレクティック条件につながる 。 [3] { ε i , ε j } η = { ε i , ε j } ε = J i j {\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}} M J M T = J {\textstyle MJM^{T}=J}
運動定数 積分可能なシステムに は 、エネルギーに加えて 運動定数が あります。このような運動定数は、ポアソン括弧内のハミルトニアンと可換です。ある関数が 運動定数であると仮定します。これは、 がハミルトンの運動方程式 の 軌跡 または解で ある場合 、その軌跡に沿って次が成り立つことを意味します。 ここで、上記のように、中間ステップは運動方程式を適用することで得られ、 は 時間に明示的に依存しないと仮定します。この方程式は リウヴィル方程式として知られています。 リウヴィルの定理 の内容は、 分布関数 によって与えられた 測度 の時間発展が 上記の方程式によって与えられるというものです。 f ( p , q ) {\displaystyle f(p,q)} p ( t ) , q ( t ) {\displaystyle p(t),q(t)} 0 = d f d t {\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
と のポアソン括弧が ゼロ（ ）となる場合、 と は 反転 に あるという。ハミルトン系が 完全に積分可能 であるためには 、 独立した運動定数が 相互に反転 （ は自由度の数）にある必要がある。 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { f , g } = 0 {\displaystyle \{f,g\}=0} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
さらに、ポアソンの定理 によれば 、2つの量 とが 明示的に時間に依存しない（ ）運動定数である場合、それらのポアソン括弧も時間に依存しない運動定数です 。これはヤコビ恒等式から導かれます（以下のセクションを参照）。しかし、ポアソンの定理は必ずしも有用な結果をもたらすとは限りません。なぜなら、運動定数の可能な数は限られているからです（自由度 を持つシステムの場合 ）。そのため、結果は自明なもの（定数、または との関数 ）
になることもあります。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A ( p , q ) , B ( p , q ) {\displaystyle A(p,q),B(p,q)} { A , B } {\displaystyle \{A,\,B\}} 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} n {\displaystyle n} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
座標フリー言語におけるポアソン括弧 をシンプレクティック多様体 とする。 つまり 、 シンプレクティック形式 （ 2次元形式 であり、 閉じて いる（つまり、 外微分が ゼロである））かつ 非退化で ある を備えた 多様体 とする。例えば、上記の処理において、 を とし 、 をとる
。 M {\displaystyle M} ω {\displaystyle \omega } d ω {\displaystyle d\omega } M {\displaystyle M} R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} ω = ∑ i = 1 n d q i ∧ d p i . {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}
が によって定義される内積 または 縮約 演算 である 場合 、非退化性は、任意の1形式に対して となる一意のベクトル場が存在するということと同値です 。 あるいは 、 となります 。そして、 が 上の滑らかな関数である場合 、 ハミルトンベクトル場は と定義できます 。 ι v ω {\displaystyle \iota _{v}\omega } ( ι v ω ) ( u ) = ω ( v , u ) {\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)} α {\displaystyle \alpha } Ω α {\displaystyle \Omega _{\alpha }} ι Ω α ω = α {\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha } Ω d H = ω − 1 ( d H ) {\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)} H {\displaystyle H} M {\displaystyle M} X H {\displaystyle X_{H}} Ω d H {\displaystyle \Omega _{dH}} X p i = ∂ ∂ q i X q i = − ∂ ∂ p i . {\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}
( M , ω ) 上の ポアソン 括弧 は、 によって定義される 微分可能関数 上の 双線型演算 である 。M 上の2つの関数のポアソン括弧自体も M 上の関数である 。ポアソン括弧が反対称であるのは、以下の理由による。 { ⋅ , ⋅ } {\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}} { f , g } = ω ( X f , X g ) {\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})} { f , g } = ω ( X f , X g ) = − ω ( X g , X f ) = − { g , f } . {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}
さらに、
{ f , g } = ω ( X f , X g ) = ω ( Ω d f , X g ) = ( ι Ω d f ω ) ( X g ) = d f ( X g ) = X g f = L X g f . {\displaystyle {\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\&=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f.\end{aligned}}} 1
ここで、 X g f は関数 f に方向微分として適用されたベクトル場 X g を表し、 関数 f の（完全に等価な） リー微分 を表します。 L X g f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}
αが M 上の任意の一形式である 場合 、ベクトル場 Ω α は （少なくとも局所的には） 境界条件 と一次微分方程式
を満たす 流れを生成する。 ϕ x ( t ) {\displaystyle \phi _{x}(t)} ϕ x ( 0 ) = x {\displaystyle \phi _{x}(0)=x} d ϕ x d t = Ω α | ϕ x ( t ) . {\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}
は任意の tに対して x の関数として シンプレクティック同相写像 （ 正準変換 ）となるため 、かつその場合に限ら れます。 これが成り立つとき、 Ω α はシンプレクティックベクトル場 と呼ばれます 。 カルタンの恒等式 と d ω = 0 を 思い出すと、 が成り立ちます 。したがって、 Ω α がシン プレクティックベクトル場となるため、かつその場合に限られます 。 なので 、任意のハミルトンベクトル場 X f はシンプレクティックベクトル場となり、ハミルトンフローは正準変換からなることが分かります。上記 (1) から、ハミルトンフローの下では 、 ϕ x ( t ) {\displaystyle \phi _{x}(t)} L Ω α ω = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0} L X ω = d ( ι X ω ) + ι X d ω {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega } L Ω α ω = d ( ι Ω α ω ) = d α {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha } d ( d f ) = d 2 f = 0 {\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0} X H {\displaystyle X_{\mathcal {H}}} d d t f ( ϕ x ( t ) ) = X H f = { f , H } . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{\mathcal {H}}f=\{f,{\mathcal {H}}\}.}
これはハミルトン力学における基本的な結果であり、位相空間上で定義された関数の時間発展を規定する。上述のように、 のとき 、 f は系の運動定数である。さらに、 および の正準座標系において 、系の時間発展に関するハミルトン方程式は、この式から直ちに導かれる。 { f , H } = 0 {\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}=0} { p i , p j } = { q i , q j } = 0 {\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0} { q i , p j } = δ i j {\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}
また、 (1) からポアソン括弧は 微分であり、ライプニッツの 積分則 の非可換版を満たすことがわかる 。
{ f g , h } = f { g , h } + g { f , h } , {\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},} そして { f , g h } = g { f , h } + h { f , g } . {\displaystyle \{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.} 2
ポアソン括弧はハミルトンベクトル場の リー括弧 と密接に関係している。リー微分は微分であるため、 L v ι u ω = ι L v u ω + ι u L v ω = ι [ v , u ] ω + ι u L v ω . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}
したがって、 v と uが シンプレクティックであれば 、カルタンの恒等式と閉じた形式であることを用いて 、 L v ω = 0 = L u ω {\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega } ι u ω {\displaystyle \iota _{u}\omega } ι [ v , u ] ω = L v ι u ω = d ( ι v ι u ω ) + ι v d ( ι u ω ) = d ( ι v ι u ω ) = d ( ω ( u , v ) ) . {\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}
となる ので、 [ v , u ] = X ω ( u , v ) {\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}
[ X f , X g ] = X ω ( X g , X f ) = − X ω ( X f , X g ) = − X { f , g } . {\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.} 3
したがって、関数上のポアソン括弧は、関連するハミルトンベクトル場のリー括弧に対応する。また、2つのシンプレクティックベクトル場のリー括弧はハミルトンベクトル場であり、したがってシンプレクティックであることも示した。 抽象代数 の言語において、シンプレクティックベクトル場は M 上の滑らかなベクトル場の リー 代数の 部分代数 を形成し、ハミルトンベクトル場はこの部分代数の イデアルを形成する。シンプレクティックベクトル場は、 M の シンプレクト同相写像の（無限次元） リー群 のリー 代数 である。
ポアソン括弧の ヤコビ恒等式 はベクトル場のリー括弧の対応する恒等式から導かれると 広く主張されているが、これは局所定数関数までしか成り立たない。しかし、ポアソン括弧のヤコビ恒等式を証明するには、 次を示せば 十分である。ここで、 M 上の滑らかな関数の 演算子 はで定義され 、右側の括弧は演算子の交換子である。 (1) により 、演算子は 演算子 X g に等しい。ヤコビ恒等式の証明は (3) から導かれる。なぜなら、-1の係数まで、ベクトル場のリー括弧は微分演算子としての交換子に等しいからである。 { f , { g , h } } + { g , { h , f } } + { h , { f , g } } = 0 {\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0} ad { g , f } = ad − { f , g } = [ ad f , ad g ] {\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]} ad g {\displaystyle \operatorname {ad} _{g}} ad g ( ⋅ ) = { ⋅ , g } {\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}} [ A , B ] = A B − B A {\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} } ad g {\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}
M 上の滑らかな関数の代数は、ポアソン括弧と共にポアソン代数を形成する 。 なぜなら 、 これは ポアソン括弧の下で リー代数であり、さらにライプニッツの規則 (2) を満たすからである。我々は、すべてのシンプレクティック多様体 が ポアソン多様体 、すなわち滑らかな関数に「中括弧」演算子を持つ多様体であり、それによって滑らかな関数がポアソン代数を形成することを示した 。しかし、すべてのポアソン多様体がこのように生じるわけではない。なぜなら、ポアソン多様体では、シンプレクティック多様体では生じない退化が許容されるからである。
共役運動量に関する結果 配置空間上の 滑らかな ベクトル場 が与えられ、その 共役運動量 を とする。共役運動量写像は、 リー括弧 から ポアソン括弧への リー代数の反準同型写像である。 X {\displaystyle X} P X {\displaystyle P_{X}} { P X , P Y } = − P [ X , Y ] . {\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}
この重要な結果は、簡単な証明をする価値がある。配置空間 の 点における ベクトル場を と書く。 ここ で は局所座標系である。 に対する共役運動量は で表される
。 ここで は座標に共役な運動量関数である。すると、 位相空間 の 点 に対して 、 X {\displaystyle X} q {\displaystyle q} X q = ∑ i X i ( q ) ∂ ∂ q i {\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} ∂ ∂ q i {\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} X {\displaystyle X} P X ( q , p ) = ∑ i X i ( q ) p i {\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}} p i {\displaystyle p_{i}} ( q , p ) {\displaystyle (q,p)} { P X , P Y } ( q , p ) = ∑ i ∑ j { X i ( q ) p i , Y j ( q ) p j } = ∑ i j p i Y j ( q ) ∂ X i ∂ q j − p j X i ( q ) ∂ Y j ∂ q i = − ∑ i p i [ X , Y ] i ( q ) = − P [ X , Y ] ( q , p ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}
上記はすべての に当てはまり 、望ましい結果が得られます。 ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}
量子化 ポアソン括弧は 量子化 によって モヤル括弧 に 変形する 。つまり、異なるリー代数である モヤル代数 、あるいは ヒルベルト空間 において同値な量子 交換 子へと一般化される。これらをウィグナー・イノニュ 群に縮約 （古典極限、 ħ → 0 ）すると、上記のリー代数が得られる。
これをより明確かつ正確に述べると、 ハイゼンベルク代数 の 普遍包絡代数は、（中心が単位元であるという関係を法として） ワイル代数 である。したがって、モイアル積は、記号代数上のスター積の特別な場合である。記号代数とスター積の明示的な定義は、 普遍包絡代数 に関する記事に示されている 。
参照
^ 平均は 独立変数、運動量、 位置、 および時間 の関数です。 f ( p i , q i , t ) {\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},\,t)} f {\displaystyle f} 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} p 1 … N {\displaystyle p_{1\dots N}} q 1 … N {\displaystyle q_{1\dots N}} t {\displaystyle t}
参考文献 ^ SDポアソン（1809） ^ CMマール（2009） ^ Giacaglia, Giorgio EO (1972). 非線形システムにおける摂動法 . 応用数学科学. ニューヨーク・ハイデルベルグ: シュプリンガー. pp. 8– 9. ISBN 978-3-540-90054-2 。
外部リンク 
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a15e99967eb4d344ec57733457bae103ff0ffc0)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc66924f661f0d8deef403c52a795fd322ebcfe7)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\オメガ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a5761187e705f3513d526f69163e2f6512c7c6)
![{\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\オメガ(u,v)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a096eed79f0b2df5028772e46967d7b160bc8c16)
![{\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8f3e43d192a6a5d02c9d440fb5f54e7ace1a4d)
![{\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db4169c89959ab5dd91ff7676d4832e497bb088)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3add2e4111344e6a7b5f99af35f629b1892fb378)
![{\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f97f3ece87400d2b60f4bff90b63e785f72198)
![{\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b807235723849825479543549bdc6d709f120bf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba5433f5ac6a3170d8f796bd25cd1ec64a47f0b)
