ポリャコフの行動

2D conformal field theory used in string theory

物理学において、ポリャコフ作用（ポリャコフこうか）とは、弦理論における弦の世界面を記述する2次元共形場理論の作用である。 1976年にスタンリー・デザーとブルーノ・ズミーノによって、また独立にL・ブリンク、P・ディ・ヴェッキア、P・S・ハウによって導入された^{[1] [2]。}そして、 1981年にアレクサンダー・ポリャコフが弦の量子化にこの作用を利用したことで、ポリャコフと関連付けられるようになった^[3 ]。この作用は以下の通りである。

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma ),}$

ここで、 は弦の張力、は対象多様体の計量、は世界面計量（その逆関数）、は の行列式である。計量のシグネチャは、時間的方向が + 、空間的方向が − となるように選択される。空間的世界面座標は と呼ばれ、時間的世界面座標は と呼ばれる。これは非線形シグマモデルとしても知られる。^[4] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

弦の変動を記述するには、ポリャコフ作用にリウヴィル作用を補足する必要があります。

グローバル対称性

注：ここで、対称性は、2次元理論（世界面上）の観点から、局所的または大域的であると言われています。例えば、時空の局所対称性であるローレンツ変換は、世界面上の理論では大域的対称性です。

この作用は時空変換と微小ローレンツ変換に対して不変である。

1. ${\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+b^{\alpha },}$
2. ${\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+\omega _{\ \beta }^{\alpha }X^{\beta },}$

ここで、 、 は定数です。これは対象多様体のポアンカレ対称性を形成します。 ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }}$ ${\displaystyle b^{\alpha }}$

(i) における不変性は、作用が の一次導関数のみに依存することから成り立つ。(ii) における不変性の証明は以下の通りである。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}'&={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }\partial _{a}\left(X^{\mu }+\omega _{\ \delta }^{\mu }X^{\delta }\right)\partial _{b}\left(X^{\nu }+\omega _{\ \delta }^{\nu }X^{\delta }\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\omega _{\nu \delta }\partial _{a}X^{\delta }\partial _{b}X^{\nu }\right)+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }+\omega _{\delta \mu }\right)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right).\end{aligned}}}$

局所対称性

この作用は、世界面微分同相写像（または座標変換）およびワイル変換に対して不変である。

微分同相写像

次の変換を想定します。

${\displaystyle \sigma ^{\alpha }\rightarrow {\tilde {\sigma }}^{\alpha }\left(\sigma ,\tau \right).}$

計量テンソルは次のように変換されます。

${\displaystyle h^{ab}(\sigma )\rightarrow {\tilde {h}}^{ab}=h^{cd}({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial {\sigma }^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial {\sigma }^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}.}$

次のことがわかります:

${\displaystyle {\tilde {h}}^{ab}{\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial \sigma ^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{cd}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial \sigma ^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial \sigma ^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}{\frac {\partial }{\partial \sigma ^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{ab}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }}).}$

この変換のヤコビアンは次のように与えられることが知られている。

${\displaystyle \mathrm {J} =\operatorname {det} \left({\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\right),}$

それは

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}&=\mathrm {J} \mathrm {d} ^{2}\sigma \\h&=\operatorname {det} \left(h_{ab}\right)\\\Rightarrow {\tilde {h}}&=\mathrm {J} ^{2}h,\end{aligned}}}$

そして、

${\displaystyle {\sqrt {-{\tilde {h}}}}\mathrm {d} ^{2}{\sigma }={\sqrt {-h\left({\tilde {\sigma }}\right)}}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}.}$

この変換と再ラベル付けをまとめると、アクションは不変であることがわかります。 ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=\sigma }$

ワイル変換

ワイル変換を仮定する：

${\displaystyle h_{ab}\to {\tilde {h}}_{ab}=\Lambda (\sigma )h_{ab},}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}^{ab}&=\Lambda ^{-1}(\sigma )h^{ab},\\\operatorname {det} \left({\tilde {h}}_{ab}\right)&=\Lambda ^{2}(\sigma )\operatorname {det} (h_{ab}).\end{aligned}}}$

そして最後に:

${\displaystyle {\mathcal {S}}',}$	${\displaystyle ={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-{\tilde {h}}}}{\tilde {h}}^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma ),}$
	${\displaystyle ={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}\left(\Lambda \Lambda ^{-1}\right)h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={\mathcal {S}}.}$

そして、作用はワイル変換に対して不変であることがわかる。作用が世界面面積／超面積に比例するn次元（空間的に）拡張された物体を考えると、n = 1でない限り、対応するポリヤコフ作用はワイル対称性を破る別の項を含むことになる。

応力エネルギーテンソルを次のように定義できる。

${\displaystyle T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}.}$

定義してみましょう:

${\displaystyle {\hat {h}}_{ab}=\exp \left(\phi (\sigma )\right)h_{ab}.}$

ワイル対称性のため、作用は に依存しません。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}={\frac {\delta S}{\delta {\hat {h}}_{ab}}}{\frac {\delta {\hat {h}}_{ab}}{\delta \phi }}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{ab}\,e^{\phi }\,h^{ab}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{\ a}^{a}\,e^{\phi }=0\Rightarrow T_{\ a}^{a}=0,}$

ここでは関数微分連鎖律を使用しました。

南部・後藤行動との関係

計量テンソルのオイラー・ラグランジュ方程式を書くと、次の式が得られる。 ${\displaystyle h^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0.}$

また、次のことも知っています。

${\displaystyle \delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}.}$

作用の変分微分は次のように書くことができます。

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right),}$

ここで、 ${\displaystyle G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{ab}&=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0,\\G_{ab}&={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd},\\G&=\operatorname {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

補助世界面 計量テンソルを 運動方程式から計算すると、 ${\displaystyle {\sqrt {-h}}}$

${\displaystyle {\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}}$

これを作用に戻すと南部-後藤作用となる。

${\displaystyle S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}.}$

しかし、ポリヤコフ作用は線形であるため、より簡単に量子化できます。

運動方程式

微分同相写像とワイル変換をミンコフスキー目標空間とともに用いることで、物理的に重要でない変換を行うことができ、その結果、共形ゲージにおける作用を記述することができる。 ${\displaystyle {\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-\eta }}\eta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right),}$

どこ。 ${\displaystyle \eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$

制約を導き出すことができることを念頭に置いてください。 ${\displaystyle T_{ab}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{01}&=T_{10}={\dot {X}}X'=0,\\T_{00}&=T_{11}={\frac {1}{2}}\left({\dot {X}}^{2}+X'^{2}\right)=0.\end{aligned}}}$

を代入すると、 ${\displaystyle X^{\mu }\to X^{\mu }+\delta X^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}\delta X_{\mu }\\&=-T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }\delta X_{\mu }+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =\pi }-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}\\&=0.\end{aligned}}}$

そしてその結果

${\displaystyle \square X^{\mu }=\eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }=0.}$

作用の変化の第 2 部を満たす境界条件は次のとおりです。

• 閉じた文字列:

  周期境界条件: ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma ).}$

• 開放弦：
  1. ノイマン境界条件: ${\displaystyle \partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0.}$
  2. ディリクレ境界条件: ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }.}$

光円錐座標 で運動方程式を書き直すと、 ${\displaystyle \xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }&=0,\\(\partial _{+}X)^{2}=(\partial _{-}X)^{2}&=0.\end{aligned}}}$

したがって、解は と書くことができ、応力エネルギーテンソルは対角行列となる。解をフーリエ展開し、係数に正準交換関係を課すことで、第二運動方程式を適用することで、ビラソロ作用素の定義が可能となり、物理状態に作用する際には消滅するビラソロ拘束条件が得られる。 ${\displaystyle X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})}$

参照

• Dブレーン
• アインシュタイン・ヒルベルト作用

参考文献

1. Deser, S. ; Zumino, B. (1976). 「回転弦の完全な動作」. Phys. Lett. B. 65 ( 4): 369– 373. doi :10.1016/0370-2693(76)90245-8.
2. Brink, L. ; Di Vecchia, P. ; Howe, P. (1976). 「回転弦に対する局所超対称かつ再パラメータ化不変な作用」 . Physics Letters B. 65 ( 5): 471– 474. doi :10.1016/0370-2693(76)90445-7.
3. Polyakov, AM (1981). 「ボゾン弦の量子幾何学」 . Physics Letters B. 103 ( 3): 207– 210. doi :10.1016/0370-2693(81)90743-7.
4. Friedan, D. (1980). 「2+ε次元における非線形モデル」(PDF) . Physical Review Letters . 45 (13): 1057– 1060. Bibcode :1980PhRvL..45.1057F. doi :10.1103/PhysRevLett.45.1057.

さらに読む

• Polchinski (1994年11月).弦理論とは何か, NSF-ITP-94-97, 153 pp., arXiv:hep-th/9411028v1.
• 大栗 殷 (1997年2月). TASI Lectures on Perturbative String Theories , UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80 pp., arXiv:hep-th/9612254v3.

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