結び目多項式

多くの結び目多項式は、結び目のさまざまな交差を変更してより単純な結び目を取得できるかせ関係を使用して計算されます。

数学の結び目理論の分野において、結び目多項式は、係数が特定の結び目のいくつかの特性を符号化する多項式の形の結び目不変量です。

歴史

最初の結び目多項式であるアレクサンダー多項式は、1923 年にジェームズ・ワデル・アレクサンダー 2 世によって導入されました。その他の結び目多項式は、それからほぼ 60 年後まで発見されませんでした。

1960年代、ジョン・コンウェイはアレクサンダー多項式の一種である「束の関係」を考案しました。これは通常、アレクサンダー・コンウェイ多項式と呼ばれます。この束の関係の重要性は、1980年代初頭にヴォーン・ジョーンズがジョーンズ多項式を発見するまで認識されていませんでした。この多項式は、いわゆるHOMFLY多項式など、より多くの結び目多項式の発見につながりました。

ジョーンズの発見から間もなく、ルイス・カウフマンは、ジョーンズ多項式が、枠付き結び目の不変量であるブラケット多項式を含む分割関数（状態和モデル）によって計算できることに気づいた。これは、結び目理論と統計力学を結びつける研究の道を開いた。

1980年代後半には、2つの関連するブレークスルーがありました。エドワード・ウィッテンは、ジョーンズ多項式および類似のジョーンズ型不変量がチャーン・サイモンズ理論において解釈可能であることを実証しました。ヴィクトル・ヴァシリエフとミハイル・グサロフは、結び目の有限型不変量の理論を提唱しました。前述の多項式の係数は、（おそらく適切な「変数変換」を行った後）有限型であることが知られています。

近年、アレクサンダー多項式はフレアーホモロジーと関連があることが示されました。ピーター・オズヴァースとゾルタン・サボーの結び目フレアーホモロジーの次数付きオイラー特性は、アレクサンダー多項式です。

例

アレクサンダー・ブリッグス記法	アレクサンダー多項式 ${\displaystyle \Delta (t)}$	コンウェイ多項式 ${\displaystyle \nabla (z)}$	ジョーンズ多項式 ${\displaystyle V(q)}$	HOMFLY多項式 ${\displaystyle H(a,z)}$
${\displaystyle 0_{1}}$（結び目を解く）	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3_{1}}$（トレフォイルノット）	${\displaystyle t-1+t^{-1}}$	${\displaystyle z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	${\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$
${\displaystyle 4_{1}}$（八の字結び）	${\displaystyle -t+3-t^{-1}}$	${\displaystyle -z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\displaystyle 5_{1}}$（五つ葉結び）	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}$
${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}}$（グラニーノット）	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}$
${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}^{*}}$（スクエアノット）	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}$

アレクサンダー・ブリッグス表記法では、結び目を交差数によって整理します。

アレクサンダー多項式とコンウェイ多項式は、左三つ葉結び目と右三つ葉結び目の違いを認識できません。

• 
  左三つ葉結び目。
• 
  右三つ葉結び目。

したがって、の結び目の加算は結び目多項式の結び目の積となるため、グラニーノットやスクエアノットと同じ状況になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

参照

特定の結び目多項式

• アレクサンダー多項式（およびその変種であるアレクサンダー・コンウェイ多項式）
• 括弧多項式
• HOMFLY多項式
• ジョーンズ多項式
• カウフマン多項式

関連トピック

• グラフ多項式、グラフ理論における多項式不変量の類似クラス
• トゥット多項式、ジョーンズ多項式に関連する特殊なグラフ多項式
• アレクサンダー多項式の正式な定義に対するかせ関係と、その例。

さらに読む

• アダムス、コリン著『結び目の本』アメリカ数学会刊。ISBN 0-8050-7380-9。
• Lickorish, WBR (1997). 『結び目理論入門』 . 『Graduate Texts in Mathematics』 . 第175巻. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98254-X。

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