位置演算子

Operator in quantum mechanics

量子力学では、位置演算子は粒子の観測可能な位置に対応する演算子です。

位置演算子を十分に広い領域（例えば緩和分布の空間）で考えると、その固有値は粒子の可能な位置ベクトルとなる。 ^[1]

1次元では、記号 によって、固有値 に対応する位置演算子のユニタリ固有ベクトルを表す場合、 は、粒子自体が位置 にあることが確実にわかっている粒子の状態を表します。 $${\displaystyle |x\rangle }$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle x}$

したがって、位置演算子を記号で表すと、すべての実数の位置に対して と書くことができます。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$ ${\displaystyle x}$

位置 のユニタリー状態を実現可能な例として、位置 を中心とするディラックのデルタ(関数) 分布が挙げられます。これは、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

量子力学では、すべてのディラック分布の順序付けられた（連続的な）族、すなわち族は、緩和分布の空間における位置演算子の（ユニタリー）固有基底であるという理由から、（ユニタリー）位置基底と呼ばれます。 $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$ ${\displaystyle X}$

緩和超関数の空間上には、任意の実数点 に対してとなるような、それ自身への線型連続作用素が1つだけ存在することを観察することは重要である。任意の緩和超関数に対して、この唯一の作用素は必ず定義されることを証明することができる。ここで は位置直線 の座標関数を表し、これは実数直線を複素平面に含めることとして定義される。すなわち、 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

導入

ある瞬間における粒子の量子状態を、積分可能な2乗 波動関数 で表すことを考えてみましょう。ここでは、空間次元が1次元（つまり、粒子が直線上に「閉じ込められている」）であると仮定します。波動関数が正規化されている場合、2乗係数は、ある時刻に実数直線上の任意の位置に粒子が存在する確率密度を表します。つまり、の場合、位置範囲 に粒子が存在する確率は、 ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

したがって、粒子の位置の測定の期待値は、 ここで、位置線を複素平面に標準的に埋め込む座標関数です 。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

厳密に言えば、観測可能な位置は、任意の波動関数と実数直線上の任意の点について、点ごとに定義できます。同値類の場合、定義は次のように直接読み取れます 。つまり、位置演算子は任意の波動関数に座標関数を乗算します。 ${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$ $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

三次元

3次元への一般化は簡単です。

時空波動関数は今、状態における位置演算子の期待値は、積分を全空間にわたって行った場合である 。位置演算子は ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

基本的なプロパティ

上記の定義は直線上に閉じ込められた粒子の場合に関するものですが、注意深い読者は、位置演算子の領域と余領域が明確に規定されていないことに気付くかもしれません。文献では、多かれ少なかれ明確に、この問題に対処するための3つの主要な方向性が見られます。

1. 位置演算子は、埋め込みによる積が空間 に存在する同値類によって形成される の部分空間上で定義されます。この場合、位置演算子は連続ではなく（ の標準スカラー積によって誘導される位相に関して非有界）、固有ベクトルも固有値も持たず、結果として空点スペクトルを持つことが示されます。 ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle L^{2}}$
2. 位置演算子はシュワルツ空間 （すなわち、実数直線上に定義され、その導関数が急速に減少するすべての滑らかな複素関数の核空間）上で定義される。この場合、位置演算子は連続（ の標準位相に関して）、単射、固有ベクトルおよび固有値を持たず、したがって空点スペクトルを持つことを明らかにする。これはのスカラー積に関して、次の意味で（完全に）自己随伴である。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. 位置演算子はの双対空間（すなわち、 緩和超関数の核空間）上で定義される。が の部分空間であるので、緩和超関数と埋め込みの積は常に となる。この場合、位置演算子は連続（の標準位相に関して）、射影的、一般化固有ベクトルと実一般化固有値の完全な族を備える。 は のスカラー積に関して自己随伴であり、その転置演算子が自己随伴であるという意味で、すなわち ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$ $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

最後のケースは、明示的に強調されることはないが、実際には量子力学の文献で最も広く採用されている選択肢である。^[要出典]これは、ヒルベルト空間をリグドヒルベルト空間に拡張することで、固有ベクトルが存在しない可能性があることに対処している。 ^[2]これにより、固有ベクトルと固有値という数学的に厳密な概念が提供される。^[3] $${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$

固有状態

位置空間で表される位置演算子（緩和分布の空間上）の固有関数は、ディラックのデルタ関数です。

非公式な証明。位置演算子の可能な固有ベクトルは必ずディラックのデルタ分布であることを示すために、 が固有値 を持つ位置演算子の固有状態である。位置座標で固有値方程式を書くが、は単に波動関数に関数 を掛け合わせたものであることを思い出す。関数 は変数であるのに対し は定数であるため、点 を除くすべての点で はゼロでなければならない。明らかに、このような特性を満たす連続関数は存在せず、その点における波動関数を単純に複素数として定義することはできない。なぜなら、その点 に集中し、積分が 0 とは異なる「関数オブジェクト」、つまり を中心とするディラックのデルタの任意の倍数が必要であることを示唆している。方程式の正規化された解はか、より良く成り立ち、 となります。実際、任意の関数と点を中心とするディラック分布の積は、その点における関数の値とディラック分布自体の積であることを思い出すと、 は直ちに得られます。このようなディラック状態は物理的に実現不可能であり、厳密に言えば関数ではありませんが、 を中心とするディラック分布は、その位置が正確にわかっている「理想的な状態」と考えることができます（位置を測定すると常に固有値 が返されます）。したがって、不確定性原理により、このような状態の運動量については何も分かっていません。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$ $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$ $${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

運動量空間

通常、量子力学では、運動量空間における表現とは、標準的なユニタリー運動量基底に関する状態と観測量の表現を意味する。 $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

運動量空間では、1次元の位置演算子は次の微分演算子で表される。 $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

どこ：

• 運動量基底における位置演算子の表現は、すべての波動関数（緩和分布）に対して、によって自然に定義されます。 ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$ ${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$は運動量線上の座標関数を表し、波数ベクトル関数は によって定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

形式主義におけるL²（R、C）

スピンのない粒子が1次元空間を運動する場合を考えてみましょう。このような粒子の状態空間には、実数直線上の複素数値で2乗可積分な関数のヒルベルト空間が含まれます。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

位置演算子は定義域と各点をそれ自身に送る座標関数を持つ自己随伴演算子として定義され、 ^{[4] [5]}各点ごとに定義されたに対して、およびとなる。 $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$ $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

定義からすぐに、スペクトルは実数直線全体から構成され、厳密に連続したスペクトル、つまり離散的な固有値の集合を持たないことがわかります。 ${\displaystyle Q}$

3次元の場合も同様に定義されます。以下の議論では1次元の場合の仮定を維持します。

測定理論L²（R、C）

あらゆる量子力学的観測可能量と同様に、位置測定について議論するためには、位置演算子のスペクトル分解能を計算する必要があります 。これは、いわゆる位置演算子のスペクトル測定です。 $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$ ${\displaystyle \mu _{X}}$

の ボレル部分集合に対する指示関数をとすると、スペクトル測度は の指示関数による乗算として、すなわちで与えられる。 ${\displaystyle \chi _{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$ ${\displaystyle B}$

したがって、システムが状態 に準備されている場合、測定された粒子の位置がボレル集合に属する確率は、実数直線 上のルベーグ測度です 。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$ ${\displaystyle \mu }$

サブセット B 内の粒子を検出することを目的とした測定の後、波動関数はまたは のいずれかに縮小します。 ここでは 上のヒルベルト空間ノルムです。 $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$ $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

参照

• 位置と運動量空間
• 運動量演算子
• 変換演算子（量子力学）

注記

1. アトキンス、PW (1974). 『量子：概念ハンドブック』オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-855493-1。
2. デ・ラ・マドリッド・モディーノ、2001年、章。 2.6.
3. デ・ラ・マドリッド・モディーノ、2001 年、104–117 ページ。
4. マクマホン, D. (2006). 『量子力学の謎を解き明かす』（第2版）. マクグローヒル. ISBN 0-07-145546-9。
5. ペレグ、Y.;プニーニ、R.ザールル、E.ヘクト、E. (2010)。量子力学(第 2 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0071623582。

参考文献

• デ・ラ・マドリッド・モディノ、R. (2001). リグド・ヒルベルト空間言語における量子力学（博士論文）. バリャドリッド大学.

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