確率的計量空間

数学において、確率的計量空間は、距離が非負の実数R ≥ 0ではなく分布関数の値をとるような計量空間の一般_化である。[ 1 ^] 

D+を、 F ( 0)=0となるようなすべての確率分布関数 Fの集合とする（ FはRから[0,1]への非減少左連続写像であり、 max ( F )=1となる）。

次に、空でない集合Sと関数F : S  ×  S → D+が与えられ、すべての ( p ,  q ) ∈ S × Sに対してF ( p ,  q ) をF _{p , q}と表記すると、次の条件を満たすとき、順序付きペア( S ,  F ) は確率距離空間であるといわれます。

• S内のすべてのuとvについて、すべてのx > 0に対してF _u、v ( x ) = 1となる場合にのみ、 u  =  v となります。
• S内のすべてのuとvについて、F _u、v = F _{v、u です}。
• S内のすべてのu、v 、 wについて、F _u、v ( x ) = 1かつF _v、w ( y ) = 1 ⇒ x、y > 0のときF _u、w ( x  +  y ) = 1。^[2]

歴史

確率計量空間はメンガーによって初めて導入され、統計計量と呼ばれました。^[3]その後まもなく、ワルドは一般化三角不等式を批判し、代替案を提案しました。^[4]しかし、両著者は、ワルドの不等式は、すべての確率計量空間に課すには厳しすぎるという結論に達しており、これはシュバイツァーとスクラーの研究にも部分的に含まれています。^[5]その後、確率計量空間はファジィ集合での使用に非常に適していることが判明し^[6]、さらにファジィ計量空間と呼ばれるようになりました^[7]。

確率変数の確率測定基準

2つの確率変数XとYの間の確率計量Dは、例えば次のように定義されます。ここで、 F ( x , y )は、確率変数XとYの結合確率密度関数を表します。XとYが互いに独立している場合、上記の式は次のように変形されます。ここで、f ( x )とg ( y )は、それぞれXとYの確率密度関数です。 $${\displaystyle D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|F(x,y)\,dx\,dy}$$ $${\displaystyle D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|f(x)g(y)\,dx\,dy}$$

このような確率計量は、最初の計量公理を満たさないか、あるいは、引数XとYの両方がディラックのデルタ密度確率分布関数によって記述される特定の事象である場合に限り、最初の計量公理を満たすことは容易に示せる。この場合、 確率計量は、変数XとYの期待値と の間の計量に単純に変換される。 $${\displaystyle D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|\delta (x-\mu _{x})\delta (y-\mu _{y})\,dx\,dy=|\mu _{x}-\mu _{y}|}$$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle \mu _{y}}$

他のすべてのランダム変数 X、Yについては、確率計量は、計量空間の計量が満たす必要がある識別不能条件の同一性を満たしません。つまり、 $${\displaystyle D\left(X,X\right)>0.}$$

正規分布と同じ標準偏差を持つ2 つのランダム変数XとY間の確率メトリック(下の曲線から始まる)。XとYの平均間の距離を示します。 ${\displaystyle \sigma =0,\sigma =0.2,\sigma =0.4,\sigma =0.6,\sigma =0.8,\sigma =1}$ ${\displaystyle m_{xy}=|\mu _{x}-\mu _{y}|}$

例

たとえば、ランダム変数XとYの両方の確率分布関数が同じ標準偏差を持つ正規分布(N)である場合、積分すると次のようになります。ここで、 とは相補誤差関数です。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D\left(X,Y\right)}$ $${\displaystyle D_{NN}(X,Y)=\mu _{xy}+{\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu _{xy}^{2}}{4\sigma ^{2}}}\right)-\mu _{xy}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu _{xy}}{2\sigma }}\right)}$$ $${\displaystyle \mu _{xy}=\left|\mu _{x}-\mu _{y}\right|,}$$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$

この場合： $${\displaystyle \lim _{\mu _{xy}\to 0}D_{NN}(X,Y)=D_{NN}(X,X)={\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}.}$$

ランダムベクトルの確率測定

ランダム変数の確率計量は、任意の計量演算子 d ( x , y ) を代入することで、ランダムベクトル X 、 Y の計量 D ( X , Y ) に拡張できます。ここで、F ( X , Y )はランダムベクトルXとYの結合確率密度関数です。例えば、 d ( x , y ) をユークリッド計量に代入し、ベクトルXとYが互いに独立であると仮定すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle |x-y|}$ $${\displaystyle D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )F(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}}$$ $${\displaystyle D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\sqrt {\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}F(\mathbf {x} )G(\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}.}$$

参考文献

1. シャーウッド、H. (1971)。 「完全な確率計量空間」。Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie および Verwandte Gebiete。20 (2): 117–128 .土井: 10.1007/bf00536289。ISSN  0044-3719。
2. Schweizer, Berthold; Sklar, Abe (1983).確率的計量空間. 確率と応用数学におけるノースホランドシリーズ. ニューヨーク: ノースホランド. ISBN 978-0-444-00666-0。
3. Menger, K. (2003)、「Statistical Metrics」、Selecta Mathematica、Springer Vienna、pp.  433–435、doi :10.1007/978-3-7091-6045-9_35、ISBN 978-3-7091-7294-0
4. Wald, A. (1943)、「距離空間の統計的一般化について」、米国科学アカデミー紀要、29 (6): 196– 197、Bibcode :1943PNAS...29..196W、doi : 10.1073/pnas.29.6.196、PMC 1078584、PMID  16578072 
5. Schweizer, B. および Sklar, A (2003)、「統計的メトリクス」、Selecta Mathematica、Springer Vienna、pp.  433– 435、doi :10.1007/978-3-7091-6045-9_35、ISBN 978-3-7091-7294-0
6. Bede, B. (2013). ファジィ集合とファジィ論理の数学. ファジィ性とソフトコンピューティングの研究. 第295巻. Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-35221-8. ISBN 978-3-642-35220-1。
7. クラモシル、イワン;ミハレク、イジー (1975)。 「ファジー計量と統計計量空間」(PDF)。カイバネティカ。11 (5): 336–344 .

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