多変量確率変数

Random variable with multiple component dimensions

確率と統計において、多変量ランダム変数またはランダムベクトルは、値がまだ発生していないか、その値に関する知識が不完全であるため、それぞれの値が未知である数学的変数のリストまたはベクトルです。ランダムベクトル内の個々の変数は、すべて単一の数学的システムの一部であるためグループ化されます。多くの場合、それらは個々の統計単位の異なる特性を表します。たとえば、特定の人物は特定の年齢、身長、体重を持ちますが、グループ内の不特定の人物のこれらの特徴を表現すると、ランダムベクトルになります。通常、ランダムベクトルの各要素は実数です。

ランダム ベクトルは、ランダムマトリックス、ランダム ツリー、ランダム シーケンス、確率過程など、 さまざまなタイプの集約ランダム変数の基礎となる実装としてよく使用されます。

正式には、多変量ランダム変数は、列ベクトル （またはその転置、つまり行ベクトル）であり、その要素は確率空間上のランダム変数です。ここで、は標本空間、はシグマ代数（すべてのイベントの集合）、 は確率測度（各イベントの確率を返す関数）です。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P}$

確率分布

あらゆるランダムベクトルは、ボレル代数を基礎とするシグマ代数上の確率測度を生じる。この測度は、ランダムベクトルの結合確率分布、結合分布、あるいは多変量分布とも呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

それぞれの成分確率変数の分布は周辺分布と呼ばれます。与えられたの条件付き確率分布は、 が特定の値であることが分かっている場合の の確率分布です。 ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{j}}$

ランダムベクトルの累積分布関数 は次のように定義される^{[1] ：p.15} ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})}$

式1

どこ。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$

ランダムベクトルの演算

ランダム ベクトルには、非ランダム ベクトルと同じ種類の代数演算（加算、減算、スカラーによる乗算、内積の計算）を実行できます。

アフィン変換

同様に、ランダムベクトルにアフィン変換を適用することで、新しいランダムベクトルを定義できます。 ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +b}$ここで、は行列、 は列ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n\times 1}$

が可逆行列であり、確率密度関数を持つ場合、 の確率密度は ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {A} ^{-1}(y-b))}{|\det \mathbf {A} |}}}$。

可逆マッピング

より一般的には、ランダムベクトルの可逆写像を研究することができる。^{[2] : p.284–285}

をの開部分集合から の部分集合への一対一写像とし、はにおいて連続偏微分を持ち、のヤコビ行列式はのどの点においてもゼロにならないものとする。実数ランダムベクトルが確率密度関数を持ち、 を満たすと仮定する。このとき、ランダムベクトルは確率密度 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}$

${\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}$

ここで、 はインジケータ関数を表し、 のセットはのサポートを表します。 ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

期待値

ランダムベクトルの期待値または平均は、それぞれのランダム変数の期待値を要素とする固定ベクトルである。 ^{[3] ：p.333} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],...,\operatorname {E} [X_{n}])^{\mathrm {T} }}$

式2

共分散と相互共分散

定義

ランダムベクトルの共分散行列（第二中心モーメントまたは分散共分散行列とも呼ばれる）は、( i,j )^番目の要素がi^番目のランダム変数とj^番目のランダム変数間の共分散である行列である。共分散行列は、次のように計算される行列の各要素の期待値である。ここで、上付き文字 T は、指定されたベクトルの転置を表す。^{[2] : p. 464  [3] : p.335} ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {Var} [\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$

式3

拡張すると、2つのランダムベクトルと（要素を持ち、要素を持つ）間の共分散行列は行列^{[3] ：p.336 である。} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\times p}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

式4

ここでも、行列の期待値は行列の各要素ごとに求められます。ここで、( i,j )^{番目の要素は、の}i^番目の要素と のj^番目の要素間の共分散です。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

プロパティ

共分散行列は対称行列である、すなわち^{[2] ：p.466}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$。

共分散行列は半正定値行列である、すなわち^{[2] ：p.465}

${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$。

共分散行列は単に行列の転置である。すなわち、 ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}$。

非相関性

2つのランダムベクトルとが無相関であると言われるのは、 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$。

それらは、相互共分散行列がゼロである場合にのみ無相関である。^{[3] ：p.337} ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

相関と相互相関

定義

ランダムベクトルの相関行列（二次モーメントとも呼ばれる）は、( i,j )^{番目の要素が}i^番目のランダム変数とj^番目のランダム変数間の相関である行列である。相関行列は、次のように計算される行列の各要素の期待値である。ここで、上付き文字 T は、指定されたベクトルの転置を表す。^{[4] : p.190  [3] : p.334} ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }]}$

式5

拡張すると、2つのランダムベクトルと（要素を持ち、要素を持つ）間の相互相関行列は、行列 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\times p}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]}$

式6

プロパティ

相関行列は共分散行列と次の関係がある。

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$。

相互相関行列と相互共分散行列についても同様です。

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

直交性

同じ大きさの2つのランダムベクトルは、次の場合直交性を持つと呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}\mathbf {Y} ]=0}$。

独立

2つのランダムベクトルとが独立であると言われるのは、すべてのベクトルとに対して ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$

ここで、およびは、およびの累積分布関数を表し、それらの結合累積分布関数を表す。およびの独立性は、しばしば で表される。成分ごとに書き、およびは、すべての に対して独立であるといえる。 ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})}$。

特性関数

成分を持つランダムベクトルの特性関数は、あらゆるベクトルを複素数に写す関数である。これは^{[2] : p. 468 で定義される。} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } =(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{T}}$

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i(\mathbf {\omega } ^{T}\mathbf {X} )}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\omega _{1}X_{1}+\ldots +\omega _{n}X_{n})}\right]}$。

その他の特性

二次形式の期待値

ランダムベクトルの二次形式の期待値は次のように表される。^{[5] : p.170–171} ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}$

ここでは の共分散行列であり、は行列のトレース、つまり主対角線（左上から右下へ） 上の要素の和を指します。二次形式はスカラーなので、期待値もスカラーです。 ${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

証明: が、を持つランダムベクトルで、が非確率 行列であるとします。 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times m}$

次に、共分散の式に基づいて、 およびと表記すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }$

${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}$

つまり、

${\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}$

これは、トレースを取得するときに、最終結果を変えずに行列を循環​​的に並べ替えることができるという事実に基づいています(例: )。 ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$

私たちはそれを見ています

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}$

はスカラーなので、

${\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}$

簡単です。順列を使うと次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}$

これを元の式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}$

2つの異なる二次形式の積の期待値

ゼロ平均ガウス乱数ベクトルにおける2つの異なる二次形式の積の期待値は次のように表される。^{[5] : pp. 162–176} ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$

ここで、 はの共分散行列です。ここでも、2つの二次形式はどちらもスカラーであり、したがってそれらの積はスカラーなので、それらの積の期待値もスカラーです。 ${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

アプリケーション

ポートフォリオ理論

金融におけるポートフォリオ理論では、ランダム ポートフォリオ収益の分布が望ましい特性を持つように、リスク資産のポートフォリオを選択することが目的となることがよくあります。たとえば、特定の期待値に対して分散が最小のポートフォリオ収益を選択したい場合があります。ここで、ランダム ベクトルは、個々の資産のランダム 収益のベクトルであり、ポートフォリオ収益p (ランダム スカラー) は、ランダム 収益のベクトルとポートフォリオ ウェイト (各資産に配置されたポートフォリオの割合) のベクトルwの内積です。p = w ^Tであるため、ポートフォリオ収益の期待値はw ^T E( ) であり、ポートフォリオ収益の分散はw ^T C wと示されます ( Cは の共分散行列) 。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

回帰理論

線型回帰理論では、従属変数yに関するn個の観測値と、k 個の独立変数x _jそれぞれに関するn個の観測値のデータがあります。従属変数に関する観測値は列ベクトルyに積み重ねられ、各独立変数に関する観測値も列ベクトルに積み重ねられます。そして、これらの列ベクトルは、独立変数に関する観測値の計画行列X （この文脈ではランダムベクトルを表すものではありません）に結合されます。そして、データを生成するプロセスを記述するものとして、以下の回帰式が仮定されます。

${\displaystyle y=X\beta +e,}$

ここで、βはk個の応答係数からなる仮定された固定だが未知のベクトルであり、eは従属変数に対するランダムな影響を反映する未知のランダムベクトルである。通常の最小二乗法などの選択された手法によって、βの推定値としてベクトルが選択され、ベクトルeの推定値（ と表記）は次のように計算される。 ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle {\hat {e}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}$

次に、統計学者は、およびの特性を分析する必要があります。これらは、観察するn個のケースをランダムに選択すると 異なる値が得られるため、ランダムベクトルとして扱われます。 ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle {\hat {e}}}$

ベクトル時系列

k ×1 ランダムベクトルの時間の経過に伴う変化は、次のようにベクトル自己回帰(VAR)としてモデル化できます。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}$

ここで、i期間前のベクトル観測はのi番目の遅れと呼ばれ、cは 定数（切片）のk × 1 ベクトル、A _iは時間不変のk  ×  k行列 、は誤差項のk  × 1 ランダムベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$

参考文献

1. ギャラガー、ロバート・G. (2013).確率過程理論の応用. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-03975-9。
2. タボガ、マルコ (2017).確率論と数理統計学の講義. CreateSpace Independent Publishing Platform. ISBN 978-1981369195。
3. Gubner, John A. (2006).電気・コンピュータエンジニアのための確率とランダムプロセス. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1。
4. パプーリス、アタナシウス（1991年）『確率、ランダム変数、確率過程』（第3版）マグロウヒル社、ISBN 0-07-048477-5。
5. ケンドリック、デイヴィッド (1981).経済モデルのための確率的制御. マグロウヒル. ISBN 0-07-033962-7。

さらに読む

• スターク、ヘンリー、ウッズ、ジョン・W. (2012). 「ランダムベクトル」.エンジニアのための確率・統計・ランダムプロセス（第4版）. ピアソン. pp.  295– 339. ISBN 978-0-13-231123-6。

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