有限整数

Number theory concept

数学において、有限整数は環の元である（ジーハットまたはゼッドハットと発音されることもある）。

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

ここで、商環の逆極限は、すべての自然数 を通り、割り切れる度合いによって部分的に順序付けられる。定義により、この環は整数のprofinite 完備化である。中国剰余定理により、環の直積としても理解できる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p},}$

ここで、添え字はすべての素数を通り、 はp進整数の環である。この群は、ガロア理論、エタールホモトピー理論、そしてアデール環との関連から重要である。さらに、これは原有限群の扱いやすい基本的な例を提供する。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

工事

無限整数は、のように表される剰余の列の集合として構築できます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \upsilon }$ $${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}$$ ${\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}$

各点の加算と乗算により、可換環になります。

整数環は、正準注入によって、原有限整数環に埋め込まれます。ここで、任意の原有限群と任意の群準同型が与えられた場合、を持つ一意の連続群準同型が存在するという原有限群の普遍特性を満たすため、正準です。 $${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$ ${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$ ${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta }$

階乗法を使用する

すべての整数は階乗法で という一意の表現を持ちます。ここで、すべての に対して となり、 のうち有限個だけが0 以外になります。 ${\displaystyle n\geq 0}$ $${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$

その階乗表現は と書くことができます。 ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

同様に、無限整数は階乗数法では無限文字列 として一意に表現することができ、各文字列はを満たす整数である。^[1] ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$

桁は、 を法とする profinite 整数の値を決定します。より具体的には、を送る 環準同型が存在します。 profinite 整数と整数の違いは、「有限個の非ゼロ桁」という条件が排除され、階乗表現が無限個の非ゼロ桁を持つことができる点です。 ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}$$

中国剰余定理の利用

原有限整数の構成を理解する別の方法は、中国剰余定理を用いることです。 繰り返しのない素数を素因数分解できる整数に対して、定理から環同型が存在することを思い出してください。さらに、 が成り立つ必要があるため、任意の全射は、誘導全射が存在する基底分解上の写像に過ぎません 。原有限整数の逆極限定義の下では、 p進整数の直積との同型が存在することがはるかに明確になるはずです。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$ ${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$ $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$

明示的には、同型性はによって 表され、は のすべての素数べき因子にわたって、つまり、いくつかの異なる素数 に対して となります。 ${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ $${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

関係

位相的性質

原有限整数の集合は、それがコンパクト・ ハウスドルフ空間（実際にはストーン空間）となる誘導位相を持つ。これは、原有限整数の集合が、ティコノフの定理によりその積位相とコンパクトとなる無限直積の閉部分集合として見ることができるという事実から生じる。各有限群上の位相は離散位相として与えられることに注意されたい。 $${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

上のトポロジーはメトリックによって定義される。^[1] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ $${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}$$

非有限整数の加算は連続なので、はコンパクト ハウスドルフアーベル群であり、したがってそのポンチャギン双対は離散アーベル群でなければなりません。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

実際、 のポンチャギン双対は離散位相を備えたアーベル群である（離散位相ではない から継承された部分集合位相ではないことに注意）。ポンチャギン双対は関数^[2]によって明示的に構成される。 ここで、は（以下で導入される）によって誘導されるアデールの指標である。^[3] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

アデルとの関係

テンソル積は、有限アデルの環であり、記号は制限積を表す。つまり、元は有限個の場所を除いて整列している。^[4]同型性が存在する。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle '}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$$

ガロア理論とエタールホモトピー理論への応用

位数qの有限体の代数閉包 に対して、ガロア群を明示的に計算することができる。自己同型がフロベニウス自己準同型によって与えられるという事実から、 の代数閉包のガロア群は群の逆極限によって与えられるため、そのガロア群は有限体の絶対ガロア群の計算を与える有限整数群^[5]と同型である。 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

代数的トーラスのエタール基本群との関係

この構成は、さまざまな方法で再解釈することができます。その 1 つは、エタール ホモトピー型からのもので、エタール基本群を 自己同型 の profinite 完備化として定義し、はエタール被覆です。すると、 profinite 整数は、先の profinite ガロア群の計算からの群と同型になります。さらに、 から を送信する可換環の写像からの多項式写像から被覆写像が得られるため、代数的トーラスのエタール基本群の内部には profinite 整数の埋め込みがあります。代数的トーラスを体 上で考えると、エタール ホモトピー理論の基本完全列から、エタール基本群にはの作用も含まれていることがわかります。 ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$ $${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}$$ ${\displaystyle X_{i}\to X}$ $${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}$$ $${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$ $${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$ ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

類体論と有限整数

類体論は代数的整数論の一分野であり、体のアーベル体拡大を研究する。大域体 が与えられた場合、その絶対ガロア群のアーベル化は、 付随するアデール環および有限整数群と密接に関係している。特に、アルティン写像^[6]と呼ばれる写像があり、 これは同型である。この商は次のように明示的に決定できる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ $${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$$

所望の関係を与える。局所類体論についても同様の主張がなされ、 のすべての有限アーベル拡大は有限体拡大から誘導される。 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

参照

• アデルの指輪
• 超自然的な数字

注記

1. Lenstra, Hendrik. 「Profinite number theory」（PDF） .アメリカ数学会. 2022年8月11日閲覧。
2. Connes & Consani 2015、§ 2.4。
3. K. コンラッド「Qの文字群」
4. 有限アデールの環とその単位群を含むいくつかのマップに関する質問。
5. ミルン 2013、第 I 章 例 A. 5。
6. 「類体理論 - LCCS」www.math.columbia.edu . 2020年9月25日閲覧。

参考文献

• Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). 「算術サイトの幾何学」arXiv : 1502.05580 [math.AG].
• Milne, JS (2013-03-23). 「類体理論」(PDF) . 2013年6月19日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2020年6月7日閲覧。

外部リンク

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf

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