逆極限

圏論における構成

数学において、逆極限（射影極限とも呼ばれる）とは、複数の関連する対象を「接着」することを可能にする構成であり、その正確な接着過程は対象間の射によって規定される。逆極限は任意の圏において定義可能であるが、その存在は対象とする圏に依存する。逆極限は圏論における 極限の概念の特殊なケースである。

双対カテゴリで作業することによって、つまり矢印を逆にすることによって、逆極限は直接極限または帰納的極限になり、極限は余極限になります。

正式な定義

代数的対象

まず、群と準同型写像の逆システム（または射影システム）の定義から始めます。を有向半集合とします（すべての著者がI を有向と要求するわけではありません）。 ( A _i ) _{i ∈ I を}群の族とし、すべての に対して（順序に注意）以下の性質を持つ準同型写像の族があるとします。 ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$は の恒等式であり、 ${\displaystyle A_{i}}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{for all }}i\leq j\leq k.}$

このとき、この対は上の群と射の逆システムと呼ばれ、この射はシステムの遷移射と呼ばれます。 ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

逆システムの逆極限は、次のように定義される⁠ ⁠の直積の部分群である。 ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.}$

上記の逆システムの定義は、点ごとの乗法に関して閉じており、したがって群である ことを意味する。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f_{i,j}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{i,j}(a_{j})\cdot f_{i,j}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i}}$

すべての人 ${\displaystyle i<j}$のために ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in A}$

逆極限には、 の各項の直積のi番目の成分を取り出す自然な射影π _i : A → A _iが備わっている。逆極限と自然な射影は、次の節で説明する普遍的な性質を満たす。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

が集合、半群、位相空間、環、加群（固定環上の）、代数（固定環上の）などで、準同型が対応するカテゴリの射である場合にも、同じ構成を実行できます。逆極限もそのカテゴリに属します。^[1]より一般的には、この構成は、⁠ ⁠が普遍代数の意味での多様体、つまり公理が無条件である代数構造の一種に属する場合に適用されます（ゼロには乗法逆元がないため、体は代数を形成しません）。 ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

一般的な定義

逆極限は、任意のカテゴリにおいて普遍的性質を用いて抽象的に定義できる。 カテゴリC（上記と同じ定義）におけるオブジェクトと射の逆システムとする。このシステムの逆極限は、 C内のオブジェクトXと、すべてのi ≤ jに対してπ _i = ∘ π _jを満たす射π _i : X → X _i（射影と呼ばれる）である。ペア（X、π _i ）は、他の任意のペア（Y、ψ _i）に対して、図式 ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

はすべてのi ≤ jに対して可換である。逆極限はしばしば

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

逆システムと標準投影が理解されます。 ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$

いくつかのカテゴリにおいては、特定の逆システムの逆極限は存在しない。しかし、もし存在するならば、それは強い意味で一意である。すなわち、逆システムの任意の二つの逆極限XとX'が与えられたとき、射影写像と可換な 同型写像 X ′ → Xが一意に存在する。

カテゴリCの逆システムと逆極限は、関数を用いた別の記述が可能です。任意の半順序集合Iは、射がi → jの矢印で構成される場合と、i ≤ jの場合に限り、小さなカテゴリと見なすことができます。逆システムは、反変関数I → Cです。をこれらの関数のカテゴリとします (自然な変換を射として持つ)。 CのオブジェクトXは、すべてのオブジェクトがXに等しく、すべての矢印がXの恒等関数である、自明な逆システムと見なすことができます。これにより、 Cからへの「自明な関数」が定義されます。逆極限は、存在する場合、この自明な関数の右随伴として定義されます。 ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$

例

• p進整数環は、環の逆極限（モジュラー算術を参照）であり、添え字集合は通常の順序を持​​つ自然数であり、射影は「剰余を取る」。つまり、整数列の各要素が前の要素に「射影」するような整数列を考える。つまり、常にp進整数上の自然位相とは、ここで示唆されている位相、すなわち円筒集合を開集合とする積位相である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$ ${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$
• p進ソレノイドは、通常の順序を持​​つ自然数を添え字集合とし、射影が「剰余をとる」位相群の逆極限である。つまり、実数列の各要素が前の要素に「射影」されるような、すなわち、その要素がちょうど の形であるとき、 となるような実数列を考える。ここではp進整数、 は「剰余」である。 ${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$ ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle n+r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in [0,1)}$
• 可換環R上の形式的冪級数の環は、通常の順序で自然数で添え字が付けられた環 の逆極限として考えることができ、 からへの射影は自然な射影によって与えられます。 ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• 親有限群は、（離散）有限群の逆極限として定義されます。
• 逆システム ( X _i , )の添字集合I が最大元mを持つとする。このとき、自然な射影π _m : X → X _mは同型となる。 ${\displaystyle f_{ij}}$
• 集合のカテゴリにおいて、すべての逆システムは逆極限を持ち、これは逆システムを構成する集合の積の部分集合として初等的に構成できる。空でない有限集合の任意の逆システムの逆極限は空でない。これはグラフ理論におけるケーニヒの補題の一般化であり、有限集合をコンパクト離散空間と見なし、有限交差性によるコンパクト性の特徴付けを適用することで、ティコノフの定理によって証明できる。
• 位相空間のカテゴリにおいて、すべての逆系は逆極限を持つ。これは、（逆系の構成空間への射影写像に関して）初期位相を、基礎となる集合論的逆極限上に置くことによって構成される。これは極限位相と呼ばれる。
  • 無限弦の集合は有限弦の集合の逆極限であり、したがって極限位相を持つ。元の空間は離散的であるため、極限空間は完全に不連続である。これは、 p進数とカントール集合を​​（無限弦として）実現する一つの方法である。

逆極限の導来関数

アーベル圏 Cの場合、逆極限関手

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

は左厳密である。I が順序付き（単純半順序ではない）かつ可算 であり、C がアーベル群のカテゴリ Ab である場合、ミッタク＝レフラー条件は遷移射f _ijに対する条件であり、 の厳密性を保証する。具体的には、アイレンバーグは関手を構築した。 ${\displaystyle \varprojlim }$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

（「リムワン」と発音する）で、（A _i、f _ij）、（B _i、g _ij）、（C _i、h _ij）がアーベル群の3つの逆システムであり、

${\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0}$

逆システムの短い正確な列である場合、

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}$

はAb内の正確な数列です。

ミッタグ・レフラー条件

アーベル群の逆システム ( A _i、f _ij )のモルフィズムの値域が定常である場合、つまり、すべてのkに対してj ≥ kが存在し、すべてのi ≥ jに対して である場合 、システムはミッタク・レフラー条件を満たしていると言えます。 ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$

この条件は、ブルバキの「ミッタク＝レフラー」という名前で呼ばれ、完全ハウスドルフ一様空間の逆極限に関する同様の結果に対して一様構造の章で用いられました。ミッタク＝レフラーは、ミッタク＝レフラーの定理の証明においても同様の議論を用いました。

以下の状況は、ミッタグ・レフラー条件が満たされる例です。

• 射影f _ijが射影であるシステム
• 有限次元ベクトル空間または有限アーベル群または有限長さの加群またはアルティン加群のシステム。

がゼロでない例は、 Iを非負整数とし、A _i = p ⁱ Z、B _i = Z、C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Zとすることで得られる。 ${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

ここで、Z _{p は}p進整数を表します。

さらなる結果

より一般的には、C が十分な数の入射項を持つ任意のアーベル圏であるならば、C ^Iも十分な数の入射項を持ち、逆極限関手の右導来関手を定義することができる。n番目の右導来関手は次のように表される 。

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

Cがグロタンディークの公理(AB4*)を満たす場合、Jan-Erik RoosはAb ^I上の関数lim ¹を関数lim ⁿの級数に一般化し、

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

ほぼ40年間、Roosは（Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. で） lim ¹ A _i = 0 となる、射影遷移射を持つ逆システム（ A _i、f _ij ）と非負整数全体の集合（このような逆システムは「ミッタク・レフラー列」と呼ばれることが多い）を証明したと考えられていた。しかし、2002年に、Amnon NeemanとPierre Deligneは、（AB4*）に加えて）（AB4）を満たすカテゴリで、lim ¹ A _i ≠ 0となるようなシステムの例を構築した。Roosはその後（「Derived functors of inverse limits revisited」で）、 Cが（AB3とAB4*）を満たすことに加えて）生成元の集合を持つ場合、彼の結果が正しいことを示した。

バリー・ミッチェルは（「有向集合のコホモロジー次元」の中で）、I が基数 （d番目の無限基数）を持つ場合、すべてのn ≥ d + 2に対してR ⁿ lim が 0 になることを示した。これは、 Rが可換環であるR加群のカテゴリのI添え字図式に当てはまるが、任意のアーベルカテゴリでは必ずしも真ではない（可算集合で添え字付けられた図式上でn > 1 に対して lim ⁿが 0 以外になる アーベルカテゴリの例については、Roos の「逆極限の導来関手の再考」を 参照）。 ${\displaystyle \aleph _{d}}$

関連する概念と一般化

逆極限の圏論的双対は直接極限（または帰納的極限）です。より一般的な概念は、圏論における極限と余極限です。用語法はやや混乱を招きます。逆極限は極限のクラスであり、直接極限は余極限のクラスです。

注記

1. ジョン・ローズ＆ベンジャミン・スタインバーグ『有限半群のq理論』p. 133. ISBN 978-0-387-09780-0。

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1989)、代数 I、スプリンガー、ISBN 978-3-540-64243-5、OCLC  40551484
• ブルバキ、ニコラ（1989）、一般位相幾何学：第1-4章、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-64241-1、OCLC  40551485
• マック・レーン、サンダース（1998年9月）、Categories for the Working Mathematician（第2版）、Springer、ISBN 0-387-98403-8
• ミッチェル、バリー（1972）、「複数のオブジェクトを持つ環」、数学の進歩、8：1-161、doi：10.1016/0001-8708（72）90002-3、MR  0294454
• Neeman、Amnon (2002)、「ホモロジー代数における 1961 年の「定理」への反例 (ピエール・ドリーニュによる付録付き)」、Inventiones Mathematicae、148 (2): 397–420、doi :10.1007/s002220100197、MR  1906154
• Roos、Jan-Erik (1961)、「Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications」、CR Acad。科学。パリ、252 : 3702–3704、MR  0132091
• Roos, Jan-Erik (2006)、「逆極限の導来関手の再考」、J. London Math. Soc.、シリーズ2、73 ( 1): 65– 83、doi :10.1112/S0024610705022416、MR  2197371
• ワイベル, チャールズ・A. (1994) 『ホモロジー代数入門』第3.5節、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .

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