Signal processing technique
パルス圧縮 は、 レーダー 、 ソナー 、 超音波検査 で一般的に用いられる 信号処理 技術であり、パルス長が制限されている場合に 距離 分解能を向上させるか、送信信号の ピーク電力 と 帯域幅 （または等価的に距離分解能）が制限されている場合に 信号対雑音 比を向上させるために使用されます。これは、送信パルス を変調し 、受信信号と送信パルスの 相関をとる ことで実現されます。 [1]
単純脈拍
信号の説明 パルスレーダー や ソナーが 送信できる 最も単純で、歴史的に最初のタイプの信号の理想的なモデルは、振幅 と 搬送周波数 が で、 幅 の 矩形関数 で切り取られた正弦波パルス（CW搬送波パルスとも呼ばれる）です 。このパルスは周期的に送信されますが、これはこの記事の主題ではありません。ここでは単一のパルス のみを検討します 。パルスが時刻 に開始すると仮定すると 、信号は 複素数表記 を用いて次のように表すことができます。 A {\displaystyle A} f 0 {\displaystyle f_{0}} T {\displaystyle T} s {\displaystyle s} t = 0 {\displaystyle t=0}
s ( t ) = { e 2 i π f 0 t if 0 ≤ t < T 0 otherwise {\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
範囲解像度 このような信号で得られる距離分解能を判定してみましょう。 と表記される戻り信号は、 元の送信信号の減衰および時間シフトされたコピーです（実際には ドップラー効果 も影響しますが、ここでは重要ではありません）。 入力信号には、虚数チャネルと実数チャネルの両方にノイズが存在します。 ノイズは帯域制限されている、つまり 内の周波数のみを持つものと想定されます （これは現実にも当てはまり、 受信チェーンの最初のステージの 1 つとして バンドパス フィルタが一般的に使用されます）。そのノイズを表すために と表記します。 入力信号を検出するために、 整合フィルタが一般的に使用されます。この方法は、 正規分布 を 持つ加法性ノイズの中から既知の信号を検出する場合に最適です 。 r ( t ) {\displaystyle r(t)} [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]} N ( t ) {\displaystyle N(t)}
言い換えれば、 受信信号と送信信号の 相互相関 を計算します。これは、受信信号と、送信信号の 共役かつ時間反転した信号との 畳み込み によって実現されます。この演算はソフトウェアでもハードウェアでも実行できます。 この相互相関は次のように表せます。 ⟨ s , r ⟩ ( t ) {\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}
⟨ s , r ⟩ ( t ) = ∫ t ′ = 0 + ∞ s ⋆ ( t ′ ) r ( t + t ′ ) d t ′ {\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'} 反射信号が時間に受信機に戻り 、係数 だけ減衰した場合 、次の式が得られます。 t r {\displaystyle t_{r}} A {\displaystyle A}
r ( t ) = { A e 2 i π f 0 ( t − t r ) + N ( t ) if t r ≤ t < t r + T N ( t ) otherwise {\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.} 送信信号がわかっているので、次の式が得られます。
⟨ s , r ⟩ ( t ) = A Λ ( t − t r T ) e 2 i π f 0 ( t − t r ) + N ′ ( t ) {\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)} ここで 、 はノイズと送信信号との相互相関の結果です。 関数 は三角関数で、 ではその値は 0 で 、 では直線的に増加し、 最大値の 1 に達し、 では直線的に減少して 再び 0 に達します。 この段落の最後にある図は、サンプル信号 (赤) の相互相関の形を示しています。この場合は実数切り捨て正弦で、持続時間は 秒、振幅は単位、周波数は Hz です 。 2 つのエコー (青) が 3 秒と 5 秒の遅延で戻ってきますが、振幅はそれぞれ送信パルスの振幅の 0.5 倍と 0.3 倍に等しくなります。これらは例としてランダムに選んだ値です。信号は実数なので、相互相関には 1 ⁄ 2 の 係数が追加されて重み付けされます。 N ′ ( t ) {\displaystyle N'(t)} Λ {\displaystyle \Lambda } [ − ∞ , − 1 2 ] ∪ [ 1 2 , + ∞ ] {\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]} [ − 1 2 , 0 ] {\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]} [ 0 , 1 2 ] {\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]} T = 1 {\displaystyle T=1} f 0 = 10 {\textstyle f_{0}=10}
2つのパルスが（ほぼ）同時に戻ってくる場合、相互相関は2つの基本信号の相互相関の和に等しくなります。一方の「三角形」のエンベロープをもう一方のパルスのエンベロープと区別するには、2つのパルスの到達時刻が少なくとも 両方のパルスの最大値が分離できる程度離れている必要があることは明らかです。この条件が満たされない場合、両方の三角形は混ざり合い、分離できなくなります。 T {\displaystyle T}
波が移動する距離は （ c は媒体中の波の速度）であり 、この距離は往復時間に対応するため、次の式が得られます。 T {\displaystyle T} c T {\displaystyle cT}
例 (単純なインパルス): 送信信号 (赤色) (搬送波 10 ヘルツ、振幅 1、持続時間 1 秒) と 2 つのエコー (青色)。 マッチドフィルタリング前 マッチドフィルタリング後 ターゲットが十分に離れていれば... ...エコーを区別することができます。 ターゲットが近すぎる場合は... …エコーが混ざり合います。
受信信号のエネルギーと信号対雑音比 受信パルスの瞬間電力は です 。その信号に投入されるエネルギーは： P ( t ) = | r | 2 ( t ) {\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}
E = ∫ 0 T P ( t ) d t = A 2 T {\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T} が信号と同じ帯域幅を持つと仮定したノイズの標準偏差である場合 、受信機における信号対ノイズ比 (SNR) は次のようになります。 σ {\displaystyle \sigma }
S N R = E r σ 2 = A 2 T σ 2 {\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}} 他のパラメータが一定であれば、 SNRはパルス幅に比例します 。これによりトレードオフが生じます。パルス幅を大きくすると SNRは向上しますが、分解能は低下します。逆もまた同様です。 T {\displaystyle T} T {\displaystyle T}
線形周波数変調によるパルス圧縮（または さえずり ）
基本原則 受信側で良好なSNRを維持しながら、分解能を低下させることなく、十分な大きさのパルスを得るにはどうすればよいでしょうか？ここでパルス圧縮が役立ちます。基本原理は次のとおりです。
エネルギー収支が適切となるように十分な長さの信号が送信される この信号は、整合フィルタリング後に、相互相関信号の幅が、上で説明したように、標準正弦波パルスによって得られる幅よりも小さくなるように設計されています（そのため、この技術はパルス圧縮と呼ばれます）。 レーダー や ソナーの 用途では 、線形 チャープ 信号がパルス圧縮に最も一般的に用いられます。パルスは有限長であるため、振幅は 矩形関数 となります。送信信号が持続時間 で、 から始まり、 搬送波 を中心とする 周波数帯域を線形掃引する場合 、次のように表すことができます。 T {\displaystyle T} t = 0 {\displaystyle t=0} Δ f {\displaystyle \Delta f} f 0 {\displaystyle f_{0}}
s c ( t ) = { e i 2 π ( ( f 0 − Δ f 2 ) t + Δ f 2 T t 2 ) if 0 ≤ t < T 0 otherwise {\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.} 上記のチャープ定義は、チャープ信号の位相（つまり、複素指数の引数）が二次式であることを意味します。
ϕ ( t ) = 2 π ( ( f 0 − Δ f 2 ) t + Δ f 2 T t 2 ) {\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)} したがって、瞬間周波数は（定義により）次のようになります。
f ( t ) = 1 2 π [ d ϕ d t ] t = f 0 − Δ f 2 + Δ f T t {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t} これは、 から まで 変化する意図した線形ランプです 。 f 0 − Δ f 2 {\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}} t = 0 {\displaystyle t=0} f 0 + Δ f 2 {\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}} t = T {\displaystyle t=T}
位相と周波数の関係は、逆方向にもよく使用され、目的の位相から始めて 、周波数の積分によってチャープ位相を記述します。 f ( t ) {\displaystyle f(t)}
ϕ ( t ) = 2 π ∫ 0 t f ( u ) d u {\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du} この送信信号は通常、ターゲットによって反射され、さまざまな原因で減衰するため、受信信号は送信信号の時間遅延および減衰バージョンに、 では一定のパワースペクトル密度の付加ノイズが加わり 、その他の場所ではゼロになります。 [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}
r ( t ) = { A e i 2 π ( ( f 0 − Δ f 2 ) ( t − t r ) + Δ f 2 T ( t − t r ) 2 ) + N ( t ) if t r ≤ t < t r + T N ( t ) otherwise {\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}
送信信号と受信信号間の相互相関 ここで、受信信号と送信信号の相関を計算してみましょう。そのために、以下の2つの処理が実行されます。
最初のアクションは簡略化です。相互相関を計算する代わりに、自己相関を計算します。これは、自己相関のピークがゼロを中心としていると仮定することを意味します。これにより、解像度と振幅は変わりませんが、計算が簡略化されます。
r ′ ( t ) = { A e 2 i π ( f 0 + Δ f 2 T t ) t + N ( t ) if − T 2 ≤ t < T 2 N ( t ) otherwise {\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} - 2番目のアクションは、以下に示すように、参照信号の振幅を1ではなく に設定することです 。 相関を通じてエネルギーが保存されるように定数を決定します。 ρ ≠ 1 {\displaystyle \rho \neq 1} ρ {\displaystyle \rho }
s c ′ ( t ) = { ρ e 2 i π ( f 0 + Δ f 2 T t ) t if − T 2 ≤ t < T 2 0 otherwise {\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} ここで、の相関関数は 次 のようになることが示せます [2] 。 s c ′ {\displaystyle s_{c}'} r ′ {\displaystyle r'}
⟨ s c ′ , r ′ ⟩ ( t ) = ρ A T Λ ( t T ) s i n c [ Δ f t Λ ( t T ) ] e 2 i π f 0 t + N ′ ( t ) {\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)} ここで 、基準信号と受信ノイズの相関関係です。 N ′ ( t ) {\displaystyle N'(t)}
相関後の信号の幅 ノイズがゼロであると仮定すると、 の自己相関関数は 0 で最大値 に達します。 0 付近では、この関数は sinc （または基数正弦）項として動作し、ここでは と定義されます 。この基数正弦の −3 dB の時間幅は、 とほぼ等しくなります 。整合フィルタリングの後、すべては、持続時間 の単純なパルスで達成される解像度が得られているかのように起こります 。 の一般的な値では 、 は よりも小さいため 、 パルス圧縮 と呼ばれます。 s c ′ {\displaystyle s_{c'}} s i n c ( x ) = s i n ( π x ) / ( π x ) {\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)} T ′ = 1 Δ f {\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}} T ′ {\displaystyle T'} Δ f {\displaystyle \Delta f} T ′ {\displaystyle T'} T {\displaystyle T}
カーディナルサインには厄介な サイドローブが 含まれる可能性があるため、一般的な方法としては、結果をウィンドウ（ ハミング 、 ハン など）でフィルタリングします。実際には、リファレンスチャープにフィルタを乗算することで、適応フィルタリングと同時にこの処理を実行できます。その結果、最大振幅はわずかに低くなりますが、サイドローブが除去されます。サイドローブの除去はより重要です。
結果2 帯域幅上のパルスの線形周波数変調で達成可能な距離分解能は次 のとおりです。 ここで 、波の速度です。 Δ f {\displaystyle \Delta f} c 2 Δ f {\textstyle {\frac {c}{2\Delta f}}} c {\displaystyle c}
意味 比 はパルス圧縮比です。一般的には1より大きい値（通常は20～30）になります。 T T ′ = T Δ f {\textstyle {\frac {T}{T'}}=T\Delta f}
例 (チャープパルス): 赤色の送信信号 (搬送波 10 ヘルツ、変調 16 ヘルツ、振幅 1、持続時間 1 秒) と 2 つのエコー (青色)。 整合フィルタリング前：エコーは長く、振幅は小さい マッチングフィルタリング後: エコーの時間は短くなり、ピークパワーは高くなります。
相関後のエネルギーとピークパワー 参照信号が 項 を用いて正しくスケーリングされている場合 、相関前後のエネルギーを保存することができます。相関前のピーク（および平均）電力は次のようになります。 s c ′ {\displaystyle s_{c}'} ρ {\displaystyle \rho }
P r ′ = | r ′ ( t ) | 2 = P r ′ p e a k = A 2 {\displaystyle P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}} 圧縮前のパルスは箱型なので、相関前のエネルギーは次のようになります。
E r ′ = ∫ − T / 2 T / 2 | r ′ ( t ) | 2 d t = A 2 T {\displaystyle E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T} 相関後のピーク電力は次のようになります 。 t = 0 {\displaystyle t=0}
P < s c ′ , r ′ > p e a k = | < s c ′ , r ′ > ( 0 ) | 2 = ρ 2 A 2 T {\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T} このピーク電力が相関前の受信信号のエネルギーである 場合、これは予想通りであることに注意してください。圧縮後、パルスは 関数の典型的な幅に等しい幅、つまり幅を持つボックスで近似される ため、相関後のエネルギーは次のようになります。 ρ = 1 {\displaystyle \rho =1} s i n c {\displaystyle sinc} T ′ = 1 / Δ f {\displaystyle T'=1/\Delta f}
E < s c ′ , r ′ > = ∫ − ∞ + ∞ | < s c ′ , r ′ > ( t ) | 2 d t ≈ P < s c ′ , r ′ > p e a k × T ′ = ρ 2 A 2 T Δ f {\displaystyle E_{<s_{c}',r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c}',r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}} エネルギーが保存される場合：
E r ′ = E < s c ′ , r ′ > {\displaystyle E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}} ...つまり、 相関後のピーク電力は次のようになります。 ρ = Δ f {\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta f}}}
P < s c ′ , r ′ > p e a k = ρ 2 A 2 T = P r ′ × Δ f × T {\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=\rho ^{2}A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T} 結論として、パルス圧縮信号のピーク電力は、 生の受信信号のピーク電力と同じです (相関を通じてエネルギーを節約するためにテンプレートが 正しくスケーリングされていると仮定)。 Δ f × T {\displaystyle \Delta f\times T} s c ′ {\displaystyle s_{c}'}
相関後の信号対雑音比ゲイン チャープパルスとパルス圧縮後の短いCWパルスの等価性。エネルギーは青い曲線の下の面積（時間領域）、パワーは赤い曲線の下の面積（スペクトル領域）です。 上で見たように、信号のエネルギーはパルス圧縮中に変化しないように記述されています。しかし、信号エネルギーは今や 基数正弦の 主ローブ に位置しており、その幅は約 です。が圧縮前の信号電力、 が 圧縮後の信号電力である 場合、エネルギーは 保存され、次の式が成り立ちます。 T ′ ≈ 1 Δ f {\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}} P {\displaystyle P} P ′ {\displaystyle P'} E {\displaystyle E}
E = P × T = P ′ × T ′ {\displaystyle E=P\times T=P'\times T'} これにより、パルス圧縮後に電力が増加します。
P ′ = P × T T ′ {\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}} スペクトル領域において、チャープのパワースペクトルは、 区間内ではほぼ一定のスペクトル密度を持ち 、それ以外の場所ではゼロとなるため、エネルギーは と等価的に表されます 。このスペクトル密度は、整合フィルタリング後も一定のままです。 D = P / Δ f {\displaystyle D=P/\Delta f} [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]} E = P × T = D . Δ f . T {\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}
ここで、持続時間および入力電力が等しい等価正弦波 (CW) パルスを想像してください 。この等価正弦波パルスのエネルギーは次のようになります。 T ′ = 1 / Δ f {\displaystyle T'=1/\Delta f}
E ′ = P × T ′ = E T ′ T {\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}} 整合フィルタリング後、等価正弦波パルスは、元の2倍の幅を持つ三角形の信号に変換されますが、ピーク電力は同じです。エネルギーは保存されます。スペクトル領域は、 の 区間でほぼ一定のスペクトル密度で近似されます 。エネルギー保存則により、次の式が成り立ちます。 D ′ {\displaystyle D'} [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]} Δ f ≈ 1 / T ′ {\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}
E ′ = E T ′ T = D Δ f T T ′ T = D Δ f T ′ {\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'} 定義により次も成り立つため、 次式が成り立ちます。 つまり、チャープパルスと等価CWパルスのスペクトル密度はほぼ同一であり、 上のバンドパスフィルタのスペクトル密度と等価です 。相関のフィルタリング効果はノイズにも作用します。つまり、ノイズの基準帯域は であり 、 であるため 、相関後のどちらの場合もノイズに対して同じフィルタリング効果が得られます。つまり、パルス圧縮の正味効果は、等価CWパルスと比較して、 信号対雑音比 （SNR）が 1 倍向上することです。これは 、信号が増幅されてノイズが増幅されないためです。 E ′ = D ′ Δ f T ′ {\displaystyle E'=D'\Delta fT'} D ′ = D {\displaystyle D'=D} [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]} Δ f {\displaystyle \Delta f} D = D ′ {\displaystyle D=D'} T / T ′ {\displaystyle T/T'}
結果として：
結果3 パルス圧縮後、信号対雑音比は、圧縮前のチャープ変調信号と同じ振幅で 持続時間の連続波パルスのベースライン状況と比較してだけ増幅されると考えられる 。この場合、受信信号と雑音は（暗黙的に） でバンドパスフィルタリングされている。この追加ゲインは 、レーダー方程式 に代入することができる 。 T Δ f {\displaystyle T\Delta f} T ′ = 1 / Δ f {\displaystyle T'=1/\Delta f} [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}
例：上記と同じ信号に、バンドパスフィルタリングを施した加法性ホワイトガウス分布（実部標準偏差：フィルタリング後0.125）を加えたもの。相関後、ノイズのパワーは変化しない。信号自体は4倍（理論予測通り、パワーは16倍）に増幅される。 マッチドフィルタリング前：信号はノイズに隠れている マッチングフィルタリング後：エコーが見えるようになります。
技術的な理由により、チャープパルスの場合のように、実際に受信したCWパルスに対して相関を行う必要はありません。ただし、 ベースバンド シフト中に信号は バンドパス フィルタリングを受けます が、このフィルタリングは相関と同等のノイズへの影響を及ぼします。そのため、全体的な考え方は同じです（つまり、SNRは、特定の帯域幅（ここでは信号帯域幅）で定義されたノイズに対してのみ意味を持ちます）。 [ f 0 − Δ f / 2 , f 0 + Δ f / 2 ] {\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}
この SNR の向上は魔法のように思えますが、パワー スペクトル密度は信号の位相を表すものではないことに注意してください。実際には、等価 CW パルス、相関後の CW パルス、元のチャープ パルス、相関したチャープ パルスの位相は異なります。そのため、すべてのケースで (ほぼ) 同じパワー スペクトルを持っているにもかかわらず、信号の形状が異なります (特に長さが異なります)。ピーク送信パワー と帯域幅 が制約されている場合、パルス圧縮では、同じピーク パワーと帯域幅の等価 CW パルスと比較して、より長いパルス (つまり、より多くのエネルギー) を送信し、相関によってパルスを圧縮することにより、より優れたピーク パワー (ただし同じ解像度) を 実現 します。これは、相関後に元の信号よりもピークが狭く、サイドローブが低い、限られた数の信号タイプに対してのみ最適に機能します。 P {\displaystyle P} Δ f {\displaystyle \Delta f} P {\displaystyle P} Δ f {\displaystyle \Delta f}
ストレッチ加工 パルス圧縮は優れたSNRと微細な距離分解能を同時に保証できますが、波形の瞬間帯域幅が広い（ 数百メガヘルツ、または1GHzを超えることもあります）ため、このようなシステムでのデジタル信号処理の実装は困難です。ストレッチ処理は、広帯域チャープ波形の整合フィルタリング技術であり、比較的短い距離間隔で非常に微細な距離分解能を求めるアプリケーションに適しています。 [3] Δ f {\displaystyle \Delta f}
ストレッチ加工 上の図は、ストレッチ処理を解析するためのシナリオを示しています。中心参照点（CRP）は、対象範囲ウィンドウの中央、つまり範囲 に位置し 、時間遅延 に相当します 。 R 0 {\displaystyle R_{0}} t 0 {\displaystyle t_{0}}
送信波形がチャープ波形の場合:
x ( t ) = exp ( j π Δ f T ( t ) 2 ) exp ( j 2 π f 0 ( t ) ) , 0 ≤ t ≤ T {\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T} 遠距離のターゲットからのエコーは 次のように表すことができます。 R b {\displaystyle R_{b}}
x ¯ ( t ) = ρ exp ( j π Δ f T ( t − t b ) 2 ) exp ( j 2 π f 0 ( t − t b ) ) , 0 ≤ t − t b ≤ T {\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T} ここで 、は散乱体の反射率に比例します。エコーにを掛けると 、エコーは次のようになります。 ρ {\displaystyle \rho } exp ( − j 2 π f 0 t ) exp ( − j π Δ f T ( t − t 0 ) 2 ) {\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}
y ( t ) = ρ exp ( − j 4 π R b λ ) exp ( − j 2 π Δ f T δ t b ( t − t 0 ) ) exp ( j π Δ f T ( δ t b ) 2 ) , t 0 ≤ t − δ t b ≤ t 0 + T {\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T} 空気中の電磁波の波長は どこですか。 λ {\displaystyle \lambda }
y(t)に対して サンプリングと 離散フーリエ変換を 行った後、正弦波周波数を解くことができます。 F b {\displaystyle F_{b}}
F b = − δ t b Δ f T ( H z ) {\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)} そして微分範囲は 次のようになります。 δ R b {\displaystyle \delta R_{b}}
δ R b = − c T F b 2 Δ f {\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}} y(t) の帯域幅が元の信号帯域幅 よりも小さいことを示すために 、距離ウィンドウが 長いと仮定します。ターゲットが距離ウィンドウの下限にある場合、エコーは 送信から数秒後に到達します。同様に、ターゲットが距離ウィンドウの上限にある場合、エコーは送信から数秒後に到達します。 各ケースにおける 差分到達時間は それぞれ とです 。 Δ f {\displaystyle \Delta f} R w = c T w 2 {\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}} t 0 − T w / 2 {\displaystyle t_{0}-T_{w}/2} t 0 + T w / 2 {\displaystyle t_{0}+T_{w}/2} δ t b {\displaystyle \delta t_{b}} − T w / 2 {\displaystyle -T_{w}/2} T w / 2 {\displaystyle T_{w}/2}
次に、範囲ウィンドウの下限と上限にあるターゲットの正弦波周波数の差を考慮することで帯域幅を取得できます。 結果として、
Δ f s = F b , near − F b , far = − Δ f T ( − T w / 2 − T w / 2 ) = T w T Δ f {\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}
結果4 ストレッチ処理により、受信機出力の帯域幅は元の信号帯域幅よりも小さくなり 、線形周波数変調レーダーシステムでのDSPシステムの実装が容易になります。 T w < T {\displaystyle T_{w}<T}
ストレッチ処理によって距離分解能が維持されることを示すには、y(t) が実際にはパルス幅 T と周期 （ 送信されたインパルス列の周期に等しい）を持つインパルス列であることを理解する必要があります。結果として、y(t) のフーリエ変換は実際には レイリー分解能 を持つsinc関数となります。つまり、プロセッサは 少なくとも 離れた散乱体を分離することができます。 T t r a n s {\displaystyle T_{trans}} 1 T {\textstyle {\frac {1}{T}}} F b {\displaystyle F_{b}} Δ F b = 1 / T {\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}
その結果、
1 T = | Δ f T Δ ( δ t b ) | ⇒ | Δ ( δ t b ) | = 1 Δ f {\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}} そして、
Δ ( δ R b ) = c Δ ( δ t b ) 2 = c 2 Δ f {\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}} これは、元の線形周波数変調波形の解像度と同じです。
ストレッチ処理によって受信ベースバンド信号の帯域幅を縮小することは可能ですが、RFフロントエンド回路のすべてのアナログコンポーネントは、依然として の瞬間帯域幅をサポートできる必要があります 。さらに、チャープ信号の周波数掃引中に電磁波の実効波長が変化するため、 フェーズドアレイ システムではアンテナの視線方向が必然的に変化します。 Δ f {\displaystyle \Delta f}
ステップ周波数波形は、広い瞬間帯域幅を必要とせずに、受信信号の優れた距離分解能とSNRを維持できる代替技術です。 単一のパルスで全帯域幅を直線的に掃引するチャープ波形とは異なり、ステップ周波数波形は、各パルスの周波数が 前のパルスから増加するインパルス列を採用します。ベースバンド信号は次のように表されます。 Δ f {\displaystyle \Delta f} Δ F {\displaystyle \Delta F}
x ( t ) = ∑ m = 0 M − 1 x p ( t − m T ) e j 2 π m Δ F ( t − m T ) {\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}} ここで 、 は長さ の矩形インパルスであり 、M は単一のパルス列に含まれるパルスの数です。波形の全帯域幅は に等しくなります が、アナログ部品はパルス間の時間中に次のパルスの周波数に対応するようにリセットされます。その結果、前述の問題は回避されます。 x p ( t ) {\displaystyle x_{p}(t)} τ {\displaystyle \tau } Δ f = M Δ F {\displaystyle \Delta f=M\Delta F}
遅延に対応するターゲットの距離を計算するために 、個々のパルスは単純なパルス整合フィルタを通して処理されます。 t l + δ t {\displaystyle t_{l}+\delta t}
h p ( t ) = x p ∗ ( − t ) {\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)} 整合フィルタの出力は次のようになります。
y m ( t ) = s p ∗ ( t − ( t l + δ t ) − m T ) e j 2 π m Δ F ( t − ( t l + δ t ) − m T ) {\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}} どこ
s p ∗ ( t − ( t l + δ t ) − m T ) = x p ( t − ( t l + δ t ) − m T ) ∗ h p ( t ) {\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)} で サンプリングすると 次のようになります。 y m ( t ) {\displaystyle y_{m}(t)} t = t l + m T {\displaystyle t=t_{l}+mT}
y [ l , m ] = s p ∗ ( δ t ) e j 2 π m Δ F δ t {\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}} ここで、lはレンジビンlを意味します。DTFT（ここではmを時間として扱います）を実行すると、以下の結果が得られます。
Y [ l , ω ] = ∑ m = 0 M − 1 y [ l , m ] e − j ω m = s p ∗ ( δ t ) ∑ m = 0 M − 1 e j ( ω − 2 π Δ F δ t ) m {\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}} であり、和のピークは のときに発生します 。 ω = 2 π Δ F δ t {\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}
その結果、DTFTは、 レンジビンの遅延に対するターゲットの遅延の尺度を提供し 、 差分レンジは次のようになります。 y [ l , m ] {\displaystyle y[l,m]} t l {\displaystyle t_{l}} δ t = ω p 2 π Δ F = f p Δ F {\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}
δ R = c f p 2 Δ F {\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}} ここで c は光速です。
ステップ周波数波形が距離分解能を維持することを示すために、 は sinc関数のような関数であり、したがってレイリー分解能 を持つことに留意する必要があります 。結果として、 Y [ l , ω ] {\displaystyle Y[l,\omega ]} Δ f p = 1 / M {\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}
Δ ( δ t ) = 1 M Δ F = 1 Δ f {\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}} したがって、差分範囲の分解能は次のようになります。
Δ ( δ R ) = c 2 Δ f {\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}} これは、元の線形周波数変調波形の解像度と同じです。
位相符号化によるパルス圧縮 信号を変調する方法は他にもあります。 位相変調 は一般的に用いられる技術です。この場合、パルスは 持続時間のタイムスロットに分割され 、それぞれのタイムスロットにおける原点の位相は事前に定められた規則に従って選択されます。例えば、一部のタイムスロットでは位相を変更せず（つまり、これらのスロットでは信号をそのままにしておく）、他のスロットでは信号の位相をずらす （つまり、信号の符号を変える）ことが可能です。これは バイナリ位相シフトキーイング と呼ばれます。位相の順序を正確に選択する方法は、 バーカーコード と呼ばれる技術に従って行うことができます 。 N {\displaystyle N} T N {\textstyle {\frac {T}{N}}} π {\displaystyle \pi } { 0 , π } {\displaystyle \{0,\pi \}}
バーカーコードの利点 [4] はその単純さ（前述のように、位相ずれは単純な符号変化）であるが、パルス圧縮比はチャープの場合よりも低く、 ドップラー効果 による周波数変化がより大きい場合 、圧縮は周波数変化に非常に敏感である 。 π {\displaystyle \pi } 1 T {\textstyle {\frac {1}{T}}}
Goldコード 、 JPLコード 、 Kasamiコード などの 他の 擬似ランダム2値シーケンスは、自己相関ピークが非常に狭いため、ほぼ最適なパルス圧縮特性を備えています。これらのシーケンスは、 GNSS 測位などに適した興味深い特性も備えています 。
シーケンスを2つ以上の位相で符号化することが可能です（多相符号化）。線形チャープと同様に、パルス圧縮は相互相関によって実現されます。
参照
注記 ^ JR Klauder、A. C、Price、S. Darlington、WJ Albersheim、「チャープレーダーの理論と設計」、Bell System Technical Journal 39、745 (1960)。 ^ Achim Hein, SARデータの処理：基礎、信号処理、干渉法 、Springer、2004年、 ISBN 3-540-05043-4 38～44ページ。 チャープの自己相関関数の非常に厳密な実証。著者は実際のチャープを扱っているため、 本書では1⁄2という係数が用いられているが、本書では使用されてい ない 。 ^ リチャーズ、マークA. 2014. レーダー信号処理の基礎. ニューヨーク[その他]:McGraw-Hill Education. ^ J.-P.ハルダンジュ、P. ラコム、J.-C. Marchais、 Radars aéroportés et spataux 、マッソン、パリ、1995、 ISBN 2-225-84802-5 、104ページ。英語版あり： Air and Spaceborne Radar Systems: an introduction 、Institute of Electrical Engineers、2001年、 ISBN 0-85296-981-3
さらに読む ナダフ・レヴァノン、イーライ・モゼソン著『レーダー信号』Wiley.com、2004年。 Hao He、 Jian Li 、 Petre Stoica . アクティブセンシングシステムのための波形設計：計算論的アプローチ. Cambridge University Press, 2012. M. ソルタナリアン. アクティブセンシングと通信のための信号設計. ウプサラ大学理工学部学位論文集（Elanders Sverige AB社印刷）, 2014年. Solomon W. Golomb、 Guang Gong 著『良好な相関のための信号設計：無線通信、暗号、レーダー用』ケンブリッジ大学出版局、2005年。 フルヴィオ・ジーニ、アントニオ・デ・マイオ、リー・パットン編『先進レーダーシステムのための波形設計とダイバーシティ』、英国工学技術研究所、2012年。 John J. Benedetto、Ioannis Konstantinidis、Muralidhar Rangaswamy。「位相符号化波形とその設計」IEEE Signal Processing Magazine、26.1 (2009): 22-31。 マイケル・R・デュコフ、バイロン・W・ティエチェン著「パルス圧縮レーダー」レーダーハンドブック（2008年）：8-3ページ。 
![{\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dbc58eea80c0bbb8441cb977506db96f88a16b1)
![{\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0640a9d9f4e496ebd2d158fb1b1b6760de6674f)
![{\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03865e96b0c1898c6597b27a43b6630fd2d8fe49)
![{\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f948e0e927638dad6950e50f50da5c9d1a5601a)
![{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi}}\left[{\frac {d\phi}{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e18de051c6912fa2332f597c9ae65c306a71614)
![{\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cec7bc53ea50cdb02fc039a4316454959ab935b)
![{\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40dec0255d3be54095a8aab6e8c9657011501684)
![{\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f192cd9de2d8f245cd0e425a6c01bce5dcc96659)
![{\displaystyle y[l,m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f14c83106113538d8a6f6d24c1adba673f1d5b)
![{\displaystyle Y[l,\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0b7c9a4c8753bd911bdc096a3202e0b1a3ff49)
