クアシノム

線形代数、関数解析、および関連する数学の分野において、準不等式はノルム公理を満たす点でノルムに類似しているが、三角不等式がいくつかの場合に に置き換えられる点 が異なる。 $${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}$$ ${\displaystyle K>1.}$

意味

あベクトル空間上の準半正規分布^[1]以下の条件を満たす実数値写像である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. 非否定性： ${\displaystyle p\geq 0;}$
2. 絶対的な同質性：のスカラーに対して ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s;}$
3. 全ての​ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • ならば、この不等式は三角不等式に帰着します。この意味で、この条件は通常の三角不等式を一般化します。 ${\displaystyle k=1}$

あquasinorm ^[1]は、次も満たす準半正規分布である:

4. 正定値/点分離：を満たす ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

ベクトル空間とそれに関連する準半ノルムからなるペアは ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$準半ノルムベクトル空間。準半ノルムが準ノルムである場合、それはまた準半ノルムとも呼ばれる。準ノルムベクトル空間。

乗数

条件（３）を満たすすべての値の最小値は ${\displaystyle k}$乗数自身 も条件(3)を満たすので、この条件を満たす唯一の最小の実数となる。-セミノルムは、乗数が ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k.}$

ノルム（それぞれ、セミノルム）は、その乗数が である準ノルム（それぞれ、準セミノルム）です。したがって 、すべてのセミノルムは準セミノルムであり、すべてのノルムは準ノルム（および準セミノルム）です。 ${\displaystyle 1.}$

トポロジー

が上の準正則である場合、ベクトル位相を誘導し、その原点における近傍基底は、正の整数上の範囲として^[2]の集合で与えられる。このような位相を持つ位相ベクトル空間は、 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1/n\}}$$ ${\displaystyle n}$準ノルム位相ベクトル空間または単に準ノルム空間。

すべての準ノルム位相ベクトル空間は擬似計量化可能である。

完全な準ノルム空間は準バナッハ空間。すべてのバナッハ空間は準バナッハ空間であるが、その逆は成り立たない。

関連する定義

準ノルム空間は ${\displaystyle (A,\|\,\cdot \,\|)}$ベクトル空間が代数すべてのベクトル空間に対して定数が存在する、 準ノルム代数 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K>0}$ $${\displaystyle \|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|}$$ ${\displaystyle x,y\in A.}$

完全な準ノルム代数は準バナッハ代数。

特徴づけ

位相ベクトル空間（TVS）は、原点の有界近傍を持つ場合にのみ、準ノルム空間となる。^[2]

例

すべてのノルムは準ノルムであるため、すべてのノルム空間も準ノルム空間です。

${\displaystyle L^{p}}$スペースのある ${\displaystyle 0<p<1}$

の空間は準ノルム空間（実際、 F空間でもある）であるが、一般にはノルム可能ではない（つまり、位相を定義するノルムが存在しない可能性がある）。ルベーグ空間は、局所凸ではない（実際、その凸開部分集合は自身と空集合のみである）完備計量化可能なTVS（F空間）であり、 の唯一の連続線型汎関数は定数関数である（Rudin 1991, §1.47 ）。特に、ハーン・バナッハの定理は、 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$

参照

• 計量化可能な位相ベクトル空間 – 計量によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• セミノルム – 数学関数
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. カルトン 1986年、297-324頁。
2. Wilansky 2013、55ページより。

• オール、チャールズ・E.、ロバート・ローウェン（2001年）『一般位相幾何学の歴史ハンドブック』シュプリンガー社、ISBN 0-7923-6970-X。
• コンウェイ、ジョン・B. (1990). 『関数解析講座』 .シュプリンガー. ISBN 0-387-97245-5。
• Kalton, N. (1986). 「擬バナッハ空間上の多元調和関数」(PDF) . Studia Mathematica . 84 (3). ポーランド科学アカデミー数学研究所: 297–324 . doi :10.4064/sm-84-3-297-324. ISSN  0039-3223.
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992).関数解析 I: 線型関数解析. 数学百科事典. 第19巻. Springer . ISBN 3-540-50584-9。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• シュワルツ、チャールズ（1992年）『関数解析入門』CRCプレスISBN 0-8247-8643-2。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。

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