引用スキーム

代数幾何学において、Quotスキームは、射影スキーム上の層を媒介変数化するスキームである。より具体的には、XがネータースキームS上の射影スキームであり、 FがX上の連接層であるとき、 T点の集合がT上平坦な商の同型類の集合となるようなスキームが存在する。この概念はアレクサンダー・グロタンディークによって導入された。^{[ 1 ]} ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}$ ${\displaystyle F\times _{S}T}$

これは通常、ヒルベルトスキームのような、関心のある幾何学的オブジェクトをパラメータ化する別のスキームを構築するために使用されます。（実際、Fを構造層とするとヒルベルトスキームが得られます。） ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

意味

ネーター基底スキーム上の有限型のスキーム とコヒーレント層 に対して、関数が存在する^{[ 2 ] [ 3 ]} ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}$

送信先 ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{finitely presented over}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

ここで、射影 と である。2つの射影 と可換な同型が存在する場合、によって同値関係が与えられる。つまり、 ${\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle q,q'}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}$

は の可換図式である。あるいは、 が成り立つという同等の条件が存在する。これはquot 関手と呼ばれ、これは部分関手の互いに素な和集合に自然に成層化される。部分関手の各々は、ヒルベルト多項式 に関連付けられたquot スキームと呼ばれる射影的 -スキームで表される。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}$ ${\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$

ヒルベルト多項式

比較的非常に豊富な線束^{[ 4 ]}と任意の閉点に対して、関数は ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

${\displaystyle m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})}$

これは の多項式である。これはヒルベルト多項式と呼ばれ、quot 関数の自然な層化を与える。また、fixed に対しては部分関数の互いに素な和集合が存在する。 ${\displaystyle m>>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [t]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}$

ヒルベルト多項式は、閉点 に対する のヒルベルト多項式です。ヒルベルト多項式は、非常に豊富な直線束 の選択に依存しないことに注意してください。 ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

グロタンディークの存在定理

グロタンディークの定理によれば、関数はすべて上の射影スキームによって表現可能です。 ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$ ${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}$ ${\displaystyle S}$

例

グラスマン分布

次元ベクトル空間の -平面の グラスマン多様体は普遍商を持つ ${\displaystyle G(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}$

ここで はで表される -平面です。は局所的に自由であり、すべての点で -平面を表すので、定数ヒルベルト多項式 を持ちます。これは、 がquot 関数を表すことを示しています。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in G(n,k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Phi (\lambda )=k}$ ${\displaystyle G(n,k)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}$

射影空間

特別なケースとして、射影バンドルをquot スキームとして構築することができます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}}$

-scheme上の束の場合。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

ヒルベルトスキーム

ヒルベルトスキームは「スキーム」の特別な例である。部分スキームは射影として与えられることに注意されたい。 ${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

そして、そのような射影の平坦な族は、スキームによってパラメータ化され、次のように与えられる。 ${\displaystyle T\in Sch/S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}$

に関連付けられたヒルベルト多項式が存在するので、スキームの同型性が存在する。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi _{Z}}$

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}$

パラメータ化の例

代数的に閉体に対してとの とき、非零切断はヒルベルト多項式 ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle Z=Z(s)}$

${\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}$

そして、射影がある

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

核 を持つ。は任意の非零断面であり、に対するの消失軌跡は同じ消失軌跡を与えるので、このスキームはそのようなすべての断面の自然なパラメータ化を与える。に層が存在し、任意の に対して、関連する部分スキームと全射 が存在する。この構成は quot 関手を表す。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a\cdot s}$ ${\displaystyle a\in k^{*}}$ ${\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X\times Q}$ ${\displaystyle [s]\in Q}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}$

射影平面上の二次曲面

との 場合、ヒルベルト多項式は ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}$

上の普遍商は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}$

ここで、点上のファイバーは射影写像を与える。 ${\displaystyle [Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

例えば、係数が ${\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]}$

${\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}$

の普遍商は、短い正確な数列を与える。 ${\displaystyle [Z]}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

曲線上の半安定ベクトル束

種数 の曲線上の半安定ベクトル束は、有限階数の局所自由層として同値に記述できる。このような階数と次数の局所自由層は、以下の性質を持つ^{[ 5 ]。} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$グローバルセクションによって生成される

に対して。これは全射が存在することを意味する。 ${\displaystyle d>n(2g-1)}$

${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}$

そして、quotスキームはそのような全射を媒介変数化する。グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理を用いると、次元は ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}$

次数の固定線束にはねじれがあり、次数が だけシフトするので、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}$ ${\displaystyle nm}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}$^{[ 5 ]}

ヒルベルト多項式を与える

${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}$

そして、半安定ベクトル束の軌跡は、

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}$

これはGIT商を用いて半安定ベクトル束のモジュライ空間を構成するのに使用できる。^{[ 5 ]} ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}$

参照

• ヒルベルト多項式
• 平坦射影
• ヒルベルトスキーム
• モジュライ空間
• GIT商

参考文献

1. グロタンディーク、アレクサンダー。幾何学的計算における構築と存在の技術 IV : ヒルベルトのスキーマ。 ブルバキセミナー: années 1960/61、exposés 205-222、Séminaire Bourbaki、no. 6 (1961)、トーク no. 221、p. 249-276
2. Nitsure, Nitin (2005). 「ヒルベルト・スキームとクォート・スキームの構築」.基礎代数幾何学：グロタンディークのFGAの解説. 数学概論・モノグラフ. 第123巻. アメリカ数学会. pp.  105– 137. arXiv : math/0504590 . ISBN 978-0-8218-4245-4。
3. Altman, Allen B.; Kleiman, Steven L. (1980). 「Picardスキームのコンパクト化」 . Advances in Mathematics . 35 (1): 50– 112. doi : 10.1016/0001-8708(80)90043-2 . ISSN 0001-8708 . 
4. グローバルセクションの基底は、埋め込みを定義する ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}}$ ${\displaystyle N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))}$
5. Hoskins, Victoria. "Moduli Problems and Geometric Invariant Theory" (PDF) . pp. 68, 74– 85. 2020年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。

さらに読む

• 安定写像と量子コホモロジーに関するノート
• https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/

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