Electrical circuit consisting of resistive and inductive elements, with no capacitive elements
抵抗 -インダクタ回路 （ RL回路 ）、あるいは RLフィルタ 、あるいは RLネットワークは、 電圧源 または 電流源 によって駆動される 抵抗器 と インダクタ で構成される 電気回路 です 。 [1] 1次RL回路は、1つの抵抗器と1つのインダクタで構成され、 電圧源によって 直列に駆動されるか、電流源によって 並列に駆動されます。これは、最も単純な アナログ 無限インパルス応答（IR ）電子フィルタの 1つです 。
導入 受動 線形 回路の 基本的な要素は、 抵抗器 （R）、 コンデンサ （C）、 インダクタ （L）です。これらを組み合わせて RC回路 、RL回路、 LC回路 、 RLC回路を構成できます。略語は使用されている部品を示しています。これらの回路は、 アナログ電子工学 の基本的な重要な動作を示します。特に、 受動フィルタ として機能します 。
コンデンサはインダクタよりも製造が容易で、特に高抵抗値の部品の場合、一般的に物理的に小型であるため、一般的に好まれます。しかし、寄生インダクタンスは依然として避けられない場合があります。
RC回路とRL回路はどちらも単極フィルタを形成します。リアクタンス素子（CまたはL）が負荷と直列に接続されているか並列に接続されているかによって、フィルタがローパスフィルタかハイパスフィルタかが決まります。
RL 回路はRF アンプの DC 電源 としてよく使用され 、インダクタは DC バイアス電流を流し、RF が電源に戻るのをブロックするために使用されます。
複素インピーダンス インダクタンスL （ ヘンリー ）のインダクタの 複素 インピーダンス Z L （ オーム ）は、
Z L = L s . {\displaystyle Z_{L}=Ls\,.} 複素周波数 sは 複素数 であり 、
s = σ + j ω , {\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,} どこ
固有関数 任意 の線形 時不変 (LTI) システムの複素値固有関数 は 次 の形式になります。
V ( t ) = A e s t = A e ( σ + j ω ) t A = A e j ϕ ⇒ V ( t ) = A e j ϕ e ( σ + j ω ) t = A e σ t e j ( ω t + ϕ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}} オイラーの公式 より 、これらの固有関数の実部は指数関数的に減少する正弦波である。
v ( t ) = Re V ( t ) = A e σ t cos ( ω t + ϕ ) . {\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}
正弦定常状態 正弦定常状態は、入力電圧が純粋な正弦波（指数関数的減衰を伴わない）で構成される特殊なケースです。その結果、
σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} そしてs の評価 は
s = j ω . {\displaystyle s=j\omega \,.}
直列回路 直列 RL回路 回路を 電圧分圧器 として見ると、 インダクタの両端の 電圧は次のようになります。
V L ( s ) = L s R + L s V i n ( s ) , {\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,} 抵抗器の両端の電圧は次のようになります。
V R ( s ) = R R + L s V i n ( s ) . {\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}
現在 回路は直列になっているため、回路内の電流はどこでも同じです。
I ( s ) = V i n ( s ) R + L s . {\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}
伝達関数 インダクタ電圧への 伝達 関数は
H L ( s ) = V L ( s ) V i n ( s ) = L s R + L s = G L e j ϕ L . {\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.} 同様に、抵抗電圧への伝達関数は
H R ( s ) = V R ( s ) V i n ( s ) = R R + L s = G R e j ϕ R . {\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.} 電流に対する伝達関数は
H I ( s ) = I ( s ) V i n ( s ) = 1 R + L s . {\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}
極と零点 伝達関数に は 、
s = − R L . {\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.} さらに、インダクタの伝達関数は 原点 に ゼロ を持ちます。
ゲインと位相角 2 つのコンポーネント間のゲインは、上記の式の大きさを取ることによって求められます。
G L = | H L ( ω ) | = | V L ( ω ) V i n ( ω ) | = ω L R 2 + ( ω L ) 2 {\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}} そして
G R = | H R ( ω ) | = | V R ( ω ) V i n ( ω ) | = R R 2 + ( ω L ) 2 , {\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,} 位相 角は 次のようになります。
ϕ L = ∠ H L ( s ) = tan − 1 ( R ω L ) {\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)} そして
ϕ R = ∠ H R ( s ) = tan − 1 ( − ω L R ) . {\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}
位相記号表記 これらの式は、出力を表す 位相器 の通常の式に代入することができる。 [2]
V L = G L V i n e j ϕ L V R = G R V i n e j ϕ R {\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}
インパルス応答 各電圧に対するインパルス 応答 は、対応する伝達関数の逆 ラプラス変換です。これは、インパルス関数または ディラックデルタ関数 からなる入力電圧に対する回路の応答を表します 。
インダクタ電圧のインパルス応答は
h L ( t ) = δ ( t ) − R L e − t R L u ( t ) = δ ( t ) − 1 τ e − t τ u ( t ) , {\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,} ここで u ( t ) は ヘヴィサイドのステップ関数 であり、 τ = L / R は時定数 です 。
同様に、抵抗電圧のインパルス応答は
h R ( t ) = R L e − t R L u ( t ) = 1 τ e − t τ u ( t ) . {\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}
RL回路のゼロ 入力応答 （ZIR）は、 自然応答 とも呼ばれ、回路が一定の電圧と電流に達し、電源から切断された後の動作を表します。入力を必要としないため、ゼロ入力応答と呼ばれます。
RL 回路の ZIR は次のとおりです。
I ( t ) = I ( 0 ) e − R L t = I ( 0 ) e − t τ . {\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}
周波数領域の考慮事項 これらは 周波数領域の 式です。これらを解析することで、回路（またはフィルタ）がどの周波数を通過させ、どの周波数を遮断するかが分かります。この解析は、周波数が非常に高くなったり低くなったりしたときに、これらのゲインに何が起こるかを考慮することに基づいています。
ω → ∞ の とき :
G L → 1 and G R → 0 . {\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.} ω → 0 の場合 :
G L → 0 and G R → 1 . {\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.} これは、出力がインダクタを介して得られる場合、高周波が通過し、低周波が減衰（除去）されることを示しています。したがって、この回路は ハイパスフィルタ として動作します。一方、出力が抵抗を介して得られる場合、高周波は除去され、低周波が通過します。この構成では、回路は ローパスフィルタ として動作します。これを、 RC回路 における抵抗出力の動作と比較してみてください。RC回路では、抵抗出力の動作は 逆になります。
フィルタが通過させる周波数の範囲は 帯域幅 と呼ばれます。フィルタが信号をフィルタリング前の電力の半分に減衰させるポイントは、 カットオフ周波数 と呼ばれます。このため、回路のゲインを次のように下げる必要があります。
G L = G R = 1 2 . {\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.} 上記の式を解くと
ω c = R L rad/s or f c = R 2 π L Hz , {\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,} これは、フィルタが元のパワーの半分に減衰する周波数です。
明らかに、位相も周波数に依存しますが、この効果は一般にゲインの変化ほど興味深いものではありません。
ω → 0 の場合 :
ϕ L → 90 ∘ = π 2 radians and ϕ R → 0 . {\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.} ω → ∞ の とき :
ϕ L → 0 and ϕ R → − 90 ∘ = − π 2 radians . {\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.} したがって、 DC （0 Hz ）では 、抵抗器の電圧は信号電圧と同位相ですが、インダクタの電圧は信号電圧より90°進んでいます。周波数が上昇するにつれて、抵抗器の電圧は信号に対して90°遅れ、インダクタの電圧は信号と同位相になります。
時間領域の考慮事項 このセクションでは 、 自然対数定数 e に関する知識を前提としています。 時間領域の挙動を導く最も簡単な方法は、 上記の V L と V R の式を ラプラス変換することです。これは jω → s に変換されます。 ステップ入力 （すなわち、 t = 0 の前は V in = 0 、その後は V in = V ）を仮定すると、
V i n ( s ) = V ⋅ 1 s V L ( s ) = V ⋅ s L R + s L ⋅ 1 s V R ( s ) = V ⋅ R R + s L ⋅ 1 s . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}} インダクタ電圧のステップ応答。 抵抗器の電圧ステップ応答。 部分分数 展開と逆 ラプラス変換 により次の式が得られます。
V L ( t ) = V e − t R L V R ( t ) = V ( 1 − e − t R L ) . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}} したがって、図に示すように、インダクタの両端の電圧は時間の経過とともに0に近づき、抵抗の両端の電圧は V に近づきます。これは、回路内の電流が変化している間のみインダクタに電圧がかかるという直感的な考え方と一致しています。回路が定常状態に達すると、それ以上の電流変化はなく、最終的にインダクタの電圧もゼロになります。
これらの式は、直列RL回路が時定数（通常は τ = と表記）を持つことを示している。 L / R 部品の両端の電圧が（インダクタを介して）低下するか（抵抗を介して）上昇するまでにかかる時間です 。 1 / e の最終値です。つまり、 τ は V L が V ( 1 / e ) と V R を加算して V (1 − 1 / e ) 。
変化率は 分数 1 − 1 / e τ あたり 。したがって、 t = Nτから t = ( N + 1) τ に 移行すると 、電圧は t = Nτ でのレベルから最終値に向かって約 63% 移動します。そのため、インダクタの両端の電圧は τ後に約 37% まで低下し、約 5 τ 後には実質的にゼロ (0.7%) になります 。 キルヒホッフの電圧法則 は、抵抗器の両端の電圧が 同じ速度で上昇することを意味します。その後、電圧源を 短絡 に置き換えると 、抵抗器の両端の電圧は tとともに V から 0 に向かって指数関数的に低下します。抵抗器はτ 後に約 37% まで放電され 、約 5 τ 後には実質的に完全に放電 (0.7%) されます。回路の電流I は、 オームの法則 により、抵抗器の両端の電圧と同じように動作すること に注意してください 。
この場合、回路の立ち上がり時間または立ち下がり時間の遅延は、 インダクタからの 逆起電力 によって引き起こされます。インダクタを流れる電流が変化しようとすると、逆起電力によって電流（ひいては抵抗器の両端の電圧）が回路の 時定数よりもはるかに速く上昇または下降することが妨げられます。すべての電線には 自己インダクタンス と抵抗があるため、すべての回路には時定数があります。その結果、電源が投入されても、電流は瞬時に定常値に到達しません 。 V / R 。上昇が完了するまでには、いくつかの時定数を要します。もしそうでない場合、つまり電流がすぐに定常状態に達すると、磁場の急激な変化によって極めて強い誘導電界が発生し、回路内の空気が絶縁破壊され、 アーク放電が 発生し、部品（およびユーザー）が損傷する可能性があります。
これらの結果は、回路を記述する 微分方程式 を解くことによっても導き出すことができます。
V i n = I R + L d I d t V R = V i n − V L . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}} 最初の方程式は 積分係数 を用いて解かれ、電流値V L が得られます。これを微分すると V L が得られます。2番目の方程式は単純です。これらの解はラプラス変換によって得られる解と全く同じです。
短絡方程式 短絡 評価には RL回路が考慮される。より一般的な式は以下の通りである。
v i n ( t ) = v L ( t ) + v R ( t ) = L d i d t + R i {\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri} 初期条件：
i ( 0 ) = i 0 {\displaystyle i(0)=i_{0}} これはラプラス変換 で解くことができます 。
V i n ( s ) = s L I − L i 0 + R I {\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI} したがって：
I ( s ) = L i o + V i n s L + R {\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}} すると、逆ラプラス変換は次の形式になります。
i ( t ) = i s + i t + i s s {\displaystyle i(t)=i_{s}+i_{t}+i_{ss}}
ここで、 は初期 電流 からの応答 、 は回路の過渡応答、 は 定常応答です。すべての入力に対して、逆伝達関数は次のようになります。 i s {\displaystyle i_{s}} i 0 {\displaystyle i_{0}} t = 0 {\displaystyle t=0} i t {\displaystyle i_{t}} i s s {\displaystyle i_{ss}}
i ( t ) = i 0 e − R L t + L − 1 [ V i n s L + R ] {\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}
ここで、逆ラプラス変換は、異なる入力に基づく過渡応答と定常応答を表します。電源電圧が ヘビサイドステップ関数 （DC）の場合：
v i n ( t ) = E u ( t ) {\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)} 変換は次を返します:
i ( t ) = i 0 e − R L t + L − 1 [ E s ( s L + R ) ] = i 0 e − R L t + E R ( 1 − e − R L t ) {\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)} ここで 、 は過渡応答、 は 定常応答です。 E R e − R L t {\displaystyle {\frac {E}{R}}e^{-{\frac {R}{L}}t}} E R {\displaystyle {\frac {E}{R}}}
電源電圧が正弦関数（AC）の場合：
v i n ( t ) = E cos ( ω t + ϕ ) {\displaystyle v_{in}(t)=E\cos(\omega t+\phi )} トランスフォーマーは次を返します:
i ( t ) = i 0 e − R L t + L − 1 [ L [ E cos ω t + ϕ ] ( s L + R ) ] {\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {{\mathcal {L}}{[E\cos {\omega t+\phi }]}}{(sL+R)}}\right]} 数学的には、この変換器は複雑ですが、ヘヴィサイドのステップ関数と同じ基本的な形式を取ります。
i ( t ) = i 0 e − R L t + K t ( e − R L t ) + | H I ( s ) | E cos [ ω t + ϕ − ∠ H I ( s ) ] {\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)+|H_{I}(s)|E\cos \left[\omega t+\phi -\angle {H_{I}(s)}\right]}
ここで 、 および の大きさと位相シフトです 。 | H I ( s ) | {\displaystyle |H_{I}(s)|} ∠ H I ( s ) {\displaystyle \angle {H_{I}(s)}} H I ( s ) {\displaystyle H_{I}(s)}
| H I ( s ) | = 1 | R + s L | = 1 R 2 + ( w L ) 2 {\displaystyle |H_{I}(s)|={\frac {1}{|R+sL|}}={\frac {1}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}} そして ∠ H I ( s ) = ∠ 1 | R + s L | = arctan ( − ω L R ) {\displaystyle \angle {H_{I}(s)}=\angle {\frac {1}{|R+sL|}}=\arctan \left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)}
返品:
i ( t ) = i 0 e − R L t + K t ( e − R L t ) + E R 2 + ( w L ) 2 cos [ ω t + ϕ − arctan ( ω L R ) ] {\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega t+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}
K t {\displaystyle K_{t}} 初期条件に関する情報を用いて解くことができます。この例では、 において 、 方程式は次のように簡約されます。 t = 0 {\displaystyle t=0} i ( 0 ) = i 0 {\displaystyle i(0)=i_{0}}
i o = i 0 e − R L ∗ 0 + K t ( e − R L ∗ 0 ) + E R 2 + ( w L ) 2 cos [ ω ∗ 0 + ϕ − arctan ( ω L R ) ] {\displaystyle i_{o}=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}*0}+K_{t}\left(e^{-{\frac {R}{L}}*0}\right)+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega *0+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}
i o = i 0 + K t + E R 2 + ( w L ) 2 cos [ ϕ − arctan ( ω L R ) ] {\displaystyle i_{o}=i_{0}+K_{t}+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}
K t = − E R 2 + ( w L ) 2 cos [ ϕ − arctan ( ω L R ) ] {\displaystyle K_{t}=-{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}
最終的な方程式を作成します。 i ( t ) = i 0 e − R L t + E cos [ ϕ − arctan ( ω L R ) ] R 2 + ( w L ) 2 e − R L t + E R 2 + ( w L ) 2 cos [ ω t + ϕ − arctan ( ω L R ) ] {\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\cos \left[\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{\sqrt {{R^{2}}+{(wL)^{2}}}}}\cos \left[\omega t+\phi -\arctan \left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}
並列回路 並列 RL回路 抵抗器とインダクタが並列に接続され、電圧源から供給される場合、これはRL並列回路と呼ばれます。 [2] 並列RL回路は、電流源から給電されない限り、一般的に直列回路ほど重要ではありません。これは主に、出力電圧（ V out ）が入力電圧（ V in ）と等しいためです 。その結果、この回路は電圧入力信号に対するフィルタとして機能しません。
複素インピーダンスの場合:
I R = V i n R I L = V i n j ω L = − j V i n ω L . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}} これは、インダクタが抵抗器（およびソース）電流より 90° 遅れていることを示しています。
並列回路は多くのアンプ回路の出力に見られ、高周波における容量性負荷の影響からアンプを分離するために使用されます。容量によって生じる位相シフトのため、一部のアンプは非常に高い周波数で不安定になり、発振する傾向があります。これは音質と部品の寿命、特にトランジスタに影響を与えます。
参照
参考文献 ^ “RL 回路: 式、方程式、図 | Linquip”. 2021-08-24 . 2022-03-16 に取得 。 ^ ab 「RL回路：動作、位相図、インピーダンスとその用途」 ElProCus - 工学部学生向け電子工学プロジェクト . 2021年4月6日. 2022年3月16日 閲覧 。 
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