正十二角形
正十二角形
	正十二角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	12
シュレーフリ記号	{12}、t{6}、tt{3}
コクセター・ディンキン図	;
対称群	二面角（D 12）、位数2×12
内角（度）	150°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、十二角形（じゅうでんかく、または12 ゴン）とは、12 辺を持つ多角形です。

正十二角形

正十二角形は、辺の長さと内角の大きさが等しい図形です。12本の鏡映対称線と12次の回転対称線を持ちます。正十二角形はシュレーフリ記号{12}で表され、切頂六角形（t{6}）または二度切頂三角形（tt{3}）として作図できます。正十二角形の各頂点の内角は150°です。

エリア

辺の長さがaの正十二角形の面積は次のように求められます。 ${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}$

また、外接円 r (内接図も参照)に関して言えば、面積は次のようになります。 ${\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}$

円周半径 Rに関して、面積は次のようになる。^{[ 1 ]} $A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}$

十二角形の幅Sは、2つの平行な辺の間の距離であり、円錐台形の2倍に等しい。面積の簡単な公式は（辺の長さと幅が与えられた場合）、以下の通りである。これは三角関数の関係式で証明できる。 $A=3aS$ $S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})$

周囲

正十二角形の周囲の長さは、円周半径で表すと次のようになる。^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}$

周囲長は、次のように表される。この係数は、面積を求めるための近似曲線の係数の2倍である。^[³^] ${\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}$

十二角形構造

12 = 2 ² × 3 なので、コンパスと定規を使って正十二角形を作ることができます。

与えられた外接円における正十二角形の構築

与えられた辺の長さで正十二角形を作成するアニメーション。（この作成方法は、与えられた辺の長さで正八角形を作成する方法と非常によく似ています。）

解剖

12キューブ	60菱形分解

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。^{[ 4 ]}特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合平行四辺形はすべて菱形になります。正十二角形の場合、m =6 であり、3 つの正方形、6 つの広い 30° の菱形、6 つの狭い 15° の菱形、合わせて 15 個に分割できます。この分解は、 240 面のうち 15 面を持つ6 次元立方体のペトリ多角形投影に基づいています。シーケンス OEIS シーケンスA006245では、最大 12 倍の回転と反射のキラル形式を含め、解の数を 908 と定義しています。

15個の菱形に分割
6キューブ

数学的操作パターンブロックが使用される方法の1つは、いくつかの異なる十二角形を作成することです。 ^{[ 5 ]}これらは菱形の分割に関連しており、3つの60°の菱形が六角形、半六角形台形に統合されたり、2つの正三角形に分割されたりします。

その他の通常の解剖
		ソコラータイル	パターンブロック

対称

正十二角形は_Dih12対称性を持ち、位数は24です。15の異なる部分群には二面体対称性と巡回対称性があります。各部分群の対称性は、不規則な形状に1つ以上の自由度を与えます。g12部分群のみ自由度を持ちませんが、有向辺として見ることができます。

対称性による十二角形の例
r24
d12	g12	12ページ	i8
d6	g6	6ページ	d4	g4	4ページ目
g3			d2	g2	2ページ目
a1

発生

タイル張り

正十二角形は、平面頂点を他の正多角形で埋める方法が 4 つあります。

3.12.12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

以下に、頂点の構成によって定義される正十二角形を使用した周期的な平面タイリングの例を 3 つ示します。

1ユニフォーム		2ユニフォーム
3.12.12	4.6.12	3.12.12; 3.4.3.12

斜め十二角形

斜め十二角形は、12個の頂点と辺を持つが同一平面上に存在しない斜めの多角形です。このような十二角形の内部は一般的には定義されていません。斜めジグザグ十二角形は、2つの平行な平面間で頂点が交互に配置されます。

正斜正十二角形は頂点推移的で、辺の長さが等しい。3次元ではジグザグの斜正十二角形となり、同じD _5d、対称性[2 ^{+ ,10]、位数20}の六角形反プリズムの頂点と辺に見られる。十二角形反プリズムs{2,24/5}と十二角形交差反プリズムs{2,24/7}も正斜正十二角形である。

ペトリー多角形

正十二角形は、コクセター平面への直交射影として見られる多くの高次元多面体のペトリー多角形です。4次元の例としては、 24細胞、スナブ24細胞、6-6デュオプリズム、6-6デュオピラミッドなどがあります。6次元の例としては、 6-キューブ、6-オルソプレックス、2 ₂₁、1 ₂₂ などがあります。また、大120細胞と大星型120細胞もペトリー多角形です。

高次元における正歪十二角形
E ₆		F4		2G ₂ (4D)
2 ₂₁	1 ₂₂	24セル	スナブ 24セル	6-6デュオピラミッド	{6}×{6}
A ₁₁	D7		B6		4A ₂
11単体	（4 ₁₁）	1 ₄₁	6-オルソプレックス	6キューブ	{3}×{3}×{3}×{3}

使用例

ブロック体の大文字では、 E、H、X（およびスラブセリフフォントのI ）の文字は12角形の輪郭を持ちます。十字も12角形であり、シボレー自動車部門のロゴも同様です。

正十二角形は多くの建物で顕著に見られます。スペイン南部セビリアにある黄金の塔は、モハド朝によって建てられた十二角形の軍事監視塔です。スペイン、セゴビアにある13世紀初頭のベラ・クルス教会も十二角形です。また、イタリア、スペッロにあるポルタ・ディ・ヴェネレ（ヴィーナスの門）もその例です。紀元前1世紀に建てられたこの門には、「プロペルティウスの塔」と呼ばれる十二角形の塔が2つあります。

通常の12角形コインには以下のものがあります。

1937 年から 1971 年までイギリスで使用されていた 3 ペンス硬貨。その後法定通貨ではなくなりました。
2017 年に導入された英国の 1 ポンド硬貨。
オーストラリアの50セント硬貨
フィジー50セント
トンガ50セニティ、1974年以来
ソロモン諸島 50セント
クロアチア 25クーナ
ルーマニア 5000 レイ、2001 ～ 2005 年
カナダペニー、1982～1996年
南ベトナム人 20 ドン、1968 ～ 1975 年
ザンビア 50 ングウィー、1969 ～ 1992 年
マラウイ 50 タンバラ、1986 ～ 1995
メキシコ 20 センタボ、1992-2009
イスラエルの5新シェケル

参照

注記

^ 「Wolframデモンストレーションプロジェクト」 . demonstrations.wolfram.com . 2025年2月4日閲覧。
^ ウィリス、クラレンス・アディソン (1922). 『平面幾何学：実験、分類、発見、応用… B. ブラキストン・サン・アンド・カンパニー』p. 249.
^ プレイフェア、ジョン（1814年）『幾何学原論』ベル＆ブラッドフート、243頁。
^ コクセター『数学レクリエーションとエッセイ』第13版、141ページ
^ "Doin' Da' Dodeca'" on mathforum.org
^ ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、（2008）『ものの対称性』、 ISBN 978-1-56881-220-5（第20章、一般化されたシェフリ記号、多角形の対称性の種類、pp. 275–278）
^ 数学の明るい側面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンス記念会議議事録（1994年）、多角形の変形、ブランコ・グリュンバウム

外部リンク

[1] 「Wolframデモンストレーションプロジェクト」 . demonstrations.wolfram.com . 2025年2月4日閲覧。

[2] ウィリス、クラレンス・アディソン (1922). 『平面幾何学：実験、分類、発見、応用… B. ブラキストン・サン・アンド・カンパニー』p. 249.

[3] プレイフェア、ジョン（1814年）『幾何学原論』ベル＆ブラッドフート、243頁。

[4] コクセター『数学レクリエーションとエッセイ』第13版、141ページ

[5] "Doin' Da' Dodeca'" on mathforum.org

[6] ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、（2008）『ものの対称性』、 ISBN 978-1-56881-220-5（第20章、一般化されたシェフリ記号、多角形の対称性の種類、pp. 275–278）

[7] 数学の明るい側面：レクリエーション数学とその歴史に関するウジェーヌ・ストレンス記念会議議事録（1994年）、多角形の変形、ブランコ・グリュンバウム

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星と化合物
n	1	2	3	4	5	6
形状	ポリゴン	化合物			スターポリゴン	化合物
画像	{12/1} = {12}	{12/2} または 2{6}	{12/3} または 3{4}	{12/4}または4{3}	{12/5}	{12/6} または 6{2}

六角形の頂点推移的切断
準正規形	等角形		準正規形
t{6}={12}			t{6/5}={12/5}