数学において、 レッドヘッファー行列（Redheffer matrix ）は、レッドヘッファー（1977）によって研究されたと よく表記される 正方 （0,1）行列であり、 i が j を割り切る か、j = 1 の場合 は 要素 a ij が1 となり 、それ以外の場合は a ij = 0 となる。状況によっては、ディリクレ畳み込み 、または畳み込まれた 約数の 和を、レッドヘッファー行列の 転置を 含む行列積で 表すと便利な場合がある 。 A n {\displaystyle A_{n}} n t h {\displaystyle n^{th}}
成分行列の変種と定義 レッドヘッファー行列の逆行列性 は、行列の最初の列が1であることによって複雑になる ため、次のように表現すると便利な場合が多い。 ここ で、 は、かつ の場合にのみ要素が1である (0,1)行列 として 定義される 。この場合、 の残りの1つの値を持つ要素は、 行列 によって反映される割り切れる条件に対応し、これは メビウス反転 を適用することで明らかにわかるように、逆行列 は常に逆行列 によって逆行列化可能である。したがって、 の 特異性 は次のように 特徴付けられる。 A n := C n + D n {\displaystyle A_{n}:=C_{n}+D_{n}} C n := [ c i j ] {\displaystyle C_{n}:=[c_{ij}]} j = 1 {\displaystyle j=1} i ≠ 1 {\displaystyle i\neq 1} A n {\displaystyle A_{n}} D n {\displaystyle D_{n}} D n − 1 = [ μ ( j / i ) M i ( j ) ] {\displaystyle D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]} A n {\displaystyle A_{n}} det ( A n ) = det ( D n − 1 C n + I n ) . {\displaystyle \det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).}
関数を定義すると
M j ( i ) := { 1 , if j divides i; 0 , otherwise, , {\displaystyle M_{j}(i):={\begin{cases}1,&{\text{ if j divides i; }}\\0,&{\text{otherwise, }}\end{cases}},} すると、Redheffer（転置）行列は、通常の行列記法におけるn x n の正方行列 として 定義できます 。この記法は、以降のセクションでも引き続き使用します。 n t h {\displaystyle n^{th}} R n = [ M j ( i ) ] 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}}
例 下の行列は12×12のRedheffer行列です。 の分割和行列記法において 、 の最初の1の列に対応する以下の要素は 青色でマークされています。 A 12 := C 12 + D 12 {\displaystyle A_{12}:=C_{12}+D_{12}} C n {\displaystyle C_{n}}
( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)} メビウスの逆行列公式 の対応する応用は、 レッドヘッファー転置行列が常に 逆行列で あることを示しており 、逆行列の要素は次のように与えられる。 n t h {\displaystyle n^{th}}
R n − 1 = [ M j ( i ) ⋅ μ ( i j ) ] 1 ≤ i , j ≤ n , {\displaystyle R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},} ここで、 は メビウス関数 を表す 。この場合、 逆レドヘッファー転置行列は次のように与えられる。 μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} 12 × 12 {\displaystyle 12\times 12}
R 12 − 1 = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 − 1 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 1 0 0 − 1 0 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 − 1 0 − 1 0 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle R_{12}^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&0&0&0&0&1&0&0\\-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&-1&0&-1&0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)}
主な特性
特異点とメルテンス関数および特殊級数との関係
決定要因 n × n 正方レッド ヘッファー行列の 行列 式は、 メルテンス関数 M ( n )で与えられる 。特に、メルテンス関数がゼロ（または符号が変化する 直前 ）のとき、この行列は逆行列ではない。 メルテンス予想 の 反証 [1] の帰結として、メルテンス関数は無限回符号を変化させ、したがってゼロとなるため、レッドヘッファー行列は 無限個の自然数において特異行列となる。 A n {\displaystyle A_{n}} A n {\displaystyle A_{n}}
リーマン予想は、すべての（十分に小さい）に対して であることを示すことと同等であるため、レドヘッファー行列の行列式は、メルテンス関数とのこの関係を通じて リーマン予想 に直接結び付けられます 。 M ( x ) = O ( x 1 / 2 + ε ) {\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
これらの行列によって符号化された和の因数分解 (0,1)行列の 要素を、ある指数集合の増加系列への包含を表すように 再解釈するという、やや型破りな構成をとることで、これらの行列が ランバート級数の因数分解にも関連していることがわかる。この観察は、固定された 算術関数 f に対して、 f 上の次のランバート級数展開の係数が、これらの展開の級数係数を得るために f を加算する指数に対する、いわゆる包含マスクを提供するという点 で示されている。特に、
∑ d | n f ( d ) = ∑ k = 1 n M k ( n ) ⋅ f ( k ) = [ q n ] ( ∑ n ≥ 1 f ( n ) q n 1 − q n ) . {\displaystyle \sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).} さて、上記の展開からわかるように、これらの約数和が自然数 nの約数集合へのブール値（0-1）の包含によってコード化される特殊なケースでは、これらの和を列挙するランベルト級数生成関数を、さらに別の行列ベースの構成によって再解釈することが可能です。具体的には、MercaとSchmidt (2017-2018)は、これらの生成関数を [2] の形で展開することにより、可逆な行列分解を証明しました。
∑ n ≥ 1 f ( n ) q n 1 − q n = 1 ( q ; q ) ∞ ∑ n ≥ 1 ( ∑ k = 1 n s n , k f ( k ) ) q n , {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}f(k)\right)q^{n},} ここで、 は無限 q-ポッホハマー記号 を表し、下三角行列列は の係数として正確に生成される。 これらの項は、特殊な偶数（奇数）インデックス付き分割関数の差として解釈することもできる。MercaとSchmidt（2017）は、暗黙関数 fを 、元のランベルト級数生成関数の 畳み込み係数の和として表せる簡単な逆関数公式を証明した 。[3] ( q ; q ) ∞ {\displaystyle (q;q)_{\infty }} s n , k = [ q n ] q k 1 − q k ( q ; q ) ∞ {\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }} ℓ ( n ) = ( f ∗ 1 ) ( n ) {\displaystyle \ell (n)=(f\ast 1)(n)}
f ( n ) = ∑ d | n ∑ k = 1 n p ( d − k ) μ ( n / d ) [ ∑ j ≥ 0 k − j ≥ 0 ℓ ( k − j ) [ q j ] ( q ; q ) ∞ ] , {\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{n}p(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _{j\geq 0 \atop k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_{\infty }\right],} ここで、 p(n) は 分配関数 、 は メビウス関数 、の係数は 五角数定理 により j の二次依存性を継承する。この逆行列公式は 、ここでの完全性のために、 Redheffer 行列の逆行列（存在する場合）と比較される。 μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} ( q ; q ) ∞ {\displaystyle (q;q)_{\infty }} A n {\displaystyle A_{n}}
それ以外の点では、手元の約数和にインデックスを含めることを指定する、いわゆる マスク 行列の基礎となるものは可逆であるため、このタイプの構成を利用して他の Redheffer のような行列を他の特殊な数論的和に拡張することは、ここで古典的に研究されている形式に限定する必要はありません。たとえば、2018 年に Mousavi と Schmidt は、このような行列ベースの因数分解補題をアンダーソン-アポストル約数和 ( ラマヌジャン和は注目すべき特殊なケース) や各 n に互いに素である整数にわたってインデックス付けされた和 (たとえば、 オイラーのファイ関数 によって示される合計を古典的に定義するように) の場合に拡張しました。 [4]さらに言えば、以下の応用セクションで検討されている例は、他の特殊な数論的和を表す 一般化 Redheffer 行列 と見なすことができるものの特性の研究を示唆しています 。
スペクトル半径と固有空間 の スペクトル半径を 、すなわち のスペクトルにおける支配的な最大係数 固有値 と する と 、 A n {\displaystyle A_{n}} ρ n {\displaystyle \rho _{n}} A n {\displaystyle A_{n}} lim n → ∞ ρ n n = 1 , {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\rho _{n}}{\sqrt {n}}}=1,} これは、 n が大きい場合 のスペクトルの漸近挙動を制約する 。また、 であることも示され 、（以下の特性多項式展開を参照）注意深く解析することにより、 となる 。 A n {\displaystyle A_{n}} 1 + n − 1 ≤ ρ n < n + O ( log n ) {\displaystyle 1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)} ρ n = n + log n + O ( 1 ) {\displaystyle \rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)}
この行列は、重複度 の 固有値 1 を 持ちます 。 A n {\displaystyle A_{n}} n − ⌊ log 2 ( n ) ⌋ − 1 {\displaystyle n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1} 固有値 に対応する 固有空間 の次元は であることが知られている 。特に、 の場合にはが 対角化 できないことを意味する 。 E λ ( A n ) {\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})} λ := 1 {\displaystyle \lambda :=1} ⌊ n 2 ⌋ − 1 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1} A n {\displaystyle A_{n}} n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} の 他のすべての固有値については 、対応する固有空間の次元 は 1 です。 λ ≠ 1 {\displaystyle \lambda \neq 1} A n {\displaystyle A_{n}} E λ ( A n ) {\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}
固有ベクトルの特徴づけ は のスペクトル内の 何らかの 固有値 に対応するの 固有ベクトルで あり 、 次の 2 つの条件が成り立つ 場合に限ります。 [ a 1 , a 2 , … , a n ] {\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]} A n T {\displaystyle A_{n}^{T}} λ ∈ σ ( A n ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})} A n {\displaystyle A_{n}} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
λ a n = ∑ d | n a d and λ a 1 = ∑ k = 1 n a k . {\displaystyle \lambda a_{n}=\sum _{d|n}a_{d}\quad {\text{ and }}\quad \lambda a_{1}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.} となるようないわゆる非自明な ケース に限定すると 、任意の初期固有ベクトル成分が与えられれば、残りの n-1個 の成分を次の式に従って 再帰的に計算することができる。 λ ≠ 1 {\displaystyle \lambda \neq 1} a 1 {\displaystyle a_{1}}
a j = 1 λ − 1 ∑ d | j d < j a d . {\displaystyle a_{j}={\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|j \atop d<j}a_{d}.} これを念頭に置いて、 我々は以下の順序を定義することができる。 λ ≠ 1 {\displaystyle \lambda \neq 1}
v λ ( n ) := { 1 , n = 1 ; 1 λ − 1 ∑ d | n d ≠ n v λ ( d ) , n ≥ 2. {\displaystyle v_{\lambda }(n):={\begin{cases}1,&n=1;\\{\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|n \atop d\neq n}v_{\lambda }(d),&n\geq 2.\end{cases}}} これらの列の定義に関連して、いくつか興味深い含意があります。まず 、 λ ∈ σ ( A n ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}
∑ k = 1 n v λ ( k ) = λ . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v_{\lambda }(k)=\lambda .} 第二に、これらの数列上の ディリクレ級数 、または ディリクレ生成関数 の公式が確立されており、これは 次の式で与えられる すべての数列に対して成り立ちます。 λ ≠ 1 {\displaystyle \lambda \neq 1} ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1}
∑ n ≥ 1 v λ ( n ) n s = λ − 1 λ − ζ ( s ) , {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\lambda }(n)}{n^{s}}}={\frac {\lambda -1}{\lambda -\zeta (s)}},} ここで 、もちろん通常通り リーマンゼータ関数 を表します。 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)}
非自明な固有値の境界と性質 の 特性多項式 の零点を評価し 、その係数を有界とするためのグラフ理論的解釈は、の5.1節に示されている。 [ 5 ] の固有値1に対応する ジョルダンブロック の 大きさの推定値は、に示されている。 [6] ここで、これらの行列の特性多項式を因数分解するための 修正 アプローチの特性の概要を 、上記の参考文献から得られる境界を正当化するやや技術的な証明の全範囲を省いて定義する。すなわち、略記とを用いて 、次式に従って一連の補助多項式展開を定義する。 A n {\displaystyle A_{n}} A n {\displaystyle A_{n}} p A n ( x ) {\displaystyle p_{A_{n}}(x)} s := ⌊ log 2 ( n ) ⌋ {\displaystyle s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }
f n ( t ) := p A n ( t + 1 ) t n − s − 1 = t s + 1 − ∑ k = 1 s v n k t s − k . {\displaystyle f_{n}(t):={\frac {p_{A_{n}}(t+1)}{t^{n-s-1}}}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{nk}t^{s-k}.} すると、 には で表される2つの実根があり、 これらは f n ( t ) {\displaystyle f_{n}(t)} t n ± {\displaystyle t_{n}^{\pm }}
t n ± = ± n + log n + γ − 3 2 + O ( log 2 ( n ) n ) , {\displaystyle t_{n}^{\pm }=\pm {\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+\gamma -{\frac {3}{2}}+O\left({\frac {\log ^{2}(n)}{\sqrt {n}}}\right),} ここで 、オイラーの古典的ガンマ定数 であり 、これらの多項式の残りの係数は γ ≈ 0.577216 {\displaystyle \gamma \approx 0.577216}
| v n k | ≤ n ⋅ log k − 1 ( n ) ( k − 1 ) ! . {\displaystyle |v_{nk}|\leq {\frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.} 多項式のこれらの2つの優勢零点によって特徴付けられない、 よりサイズ制約の大きい固有値のプロットは、以下に示す残りの複素零点がわずか 20個 であることからも明らかなように、特筆すべきものである。次の図は、上記で引用した無料で入手可能な論文から転載したもので、 参考のためにここに掲載されている。 f n ( t ) {\displaystyle f_{n}(t)} n ∼ 10 6 {\displaystyle n\sim 10^{6}}
応用と一般化 我々は、指数集合の増加列への包含に対応する偶奇性を持つ(0,1) 行列 として解釈される Redheffer 行列の有用性を示す例をいくつか示す 。これらの例は、これらの行列の歴史的観点の一部が時として時代遅れになっていることを刷新するものであり、また、その行列式とメルテンス関数およびリーマン予想の同等の記述との本質的で深い関係により、脚注に値するものであることを明らかにするのに役立てられるはずである 。 この 解釈 は、Redheffer 行列の特殊行列式の一般的な扱いよりも、構成上、はるかに組み合わせ論的で ある 。とはいえ、和の特殊列を列挙する際のこの組み合わせ論的な工夫は、最近多くの論文で検討されており、プレプリント アーカイブでは活発な関心を集めているトピックである。上記で定義した レッドヘッファー行列の変形におけるこの展開の完全な構築に入る前に 、このタイプの 展開は、多くの点で、行列の要素が級数内の形式変数の係数であるような、切断された冪級数式を表すための テプリッツ行列の使用の本質的に別のバリエーションに過ぎないことに注意する必要がある。 (0,1)行列を、ある固定された関数上の有限和における和の添字の包含を隠すものとして捉えるというこの特定の見方の応用を検討してみよう。一般的な 算術関数 の場合におけるレッドヘッファー行列の既存の一般化については、 参考文献 [7] および [8] の引用を参照のこと。逆行列項は、この種の和の文脈において、一般化された メビウス関数 として参照される。 [9] R n {\displaystyle R_{n}}
ディリクレ畳み込みとディリクレ逆行列を展開する行列積 まず、任意の2つの非同一のゼロ 算術関数 f と gが与えられた場合、それらの ディリクレ畳み込みを 自然数でインデックス付けされた行に エンコードする明示的な行列表現を提供できます 。 n ≥ 1 , 1 ≤ n ≤ x {\displaystyle n\geq 1,1\leq n\leq x}
D f , g ( x ) := [ M d ( n ) f ( d ) g ( n / d ) ] 1 ≤ d , n ≤ x = [ 0 0 ⋯ 0 g ( x ) 0 0 ⋯ g ( x − 1 ) g ( x ) … … ⋱ ⋱ ⋯ g ( 1 ) g ( 2 ) ⋯ g ( x − 1 ) g ( x ) ] [ 0 0 ⋯ 0 f ( 1 ) 0 0 ⋯ f ( 2 ) f ( 1 ) … … ⋱ ⋱ ⋯ f ( x ) f ( x − 1 ) ⋯ f ( 2 ) f ( 1 ) ] R x T . {\displaystyle D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.} そして、ベクトルがすべて1であるものとして、 行列ベクトル積の行が 畳み込みディリクレ和を与える ことが容易に分かる。 e T := [ 1 , 1 , … , 1 ] {\displaystyle e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]} n t h {\displaystyle n^{th}} e T ⋅ D f , g ( x ) {\displaystyle e^{T}\cdot D_{f,g}(x)}
( f ∗ g ) ( n ) = ∑ d | n f ( d ) g ( n / d ) , {\displaystyle (f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),} すべてにおいて、 上限インデックス は任意です。 1 ≤ n ≤ x {\displaystyle 1\leq n\leq x} x ≥ 2 {\displaystyle x\geq 2}
任意の関数 fが与えられたときに特に面倒な作業の 1 つは、その ディリクレ逆関数を 正確に決定することです。その際、同じ関数 f とその不十分に指定された逆関数 を含む別の畳み込み因子和を介して、この関数の標準的な再帰定義に頼る必要はありません。
f − 1 ( n ) = − 1 f ( 1 ) ∑ d ∣ n d < n f ( n d ) f − 1 ( d ) , n > 1 where f − 1 ( 1 ) := 1 / f ( 1 ) . {\displaystyle f^{-1}(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d),\ n>1{\text{ where }}f^{-1}(1):=1/f(1).} 一般に、 f の ディリクレ逆関数 、すなわち となる一意に定義された算術関数は 、1から までの深さのネストされた約数和の和を含むことは明らかです 。ここで、この上限は n の異なる素因数の個数を数える素数 オメガ関数 です。この例が示すように、我々は、変形Redheffer行列 を用いて行列逆行列を求めることで、ディリクレ逆関数の値を構築する別の方法を定式化することができます 。 f − 1 ( n ) {\displaystyle f^{-1}(n)} ( f − 1 ∗ f ) ( n ) = δ n , 1 {\displaystyle (f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}} ω ( n ) {\displaystyle \omega (n)} R n {\displaystyle R_{n}}
数論的約数和、畳み込み、ディリクレ級数（ほんの数例）の行列表現による展開を確立しようと奮闘する、価値ある雑誌に掲載された頻繁に引用される論文がいくつかあります。これらの表現の真に注目すべき重要な応用に関連する、対応するスペクトルと固有空間に関する非自明な推定に加えて、これらの形式の和を行列積で表すための基本的な仕組みは、いわゆる マスキング行列 を効果的に定義することです。この行列の0または1の値を持つ要素は、自然数の集合の増加シーケンスに含まれることを示します 。前述の専門用語が、さまざまな特殊な和を表す行列ベースのシステムを構築する上で意味を成すことを示すために、次の構成を考えてみましょう。を インデックスセットのシーケンスとし、任意の固定された 算術関数 に対して、和を定義します。 { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} A n ⊆ [ 1 , n ] ∩ Z {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z} } f : N ⟶ C {\displaystyle f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C} }
S A , f ( n ) ↦ S f ( n ) := ∑ k ∈ A n f ( k ) . {\displaystyle S_{{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {\mathcal {A}}_{n}}f(k).} ムサヴィとシュミット（2017）が考察した和のクラスの1つは、最後の定義のインデックスセットを次のように設定することによって互いに素な約数和を定義する。
A n ↦ G n := { 1 ≤ d ≤ n : gcd ( d , n ) = 1 } . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\mapsto {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.} このクラスの和は、オイラーのファイ関数 （古典的には と定義する ） を含む、数論的に興味深い重要な特殊算術関数を表現するために使用できる。 m := 0 {\displaystyle m:=0}
φ ( n ) = ∑ d ∈ G n d m , {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\in {\mathcal {G}}_{n}}d^{m},} メビウス関数 も 離散（有限）フーリエ変換として表現されます。
μ ( n ) = ∑ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n e 2 π i k n . {\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}.} 論文中の引用文献には、 円分多項式 （およびその対数）への応用を含め、このクラスの和の他の例が示されています。参照されている Mousavi と Schmidt (2017) の論文では、これらの和を展開するための因数分解定理のような処理が開発されており、これは前のセクションで示した Lambert 級数の因数分解の結果に類似しています。この指数セットの定義に関連する行列とその逆行列により、 メビウス反転 の類似を 除数和に対して実行できます。これを使用して、 逆行列要素と左側の特殊関数（最後の 2 つの例で示した またはなど）の擬似畳み込み和として、加数関数 f を表すことができます。これらの逆行列には多くの興味深い特性がありますが（現在、それらすべてをまとめた適切な参考文献はありません）、新しい読者には、実際に調べることでその特性を暗示し、伝えるのが最善です。これを念頭に置いて、上限インデックスのケース と、この場合に定義される次の関連行列を考えてみましょう。 A n {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}} φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} x := 21 {\displaystyle x:=21}
( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 ) − 1 = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − 1 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 − 1 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 2 − 1 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 − 1 1 0 − 1 1 − 1 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 − 1 0 0 0 1 0 0 − 1 − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 − 2 0 − 2 0 2 0 − 1 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 − 3 0 1 0 3 0 − 1 − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 − 2 0 0 1 0 0 1 − 1 1 − 1 − 1 1 0 0 0 0 − 3 0 2 0 2 0 − 2 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 − 2 0 − 2 0 2 0 − 1 0 0 0 1 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1 0 − 1 0 0 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 − 1 0 0 − 1 1 1 0 − 1 2 − 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 0 0 − 1 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&2&-1&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&1&0&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\-3&0&1&0&3&0&-1&-1&1&0&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&-2&0&0&1&0&0&1&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-3&0&2&0&2&0&-2&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&1&0\\-1&0&0&-1&1&1&0&-1&2&-1&-1&1&-1&1&1&-1&0&0&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right)} しかしながら、非標準的ではあるが明確な応用を持つ他の特殊な和を定義する可逆行列の例は、完全性のためにこの一般化セクションにカタログ化して列挙する必要がある。 反転関係 、特にこれらの形式の和を反転させ、関連付けることができる正確な基準に関する既存の要約は 、直交多項式に関する多くの参考文献に記載されている。 十分に可逆である、または十分に振る舞いの良い 重み係数の三角形集合 上の和間の関係を反転するためのこの種の因数分解処理の他の良い例としては、 メビウスの反転公式 、 二項変換 、 スターリング変換 などが挙げられる。
参照
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![{\displaystyle C_{n}:=[c_{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b63f0921c8ab793bcd53a19655903650259c29e)
![{\displaystyle D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b0a88f6502f4757a1b003b2a5f293285d65fd6)
![{\displaystyle R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28fe7a54a387d20d29134dc5bb624495e2e17ed)
![{\displaystyle R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4499e6f3e46cc92173a8e0c28be466f8415079)
![{\displaystyle \sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9692e602c62d9be9964534f41968c3fbfd3d90d8)
![{\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc33cc5556a8e40a29b88d68b8e7ab5386a9778)
_{\infty }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960128105be51b0181849021d194b503403a120f)
![{\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ac376c083d1b4786327d57f6a2eefff5760315)
![{\displaystyle D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f813a23365bb88736a970a3441290e9f47bb155)
![{\displaystyle e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751947d8d7c1930b3054eea8a96b325e001e15cf)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfecdea79427c7100732be5cb9c3cd35777b810d)
