ロバーツクロス

ロバーツクロス演算子は、画像処理やコンピュータビジョンにおけるエッジ検出に用いられます。これは最初のエッジ検出器の一つであり、1963年にローレンス・ロバーツによって最初に提案されました^。[1]微分演算子であるロバーツクロス演算子の背後にある考え方は、対角線上に隣接するピクセル間の差の二乗和を計算することで得られる離散微分によって、画像の勾配を近似するというものです。

モチベーション

ロバーツによれば、エッジ検出器には以下の特性が求められる。生成されるエッジは明確に定義され、背景からのノイズは可能な限り少なく、エッジの強度は人間の知覚に可能な限り近い値であるべきである。これらの基準を念頭に置き、当時の心理物理学理論に基づいて、ロバーツは以下の式を提案した。

y_{i,j}={\sqrt {x_{i,j}}}

z_{i,j}={\sqrt {(y_{i,j}-y_{i+1,j+1})^{2}+(y_{i+1,j}-y_{i,j+1})^{2}}}

ここで、x は画像内の初期の強度値、z は計算された微分、i、j は画像内の位置を表します。

この演算の結果は、対角方向の強度変化を強調します。この演算の最も魅力的な点の一つは、そのシンプルさです。カーネルは小さく、整数のみで構成されています。しかし、今日のコンピュータの速度では、この利点は無視できるほど小さく、ロバーツクロスはノイズの影響を大きく受けます。^[2]

Roberts 演算子を使用してエッジ検出を実行するには、まず元の画像を次の 2 つのカーネルで畳み込みます。

{\begin{bmatrix}+1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad {\begin{bmatrix}0&+1\\-1&0\\\end{bmatrix}}.

を元の画像上の点、を最初のカーネルとの畳み込みによって形成された画像上の点、を2番目のカーネルとの畳み込みによって形成された画像上の点とします。この場合、勾配は次のように定義されます。 $I(x,y)$ $G_{x}(x,y)$ $G_{y}(x,y)$

\nabla I(x,y)=G(x,y)={\begin{bmatrix}G_{x}\\G_{y}\end{bmatrix}},\;\left\|\nabla I(x,y)\right\|={\sqrt {G_{x}^{2}+G_{y}^{2}}}.

グラデーションの方向は次のように定義することもできます。

\Theta (x,y)=\arctan {\left({\frac {G_{y}(x,y)}{G_{x}(x,y)}}\right)}-{\frac {3\pi }{4}}.

角度 0° は垂直方向に対応し、黒から白へのコントラストが最大となる方向が画像上で左から右に走ることに注意してください。

ここでは、4 つの異なる勾配演算子を使用して、テストイメージの勾配の大きさを推定します。

レンガの壁と自転車ラックのグレースケールテスト画像	ロバーツ交差演算子からの勾配の大きさ	ソーベル演算子からの勾配の大きさ
シャール演算子からの勾配の大きさ	プレウィット演算子からの勾配の大きさ