標本分布

Probability distribution of the possible sample outcomes

統計学において、標本分布または有限標本分布とは、与えられたランダム標本に基づく統計量の確率分布である。任意の多数の標本において、複数の観測値（データポイント）を含む各標本が、標本ごとに統計量の1つの値（例えば、標本平均や標本分散）を個別に計算する場合、標本分布とは、統計量が取る値の確率分布である。多くの場合、観測されるのは1つの標本（つまり、観測値の集合）だけであるが、標本分布は理論的に求めることができる。

標本分布は統計学において重要です。なぜなら、統計的推論の過程において大きな簡素化をもたらすからです。より具体的には、標本分布を用いることで、個々の標本値全体の結合確率分布ではなく、統計量の確率分布に基づいて分析的考察を行うことができます。

導入

統計量の標本分布とは、ランダム変数 として扱われる統計量の分布であり、サイズのランダム標本から求められます。これは、与えられた標本サイズを持つ同じ母集団から抽出されたすべての可能な標本に対する統計量の分布と考えることができます。標本分布は、母集団の基礎となる分布、検討対象の統計量、採用する標本抽出手順、および使用する標本サイズによって異なります。標本分布が漸近分布 で近似できるかどうかは、しばしば大きな関心を集めます。漸近分布 は、分布を生成するために無限母集団から抽出された有限サイズのランダム標本の数が無限大に近づくか、同じ母集団から同じように無限サイズの「標本」が 1 つだけ抽出される場合のいずれかの極限ケースに対応します。 ${\displaystyle n}$

たとえば、平均と分散の正規母集団を考えます。この母集団から特定のサイズの標本を繰り返し抽出し、各標本について算術平均を計算するとします。この統計量は標本平均と呼ばれます。これらの平均の分布は、「標本平均の標本分布」と呼ばれます。基になる母集団が正規分布であるため、この分布は正規分布です（nは標本サイズ）。ただし、母集団の分布が正規分布でなくても、標本分布が正規分布に近づくことがあります（中心極限定理 を参照）。標本平均の代替として、標本中央値があります。同じ母集団から計算した場合、標本中央値は平均値とは異なる標本分布になり、通常は正規分布になりません（ただし、標本サイズが大きい場合は正規分布に近づくことがあります）。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)}$

正規分布に従う母集団から得られた標本の平均は、最も単純な統計的母集団の一つから得られる単純な統計量の一例である。他の統計量や他の母集団の場合、公式はより複雑になり、しばしば閉形式にはならない。そのような場合、標本分布はモンテカルロシミュレーション、^{[1] 、} ブートストラップ法、あるいは漸近分布理論によって近似することができる。

標準誤差

統計量の標本分布の標準偏差は、統計量の標準誤差と呼ばれます。統計量が標本平均であり、標本間に相関がない場合、標準誤差は次の式で表されます。ここで、 はその数量の母集団分布の標準偏差、は標本サイズ（標本に含まれる項目の数）です。 $${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$

この式の重要な意味は、測定誤差を半分（1/2）にするには、サンプル数を4倍（4倍）にする必要があるということです。費用が要因となる統計研究を設計する際には、このことが費用対効果のトレードオフを理解する上で役立つ可能性があります。

統計量がサンプル合計で、サンプルが無相関の場合、標準誤差は次のようになります。ここでも、はその数量の母集団分布の標準偏差であり、はサンプル サイズ (サンプル内の項目数) です。 $${\displaystyle \sigma _{\Sigma x}=\sigma {\sqrt {n}}}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$

例

正規分布する乱数の標本平均の標本分布。標本サイズが大きくなるにつれて、標本分布はより集中化します。

人口	統計	標本分布
普通： ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$	n個のサンプルからの標本平均 ${\displaystyle {\bar {X}}}$	${\displaystyle {\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}{\Big (}\mu ,\,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\Big )}}$。 標準偏差が不明な場合は、自由度のスチューデントt分布に従う を考慮することができます。ここでは標本分散であり、は重要な量であり、その分布は に依存しません。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T=\left({\bar {X}}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{S}}}$ ${\displaystyle \nu =n-1}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma }$
ベルヌーイ： ${\displaystyle \operatorname {Bernoulli} (p)}$	「成功した試験」のサンプル割合 ${\displaystyle {\bar {X}}}$	${\displaystyle n{\bar {X}}\sim \operatorname {Binomial} (n,p)}$
2つの独立した正規分布: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$  そして  ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$	標本平均値の差、 ${\displaystyle {\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}$	${\displaystyle {\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\sim {\mathcal {N}}\!\left(\mu _{1}-\mu _{2},\,{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}\right)}$
密度fの絶対連続分布F	n = 2 k − 1の標本からの中央値。標本は ${\displaystyle X_{(k)}}$ ${\displaystyle X_{(1)}}$ ${\displaystyle X_{(n)}}$	${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {(2k-1)!}{(k-1)!^{2}}}f(x){\Big (}F(x)(1-F(x)){\Big )}^{k-1}}$
分布関数Fを持つ任意の分布	nサイズのランダムサンプルからの最大値 ${\displaystyle M=\max \ X_{k}}$	${\displaystyle F_{M}(x)=P(M\leq x)=\prod P(X_{k}\leq x)=\left(F(x)\right)^{n}}$

参考文献

1. ムーニー、クリストファー・Z. (1999). モンテカルロシミュレーション. サウザンドオークス、カリフォルニア州: セージ. p. 2. ISBN 9780803959439。

• Merberg, A. および SJ Miller (2008). 「中央値の標本分布」.数学162：数理統計学のコースノート、1～9ページ.

外部リンク

• 正規分布の様々な統計量（例：Σx²）の標本分布を示すMathematicaのデモ

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