スカラー乗算

Algebraic operation

ベクトルを 3 倍にスカラー乗算すると、ベクトルが引き伸ばされます。

ベクトルaのスカラー乗算 − aと 2 a

数学において、スカラー乗算は線型代数^{[1] [2] [3]}（より一般的には抽象代数のモジュール^{[4] [5]} ）におけるベクトル空間を定義する基本演算の1つである。一般的な幾何学の文脈では、実ユークリッドベクトルに正の実数を乗じると、ベクトルの方向を変えずにベクトルの大きさが乗算される。スカラー乗算はベクトルにスカラーを乗じることであり（積はベクトル）、2つのベクトルの内積（積はスカラー）とは区別される。

意味

一般に、Kが体でVがK上のベクトル空間である場合、スカラー倍算はK × VからVへの関数です。この関数をKのkとVのvに適用した結果はk vと表されます。

プロパティ

スカラー乗算は次の規則に従います(太字のベクトル)。

• スカラーの加法性: ( c + d ) v = c v + d v ;
• ベクトルの加法性: c ( v + w ) = c v + c w ;
• スカラー積とスカラー乗算の互換性: ( cd ) v = c ( d v );
• 1 を掛けてもベクトルは変化しません: 1 v = v ;
• 0 を掛けるとゼロベクトルが得られます: 0 v = 0 ;
• −1 を掛けると加法逆数が得られます: (−1) v = − v。

ここで、+ は体またはベクトル空間における加法のいずれか、適切な方を表します。0 はいずれの場合でも加法単位元です。並置は、スカラー乗算または体における乗算演算のいずれかを示します。

解釈

ベクトル空間は、元がKの元のリストに関連付けられた座標空間と考えることができる。体の単位はK ×^群を形成し、スカラーベクトルの乗算はK ^×による座標空間への群作用である。体の零点は座標空間に作用し、座標空間を零ベクトルに縮める。

Kが実数体である場合、スカラー乗法は幾何学的に解釈できる。すなわち、ベクトルを定数倍で伸縮させる。その結果、元のベクトルと同じ方向または反対方向だが長さが異なるベクトルが生成される。^[6]

特別なケースとして、V をK自体と見なすことができ、その場合スカラー乗算は単に体での乗算と見なすことができます。

VがK ⁿの場合、スカラー乗算は各コンポーネントとスカラーの乗算と同等であり、そのように定義できます。

Kが可換環でVがK上の加群である場合にも、同じ考え方が適用されます。Kはrig であっても構いませんが、その場合、加法逆元は存在しません。K が可換でない場合、左スカラー乗算c vと右スカラー乗算v cという異なる演算が定義される場合があります。

行列のスカラー乗算

行列Aとスカラーλの左スカラー乗算は、 Aと同じ大きさの別の行列を与える。これはλ Aと表記され、そのλ Aの各要素は以下のように定義される。

${\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}$

明示的に:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

同様に、広く受け入れられている定義はないが、スカラーλを持つ行列Aの右スカラー乗算は次のように定義できる。

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

明示的に:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

行列とスカラーの要素が同じ可換体、例えば実数体や複素数体から得られる場合、これら2つの乗算は同じであり、単にスカラー乗算と呼ぶことができます。可換体ではないより一般的な体上の行列の場合、それらは等しくない場合があります。

実スカラーと行列の場合:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

四元数スカラーと行列の場合:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

ここで、 i、j、kは四元数の単位です。四元数の乗算は非可換であるため、 ij = + kからji = − kへの遷移は起こりません。

参照

• ドット積
• 行列の乗算
• ベクトルの乗算
• 積（数学）
• スカラー除算
• スケーリング（ジオメトリ）

参考文献

1. レイ、デイビッド・C. (2006).線形代数とその応用（第3版）.アディソン・ウェズレー. ISBN 0-321-28713-4。
2. ストラング、ギルバート(2006).線形代数とその応用(第4版).ブルックス・コール. ISBN 0-03-010567-6。
3. アクラー、シェルドン (2002).線形代数を正しく理解する（第2版）.シュプリンガー. ISBN 0-387-98258-2。
4. ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数（第3版）』John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9。
5. ラング、セルジュ(2002).代数学.大学院数学テキスト.シュプリンガー. ISBN 0-387-95385-X。
6. Weisstein, Eric W. 「スカラー乗算」. mathworld.wolfram.com . 2020年9月6日閲覧。

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