半長軸と半短軸

Term in geometry; longest and shortest semidiameters of an ellipse

楕円の長軸（a）と短軸（b ）

幾何学では、楕円の長軸はその最長の直径、つまり中心と両方の焦点を通り、周囲の最も離れた2つの点で終わる線分です。半長軸（長半軸）は最長の半直径または長軸の半分であり、中心から焦点を通り、周囲まで伸びます。楕円または双曲線の半短軸（短半軸）は半長軸と直角で、円錐断面の中心に一方の端がある線分です。円の特殊なケースでは、半軸の長さは両方とも円の半径に等しくなります。

楕円の長半径aの長さは、離心率eと半直角を介して短半径bと次のように関係します。 ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

双曲線の長半径は、慣例に応じて、2つの枝の間の距離の半分のプラスマイナスになります。つまり、双曲線の 中心からいずれかの頂点までの距離です。

放物線は、楕円列の極限として得ることができます。楕円列において、一方の焦点を固定し、もう一方の焦点を固定したまま一方向に任意の距離だけ移動させることができます。したがって、aとbは無限大に向かいますが、aはbよりも速く向かいます。 ${\displaystyle \ell }$

長軸と短軸は曲線の対称軸です。楕円の場合、短軸は短い方であり、双曲線の場合、短軸は双曲線と交差しない軸です。

楕円

楕円の方程式は

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

ここで、（h、  k ）は直交座標における楕円の中心であり、任意の点は（ x、  y ）で与えられます。

長半径は、焦点からの楕円の最大距離と最小距離の平均値、つまり焦点から長軸の端点までの距離の 平均値である。 ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

長軸aと短軸bに関する離心率e : e ² + ( b/a )² = 1

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

天文学では、これらの端点はアプサイドと呼ばれます。^[1]

楕円の短半径は、次の距離の幾何平均です。

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

楕円の離心率は次のように定義される。

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

それで

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

ここで、一方の焦点を原点に置き、もう一方の焦点を方向に向けた極座標での方程式を考えてみましょう。 ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

およびの平均値は、およびの場合、 ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

楕円の場合、長半径は中心からいずれかの焦点までの距離と、中心からいずれかの準線までの距離の幾何平均です。

楕円の短軸は、楕円の中心（焦点を結ぶ直線上の点）から楕円の縁まで伸びます。短軸は短軸の半分です。短軸は、楕円の縁にある2点を結ぶ、長軸に垂直な最長の線分です。

短軸bは、離心率eと半直腸を介して長軸aと次のように関係します。 ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

放物線は、楕円列の極限として得ることができます。楕円列において、一方の焦点を固定し、もう一方の焦点を固定したまま一方向に任意の距離だけ移動させることができます。したがって、aとbは無限大に向かいますが、aはbよりも速く向かいます。 ${\displaystyle \ell }$

半短軸の長さは次の式で求めることもできる: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

ここで、 fは焦点間の距離、pとqは各焦点から楕円内の任意の点までの距離です。

双曲線

双曲線の長半径は、慣例に応じて、2つの枝の間の距離の半分のプラスまたはマイナスです。これがx方向の場合、式は次のようになります。 ^[3]

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

半直腸と偏心に関しては、

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

双曲線の横軸は長軸と一致する。^[4]

双曲線では、楕円の短軸に対応する長さ の共役軸または短軸を、横軸または長軸に垂直に描くことができます。横軸または長軸は双曲線の 2 つの頂点(転換点) を結び、2 つの軸は双曲線の中心で交差します。短軸の端点は、双曲線の頂点の上または下の漸近線の高さにあります。短軸のどちらかの半分は、長さbの半短軸と呼ばれます。半長軸の長さ (中心から頂点までの距離) をaとすると、半短軸と半長軸の長さは、これらの軸に対する双曲線の方程式で次のように表されます。 ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

短半径は、双曲線の焦点の1つから漸近線までの距離でもあります。これはしばしば衝突パラメータと呼ばれ、物理学や天文学において重要であり、焦点にある物体によって粒子の軌道が乱されない場合に、粒子が焦点を逸れる距離を測定します。^[要出典]

短半径と長半径は離心率を通じて次のように関係します。

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[5]

双曲線ではbがaよりも大きくなる場合があることに注意する。^[6]

天文学

軌道周期

いくつかの太陽系軌道（十字はケプラーの値を表す）の周期Tと長半径a （遠日点と近日点の平均）の両対数プロットは、 a ³  /  T ^{‍ 2}が一定であることを示しています（緑線）。ケプラーの第三法則によれば、この直線の傾きは特定の恒星系内では一定であり、主星（ここでは太陽）の質量によって決まります。

天体力学では、中心天体の周りを円軌道または楕円軌道で回る小天体の軌道周期 Tは次のように表される。 ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

どこ：

aは軌道の長半径の長さであり、

${\displaystyle \mu }$中心天体の標準的な重力パラメータです。

与えられた長半径を持つすべての楕円の場合、離心率を無視して軌道周期は同じであることに注意してください。

円軌道または楕円軌道で中心天体を周回する小天体の比角運動量 hは^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

どこ：

aおよびは上記で定義されたとおりである。 ${\displaystyle \mu }$

eは軌道の離心率です。

天文学において、軌道長半径は軌道周期と並んで軌道の最も重要な要素の一つである。太陽系の天体の場合、軌道長半径はケプラーの第三法則（元々は経験的に導かれた）によって軌道周期と関連している。 ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

ここで、 Tは周期、aは長半径である。この形は、ニュートンによって決定された二体問題の一般形を簡略化したものであることがわかる。^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

ここで、 Gは重力定数、Mは中心天体の質量、mは周回天体の質量です。通常、中心天体の質量は周回天体の質量よりもはるかに大きいため、mは無視できます。この仮定に基づき、一般的な天文学の単位を用いると、ケプラーが発見したより単純な形が得られます。

軌道を周回する天体の重心の周りの軌道と、主天体に対する相対的な軌道は、どちらも楕円形である。^[1]長半径は、天文学において、主天体と副天体の質量比が非常に大きい場合（）に、主天体と副天体の距離として用いられることがある。したがって、惑星の軌道パラメータは太陽中心軌道で与えられる。主中心軌道と「絶対」軌道の違いは、地球-月系を見るとよくわかるだろう。この場合の質量比は ${\displaystyle M\gg m}$81.300 59 。地球と月間の特性距離、すなわち地心月軌道の長半径は 384,400 km である。（月の軌道の離心率e  = 0.0549 を考えると、短半径は 383,800 km である。したがって、月の軌道はほぼ円形である。）一方、重心月軌道の長半径は 379,730 km で、地球の反対軌道がその差 4,670 km を占める。月の平均重心軌道速度は 1.010 km/s であるのに対し、地球は 0.012 km/s である。これらの速度を合計すると、地心月の平均軌道速度は 1.022 km/s となる。地心長半径の値だけを考慮しても同じ値が得られる。^[要出典]

平均距離

軌道長半径は、楕円の主焦点と周回天体との間の「平均」距離であるとよく言われます。しかし、これは必ずしも正確ではありません。なぜなら、平均の取り方によって距離は変化するからです。周回天体からの時間平均および角度平均の距離は、離心率に応じて、軌道長半径から50～100%の範囲で変化する可能性があります。^[7]

• 離心率異常にわたる距離を平均すると、実際に長半径が得られます。
• 真の近点角（焦点で測定された真の軌道角）を平均すると、半短軸が得られます。 ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• 平均近点角（近点から経過した軌道周期の割合を角度で表したもの）を平均すると、時間平均が得られます。 ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

半径の逆数の時間平均値は です。 ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

エネルギー; 状態ベクトルからの長半径の計算

天体力学では、軌道長半径aは軌道状態ベクトルから計算できる。

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

楕円軌道の場合、慣例に応じて同じまたは

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

双曲線軌道の場合、

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

（比軌道エネルギー）と

${\displaystyle \mu =GM,}$

（標準重力パラメータ）、ここで：

vは軌道を周回する物体の速度ベクトルから得られる軌道速度である。

rは、軌道要素を計算する基準となる座標系における軌道物体の直交 座標位置ベクトルである（例えば、地球を周回する軌道の場合は地心赤道座標、太陽を周回する軌道の場合は太陽中心黄道座標）。

Gは重力定数であり、

Mは重力体の質量であり、

${\displaystyle \varepsilon }$軌道を周回する物体の比エネルギーです。

総質量が一定であれば、離心率や質量比に関わらず、比エネルギーと軌道長半径は常に同じであることに留意してください。逆に、総質量と軌道長半径が一定であれば、総比軌道エネルギーは常に同じです。この記述は、いかなる条件下でも常に成り立ちます。^[要出典]

惑星の軌道の長半径と短半径

惑星の軌道は常に楕円の代表的な例として挙げられます（ケプラーの第一法則）。しかし、長半径と短半径の差が最小限であることから、惑星の軌道は実質的に円形であることがわかります。この差（または比）は離心率に基づいており、 として計算されます。これは、典型的な惑星の離心率では非常に小さな値となります。 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

顕著な楕円軌道を仮定する理由は、おそらく遠日点と近日点の差がはるかに大きいことにあると考えられます。この差（または比）も離心率に基づいており、次のように計算されます。遠日点と近日点の差が大きいため、ケプラーの第二法則は容易に視覚化できます。 ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

	偏心	長半径a ( AU )	半短軸b ( AU )	違い （％）	近日点（AU）	遠日点（AU）	違い （％）
水銀	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
金星	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
地球	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
火星	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
木星	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
土星	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
天王星	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
ネプチューン	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

1 AU（天文単位）は1億4,960万kmに相当します。

参考文献

1. リサウアー、ジャック・J.; デ・パター、イムケ (2019).基礎惑星科学：物理学、化学、そして居住可能性. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. pp.  24– 31. ISBN 9781108411981。
2. 「楕円の長軸/短軸」、Math Open Reference、2013年5月12日。
3. Weisstein, Eric W. 「楕円」. mathworld.wolfram.com . 2024年8月20日閲覧。
4. “7.1 代替特性評価”. www.geom.uiuc.edu . 2018年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年9月6日閲覧。
5. 「軌道の幾何学：楕円、放物線、双曲線」www.bogan.ca。
6. “7.1 代替特性評価”. 2018年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年9月6日閲覧。
7. ウィリアムズ, ダレン・M. (2003年11月). 「偏心軌道における恒星と惑星の平均距離」. American Journal of Physics . 71 (11): 1198–1200 . Bibcode :2003AmJPh..71.1198W. doi :10.1119/1.1578073.

外部リンク

• 楕円の長軸と短軸 インタラクティブアニメーション付き

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