シフトマトリックス

数学において、シフト行列とは、上対角成分または下対角成分のみに1が入り、それ以外は0となる2値行列のことである。上対角成分に1が入るシフト行列Uは、上シフト行列と呼ばれる。また、下対角成分Lは、当然のことながら下シフト行列と呼ばれる。UとLの( i , j )番目の成分は、

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

クロネッカーのデルタ記号はどこにありますか。 ${\displaystyle \delta _{ij}}$

例えば、5×5のシフト行列は

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

明らかに、下シフト行列の転置は上シフト行列であり、その逆も同様です。

線形変換として、下シフト行列は列ベクトルの要素を1つ下方にシフトし、最初の位置にゼロを出現させます。上シフト行列は列ベクトルの要素を1つ上にシフトし、最後の位置にゼロを出現させます。^[1]

行列Aに下シフト行列を前置乗算すると、 Aの要素は1つ下方にシフトされ、最上行にゼロが出現します。下シフト行列を後置乗算すると、左シフトになります。上シフト行列を前置乗算すると、逆のシフトになります。

明らかに、すべての有限次元シフト行列はべき乗行列です。n × nシフト行列S は 、 その次元n乗するとゼロ行列になります。

シフト行列はシフト空間に作用します。無限次元シフト行列は、エルゴード系の研究において特に重要です。無限次元シフトの重要な例としては、カントール空間上のシフトとして作用するベルヌーイシフトや、連分数空間（すなわち、ベール空間上のシフトとして作用するガウス写像 が挙げられます。

プロパティ

LとUをそれぞれn  ×  n の下シフト行列と上シフト行列とする。UとLの両方に以下の性質が成り立つ。したがって、ここではUの性質のみを列挙する。

• det ( U ) = 0
• tr ( U ) = 0
• ランク（U）= n − 1
• Uの特性多項式は

  ${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• U ⁿ = 0。これはケーリー・ハミルトン定理による前の性質から導かれる。
• Uのパーマネントは0 です。

次のプロパティは、UとLの関係を示しています。

• LT = U ; ^U LT = ^L
• UとLの零空間は

  ${\displaystyle N(U)=\operatorname {span} \left\{(1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}\right\},}$

  ${\displaystyle N(L)=\operatorname {span} \left\{(0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}\right\}.}$

• UとLのスペクトルはです。0の代数的重複度はnで、幾何学的重複度は 1 です。零空間の式から、（ のスケーリングを除いて）Uの唯一の固有ベクトルは であり、 Lの唯一の固有ベクトルはであることがわかります。 ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle (1,0,\ldots ,0)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)^{\mathsf {T}}}$
• LUとULについては
  ${\displaystyle UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),}$
  ${\displaystyle LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).}$
  これらの行列はどちらもべき等であり、対称であり、 UとLと同じランクを持っています。
• L ^{n − a} U ^{n − a} + L ^a U ^a = U ^{n − a} L ^{n − a} + U ^a L ^a = I (単位行列)、a は0 からnまでの任意の整数 です。

Nが任意の冪零行列である場合、Nは次の形式のブロック対角行列に相似である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}}$

ここで、各ブロックS ₁、  S ₂、…、  S _rはシフト行列（異なるサイズの場合もある）である。^{[2] [3]}

例

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

それから、

${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

明らかに、多くの順列が考えられます。例えば、は行列Aを主対角線に沿って上方および左方にシフトしたものに等しくなります。 ${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

参照

• クロックとシフト行列
• べき零行列
• 有限型のサブシフト
• 片側シフト演算子

注記

1. Beauregard & Fraleigh (1973、p. 312)
2. Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 312, 313)
3. ハーシュタイン（1964年、250ページ）

参考文献

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), 『線形代数の入門：群、環、体入門オプション付き』、ボストン：Houghton Mifflin、ISBN 0-395-14017-X、OCLC  1019797576
• インディアナ州ハースタイン (1964)、代数のトピックス、ウォルサム: Blaisdell Publishing、ISBN 978-1-114-54101-6、OCLC  1419919702、OL  5885700M {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)

外部リンク

• シフトマトリックス - マトリックスリファレンスマニュアルのエントリ

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