Field theory of a point particle confined to move on a fixed manifold
物理学 において 、 シグマ模型 は、場を固定された多様体上を運動するように閉じ込められた 点粒子として記述する 場の理論 である。この多様体は任意の リーマン多様 体とすることができるが、最も一般的には リー群 か 対称空間 のいずれかとされる 。このモデルは量子化されることもされないこともある。量子化されていないバージョンの例としては、 スカイム模型 がある。これは 4 より大きいべきの非線形性のため量子化できない。一般に、シグマ模型は (古典的な) 位相ソリトン 解 (たとえば、スカイム模型の スキルミオン ) を許容する。シグマ場がゲージ場に結合されている場合、結果として得られるモデルは ギンツブルグ-ランダウ理論によって記述される。この記事では、主にシグマ模型の 古典的な場の理論 について述べる。対応する量子化理論は、「 非線形シグマ模型 」というタイトルの記事で提示されている 。
概要 この名称は素粒子物理学に由来し、シグマ模型は パイ中間子 の相互作用を記述する。残念ながら、「シグマ中間子」はシグマ模型では記述されず、その構成要素に過ぎない。 [1]
シグマ模型はGell-MannとLévy（1960、第5節）によって導入された。σ 模型という名称は、彼らの模型において σと呼ばれるスピンレス 中間子 に対応する場から来ている。σは 以前に Julian Schwinger によって導入されたスカラー中間子である 。 [2]この模型はO(4)からO(3)への 自発的対称性の破れ の主要なプロトタイプとなった。破れた3つの軸生成子は カイラル対称性の破れ の最も単純な現れであり 、残った破れていないO(3)は アイソスピン を表す。
従来の 素粒子物理学の設定では、この場は一般的に SU(N) 、すなわち左カイラル場と右カイラル場の 積の商のベクトル部分空間と みなされます。 凝縮系理論では、この場は O(N) とみなされます 。 回転群 O(3)の場合、シグマモデルは 等方性 強磁性体を記述します。より一般的には、O(N)モデルは 量子ホール効果 、 超流動 ヘリウム3 、 スピン鎖 に現れます 。 ( S U ( N ) L × S U ( N ) R ) / S U ( N ) {\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}
超重力 モデルでは、場は 対称空間 とみなされる。対称空間はその 反転 によって定義されるため 、その接空間は自然に偶奇パリティ部分空間に分割される。この分割は、 カルツァ＝クライン 理論の 次元削減を 推進するのに役立つ。
最も基本的な形式では、シグマ モデルは純粋に点粒子の 運動エネルギー として考えることができます。フィールドとしては、これはユークリッド空間における ディリクレ エネルギー にすぎません。
2つの空間次元では、O(3)モデルは 完全に積分可能 です。
意味 シグマ模型のラグランジアン 密度は、 様々な方法で記述することができ、それぞれ特定の応用分野に適したものとなる。最も単純で一般的な定義は、ラグランジアンを リーマン多様体 上の計量テンソルの引き戻しの計量トレースとして記述するものである。 時空 上の場 の 場合 、これは次のように書ける。 ϕ : M → Φ {\displaystyle \phi :M\to \Phi } M {\displaystyle M}
L = 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g i j ( ϕ ) ∂ μ ϕ i ∂ μ ϕ j {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}} ここで、は 場空間 上の 計量テンソル であり 、 は基礎となる 時空多様体 上の微分です 。 g i j ( ϕ ) {\displaystyle g_{ij}(\phi )} ϕ ∈ Φ {\displaystyle \phi \in \Phi } ∂ μ {\displaystyle \partial _{\mu }}
この表現は少し展開することができます。体空間は任意 のリーマン多様 体 に選ぶことができます 。歴史的に、これはシグマモデルの「シグマ」です。歴史的に適切な記号は、幾何学における の他の多くの一般的な用法との衝突 [ which? ] を避けるため、ここでは避けています 。リーマン多様体は常に計量テンソル を伴います 。 の 図表のアトラス が与えられれば、体空間は常に に 局所的に自明化 できます。つまり、アトラスで与えられたパッチ上の 明示的な局所座標を与える 地図を書くことができます 。そのパッチ上の計量テンソルは、 の成分を持つ行列です。 Φ {\displaystyle \Phi } σ {\displaystyle \sigma } σ {\displaystyle \sigma } g {\displaystyle g} Φ {\displaystyle \Phi } U ⊂ Φ {\displaystyle U\subset \Phi } U → R n {\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}} ϕ = ( ϕ 1 , ⋯ , ϕ n ) {\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})} g i j ( ϕ ) . {\displaystyle g_{ij}(\phi ).}
基本多様体は 微分可能多様体 でなければならない 。慣例的に、 素粒子物理学の 応用では ミンコフスキー空間、 凝縮物質の 応用では 平坦な2次元 ユークリッド空間 、 弦理論 では 世界 面である リーマン面 のいずれかである。 は、 基本時空多様体 上の 単なる 共変微分で ある。が平坦な 場合、 は スカラー関数の 通常の 勾配 である（ 自身の観点からは、 はスカラー場 である ）。より正確な言葉で言えば、 は の ジェット束 の 切断 である 。 M {\displaystyle M} ∂ μ ϕ = ∂ ϕ / ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }} M . {\displaystyle M.} M {\displaystyle M} ∂ μ ϕ = ∇ ϕ {\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi } ϕ {\displaystyle \phi } M {\displaystyle M} ∂ μ ϕ {\displaystyle \partial _{\mu }\phi } M × Φ {\displaystyle M\times \Phi }
例: O(n)非線形シグマモデル クロネッカー のデルタ 、 すなわち ユークリッド空間における スカラー 内積 をとると、 非線形シグマモデルが得られる。つまり、 を の 単位ベクトル と書き 、 通常のユークリッド内積 で となる。次に、 - 球面 を描き 、 その等 長変換は 回転群 となる。ラグランジアンは次のように書ける。 g i j = δ i j {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}} O ( n ) {\displaystyle O(n)} ϕ = u ^ {\displaystyle \phi ={\hat {u}}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} u ^ ⋅ u ^ = 1 {\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1} ⋅ {\displaystyle \cdot } u ^ ∈ S n − 1 {\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n-1}} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} O ( n ) {\displaystyle O(n)}
L = 1 2 ∇ μ u ^ ⋅ ∇ μ u ^ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}} の場合 、これは 格子上の 等方性 強磁性体、すなわち 古典ハイゼンベルク模型 の 連続極限 である。 の場合、これは 古典XY模型 の連続極限である 。 格子模型 相当物については、 nベクトル模型 と ポッツ模型 も参照のこと 。連続極限は次のように表される。 n = 3 {\displaystyle n=3} n = 2 {\displaystyle n=2}
δ h [ u ^ ] ( i , j ) = u ^ i − u ^ j h {\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}} 隣接する格子位置での 有限差分 として 次に、 限界 において 、 定数項 （「バルク磁化」）を削除した後。 i , j . {\displaystyle i,j.} δ h [ u ^ ] → ∂ μ u ^ {\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}} h → 0 {\displaystyle h\to 0} u ^ i ⋅ u ^ j → ∂ μ u ^ ⋅ ∂ μ u ^ {\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}} u ^ i ⋅ u ^ i = 1 {\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}
幾何学的記法で シグマモデルは、より完全な幾何学的記法で、微分 可能多様体 上の ファイバーを持つ ファイバーバンドルとして書くこともできる。 切断 が与えられたとき、点を固定する。 における プッシュフォワード は 、接バンドルの写像である 。 Φ {\displaystyle \Phi } M {\displaystyle M} ϕ : M → Φ {\displaystyle \phi :M\to \Phi } x ∈ M . {\displaystyle x\in M.} x {\displaystyle x}
d x ϕ : T x M → T ϕ ( x ) Φ {\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad } 取る ∂ μ ↦ ∂ ϕ i ∂ x μ ∂ i {\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}} ここで、 は 上の局所直交 ベクトル空間基底 、 は 上のベクトル空間基底 とされる 。は 微分形式 である 。シグマモデルの 作用 は、ベクトル値 k 形式
上の通常の 内積 に等しい。 ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }} T M {\displaystyle TM} ∂ i = ∂ / ∂ q i {\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}} T Φ {\displaystyle T\Phi } d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi }
S = 1 2 ∫ M d ϕ ∧ ⋆ d ϕ {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {\star \mathrm {d} \phi }} ここで は ウェッジ 積 、 は ホッジスター積 である 。これは2つの異なる方法で内積となる。最初の方法では、 内の任意の2つ の 微分可能形式が与えられたとき 、ホッジ双対は微分形式の空間上の不変内積を定義し、これは一般に次のように表記される
。 ∧ {\displaystyle \wedge } ⋆ {\displaystyle \star } α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } M {\displaystyle M}
⟨ ⟨ α , β ⟩ ⟩ = ∫ M α ∧ ⋆ β {\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge \star \beta } 上記は、慣例的にソボレフ空間 とみなされる平方可積分形式の空間上の内積である。 このようにして、 L 2 . {\displaystyle L^{2}.}
S = 1 2 ⟨ ⟨ d ϕ , d ϕ ⟩ ⟩ {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle } 。 これにより、シグマ模型は点粒子の 運動エネルギー そのものであることが明白かつ明瞭になる。多様体の観点から見ると 、場は スカラーであり、したがってスカラー関数の通常の 勾配 として認識できる。ホッジスターは、曲がった時空上で積分する際に 体積形 を追跡するための単なる巧妙な装置に過ぎない 。が平坦な場合 、これは完全に無視できるため、作用は M {\displaystyle M} ϕ {\displaystyle \phi } d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi } M {\displaystyle M}
S = 1 2 ∫ M ‖ ∇ ϕ ‖ 2 d m x {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x} 、 これは の ディリクレエネルギー である。作用の古典的な極値（ ラグランジュ方程式 の解）は、 のディリクレエネルギーを最小化する場の配置である 。この表現をより分かりやすい形に変換する別の方法は、スカラー関数に対して が成り立つことを観察することである。 したがって 、次のように書くこともできる。 ϕ {\displaystyle \phi } ϕ {\displaystyle \phi } f : M → R {\displaystyle f:M\to \mathbb {R} } d ⋆ f = 0 {\displaystyle \mathrm {d} {\star }f=0}
S = 1 2 ⟨ ⟨ ϕ , Δ ϕ ⟩ ⟩ {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle } ここで は ラプラス・ベルトラミ演算子 、つまり が平坦な 場合の 通常の ラプラス演算子 です 。 Δ {\displaystyle \Delta } M {\displaystyle M}
もう一つの 、つまり二番目の内積が 存在するということは、それ自体 の観点からはベクトルであることを忘れないことで十分である 。つまり、 任意の 2つのベクトルに対して 、リーマン計量は 内積を定義する。 d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi } Φ {\displaystyle \Phi } v , w ∈ T Φ {\displaystyle v,w\in T\Phi } g i j {\displaystyle g_{ij}}
⟨ v , w ⟩ = g i j v i w j {\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}} は局所チャート上でベクトル値を持つ ので 、そこでも内積をとる。より冗長に言えば、 d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi } d ϕ = ( d ϕ 1 , ⋯ , d ϕ n ) {\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}
S = 1 2 ∫ M g i j ( ϕ ) d ϕ i ∧ ⋆ d ϕ j {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\star \mathrm {d} \phi ^{j}}} 。 これら2つの内積間の緊張関係は、次の点に注目することでさらに明確になる。
B μ ν ( ϕ ) = g i j ∂ μ ϕ i ∂ ν ϕ j {\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}} は双線型形式 であり、 リーマン計量の 引き戻し である 。個体は ヴィールバイン としてとることができる 。シグマ模型のラグランジアン密度は g i j {\displaystyle g_{ij}} ∂ μ ϕ i {\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}
L = 1 2 g μ ν B μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }} 上のメトリック については 、この接着を考慮すると、は はんだ形式 として解釈できます 。これについては、以下でより詳しく説明します。 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} M . {\displaystyle M.} d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi }
動機と基本的な解釈 古典的（非量子化）シグマモデルについては、いくつかの解釈的および基礎的な考察が可能である。まず、古典的シグマモデルは非相互作用量子力学のモデルとして解釈できる。次に、エネルギーの解釈について考察する。
量子力学としての解釈 これは次の表現から直接導かれる。
S = 1 2 ⟨ ⟨ ϕ , Δ ϕ ⟩ ⟩ {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle } 上で与えられている。 をとると 、関数は 波動関数 と解釈でき 、そのラプラシアンはその波動関数の運動エネルギーである。 は、 単に空間全体にわたって積分することを思い出させる幾何学的な仕組みである。対応する量子力学的表記は である。 平坦空間では、ラプラシアンは慣例的に と表記される 。これらすべてをまとめると、シグマモデルの作用は と等価である。 Φ = C {\displaystyle \Phi =\mathbb {C} } ϕ : M → C {\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} } ⟨ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle } ϕ = | ψ ⟩ . {\displaystyle \phi =|\psi \rangle .} Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}
S = 1 2 ∫ M ⟨ ψ | ∇ 2 | ψ ⟩ d x m = 1 2 ∫ M ψ † ( x ) ∇ 2 ψ ( x ) d x m {\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}} これは、波動関数 の総運動エネルギーに等しく 、係数 までである 。結論として、 上の古典シグマモデルは 、相互作用しない自由量子粒子の量子力学として解釈できる。明らかに、 ラグランジアンに の項を加えると、ポテンシャル内の波動関数の量子力学が得られる。 を取るだけでは -粒子系 を記述するには不十分である。 なぜなら、 粒子はそれぞれ異なる座標を必要とするが、それは基本多様体では提供されないからである。これは、 基本多様体のコピーを 取ることで解決できる。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ℏ / m {\displaystyle \hbar /m} C {\displaystyle \mathbb {C} } V ( ϕ ) {\displaystyle V(\phi )} Φ = C n {\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
リーマン多様体の 測地線構造は ハミルトン・ヤコビ方程式 によって記述されることはよく知られている [3] 。 簡単に説明すると、その構成は以下の通りである。と は どちら も リーマン多様体である。以下は について書かれており 、 についても同様である 。 座標チャート で与えられる 余接束 は常に 局所的に として自明化 できる 。 すなわち、 M {\displaystyle M} Φ {\displaystyle \Phi } Φ {\displaystyle \Phi } M {\displaystyle M} T ∗ Φ {\displaystyle T^{*}\Phi }
T ∗ Φ | U ≅ U × R n {\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}} 自明化 により、余接束上の 標準座標 が得られる。上の 計量テンソルが 与えられたとき、ハミルトン関数を定義する
。 ( q 1 , ⋯ , q n , p 1 , ⋯ , p n ) {\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})} g i j {\displaystyle g_{ij}} Φ {\displaystyle \Phi }
H ( q , p ) = 1 2 g i j ( q ) p i p j {\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}} ここで、いつものように、この定義では計量の逆数が使われていることに注意する必要がある。 よく知られているように、 測地線 フローは ハミルトン・ヤコビ方程式 によって与えられる。 g i j g j k = δ k i . {\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.} Φ {\displaystyle \Phi }
q ˙ i = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad } そして p ˙ i = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}} 測地線流は ハミルトン流 であり、上記の解は多様体の測地線である。ちなみに、 測地線に沿って、時間パラメータ は測地線に沿った距離である点に注意されたい。 d H / d t = 0 {\displaystyle dH/dt=0} t {\displaystyle t}
シグマ模型は、2つの多様体とにおける運動量を取り 、 それらをはんだ付けします。つまり、 はんだ付け形式 です 。この意味で、シグマ模型を エネルギー汎関数 として解釈することは驚くべきことではありません。実際には、これは 2つの エネルギー汎関数を貼り合わせたものなのです。注意：はんだ付け形式の厳密な定義では、同型であることが求められます。これは、 と が 同じ実数次元を持つ場合にのみ成立します。さらに、はんだ付け形式の従来の定義では、 は リー群 となります。これらの条件は、様々な応用において満たされます。 T ∗ Φ {\displaystyle T^{*}\Phi } T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi } M {\displaystyle M} Φ {\displaystyle \Phi } Φ {\displaystyle \Phi }
さまざまな空間での結果 空間は 、従来の素粒子物理学モデルで は リー群 （SU(N) 、凝縮物質理論では O(N) 、 超重力 モデルでは 対称空間 ）として扱われることが多い。対称空間は 反転 によって定義されるため 、その接空間（すなわち生命が存在する場所 ）は自然に偶奇パリティ部分空間に分割される。この分割は、 カルツァ＝クライン 理論 の 次元削減を推進する上で役立つ。 Φ {\displaystyle \Phi } d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi }
リー群について リー群 という 特殊なケースでは 、 は リー群上の 計量テンソル であり、正式にはカルタンテンソルまたは キリング形式と呼ばれます。ラグランジアン はキリング形式の引き戻しとして表すことができます。キリング形式は、対応する リー代数 からの2つの行列上のトレースとして表すことができることに注意してください。したがって、ラグランジアン はトレースを含む形式でも表すことができます。少し整理すれば、 マウラー・カルタン形式 の引き戻しとして表すこともできます 。 Φ {\displaystyle \Phi } g i j {\displaystyle g_{ij}}
対称空間について シグマモデルの一般的なバリエーションは、 対称空間 上に提示することです。典型的な例は カイラルモデル で、これは積
G = S U ( N ) × S U ( N ) {\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)} 「左」と「右」のカイラル場のシグマモデルを構築し、「対角線」上にシグマモデルを構築する。
Φ = S U ( N ) × S U ( N ) S U ( N ) {\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}} このような商空間は対称空間なので、一般に を取ることができる。 ここでは カルタン反転 に関して不変な の 最大部分群である。ラグランジアンは、 上の計量から 上の計量への引き戻し、あるいは マウラー・カルタン形式の引き戻しのいずれの 形でも、上記と全く同じように書ける。 Φ = G / H {\displaystyle \Phi =G/H} H ⊂ G {\displaystyle H\subset G} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G / H {\displaystyle G/H}
トレース表記 物理学において、シグマモデルの最も一般的で慣習的な記述は、定義から始まります。
L μ = π m ∘ ( g − 1 ∂ μ g ) {\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)} ここで、 は、 に対する マウラー・カルタン形式 を時空多様体へ 引き戻すものである。 は 、カルタン反転の奇パリティ部分への射影である。つまり、 のリー代数が与えられた場合 、反転は空間を反転の2つの固有状態に対応する奇パリティ成分と偶パリティ成分に分解する 。シグマモデルのラグランジアンは次のように書ける。 g − 1 ∂ μ g {\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g} g ∈ G {\displaystyle g\in G} π m {\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G {\displaystyle G} g = m ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}
L = 1 2 t r ( L μ L μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)} これはSkyrme モデル の最初の項としてすぐに認識できます 。
これと等価な計量形式は、群元を リー代数の 元の 測地線として書くことである 。 は リー代数の基底元であり、 は の 構造定数 である 。 g ∈ G {\displaystyle g\in G} g = exp ( θ i T i ) {\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})} θ i T i ∈ g {\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [ T i , T j ] = f i j k T k {\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}} f i j k {\displaystyle {f_{ij}}^{k}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
これを上記に直接代入し、 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 の無限小形を適用すると、等価な式が得られる。
L = 1 2 g i j ( ϕ ) d ϕ i ∧ ⋆ d ϕ j = 1 2 W i m W n j d ϕ i ∧ ⋆ d ϕ j t r ( T m T n ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge \star {\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge \star {\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})} ここで 、 は明らかにキリング形式（に比例）であり、 は 「曲がった」計量を 「平坦な」計量 で表す ヴィエルバイン である。 ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 に関する記事では、 ヴィエルバインを明示的に表す表現が提供されている。これらは次のように書ける。 t r ( T m T n ) {\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})} W i m {\displaystyle {W_{i}}^{m}} g i j {\displaystyle g_{ij}} t r ( T m T n ) {\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}
W = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n M n ( n + 1 ) ! = ( I − e − M ) M − 1 {\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}} ここで 、 は行列の要素が である行列です 。 M {\displaystyle M} M j k = θ i f i j k {\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}
対称空間上のシグマ模型では、リー群とは異なり、 は 全体ではなく 部分空間を張るだけに制限されます 。 上のリー交換子は 内に含まれ ません 。 実際、 は を含む ため、依然として射影が必要です。 T i {\displaystyle T_{i}} m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} g = m ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}} m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} [ m , m ] ⊂ h {\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}
拡張機能 このモデルは様々な方法で拡張できます。前述の4次項を導入する Skyrmeモデル に加え、このモデルに ねじれ 項を追加することで Wess-Zumino-Wittenモデル が得られます。
もう一つの可能性は超重力 模型でよく見られる 。ここで、マウラー・カルタン形式が 「純粋ゲージ」のように見えることに注意されたい。対称空間に対する上記の構成では、別の射影も考慮することができる。 g − 1 d g {\displaystyle g^{-1}dg}
A μ = π h ∘ ( g − 1 ∂ μ g ) {\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)} ここで、前述と同様に、対称空間は分割に対応していた。この追加の項は、 ファイバー束上の 接続 （ゲージ場として変換される）として解釈できる 。これは、上の接続から「残った」ものである 。これは、次のように書くことで、独自のダイナミクスを持つことができる。 g = m ⊕ h {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}} M × H {\displaystyle M\times H} G {\displaystyle G}
L = g i j F i ∧ ⋆ F j {\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge {\star }F^{j}} とします 。ここでの微分は単に「d」であり、共変微分ではないことに注意してください。これはヤン・ミルズ応力エネルギーテンソル ではありません 。この項はそれ自体ではゲージ不変ではありません。 に埋め込まれる接続部分と合わせて考える必要があります 。したがって、 接続を一部に含む と、この項を合わせて考えると、完全なゲージ不変ラグランジアンが形成されます（展開すると、ヤン・ミルズ項が含まれます）。 F i = d A i {\displaystyle F^{i}=dA^{i}} L μ {\displaystyle L_{\mu }} L μ {\displaystyle L_{\mu }}
参考文献 ^ 114ページ、 David Tong著 「 統計場の理論に関する講義」 ^ Julian S. Schwinger、「基本相互作用の理論」、 Ann. Phys. 2 (407)、1957年。 ^ Jurgen Jost (1991) リーマン幾何学と幾何学解析、Springer ケトフ, セルゲイ (2009). 「非線形シグマモデル」. Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode :2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 . 
={\frac{\hat{u}}_{i}-{\hat{u}}_{j}}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c406714ab628c3b773cc987ace5b40830df7627)
![{\displaystyle \delta_{h}[{\hat{u}}]\to \partial_{\mu}{\hat{u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3f27e7accd36def318948f690c92bd5de441a5)
![{\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713b645b81a3a1ed02bb4c9ffa69c76ef0db307b)
![{\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d127ad607c6d87c0d4fbe298eef101571a2b6a)
