特殊ユニタリ群

Group of unitary matrices with determinant of 1

数学において、SU( n )と表記されるn次特殊ユニタリ群は、行列式が 1であるn × nユニタリ行列のリー群です。

より一般的なユニタリ群の行列は、特殊なケースにおける実数 1 ではなく、絶対値 1 の複素行列式を持つ場合があります。

群演算は行列の乗算である。特殊ユニタリ群はユニタリ群U( n )の正規部分群であり、すべてのn × nユニタリ行列からなる。コンパクト古典群として、U( n )は標準的な内積を保存する群である。^[a]特殊ユニタリ群自体は一般線型群の部分群であり、 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

SU ( n )群は素粒子物理学の標準モデルにおいて広く応用されており、特にSU(2)群は電弱相互作用において、SU(3)群は量子色力学において広く応用されている。^[1]

最も単純なケースであるSU(1)は、単一の要素のみを持つ自明な群です。群SU(2)はノルム1の四元数群と同型であり、したがって3 次元球面と微分同相です。単位四元数は3 次元空間での回転を表すために使用できるため (符号を除いて一意)、SU(2)から核が{+ I , − I }である回転群SO(3)への射影準同型があります。^{[b]四元数はクリフォード代数}Cl(3)の偶数部分代数として識別できるため、SU(2)は実際にはスピノルの対称群の 1 つであるSpin (3) と同一であり、回転のスピノル表示が可能です。

プロパティ

特殊ユニタリ群SU( n )は、厳密に実リー群である（より一般的な複素リー群に対して）。実多様体としての次元はn ² − 1である。位相的には、コンパクトかつ単連結である。^{[2]代数的には、}単純リー群である（つまり、そのリー代数は単純である。下記参照）。^[3]

SU( n )の中心は巡回群と同型であり、対角行列ζI （ζはn乗根、Iはn × nの単位行列）で構成される。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

n ≥ 3 のときのその外部自己同型群は であり、SU(2)の外部自己同型群は自明群である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

階数n − 1の最大トーラスは、行列式が1である対角行列の集合によって与えられる。SU ( n )のワイル群は対称群S _nであり、これは符号付き置換行列で表される（符号は行列式が1 であることを保証するために必要である）。

SU( n )のリー代数は と表記され、リー括弧を正規交換子とする、トレースレス反エルミートn × n複素行列の集合と同一視できる。素粒子物理学者は、しばしば異なる同等の表現を用いる。トレースレスエルミートn × n複素行列の集合で、リー括弧は交換子 の− i倍で与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

リー代数

のリー代数は、n × n の零点を持つ歪エルミート行列から構成される。^[4]この（実）リー代数はn ² − 1次元を持つ。このリー代数の構造に関する詳細は、以下の§ リー代数構造を参照のこと。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

基本表現

物理学の文献では、リー代数をトレースゼロのエルミート行列（歪エルミート行列ではなく）の空間と同一視することが一般的です。つまり、物理学者のリー代数は数学者のものとは係数 だけ異なります。この慣例に従うと、トレースゼロのエルミート複素n × n行列である生成元T _{a を}選択できます。ここで、 ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$

ここで、fは構造定数であり、すべてのインデックスで反対称ですが、d係数はすべてのインデックスで対称です。

結果として、コミュテータは次のようになります。

$${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$

対応する反交換子は次のようになります。

$${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

交換関係におけるiの係数は物理学の慣例から生じたものであり、数学者の慣例を使用する場合には存在しません。

従来の正規化条件は

$${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

生成子はヤコビ恒等式を満たす: ^[5]

$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

物理学の文献では慣例的に、生成子は前置因子を持つトレースレスエルミート複素行列として定義されています。群の場合、生成子は次のように選択されます。ここで、はパウリ行列であり、 1の場合は定義されます。ここで、はゲルマン行列です。^[6]これらの定義により、生成子は次の正規化条件を満たします。 ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle SU(3)}$ ${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}}$

$${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

随伴表現

( n ² − 1)次元の随伴表現では、生成元は( n ² − 1) × ( n ² − 1)行列で表され、その要素は構造定数自体によって定義されます。

$${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

SU(2)群

二項演算に行列乗算を用いると、 SU(2)は群を形成する。^[7]

$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$$

ここで上線は複素活用を表します。

3次元球面との微分同相写像S³

をとのペアとして考えると、方程式は次のようになる。 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ ${\displaystyle \beta =c+di}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

これは3次元球面S ³の方程式である。これは埋め込み写像を用いても見ることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

ここで、 は2行2列の複素行列の集合を表し、 は（ との微分同相写像を考慮することにより）実線型写像となる。したがって、φの3次元球面への制限（モジュラスが1であるため）S ³は、 のコンパクト部分多様体への3次元球面の埋め込み、すなわちφ ( S ³ ) = SU(2)となる。 ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

したがって、多様体として、S ³はSU(2)と微分同相であり、 SU(2)が単連結であり、S ³がコンパクトで連結なリー群の構造を備えることができることを示しています。

ベルソル群との同型性

ノルム1の四元数は回転群SO(3)を生成するためバーソルと呼ばれる。SU (2)行列：

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$

四元数にマッピングできる

$${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

この写像は実際には群同型である。さらに、行列の行列式は対応する四元数のノルムの2乗である。明らかにSU(2)の任意の行列はこの形であり、行列式が1であるため 、対応する四元数のノルムは1である。したがって、SU(2)はバーソル群と同型である。^[8]

空間回転との関係

あらゆるバーサーは3次元における空間回転に自然に関連付けられ、バーサーの積は関連する回転の合成に関連付けられます。さらに、あらゆる回転はこのように正確に2つのバーサーから生じます。つまり、SU (2)からSO(3)への2:1 射影準同型写像が存在し、その結果、SO(3)は商群 SU(2)/{±I}と同型であり、 SO(3)の基礎となる多様体は3次元球面S ³の対蹠点を同一視することによって得られ、SU(2)はSO(3)の普遍被覆です。

リー代数

SU(2)のリー代数は、トレースゼロを持つ2×2の歪エルミート行列から構成される。 ^[9]明示的には、

$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

リー代数は次の行列によって生成される。

$${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$

上記で指定した一般要素の形式を持ちます。

これはパウリ行列を使用してと書くこともできます。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

これらは四元数関係 を満たし 、 したがって交換子括弧は次のように指定される。 ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ ${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

$${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

上記の生成子は、パウリ行列と および によって関連付けられています。この表現は、量子力学において電子などの基本粒子のスピンを表すために日常的に用いられています。また、ループ量子重力における3次元空間の記述における単位ベクトルとしても機能します。これらは、単一量子ビットゲートの標準的な生成子であるパウリX、Y、Zゲートにも対応しており、ブロッホ球の軸を中心とした3次元回転に対応しています。 ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

リー代数はSU(2)の表現を解明するために役立つ。

SU(3)

SU(3)群は、行列式が1であるすべての3×3ユニタリ行列からなる8次元の単純リー群です。

トポロジー

群SU(3)は単連結なコンパクト・リー群である。^{[10]その位相構造は、} SU(3) がの単位球面に推移的に作用することに注目することで理解できる。球面上の任意の点の安定化群はSU(2)と同型であり、SU(2) は位相的には 3 次元球面である。したがって、SU(3)は、ファイバーS ³を持つ基底S ⁵上のファイバー束であることがわかる。ファイバーと基底は単連結であるため、SU(3)の単純連結性は、標準的な位相的結果（ファイバー束のホモトピー群の長い正確な列）によって導かれる。 ^[11] ${\displaystyle S^{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

S ⁵上のSU (2)バンドルはによって分類される。なぜなら、そのようなバンドルは、2つの半球面上の自明なバンドルと、それらの交差上の遷移関数（ S ⁴のコピー）を見ることによって構成できるためである。 ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

そして、そのような遷移関数はすべて写像のホモトピー類によって分類される。

$${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$

であり、ではなく であるので、SU(3) は自明な束SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵にはなり得ず、したがって唯一の非自明な（ねじれた）束でなければならない。これは、ホモトピー群上の誘導された長完全列を見ることで示される。 ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

表現論

SU(3)の表現論はよく理解されている。^[12]これらの表現の複素化リー代数の観点からの記述は、リー代数表現またはSU(3)のクレプシュ・ゴルダン係数に関する論文に記載されている。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

リー代数

SU(3)のリー代数の定義的（素粒子物理学、エルミート）表現における生成元Tは、 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

$${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$

ここでλa _、ゲルマン行列はSU(2)のパウリ行列のSU(3)類似体である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

これらのλ _{a は}、要求どおり、リー代数 のすべてのトレースレスエルミート行列 H を張る。λ 2 、λ 5 、 λ 7は反対称_である_ことに注意_する。

彼らは関係に従う

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$

あるいは、同等に、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

fはリー代数の構造定数であり、次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$

一方、これらと順列関係にない他のすべてのf _{abc は}ゼロである。一般に、集合{2, 5, 7}の添え字が奇数個含まれない限り、それらはゼロとなる。^[c]

対称係数dは値を取る

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

集合{2, 5, 7}のインデックスの数が奇数の場合、それらは消えます。

トレースレス3×3エルミート行列Hによって生成される一般的なSU(3)群要素は、tr( H ² ) = 2として正規化され、 Hの2次行列多項式として表すことができます。^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$LPで

$${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

リー代数構造

上で述べたように、 SU( n )のリー代数はトレースゼロを持つn × nの歪エルミート行列から構成される。^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

リー代数の複素化は、トレースが零であるn × n複素行列全体の成す空間である。 ^[15]カルタン部分代数はトレースが零である対角行列から成り、^[16]これは、その成分の和が零となるベクトルと同一視される。根は、 (1, −1, 0, ..., 0)のn ( n − 1)通りの順列全体から成り立つ。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

単純なルートの選択は

$${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$$

したがって、SU( n )はランク n −1であり、そのディンキン図はAn _{− 1}、つまりn −1個のノードのチェーンで与えられます。...[ ^17]そのカルタン行列は

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$$

そのワイル群またはコクセター群は対称群 S _n、つまり( n − 1 )単体の対称群です。

一般化特殊ユニタリ群

体 Fに対して、F上の一般化特殊ユニタリ群SU( p , q ; F )は、階数n = p + qのベクトル空間の行列式1 のすべての線型変換の群であり、符号( p , q )の非退化エルミート形式を不変に保つ。この群は、しばしばF上の符号p qの特殊ユニタリ群と呼ばれる。体Fは可換環に置き換えることができ、その場合、ベクトル空間は自由加群に置き換えられる。

具体的には、署名p qのエルミート行列 Aを固定し、すべての ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$$

満足する

$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$$

環や体を参照せずにSU( p , q )という表記を目にすることがよくあります。この場合、参照されている環または体は であり、これは古典的なリー群の1つを与えます。のときのAの標準的な選択は ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$$

ただし、の部分環への制限下でより多くの動作を示す特定の次元については、 Aのより良い選択肢がある可能性があります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

例

この種の群の重要な例として、ピカール・モジュラー群が挙げられる。ピカール・モジュラー群 は、2次元の複素双曲空間に（射影的に）作用するのと同様に、 2次元の実双曲空間に（射影的に）作用する。2005年、ガボール・フランシックスとピーター・ラックスはこの群のHC ²への作用の明示的な基本領域を計算した。^[18] ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

さらなる例としては があり、これは と同型です。 ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

重要なサブグループ

物理学では、特殊ユニタリー群はフェルミオン対称性を表すために用いられる。対称性の破れの理論では、特殊ユニタリー群の部分群を見つけることが重要となる。大統一理論物理学において重要なSU( n )の部分群は、p > 1、n − p > 1のとき、

$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$$

ここで、 × は直積を表し、U(1)は円群として知られ、絶対値が1であるすべての複素数の乗法群です 。

完全性のために、直交部分群とシンプレクティック部分群も存在する。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$$

SU( n )の階数はn −1 、 U(1)の階数は1なので、部分群の階数の合計が元の群の階数以下であるかどうかが有効なチェックとなる。SU ( n )は他の様々なリー群の部分群である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$$E ₆、E ₇、G ₂については、スピン グループと単純リー グループを参照してください。

偶然の同型も存在する：SU(4) = Spin(6)、SU(2) = Spin(3) = Sp(1)、^[d]およびU(1) = Spin(2) = SO(2)。

最後に、SU(2)はSO(3)の二重被覆群であり、この関係は非相対論的量子力学における2スピノルの回転の理論で重要な役割を果たすことに言及しておく。

SU(1, 1)

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$ここで、 は複素数uの複素共役を表します。 ${\displaystyle ~u^{*}~}$

この群はSL(2,ℝ)およびSpin(2,1) ^[19]と同型であり、コンマで区切られた数字は群によって保存される二次形式の符号を表す。SU (1,1)の定義式はエルミート形式であり、 uとvを実数成分で展開すると等方二次形式となる。 ${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

この群の初期の登場は、1852年にジェームズ・コックルによって導入されたコクオータニオン（分割四元数）の「単位球面」であった。

$${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$$

すると、2×2単位行列と、要素i、j、 kはすべて、四元数と同様に反交換となります。また、は依然として−I ₂（単位行列の負）の平方根ですが、四元数とは異なり、はそうではありません。四元数と余四元数の両方において、すべてのスカラー量はI ₂の暗黙的な倍数として扱われ、 1と表記されます。 ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$ ${\displaystyle ~k\,i=j~,}$ ${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

スカラーwを持つコクオータニオンは、ハミルトンのクオータニオンと同様の共役関係を持つ。その二次形式は ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ ${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$ ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

2 枚双曲面は代数 の虚数単位に対応しており、この双曲面上の任意の点p はオイラーの公式に従って正弦波の極として使用できることに注意してください。 ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

双曲面はSU(1, 1)の下で安定であり、 Spin(2, 1)と同型である。偏光の研究で指摘されているように、波の極の変動性は、楕円偏光を極 ${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$を持つ波の楕円形状の表れと見なすことができるかもしれない。 1892年以来用いられてきたポアンカレ球モデルは、2枚双曲面モデルと比較され、^[20] SU(1, 1)干渉法の実用化が進められている。

SU(1, 1)の元をメビウス変換として解釈すると、単位円板は安定となるため、この群は双曲平面幾何学のポアンカレ円板モデルの運動を表す。実際、複素射影直線上の点[ z, 1 ]に対して、 SU(1, 1)の作用は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\,{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}=[\;u\,z+v,\,v^{*}\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v}{v^{*}z+u^{*}}},\,1\;\right]}$$

射影座標では ${\displaystyle (\;u\,z+v,\;v^{*}\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v\,}{v^{*}\,z+u^{*}}},\;1\;\right).}$

複素数演算の書き方は ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

$${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v^{*}\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$$どこ ${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$

したがって、それらの比率は開いた円板内にあります。^[21] ${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v{\bigr |}<{\bigl |}\,v^{*}\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

参照

• 数学ポータル

• ユニタリ群
• 射影特殊ユニタリ群、PSU( n )
• 直交群
• パウリ行列の一般化
• SU(2)の表現論

脚注

1. 上の標準内積の保存の観点からのU( n )とSU( n )の特徴付けについては、古典群を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
2. SU(2) → SO(3)の準同型性の明示的な記述については、「SO(3) と SU(2) の関係」を参照してください。
3. したがって、すべてのf _abcのうち、ゼロにならないのは1 ⁄ 6未満です。
4. Sp( n )はのコンパクトな実数形である。USp ( 2n )と表記されることもある。Sp ( n )行列の次元は2 n × 2 nである。 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$

引用

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2. ホール 2015、提案 13.11
3. Wybourne, BG (1974).物理学者のための古典群. Wiley-Interscience. ISBN 0471965057。
4. ホール 2015 提案 3.24
5. ジョージ・ハワード (2018年5月4日). 素粒子物理学におけるリー代数：アイソスピンから統一理論へ（第1版）. ボカラトン: CRC Press. Bibcode :2018laip.book.....G. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0。
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10. ホール 2015 提案 13.11
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14. ホール 2015 提案 3.24
15. ホール 2015 セクション 3.6
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17. ホール 2015 セクション 8.10.1
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参考文献

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• イアチェロ、フランチェスコ（2006）、リー代数とその応用、物理学講義ノート、第708巻、シュプリンガー、ISBN 3540362363

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