単振動

To-and-fro periodic motion in science and engineering

単振動を実空間と位相空間の両方で示した図。軌道は周期的である。（ここでは、 2つの図を揃えるため、速度軸と位置軸を通常の慣例とは逆にしている。）

力学および物理学において、単振動（しょうぶんはん、英: simple harmonic motion 、 SHM ）とは、物体が平衡位置からの距離に正比例する復元力によって生じる特殊な周期運動の一種である。この復元力は、 平衡位置に向かって作用する。摩擦やその他のエネルギー散逸によって阻害されない限り、この振動は無限に継続する正弦波で表される。^[1]

単振動はさまざまな運動の数学的モデルとして利用できますが、フックの法則によって与えられる線形弾性復元力を受けるバネ上の質量の振動が代表的です。この運動は時間に対して正弦波状であり、単一の共振周波数を示します。単振動でモデル化できる現象には単振り子の運動などがありますが、正確なモデルにするには振り子の端にある物体にかかる正味の力が変位に比例する必要があります (それでも、振り角が小さい場合にのみ適切な近似になります。小角近似を参照)。単振動は分子振動のモデル化にも使用できます。質量バネ系は単振動の典型的な例です。

単振動は、フーリエ解析の手法を通じてより複雑な周期運動の特徴付けの基礎を提供します。

導入

直線に沿って運動する粒子の運動の方向は常に直線上の固定点に向かっており、その大きさは固定点からの変位に比例する。これを単振動運動と呼ぶ。[ ^2]

図には、バネの一端に重りが取り付けられた単振動子が示されています。バネの他端は壁などの剛体支持部に接続されています。系が平衡位置で静止している場合、質量には正味の力は作用しません。しかし、質量が平衡位置からずれると、バネはフックの法則に従って復元弾性力を及ぼします。

数学的には、 Fはバネによって及ぼされる復元弾性力（SI単位：N）、kはバネ定数（N ·m ⁻¹）、xは平衡位置からの変位（メートル）です。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}$$

任意の単純な機械的調和振動子の場合：

• システムが平衡位置からずれると、フックの法則に従う復元力がシステムを平衡状態に戻そうとする傾向があります。

質量が平衡位置から変位すると、正味復元力が発生します。その結果、質量は加速し、平衡位置に戻り始めます。質量が平衡位置に近づくと、復元力は減少します。平衡位置では、正味復元力はゼロになります。しかし、x = 0では、復元力によって生じた加速により、質量は運動量を持ちます。そのため、質量は平衡位置を越えて移動を続け、バネを圧縮します。その後、正味復元力によって速度がゼロになるまで減速され、その後、再び平衡位置まで加速されます。

系にエネルギー損失がない限り、質量は振動し続けます。したがって、単振動は周期運動の一種です。系内でエネルギーが失われると、質量は減衰振動を示します。

実空間と位相空間のプロットが共線的でない場合、位相空間の運動は楕円形になることに注意してください。囲まれた面積は振幅と最大運動量に依存します。

ダイナミクス

ニュートン力学では、1 次元の単振動の場合、定数係数の2 次線形常微分方程式である運動方程式は、ニュートンの第 2 法則とバネ上の質量に対するフックの法則によって得ることができます。

$${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$$ここで、 mは振動体の慣性質量、 xは平衡（または平均）位置からの変位、kは定数（バネ上の質量のバネ定数）です。

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}$$

上記の微分方程式を解くと、正弦関数の解が得られます。ここで、定数との意味は簡単に分かります。上記の方程式に とおくと となり、粒子の初期位置 となります。この方程式を微分し、0で評価すると となり、粒子の初期速度 を角周波数 で割った値となります。したがって、次のように書くことができます。 ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),}$ ${\textstyle {\omega }={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x(0)=c_{1}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{1}=x_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}}$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

この式は次のように書くこともできる。ここで $${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$$

• ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}$
• ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}$

または同等

• ${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}$
• ${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}$

この解において、c ₁とc ₂は初期条件によって決まる2つの定数（具体的には、時刻t = 0における初期位置はc ₁、初期速度はc ₂ ω）であり、原点は平衡位置に設定されます。^[A]これらの定数はそれぞれ、運動の物理的な意味を持ちます。Aは振幅（平衡位置からの最大変位）、ω = 2 πfは角周波数、φは初期位相です。^[B]

微積分の技術を使用すると、時間の関数としての速度と加速度を求めることができます。 $${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}$$

• スピード： ${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$
• 最大速度: v = ωA (平衡点)

$${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$$

• 最大加速度: Aω ² (極限点)

定義によれば、質量mがSHM下にある場合、その加速度は変位に正比例します。ここで $${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}$$ $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

ω = 2 πfであり、 T = ⁠ $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$$1/f⁠ここでTは期間であり、 $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

これらの方程式は、単振動が等時性（周期と周波数が運動の振幅と初期位相に依存しない）であることを示しています。

エネルギー

ω ^{2 を}⁠に代入するとけ/メートル⁠、時刻tにおけるシステムの運動エネルギー Kは、位置エネルギーは、摩擦やその他のエネルギー損失がない場合、全機械エネルギーは一定値を持つ。 $${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$$ $${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$$ $${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.}$$

例

減衰のないバネ質量系は単振動を起こします。

以下の物理システムは単純な調和振動子の例です。

バネ上の質量

バネ定数kのバネに取り付けられた質量mは、閉空間において単振動を示す。周期を記述する式は、振動周期が振幅に依存しないことを示すが、実際には振幅は小さいはずである。上記の式は、質量に追加の一定の力が加わっている場合、つまり、追加の一定の力が振動周期を変えることができない場合にも有効である。 $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

等速円運動

単振動は、等速円運動の一次元投影と考えることができます。物体がxy平面の原点を中心とする半径rの円の周りを角速度ωで運動する場合、各座標に沿ったその運動は、振幅r、角周波数ωの単振動です。

振動運動

物体が特定の点から往復する運動は、振動運動とも呼ばれます。周期は次式で計算できます。ここで、lは回転からSHMを受ける物体の質量中心までの距離、gは重力加速度です。これは、質量-ばね系に類似しています。 $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$$

単振り子の質量

60秒間に25回振動する振り子（周波数0.41 6ヘルツ）

小角近似では、単振り子の運動は単振動で近似される。重力加速度を持つ長さlの振り子に取り付けられた質量の周期は、次のように与えられる。 ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$$

これは、振動周期は振り子の振幅と質量には依存しないものの、重力加速度（ ）には依存しないことを示しています。したがって、同じ長さの振り子が月面上では、月の重力場の強さが小さいため、よりゆっくりと振動することになります。 の値は地球の表面上でわずかに変化するため、周期は場所によってわずかに異なり、また海抜の高さによっても変化します。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

この近似は、角加速度 αの式が変位角の正弦に比例するため、小さな角度に対してのみ正確です。

$${\displaystyle -mgl\sin \theta =I\alpha ,}$$

ここで、Iは慣性モーメントである。θが小さいとき、sinθ≈θとなるので、式は次 のようになる。

$${\displaystyle -mgl\theta =I\alpha }$$

これにより、角加速度はθに正比例し、反対方向になるため、単振動の定義（正味の力は平均位置からの変位に正比例し、平均位置に向かう）を満たします。

スコッチヨーク

スコッチヨーク機構は、回転運動と直線往復運動を変換するために使用できます。直線運動はスロットの形状に応じて様々な形態をとることができますが、一定の回転速度を持つ基本的なヨークは、単振動の直線運動を生成します。

スコッチヨークアニメーション

参照

• サークルグループ
• 複素調和運動
• 減衰比
• 調和振動子
• 等時タイミング
• ローレンツ振動子モデル
• ニュートン力学
• 振り子
• レイリー・ローレンツ振り子
• 小角近似
• 弦の振動
• 等速円運動

注記

1. この式でコサインを使用するのは慣例です。他に有効な定式化としては、以下のものがあります。

   $${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right),}$$どこ $${\displaystyle \tan \varphi '={\frac {c_{1}}{c_{2}}},}$$

   cos θ = sin ( ⁠π/2⁠ − θ )。
2. 最大変位（つまり振幅）x _maxは、 cos( ωt ± φ ) = 1のとき、つまりx _max = Aのときに発生します。

参考文献

1. 「単振動｜公式、例、事実｜ブリタニカ」britannica.com . 2024年9月30日. 2024年10月11日閲覧。
2. 「単振動 – 概念」。

• ファウルズ、グラント・R.; キャシデイ、ジョー​​ジ・L. (2005).解析力学（第7版）. トムソン・ブルックス/コール. ISBN 0-534-49492-7。
• テイラー、ジョン・R. (2005).古典力学. 大学科学図書. ISBN 1-891389-22-X。
• ソーントン、スティーブン・T.、マリオン、ジェリー・B. (2003). 『粒子とシステムの古典力学』（第5版）ブルックス・コール. ISBN 0-534-40896-6。
• ウォーカー、ジェール（2011年）『物理学原理』（第9版）ホーボーケン、ニュージャージー州：ワイリー社ISBN 978-0-470-56158-4。

外部リンク

• HyperPhysicsの単振動
• バネ質量振動子のJavaシミュレーション
• バネ質量用の Geogebra アプレット。SHM、駆動/減衰振動子、摩擦付きバネ質量に関する 3 つの PDF が添付されています。

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