歪んだ正規分布

Probability distribution

歪んだ法線
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \xi \,}$ 位置（実数）スケール（正、実数）形状（実数） ${\displaystyle \omega \,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {2}{\omega {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ \mathrm {d} t}$
CDF	${\displaystyle \Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)}$ ${\displaystyle T(h,a)}$オーウェンのT関数
平均	${\displaystyle \xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$どこ ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$
モード	${\displaystyle \xi +\omega m_{o}(\alpha )}$
分散	${\displaystyle \omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)}$
歪度	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle 2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle M_{X}\left(t\right)=2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)}$
CF	${\displaystyle e^{it\xi -t^{2}\omega ^{2}/2}\left(1+i\,{\textrm {Erfi}}\left({\frac {\delta \omega t}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$

確率論と統計学において、歪んだ正規分布は、非ゼロの歪度を許容するように正規分布を一般化した連続確率分布です。

意味

標準正規確率密度関数を表すものとする。 ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

累積分布関数は次のように表される。

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ \mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right],}$

ここで「erf」は誤差関数である。パラメータ の歪正規分布の確率密度関数（pdf）は次のように与えられる。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,}$

この分布は、O'HaganとLeonard（1976）によって初めて導入されました。^[1]この分布の代替形と対応する分位関数は、AshourとAbdel-Hamid ^{[2] 、およびMudholkarとHutson [3]}によって提示されています。

この分布の基礎となる確率過程は、Andel、Netuka、Zvara (1984) によって記述された。^{[4]この分布とその確率過程の基礎は、Chan and Tong (1986) [5]}で展開された対称性に関する議論の結果であり、これは正規分布を超える多変量の場合、例えば歪んだ多変量t分布などに適用される。この分布は、確率密度関数が となる一般的な分布クラスの特殊なケースである。ここで、 はゼロを中心として対称な任意の確率密度関数であり、はゼロを中心として対称な任意の累積分布関数である。^[6] ${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$

これに位置パラメータと尺度パラメータを加えるには、通常の変換 を行う。 のとき正規分布が回復すること、また の絶対値が増加するにつれて歪度の絶対値が増加することが確認できる。分布は のとき右に歪んでおり、 のとき左に歪んでいる。位置、尺度、パラメータを持つ確率密度関数は次のようになる 。 ${\displaystyle x\rightarrow {\frac {x-\xi }{\omega }}}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha <0}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\omega }}\phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\Phi \left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right).\,}$

分布の歪度（ ）は、区間よりわずかに小さく制限されます（推定を参照）。 ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

^[7]で示したように、分布の最頻値（最大値）は一意である。一般に の解析的な表現は存在しないが、非常に正確な（数値的な）近似式は以下の通りである 。 ${\displaystyle m_{o}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m_{o}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}\\m_{o}(\alpha )&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta -\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta \right)^{3}}{1-{\frac {2}{\pi }}\delta ^{2}}}-{\frac {\mathrm {sgn} (\alpha )}{2}}e^{\left(-{\frac {2\pi }{|\alpha |}}\right)}\\\end{aligned}}}$$

推定

、、およびに対する最尤推定値は数値的に計算できるが、 でない限り、推定値の閉じた形式表現は得られない。対照的に、モーメント法では歪度方程式を次のように逆変換できるため、閉じた形式表現が得られる。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle |\delta |={\sqrt {{\frac {\pi }{2}}{\frac {|\gamma _{1}|^{\frac {2}{3}}}{|\gamma _{1}|^{\frac {2}{3}}+((4-\pi )/2)^{\frac {2}{3}}}}}}}$

ここで、 の符号はの符号と同じです。したがって、、、 となります。ここで、 と はそれぞれ平均と標準偏差です。標本の歪度がそれほど大きくない限り、これらの式は標本の、、に基づいて、モーメント法による 、 、の推定値を提供します。 ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\delta }{\sqrt {1-\delta ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma }{\sqrt {1-2\delta ^{2}/\pi }}}}$ ${\displaystyle \xi =\mu -\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}}$

最大（理論的な）歪度は、歪度方程式において と設定することで得られ、 となります。しかし、標本歪度がこれよりも大きい場合、これらの方程式から を決定できない可能性があります。したがって、例えば最尤反復法の初期値を与えるなど、モーメント法を自動で使用する場合は、（例えば） とする必要があります。 ${\displaystyle {\delta =1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\approx 0.9952717}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |{\hat {\gamma }}_{1}|=\min(0.99,|(1/n)\sum {((x_{i}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }})^{3}}|)}$

直接パラメータ化を用いた歪んだ正規分布の推論については懸念が表明されている。^[8]

関連ディストリビューション

指数関数的に修正された正規分布は、正規分布を歪んだケースに一般化した、もう1つの3パラメータ分布です。歪んだ正規分布は、歪んだ方向に正規分布のような裾を持ち、反対方向には短い裾を持ちます。つまり、その密度は、ある正の に対してに漸近的に比例します。したがって、ランダム性の7つの状態 の観点から見ると、「適切な軽度のランダム性」を示します。対照的に、指数関数的に修正された正規分布は、歪んだ方向に指数関数的な裾を持ち、その密度は に漸近的に比例します。同様に、指数関数的に修正された正規分布は、「境界上の軽度のランダム性」を示します。 ${\displaystyle e^{-kx^{2}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e^{-k|x|}}$

したがって、歪んだ正規分布は、正規分布よりも外れ値が多くない歪んだ分布をモデル化するのに役立ちますが、指数的に修正された正規分布は、（ただ）一方向に外れ値の発生率が増加するケースに役立ちます。

参照

• 一般化正規分布
• 対数正規分布

参考文献

1. O'Hagan, A.; Leonard, Tom (1976). 「パラメータ制約に関する不確実性を考慮したベイズ推定」Biometrika . 63 (1): 201– 203. doi :10.1093/biomet/63.1.201. ISSN  0006-3444.
2. Ashour, Samir K.; Abdel-hameed, Mahmood A. (2010年10月). 「近似歪正規分布」. Journal of Advanced Research . 1 (4): 341– 350. doi : 10.1016/j.jare.2010.06.004 . ISSN  2090-1232.
3. Mudholkar, Govind S.; Hutson, Alan D. (2000年2月). 「近似正規分布データの解析におけるイプシロン・スキュー・正規分布」. Journal of Statistical Planning and Inference . 83 (2): 291– 309. doi :10.1016/s0378-3758(99)00096-8. ISSN  0378-3758.
4. Andel, J., Netuka, I., Zvara, K. (1984) 閾値自己回帰過程について Kybernetika, 20, 89-106
5. Chan, KS; Tong, H. (1986年3月). 「非線形時系列解析に関連する特定の積分方程式に関するノート」.確率論と関連分野. 73 (1): 153– 158. doi : 10.1007/bf01845999 . ISSN  0178-8051. S2CID  121106515.
6. Azzalini, A. (1985). 「正規分布を含む分布のクラス」. Scandinavian Journal of Statistics . 12 : 171–178 .
7. アザリーニ、アデルキ;カピタニオ、アントネッラ (2014)。スキューノーマルファミリーと関連するファミリー。32 ～ 33ページ 。ISBN 978-1-107-02927-9。
8. Pewsey, Arthur (2000). 「Azzaliniの歪正規分布の推論問題」. Journal of Applied Statistics . 27 (7): 859– 870. Bibcode :2000JApSt..27..859P. doi :10.1080/02664760050120542.

外部リンク

• 多変量歪正規分布とその体重、身長、BMIへの応用
• 歪正規分布の簡単な紹介
• 歪正規確率分布（および歪t分布などの関連分布）
• OWENS: OwenのT関数 2010年6月14日アーカイブ - Wayback Machine
• 歪んだ分布 - シミュレーション、逆行列、パラメータ推定

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