スミス空間

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関数解析および関連する数学の分野において、スミス空間は、普遍コンパクト集合、つまり他のすべてのコンパクト集合を吸収するコンパクト集合（つまり、あるに対して）を持つ、完全にコンパクトに生成された局所凸位相ベクトル空間です。 $X$ $K$ $T\subseteq X$ $T\subseteq \lambda \cdot K$ $\lambda >0$

スミス空間は、マリアンヌ・ルース・フロイントリッヒ・スミスにちなんで名付けられている^。スミスは、位相ベクトル空間の双対性理論のいくつかのバージョンにおいて、スミス空間をバナッハ空間の双対として導入した^{[ 1} ] 。すべてのスミス空間はステレオタイプであり、バナッハ空間とステレオタイプの双対関係にある：^[²^]^[³^]

任意のバナッハ空間に対して、そのステレオタイプ双対空間^[⁴^]はスミス空間であり、 $X$ $X^{\star}$

逆に、任意のスミス空間の場合、そのステレオタイプ双対空間はバナッハ空間です。 $X$ $X^{\star}$

スミス空間は、ブラウナー空間の特殊なケースです。

例

双対定理から分かるように、任意のバナッハ空間に対して、そのステレオタイプ双対空間はスミス空間である。における単位球の極はにおける普遍コンパクト集合である。がのノルム双対空間を表し、が-弱位相を持つ空間を表す場合、の位相はの位相との位相の間にあるため、自然な（線型連続な）全単射が存在する。 $X$ $X^{\star}$ $K=B^{\circ}$ $B$ $X$ $X^{\star}$ $X^{*}$ $X$ $X'$ $X^{*}$ $X$ $X^{\star}$ $X^{*}$ $X'$

X^{*}\to X^{\star }\to X'.

が無限次元の場合、これらの位相は互いに重なり合うことはない。同時に、無限次元の場合、空間は樽状ではない（さらに、がバナッハ空間として反射的である場合、マッキー空間でもない^[⁵^]）。

X

X

X^{\star}

X

が局所凸空間内の凸バランスコンパクト集合である場合、その線型張力はを普遍コンパクト集合として持つスミス空間の唯一の構造を持つ（そして上の位相も同じである）。^[⁶^] $K$ $Y$ ${\mathbb {C} }K=\operatorname {span} (K)$ $K$ $K$
が（ハウスドルフ）コンパクト位相空間であり、上の連続関数のバナッハ空間（通常の超ノルムを持つ）である場合、上のラドン測度とのコンパクト集合上の一様収束の位相を持つステレオタイプ双対空間はスミス空間となる。が位相群の構造を持つ特別な場合、空間はステレオタイプ群代数の自然な例となる。^[⁷^] $M$ ${\mathcal {C}}(M)$ $M$ ${\mathcal {C}}^{\star }(M)$ $M$ ${\mathcal {C}}(M)$ $M=G$ ${\mathcal {C}}^{\star }(G)$
バナッハ空間がスミス空間となるのは、有限次元の場合のみです。 $X$ $X$

参照

注記

^ スミス 1952 .
^ アクバロフ 2003、220ページ。
^ アクバロフ 2009、467ページ。
^ 局所凸空間へのステレオタイプ双対空間は、内の全有界集合上の一様収束の位相を備えたすべての線型連続関数の空間である。 $X$ $X^{\star }$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$
^ アクバロフ 2003、p. 221、例 4.8。
^ アクバロフ 2009、468ページ。
^ アクバロフ 2003、272ページ。

参考文献

スミス, MF (1952). 「線型空間におけるポントリャギン双対定理」Annals of Mathematics . 56 (2): 248– 253. doi : 10.2307/1969798 . JSTOR 1969798 .
Akbarov, SS (2003). 「位相ベクトル空間理論と位相代数におけるポンチャギン双対性」 . Journal of Mathematical Sciences . 113 (2): 179– 349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067 .
Akbarov, SS (2009). 「指数型正則関数と代数連結成分を持つスタイン群の双対性」. Journal of Mathematical Sciences . 162 (4): 459– 586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 .
ファーバー, RWJ (2017).確率と量子基礎における圏論的双対性 (PDF) (博士号). ラドバウド大学.

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関数解析および関連する数学の分野において、スミス空間は、普遍コンパクト集合、つまり他のすべてのコンパクト集合を吸収するコンパクト集合（つまり、あるに対して）を持つ、完全にコンパクトに生成された局所凸位相ベクトル空間です。 $X$ $K$ $T\subseteq X$ $T\subseteq \lambda \cdot K$ $\lambda >0$

スミス空間は、位相ベクトル空間の双対性理論のいくつかのバージョンにおいて、バナッハ空間への双対としてスミス空間を導入したマリアンヌ・ルース・フロイントリッヒ・スミスにちなんで名付けられました^[1]。すべてのスミス空間はステレオタイプであり、バナッハ空間とステレオタイプの双対関係にあります: ^[2]^[3]

任意のバナッハ空間に対して、そのステレオタイプ双対空間^[4]はスミス空間であり、 $X$ $X^{\star }$

逆に、任意のスミス空間の場合、そのステレオタイプ双対空間はバナッハ空間です。 $X$ $X^{\star }$

スミス空間は、ブラウナー空間の特殊なケースです。

例

双対定理から分かるように、任意のバナッハ空間に対して、そのステレオタイプ双対空間はスミス空間である。における単位球の極はにおける普遍コンパクト集合である。がのノルム双対空間を表し、が-弱位相を持つ空間を表す場合、の位相はの位相との位相の間にあるため、自然な（線型連続な）全単射が存在する。 $X$ $X^{\star }$ $K=B^{\circ }$ $B$ $X$ $X^{\star }$ $X^{*}$ $X$ $X'$ $X^{*}$ $X$ $X^{\star }$ $X^{*}$ $X'$

X^{*}\to X^{\star }\to X'.

が無限次元の場合、これらの位相は互いに重なり合うことはない。同時に、無限次元の場合、空間は樽状ではない（さらに、がバナッハ空間として反射的である場合、マッキー空間でもない^[5]）。

X

X

X^{\star }

X

が局所凸空間内の凸バランスコンパクト集合である場合、その線型スパンはを普遍コンパクト集合として持つスミス空間の唯一の構造を持ちます（上の位相も同じです）。^[6] $K$ $Y$ ${\mathbb {C} }K=\operatorname {span} (K)$ $K$ $K$
が（ハウスドルフ）コンパクト位相空間であり、上の連続関数のバナッハ空間（通常の超ノルムを持つ）である場合、上のラドン測度とのコンパクト集合上の一様収束の位相を持つステレオタイプ双対空間はスミス空間となる。が位相群の構造を持つ特別な場合、空間はステレオタイプ群代数の自然な例となる。^[7] $M$ ${\mathcal {C}}(M)$ $M$ ${\mathcal {C}}^{\star }(M)$ $M$ ${\mathcal {C}}(M)$ $M=G$ ${\mathcal {C}}^{\star }(G)$
バナッハ空間がスミス空間となるのは、有限次元の場合のみです。 $X$ $X$

参照

注記

^ スミス 1952.
^ アクバロフ 2003、220ページ。
^ アクバロフ 2009、467ページ。
^ 局所凸空間へのステレオタイプ双対空間は、内の全有界集合上の一様収束の位相を備えたすべての線型連続関数の空間である。 $X$ $X^{\star }$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$
^ アクバロフ、2003、p. 221、例 4.8。
^ アクバロフ 2009、468ページ。
^ アクバロフ 2003、272ページ。

参考文献

スミス, MF (1952). 「線型空間におけるポントリャギン双対定理」Annals of Mathematics . 56 (2): 248– 253. doi :10.2307/1969798. JSTOR 1969798.
Akbarov, SS (2003). 「位相ベクトル空間理論と位相代数におけるポンチャギン双対性」. Journal of Mathematical Sciences . 113 (2): 179– 349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067.
Akbarov, SS (2009). 「指数型正則関数と代数連結成分を持つスタイン群の双対性」. Journal of Mathematical Sciences . 162 (4): 459– 586. arXiv : 0806.3205 . doi :10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID 115153766.
ファーバー, RWJ (2017). 確率と量子基礎における圏論的双対性(PDF) (博士号). ラドバウド大学.

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[FOOTNOTESmith1952-1] スミス 1952 .

[FOOTNOTEAkbarov2003220-2] アクバロフ 2003、220ページ。

[FOOTNOTEAkbarov2009467-3] アクバロフ 2009、467ページ。

[4] 局所凸空間へのステレオタイプ双対空間は、内の全有界集合上の一様収束の位相を備えたすべての線型連続関数の空間である。 $X$ $X^{\star }$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$

[FOOTNOTEAkbarov2003221Example_4.8-5] アクバロフ 2003、p. 221、例 4.8。

[FOOTNOTEAkbarov2009468-6] アクバロフ 2009、468ページ。

[FOOTNOTEAkbarov2003272-7] アクバロフ 2003、272ページ。

[FOOTNOTESmith1952-1] スミス 1952.

[FOOTNOTEAkbarov2003220-2] アクバロフ 2003、220ページ。

[FOOTNOTEAkbarov2009467-3] アクバロフ 2009、467ページ。

[4] 局所凸空間へのステレオタイプ双対空間は、内の全有界集合上の一様収束の位相を備えたすべての線型連続関数の空間である。 $X$ $X^{\star }$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$

[FOOTNOTEAkbarov2003221Example_4.8-5] アクバロフ、2003、p. 221、例 4.8。

[FOOTNOTEAkbarov2009468-6] アクバロフ 2009、468ページ。

[FOOTNOTEAkbarov2003272-7] アクバロフ 2003、272ページ。

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v t e 位相ベクトル空間（TVS）
基本概念	バナッハ空間完全連続線形演算子線形関数フレシェスペース線形マップ局所凸空間メートル法化可能性オペレータトポロジ位相ベクトル空間ベクトル空間
主な結果	アンダーソン・ケーデックバナハ・アラオグル閉グラフ定理 F. リースのハーン・バナッハ（超平面分離ベクトル値ハーン・バナッハ）オープンマッピング (バナッハ – シャウダー) 有界逆行列一様有界性（バナッハ・シュタインハウス）
地図	双線形演算子形状線形マップもうすぐオープン境界付き連続閉鎖コンパクト緻密に定義された不連続位相準同型機能的リニア双線形セスクイリニアノルムセミノルム部分線形関数転置
セットの種類	絶対凸面/円盤面吸収/放射状アフィンバランス/円形バナッハ円板境界点境界付き補完部分空間凸型凸円錐（部分集合）線形円錐（サブセット）極点前コンパクト/全有界普及/内気ラジアル放射状に凸状/星型対称的
集合演算	アフィン包（相対的）代数的内部（コア）凸包線形スパンミンコフスキー加算極性（準）相対内部
TVSの種類	アスプルンド B完全/Ptak バナッハ（可算）樽型 BK空間（超）ボルノロジーブラウナー完了便利 (DF)-空間著名な F空間 FK-AKスペース FK空間フレシェ飼いならされたフレシェグロタンディークヒルベルトインフラバレル補間空間 K空間 LBスペース LFスペース局所凸空間マッキー（疑似）計量可能モンテル準バレル型準完全準正規化（多項式的に半再帰リースシュワルツ半完成品スミスステレオタイプ（B 厳密に均一に凸状（準）超銃身均一に滑らか水かきのある近似特性を持つ
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v t e 位相ベクトル空間（TVS）
基本概念	バナッハ空間完全連続線形演算子線形関数フレシェスペース線形マップ局所凸空間メートル法化可能性オペレータトポロジ位相ベクトル空間ベクトル空間
主な結果	アンダーソン・ケーデックバナハ・アラオグル閉グラフ定理 F. リースのハーン・バナッハ（超平面分離ベクトル値ハーン・バナッハ）オープンマッピング (バナッハ – シャウダー) 有界逆行列一様有界性（バナッハ・シュタインハウス）
地図	双線形演算子形状線形マップもうすぐオープン境界付き連続閉鎖コンパクト緻密に定義された不連続位相準同型機能的リニア双線形セスクイリニアノルムセミノルム部分線形関数転置
セットの種類	絶対凸面/円盤面吸収/放射状アフィンバランス/円形バナッハ円板境界点境界付き補完部分空間凸型凸円錐（部分集合）線形円錐（サブセット）極点前コンパクト/全有界普及/内気ラジアル放射状に凸状/星型対称的
集合演算	アフィン包（相対的）代数的内部（コア）凸包線形スパンミンコフスキー加算極性（準）相対内部
TVSの種類	アスプルンド B完全/Ptak バナッハ（可算）樽型 BK空間（超）ボルノロジーブラウナー完了便利 (DF)-空間著名な F空間 FK-AKスペース FK空間フレシェ飼いならされたフレシェグロタンディークヒルベルトインフラバレル補間空間 K空間 LBスペース LFスペース局所凸空間マッキー（疑似）計量可能モンテル準バレル型準完全準正規化（多項式的に半再帰リースシュワルツ半完成品スミスステレオタイプ（B 厳密に均一に凸状（準）超銃身均一に滑らか水かきのある近似特性を持つ
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