状態遷移行列

Describes state evolution of a linear system

制御理論および動的システム理論において、状態遷移行列は線形システムの状態が時間とともにどのように変化するかを記述する行列関数です。基本的に、システムの初期時刻における状態が既知であれば、状態遷移行列を用いることで、将来の任意の時刻における状態を計算することができます。 ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t}$

行列は、同次線形微分方程式 の一般解を見つけるために使用され、非同次 (入力駆動型) の場合の完全な解を見つけるための重要な要素でもあります。 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)}$

線形時不変（LTI）システムでは、行列は定数であり、状態遷移行列は指数行列です。より複雑な時変システムの場合、 は時間とともに変化する可能性があり、単純な公式は存在しません。行列 は通常、ペアノ・ベーカー級数を計算することで求められます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$

線形システムソリューション

状態遷移行列は、次のような線形システムの一般的な状態空間表現の解を求めるために使用される。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$、

ここで、 はシステムの状態、は入力信号、は行列関数、 はにおける初期条件である。状態遷移行列 を用いると、解は次のように与えられる: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

最初の項はゼロ入力応答と呼ばれ、入力がない場合にシステムの状態がどのように変化するかを表します。2番目の項はゼロ状態応答と呼ばれ、入力がシステムにどのような影響を与えるかを定義します。

ペアノ・ベイカー級数

最も一般的な遷移行列は積分で与えられ、ペアノ・ベーカー級数と呼ばれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} &+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}\\&+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}\\&+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}\\&+\cdots \end{aligned}}}$

ここでは単位行列である 。この行列は一様かつ絶対収束し、解は存在し、かつ唯一である。^[2]この級数は次のように書ける形式的な和を持つ。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\exp {\mathcal {T}}\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma )\,d\sigma }$

ここで、は時間順序付け演算子であり、繰り返し積分が適切な順序になっていることを確認するために使用されます。マグヌス展開は、この積を評価する手段を提供します。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

その他の特性

状態遷移行列は以下の関係を満たす。これらの関係は積分に共通である。 ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$

1. これは連続的であり、連続的な導関数を持ちます。
2. これは決して特異ではありません。実際、およびでは、は単位行列です。 ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$
3. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t)=\mathbf {I} }$全てのために。^[3] ${\displaystyle t}$
4. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$すべてのために。 ${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}$
5. それは初期条件を持つ微分方程式を満たします。 ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=\mathbf {I} }$
6. 状態遷移行列 は、 によって与えられます。ここで、行列 は、初期条件 を満たす基本解行列です。 ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t_{0})=\mathbf {I} }$
7. 任意の時点における状態が与えられた場合、他の任意の時点における状態は写像によって与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

状態遷移行列の推定

時間不変の場合、指数行列を用いて を と定義することができる。^[4] ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$

時変の場合、状態遷移行列は、初期条件が、、…、で与えられた微分方程式の解から推定できます。対応する解は行列 の列を提供します。ここで、性質4より、すべての に対して が成り立ちます。時変解の解析を続ける前に、状態遷移行列を決定する必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})}$ ${\displaystyle [1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle [0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}}$ ${\displaystyle t_{0}\leq \tau \leq t}$

参照

• マグナス拡張
• リウヴィルの式

参考文献

1. Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike (2011). 「ペアノ・ベイカー・シリーズ」.ステクロフ数学研究所紀要. 275 : 155–159 . doi :10.1134/S0081543811080098. S2CID  119133539.
2. Rugh, Wilson (1996).線形システム理論. アッパーサドルリバー, ニュージャージー州: プレンティスホール. ISBN 0-13-441205-2。
3. Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。
4. Reyneke, Pieter V. (2012). 「多項式フィルタリング：不規則にサンプリングされたデータに対する任意の次数」. Automatika . 53 (4): 382– 397. doi : 10.7305/automatika.53-4.248 . hdl : 2263/21017 . S2CID  40282943.

さらに読む

• Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). 「ペアノ・ベイカー・シリーズ」.ステクロフ数学研究所紀要. 275 : 155–159 . doi :10.1134/S0081543811080098. S2CID  119133539.
• ブロガン, WL (1991).現代制御理論. プレンティス・ホール. ISBN 0-13-589763-7。

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