状態（機能分析）

数学の分野である関数解析では、作用素システムの状態はノルム1の正の線型関数です。関数解析における状態は、量子力学における密度行列の概念を一般化し、混合状態と純粋状態の両方の量子状態を表します。密度行列は、同様に、純粋状態のみを表す状態ベクトルを一般化します。単位元を持つC*-代数Aの作用素システムMの場合、 S( M ) と表記されることもある Mのすべての状態の集合は、バナッハ双対空間M ^*において凸状の弱 * 閉空間です。したがって、弱 * 位相を持つMのすべての状態の集合は、 Mの状態空間として知られるコンパクトなハウスドルフ空間を形成します。量子力学の C*-代数定式化では、この以前の意味での状態は物理的状態、すなわち物理的観測可能量 (C*-代数の自己随伴要素) からその期待される測定結果 (実数) への写像に対応します。

ジョーダン分解

状態は確率測度の非可換な一般化と見ることができる。ゲルファント表現によれば、任意の可換C*-代数Aは、局所コンパクトハウスドルフXに対してC ₀ ( X )の形をとる。この場合、S ( A ) はX上の正のラドン測度から成り、純粋状態はX上の評価汎関数である。

より一般的には、GNS 構成は、適切な表現を選択した後、すべての状態がベクトル状態であることを示します。

C*-代数A上の有界線型関数は、 Aの自己随伴元上で実数値である場合、自己随伴関数であるという。自己随伴関数は、符号付き測度の非可換な類似物である。

測度論におけるジョルダン分解によれば、すべての符号測度は互いに素な集合に支持される2つの正測度の差として表現できる。これは非可換な設定にも拡張できる。

定理—におけるすべての自己随伴関数は と表すことができます。ここで、 およびは正関数、 です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert }$

証拠

証明は次のように概略できます。を 上のノルム ≤ 1 を満たす正線型関数の弱*コンパクト集合とし、を 上の連続関数とします。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle A}$は の閉線形部分空間と見ることができる（これはKadisonの関数表現 である）。ハーン・バナッハの法則により、 は の閉線形部分空間に拡張され、 となる。 ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C(\Omega )^{\ast }}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert =\Vert f\Vert }$

上で引用した測度論の結果を用いると、次のようになります。

${\displaystyle g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu }$

ここで、 の自己随伴性により、は符号付き測度とみなすことができます。次のように記述します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;}$

正測度の差。汎関数とへの制約は 、およびに必要な性質を満たす。これにより定理が証明される。 ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{+}}$ ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$

上記の分解から、A*は状態の線形スパンであることがわかります。

いくつかの重要な国家の区分

純粋状態

クライン・ミルマン定理によれば、 Mの状態空間には極点が存在する。状態空間の極点は純粋状態と呼ばれ、その他の状態は混合状態と呼ばれる。

ベクトル状態

ヒルベルト空間HとHのベクトルxに対して、式 ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ （TはB(H)に属する）はB(H)上の正の線型関数を定義する。 ω _x ( 1 )=|| x || ^{2であるため、 ||} x ||=1のときω _xは状態となる。 AがB(H)の C* 部分代数でMがAの作用素系である場合、 ω _xのMへの制限はM上の正の線型関数を定義する。このようにHの単位ベクトルから生じるMの状態は、 Mのベクトル状態と呼ばれる。

忠実な州

状態が忠実であるとは、を意味します。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (a^{*}a)=0}$ ${\displaystyle a=0}$

通常の状態

状態が正常 であるとは、最小上限 を持つ単調増加演算子ネットのすべて がに収束する場合に限ります。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau (H_{\alpha })\;}$ ${\displaystyle \tau (H)\;}$

トラシャル州

非線形状態とは、 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA)\;.}$

任意の分離可能な C*-代数の場合、軌跡状態の集合はショケ単体です。

階乗状態

C*-代数Aの階乗状態は、 Aの対応するGNS表現の可換性が因子である状態です。

参照

• 量子状態
• ゲルファント - ナイマルク - セガルの建設
• 量子力学
  • 量子状態
  • 密度行列

参考文献

• Lin, H. (2001)、Amenable C*-代数の分類入門、World Scientific

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