部分線形関数

Type of function in linear algebra

線型代数において、ベクトル空間上の部分線型関数（または関数解析では関数とも呼ばれる）は、準セミノルムとも呼ばれ、セミノルムのいくつかの特性を持つ実数値関数です。セミノルムとは異なり、部分線型関数は非負の数値である必要はなく、絶対同次である必要もありません。セミノルム自体は、よりよく知られているノルムの概念を抽象化したものであって、セミノルムはノルムの定義特性をすべて備えていますが、非ゼロベクトルを非ゼロ値にマッピングする必要がないという点が異なります。

関数解析においては、バナッハ関数という名称が用いられることがあります。これは、ハーン＝バナッハの定理の一般的な定式化を適用する際に最もよく用いられることを反映しています。劣線型関数の概念は、ステファン・バナッハがハーン＝バナッハの定理を証明した際に導入されました。^[1]

コンピュータ サイエンスには、以下で説明するように、「部分線形関数」と呼ばれる別の概念もあります。

定義

体上のベクトル空間を、実数または複素数とする。 関数 は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$以下の2つの特性を持つ場合、線形以下となる^{： [1]}

1. 正同次性^[2]、すなわち、すべてのおよび に対して である。 ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
2. 劣加法性^[2]、つまり ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$

関数が呼び出される ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$陽性^[3]または全ての場合非負であるが、一部の著者^[4]は ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X,}$代わりに、これらの定義が同等でない場合は、肯定的であることを意味する。 ${\displaystyle p(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\neq 0;}$対称関数は、すべての 劣加法対称関数は必ず非負である。^[証明1] 実ベクトル空間上の劣線型関数が対称関数となるのは、半ノルム。実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の劣線型関数が半ノルムとなるのは釣り合い関数場合と同値である。または、すべての単位長さのスカラー、 ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\in X.}$

で表される 上のすべての部分線型関数の集合は、すべての に対してと宣言することで部分順序付けすることができ、その場合と同値である。部分線型関数は、この順序での最小元となるとき極小関数 と呼ばれる。部分線型関数が極小関数となるときと同値である。^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#},}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

例と十分な条件

任意のノルム、半ノルム、実線型関数は劣線型関数である。上の恒等関数は、正でも半ノルムでもない劣線型関数（実際には線型関数でもある）の例である。この写像の否定についても同様である^[5]。 より一般に、任意の実数に対して、写像 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto -x.}$ ${\displaystyle a\leq b,}$

${\displaystyle S_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}ax,&{\text{if }}x\leq 0,\\bx,&{\text{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

は上の劣線型関数であり、さらに、すべての劣線型関数はこの形をとる。具体的には、およびのとき、および ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a=-p(-1)}$ ${\displaystyle b=p(1)}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

とが実ベクトル空間上の部分線型関数であるとき、写像も同様である。より一般的には、が実ベクトル空間上の部分線型関数の空でない任意の集合であり、すべてのに対してが[5]上の部分線型関数であるとき、写像も同様で^ある。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x)=\sup\{p(x)\,;\,p\in {\mathcal {P}}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

劣加法性、凸性、かつ を満たす関数は、正同次性も持ちます（後者の条件は、におけるの例が示すように必須です）。が正同次である場合、それが凸であることは、それが劣加法性であることと同値です。したがって、 を仮定すると、劣加法性、凸性、正同次性のうちの任意の2つの性質は、3番目の性質を必然的に含みます。 ${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(x)={\sqrt {x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$

プロパティ

すべての劣線形関数は凸関数である。 ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

がベクトル空間上の部分線形関数である場合、^{[証明 2] [3]} 任意のに対して成り立ち、これは、およびの少なくとも一方が非負でなければならないことを意味する。つまり、任意の^[3]に対して成り立ち ます。さらに、が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、によって定義される写像は半ノルムである。^[3] ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

の劣加法性は、すべてのベクトルに対して成り立つことを保証する^{[1] [証明3]。}したがって、が対称であれば、すべてのベクトルに対して逆三角不等式が成り立つ。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$ $${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

を定義すると、劣加法性は、集合上のの値が定数で に等しいことを保証する。^[証明4] 特に、 が のベクトル部分空間である場合、で表される割り当ては、 を満たす商空間上の明確に定義された実数値部分線型関数である。が半ノルムである場合、 は商空間上の通常の標準ノルムである。 ${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$ ${\displaystyle p(x).}$ ${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -\ker p=\ker p}$ ${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$ ${\displaystyle {\hat {p}},}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

プライスの劣線型性補題^[2] —がベクトル空間上の劣線型関数であり、が空でない凸部分集合であるとする。がベクトルであり、が正の実数で、任意の正の実数 に対して、 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,c>0}$ $${\displaystyle p(x)+ac~<~\inf _{k\in K}p(x+ak)}$$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} \in K}$ $${\displaystyle p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{k\in K}p(x+a\mathbf {z} +bk).}$$

仮説の両辺(ただし) に を加算し、それを結論と組み合わせると となり 、さらに多くの不等式が得られます。たとえば、 厳密な不等式の片側の式は、記号を に置き換え (またはその逆)、閉じ括弧を隣接する加数の右 (または左) に移動することによって、もう一方の側から取得できます(他のすべての記号は固定され、変更されません)。 ${\displaystyle bc}$ ${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$ ${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$ $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$ $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

関連する半ノルム

が実ベクトル空間上の実数値部分線形関数である場合（またはが複素数である場合、実ベクトル空間とみなされると）、写像は実ベクトル空間上の半ノルムを定義します。これは^、[3]に関連付けられた半ノルムと呼ばれます。実ベクトル空間または複素数ベクトル空間上の 部分線形関数が対称関数である場合、かつその場合のみ、前述のとおりです。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

より一般的には、 が（実数または複素数）ベクトル空間上の実数値部分線形関数である場合、この上限が常に実数（つまり、 と等しくなることはない）であれば、は の半ノルム を定義します。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$

線形関数との関係

が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、以下は同値である：^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$は線形関数です。
2. すべての ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. すべての ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}$
4. ${\displaystyle p}$は最小のサブ線形関数です。

が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、次のような線形関数が存在する。^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

が実ベクトル空間であり、が上の線型関数であり、が上の正の線型関数であるとき、上において[ 1 ^] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

線形関数を支配する

実数または複素ベクトル空間の部分集合上で定義された実数値関数は、 の定義域に属する任意の に対して がであるとき、 が上の実線形関数である 場合、^{[6] [1]}が（つまり）によって支配される場合、かつその場合のみである。 さらに、が半ノルムまたはその他の対称写像（定義により がすべての に対して成り立つことを意味する）である場合、かつその場合のみである。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ $${\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

定理^[1] —が実ベクトル空間上の部分線型関数であり、が成り立つとき、（つまり、）によって支配され、 を満たす上の線型関数が存在する。 さらに、が位相ベクトル空間であり、 が原点で連続である場合、は連続である。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f(z)=p(z).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

連続

定理^[7] —が劣加法関数（すなわち、すべての に対して）であるとする。 が原点で連続であることと、が一様連続であることは同値である。が成り立つ 場合、 が連続であることと、その絶対値が連続であることは同値である。が非負である場合、 が連続であることと、が で開であることは同値である。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle X.}$

が実数または複素数上の位相ベクトル空間（TVS）であり、が上の部分線型関数であるとする と、以下は同値である：^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$連続している。
2. ${\displaystyle p}$0 で連続である。
3. ${\displaystyle p}$は 上で一様連続である。 ${\displaystyle X}$

が正の場合、このリストは次のように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$オープンしています ${\displaystyle X.}$

が実TVSで、が上の線型関数で、が上の連続部分線型関数であるとき、が連続であることを意味する。^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

ミンコフスキー関数と開凸集合との関係

定理^[7] —が位相ベクトル空間における原点の凸開近傍であるとき、ミンコフスキー関数は上の連続非負部分線型関数であり、さらにが均衡集合であるとき、は上の半ノルムである。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle p_{U}:X\to [0,\infty ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\};}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle X.}$

開凸集合との関係

定理^[7] —が実数または複素数上の位相ベクトル空間 （必ずしも局所凸またはハウスドルフ空間である必要はない）であるとする。すると、 の開凸部分集合は、あると 上のある正連続部分線型関数に対しての形になるものとまったく同じである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

証拠

を の開凸部分集合とします。もし ならばとし、そうでなければを任意とします。をのミンコフスキー関数とします。は が凸でを吸収し、開関数であるため、は 上の連続部分線型関数です（ただし、 は平衡であるとは仮定されていないため、 は必ずしも半ノルムではありません）。 から次の式が成り立ちます。 が 示され、 これで証明が完了します。ミンコフスキー関数の既知の特性の一つは、 が凸で原点を含むため、が であることを保証します。したがって、期待どおりです。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle z:=0}$ ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle V-z,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=X-z,}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}.}$$ ${\displaystyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}=(0,1)(V-z),}$ ${\displaystyle (0,1)(V-z)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{tx:0<t<1,x\in V-z\}=V-z}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

オペレーター

この概念は、同次かつ劣加法的な作用素に拡張できます。この場合、条件を満たすためには、例えば、余域が順序付きベクトル空間であることが必要です。

コンピュータサイエンスの定義

コンピュータサイエンスにおいて、関数がsullivan 型と呼ばれるのは、漸近記法でsullivan 型またはsullivan 型となる場合です（小文字の に注意）。正式には、任意の与えられた sullivanに対してsullivan 型が存在する場合、かつその場合のみ、 sullivan 型となります。 ^[8]つまり、sullivan 型はどの線形関数よりも遅く増加します。この2つの意味を混同してはいけません。バナッハ関数は凸関数ですが、sullivan 型関数の場合はほぼ逆のことが成り立ちます。つまり、すべての関数は、 sullivan 型関数の凹関数によって上限が制限される可能性があるのです。^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(n)<cn}$ ${\displaystyle n\geq N.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

参照

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
• 補助正規空間
• ハーン・バナッハの定理 – 有界線形関数の拡張に関する定理Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 線型関数 – ベクトル空間からそのスカラー体への線型写像Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• セミノルム – 数学関数
• 超加法性 – 関数の性質

注記

証明

1. 三角形の不等式と対称性から次の式が得られる。を代入して両辺から引くと次の式が得られる。よって次の式が得られる。 ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0).}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. ならば非負同次性は次を意味する。したがって、これは次の場合にのみ可能である。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r:=0}$ ${\displaystyle p(0)=p(rx)=rp(x)=0p(x)=0.}$ ${\displaystyle 0=p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x),}$ ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. これは、次の場合にのみ発生します。および を代入すると、次の式が得られます(正の同次性は必要なく、三角不等式で十分です)。 ${\displaystyle p(x)=p(y+(x-y))\leq p(y)+p(x-y),}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle y:=-x}$ ${\displaystyle p(x)-p(-x)\leq p(x-(-x))=p(x+x)\leq p(x)+p(x),}$ ${\displaystyle -p(-x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. とすると、次のことが示される。三角不等式は、次のことを意味する。期待どおりである。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0)\cap (-p^{-1}(0)).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

1. Narici & Beckenstein 2011、177–220。
2. シェクター 1996年、313–315頁。
3. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、120–121 ページ。
4. クブルスリー 2011、200ページ。
5. Narici & Beckenstein 2011、177–221頁。
6. ルディン1991年、56～62頁。
7. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、192–193 ページ。
8. Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest、Clifford Stein (2001) [1990]. 「3.1.アルゴリズム入門（第2版）. MIT Press and McGraw-Hill. pp.  47– 48. ISBN 0-262-03293-7。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. チェッケリーニ＝シルベスタイン、トゥーリオ;サルヴァトーリ、マウラ。サヴァ・ハス、エカテリーナ (2017-06-29)。グループ、グラフ、ランダム ウォーク。ケンブリッジ。補題 5.17。ISBN 9781316604403. OCLC  948670194.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

参考文献

• クブルスリー、カルロス・S. (2011). 『作用素論の要素』（第2版）. ボストン:ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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