和積数

数字の合計とその数字の積の積に等しい数

与えられた基数における和積数は、その桁の和とその桁の積の 積に等しい自然数です。 ${\displaystyle b}$

任意の基数 には有限個の和積数が存在する。10基数には、0、1、135、144 の4 個の和積数（ OEISのシーケンスA038369 ）が存在する。 ^[1] ${\displaystyle b}$

意味

を自然数とする。を底とする和積関数を次のように定義する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\left(\sum _{i=1}^{k}d_{i}\right)\!\!\left(\prod _{j=1}^{k}d_{j}\right)}$

ここでは を底とする数の桁数であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

は数の各桁の値です。自然数はの不動点である場合に積和数と呼ばれます。これは の場合に発生します。自然数 0 と 1 はすべての に対して自明な積和数であり、その他のすべての積和数は非自明な積和数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$ ${\displaystyle b}$

たとえば、10 進数の 144 という数は、、、および であるため、和積数です。 ${\displaystyle 1+4+4=9}$ ${\displaystyle 1\times 4\times 4=16}$ ${\displaystyle 9\times 16=144}$

自然数が に対して周期点である場合、その自然数は という。ここで、は正の整数に対して、周期 のサイクルを形成する。和積数はに対して社交的な和積数であり、友好的な和積数はに対して社交的な和積数である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}^{p}(n)=n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p=2.}$

すべての自然数は、底に関係なく、の非周期点です。これは、任意の桁数 に対して、 の最小値は で、 の最大値はであるためです。したがって、最大桁の和は で、最大桁の積は です。したがって、積和関数の値は です。これは、または両辺を で割ると になることを示唆しています。これは、 の指数関数的性質との線形性により、 の最大値が存在することを意味します。この値を超えると、常に になります。したがって、積和数は有限個存在し、どの自然数も周期点または 未満の固定点に到達することが保証されているため、その点は非周期点になります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{k-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{k}-1=\sum _{i=0}^{k-1}(b-1)^{i}.}$ ${\displaystyle k(b-1)}$ ${\displaystyle (b-1)^{k}.}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=k(b-1)^{k+1}.}$ ${\displaystyle k(b-1)^{k+1}\geq n\geq b^{k-1},}$ ${\displaystyle (b-1)^{k-1}}$ ${\displaystyle k(b-1)^{2}\geq {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k-1}.}$ ${\displaystyle {\frac {b}{b-1}}\geq 1,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq k(b-1)^{2},}$ ${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}}$ ${\displaystyle k(b-1)^{2}.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{b}(n)\leq n}$ ${\displaystyle b^{k}-1,}$

固定点に到達するために必要な反復回数は、積和関数の の持続性であり、固定点に到達しない場合は未定義です。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$

特定の基数において和積数として示される整数は、定義により、その基数においてハーシャド数でもある必要があります。

和積数と循環F_b特定のb

すべての数値は 基数 で表されます。 ${\displaystyle b}$

ベース	非自明な和積数	サイクル
2	（なし）	（なし）
3	（なし）	2 → 11 → 2、22 → 121 → 22
4	12	（なし）
5	341	22 → 31 → 22
6	（なし）	（なし）
7	22, 242, 1254, 2343, 116655, 346236, 424644
8	（なし）
9	13, 281876, 724856, 7487248	53 → 143 → 116 → 53
10	135、144
11	253, 419, 2189, 7634, 82974
12	128、173、353
13	435、A644、268956
14	328、544、818C
15	2585
16	14
17	33、3B2、3993、3E1E、C34D、C8A2
18	175、2D2、4B2
19	873, B1E, 24A8, EAH1, 1A78A, 6EC4B7
20	1D3、14C9C、22DCCG
21	1CC69
22	24, 366C, 6L1E, 4796G
23	7D2、J92、25EH6
24	33DC
25	15、BD75、1BBN8A
26	81M、JN44、2C88G、EH888
27	${\displaystyle \varnothing }$
28	15B
29	${\displaystyle \varnothing }$
30	976, 85MDA
31	44、13H、1E5
32	${\displaystyle \varnothing }$
33	1KS69、54HSA
34	25Q8、16L6W、B6CBQ
35	4U5W5
36	16、220

負の整数への拡張

和積数は、各整数を表すために符号付き数字表現を使用することで、負の整数まで拡張できます。

プログラミング例

以下の例では、上記の定義で説明した sum-product 関数を実装して、 Pythonでsum-product数と循環を検索します。

def sum_product ( x : int , b : int ) -> int : """合計積数。""" sum_x = 0 product = 1 while x > 0 : if x % b > 0 : sum_x = sum_x + x % b product = product * ( x % b ) x = x // b return sum_x * product                                              def sum_product_cycle ( x : int , b : int ) -> list [ int ]: seen = [] while xがseenに含まれない: seen.append ( x ) x = sum_product ( x , b ) cycle = [ ] while xがcycleに含まれない: cycle.append ( x ) x = sum_product ( x , b ) return cycle                                  

参照

• 算術力学
• デュードニー数
• ファクタリオン
• 幸せな数字
• カプレカル定数
• カプレカル数
• メルテンス数
• ナルシシズムの数字
• 完全な数字間の不変量
• 完全なデジタル不変量

参考文献

1. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A038369 (n = (nの桁の積) * (nの桁の和) となる数 n)」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団.

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