インダクタンス

Property of electrical conductors

インダクタンス
一般的な記号	L
SI単位	ヘンリー（H）
SI基本単位では	kg・m2・s − 2・A −2
他の量からの導出	L = V / ( I / t ) L = Φ / I
寸法	M 1 · L 2 · T -2 · I -2

インダクタンスとは、電気導体がそれ自身を流れる電流の変化に抵抗する性質のことです。電流は導体の周囲に磁場を発生させます。磁場の強さは電流の大きさに依存し、したがって電流の大きさの変化に追従します。ファラデーの電磁誘導の法則によれば、回路を通る磁場の変化は導体に起電力（EMF）（電圧）を誘導します。このプロセスは電磁誘導と呼ばれます。変化する電流によって生じるこの誘導電圧は、電流の変化に抵抗する効果があります。これはレンツの法則によって示され、この電圧は逆起電力と呼ばれます。

インダクタンスは、誘導電圧とそれを引き起こす電流の変化率の比として定義されます。^[1]インダクタンスは比例定数であり、回路導体の形状（断面積や長さなど）と導体および近傍の材料の透磁率に依存します。^[1]回路にインダクタンスを付加するように設計された 電子部品はインダクタと呼ばれます。インダクタンスは通常、コイルまたはらせん状の電線で構成されます。

インダクタンスという用語は、 1884年5月にオリバー・ヘヴィサイドによって「自己誘導係数」を表す便利な方法として造られました。^{[2] [3]}物理学者ハインリッヒ・レンツに敬意を表して、インダクタンスの記号としてこの語が使われるのが慣例となっています。^{[4] [5]} SI単位系では、インダクタンスの単位はヘンリー（H）で、これは電流が1アンペア/秒の速度で変化するときに1ボルトの電圧を発生するインダクタンスの量です。^{[6]この単位は、ファラデーとは独立してインダクタンスを発見した}ジョセフ・ヘンリーにちなんで名付けられました。^{[7] [8]} ${\displaystyle L}$

歴史

電磁誘導の歴史は、電磁気学の一側面であり、古代人の観察から始まりました。電荷または静電気（琥珀に絹をこすりつける）、電流（雷）、そして磁力（磁石）といった現象です。これらの自然界の力の統一性を理解し、電磁気学の科学的理論が確立されたのは19世紀です。

電磁誘導は1831年にマイケル・ファラデーによって初めて説明されました^{。[9] [10]}ファラデーの実験では、彼は2本の電線を鉄の輪の両側に巻き付けました。彼は、一方の電線に電流が流れ始めると、ある種の波が輪の中を伝わり、反対側に何らかの電気的効果を引き起こすと予想しました。検流計を用いて、彼は電池を一方のコイルに接続したり、一方のコイルから外したりするたびに、もう一方のコイルに過渡的な電流が流れるのを観察しました。^[11]この電流は、電池の接続と外しによって生じる磁束の変化によって誘導されました。 ^[12]ファラデーは電磁誘導の他のいくつかの現象を発見しました。例えば、棒磁石をコイルに素早く出し入れすると過渡的な電流が流れるのを観察しました。また、棒磁石の近くで銅の円盤をスライド式の電気リード線で回転させることによって、定常電流（直流）を発生させました（「ファラデーの円盤」）。^[13]

インダクタンスの発生源

導体を流れる電流は、導体の周囲に磁場を発生させます。これはアンペールの回路法則によって説明されます。回路を流れる全磁束は、磁束密度の垂直成分と電流経路を覆う表面積の積に等しくなります。電流が変化すると、回路を流れる磁束も変化します。ファラデーの電磁誘導の法則によれば、回路を流れる磁束の変化は、磁束の変化率に比例した起電力（EMF、）を回路に 誘導します。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$$

式中の負の符号は、誘導電圧が、それを生み出した電流の変化に逆らう方向にあることを示しています。これはレンツの法則と呼ばれます。したがって、この電位は逆起電力と呼ばれます。電流が増加する場合、電流が流入する導体の端では電圧が正になり、流出する端では電圧が負になり、電流を減少させる傾向があります。電流が減少する場合、電流が流出する端では電圧が正になり、電流を維持する傾向があります。自己インダクタンス（通常は単にインダクタンスと呼ばれます）は、誘導電圧と電流の変化率の比です。 ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$$

このように、インダクタンスとは、導体または回路の磁場によって生じる特性であり、回路を流れる電流の変化に抵抗する性質です。SI単位系におけるインダクタンスの単位はヘンリー（H）で、ジョセフ・ヘンリーにちなんで名付けられました。これは、電流が1アンペア/秒の速度で変化するときに1ボルトの電圧を生成するインダクタンスの量です。

すべての導体はある程度のインダクタンスを有しており、実際の電気機器においては、好ましい効果をもたらす場合もあれば、有害な効果をもたらす場合もあります。回路のインダクタンスは、電流経路の形状と近傍の物質の透磁率に依存します。鉄のように透磁率の高い強磁性物質が導体の近くにあると、磁場とインダクタンスが増加する傾向があります。回路に変更を加えることで、所定の電流によって発生する磁束（全磁場）が増加すると、インダクタンスも増加します。これは、インダクタンスが磁束と電流の比に等しいためです^{[14] [15] [16] [17]。}

$${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$$

インダクタは、磁束を増加させ、回路にインダクタンスを付加するように形状が作られた導体からなる電気部品です。通常、コイルまたはらせん状に巻かれた電線で構成されます。コイル状の電線は、磁力線が回路を複数回通過するため、複数の鎖交磁束を持つため、同じ長さの直線状の電線よりもインダクタンスが高くなります。完全な鎖交磁束を仮定すると、インダクタンスはコイルの巻き数の2乗に比例します。

コイルのインダクタンスは、中央の穴に強磁性材料の磁気コアを配置することで増加できます。コイルの磁場はコア材料を磁化し、その磁区を整列させます。そして、コアの磁場がコイルの磁場に加算され、コイルを通る磁束が増加します。これを強磁性コアインダクタと呼びます。磁気コアはコイルのインダクタンスを数千倍に増加させることができます。

複数の電気回路が互いに近接して配置されている場合、一方の回路の磁場は他方の回路を通過することがあります。この場合、回路は誘導結合していると言われます。ファラデーの電磁誘導の法則により、一方の回路の電流変化はもう一方の回路の磁束変化を引き起こし、その結果、もう一方の回路に電圧を誘導します。この場合、インダクタンスの概念は、回路と回路の相互インダクタンスを 、回路に誘導される電圧と回路の電流変化率の比として定義することで一般化できます。これが変圧器の原理です。 ${\displaystyle M_{k,\ell }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k}$1本の導体がそれ自身に与える影響を記述する特性は、より正確には自己インダクタンスと呼ばれ、1本の導体の電流が変化するときに近くの導体に与える影響を記述する特性は相互インダクタンスと呼ばれます。^[18]

自己誘導と磁気エネルギー

インダクタンスを持つ導体を流れる電流が増加すると、導体の抵抗によって生じる電圧降下に加えて、電流と逆極性の電圧が導体に誘起されます。回路を流れる電荷は位置エネルギーを失います。この「電位の丘」を乗り越えるために必要な外部回路からのエネルギーは、導体周囲の増加する磁場に蓄えられます。したがって、インダクタは磁場にエネルギーを蓄えます。任意の時点で、 磁場に流入する電力は、蓄積されたエネルギーの変化率、および導体の電流と電圧の積に等しくなります^{[19] [20] [21]。} ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$$

上記(1)より

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\end{aligned}}}$$

電流が流れていないとき、磁場は存在せず、蓄積されるエネルギーはゼロです。抵抗損失を無視すると、電流が流れるインダクタンスに蓄積されるエネルギー （SI単位ではジュール）は、インダクタンスに電流をゼロから流し、したがって磁場を発生させるのに必要な仕事量に等しくなります。これは次のように表されます ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$$

インダクタンスが電流範囲にわたって一定であれば、蓄積されるエネルギーは^{[19] [20] [21]} ${\displaystyle L(i)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}}$$

したがって、インダクタンスは、与えられた電流に対して磁場に蓄えられたエネルギーにも比例します。このエネルギーは、電流が一定である限り蓄えられます。電流が減少すると磁場も減少し、導体に逆方向の電圧が誘起されます。電流が流入する端では負の電圧、流出する端では正の電圧です。これにより、蓄えられた磁気エネルギーが外部回路に戻ります。

強磁性体が導体の近くに位置する場合、例えば磁気コアを持つインダクタの場合、上記の定数インダクタンスの式は、磁束の線形領域、すなわち強磁性体が飽和するレベル以下の電流においてのみ有効であり、その場合インダクタンスはほぼ一定となります。インダクタ内の磁場がコアが飽和するレベルに近づくと、インダクタンスは電流に応じて変化し始めるため、積分方程式を使用する必要があります。

誘導性リアクタンス

交流電流が印加された理想的なインダクタの電圧（青） ${\displaystyle v}$と電流（赤） ${\displaystyle i}$の波形。電流は電圧より90°遅れている

正弦 波交流電流（AC）が線形インダクタンスを通過するとき、誘導起電力も正弦波となる。インダクタンスを流れる電流が の場合、(1)式からインダクタンスにかかる電圧は ${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、 はアンペア単位の正弦波電流の振幅（ピーク値）、は交流電流の角周波数、はヘルツ単位の周波数、はインダクタンスです。 ${\displaystyle I_{\text{peak}}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

したがって、インダクタンスにかかる電圧の振幅（ピーク値）は

$${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$$

誘導リアクタンスは、交流電流に対するインダクタの抵抗である。^{[22]抵抗器の}電気抵抗と同様に、交流電圧の振幅（ピーク値）と部品の電流の比として 定義される。

$${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$$

リアクタンスの単位はオームです。インダクタの誘導リアクタンスは周波数に比例して増加するため、周波数が高くなると、一定のAC電圧を印加した場合、インダクタに流れる電流は少なくなります。誘導電圧は電流が増加するときに最大になるため、電圧波形と電流波形は位相がずれています。つまり、各サイクルにおいて電圧のピークは電流のピークよりも早く発生します。電流と誘導電圧の位相差はラジアン、つまり90度であり、理想的なインダクタでは電流が電圧より90°遅れていることがわかります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

自己インダクタンスの計算

最も一般的なケースでは、インダクタンスはマクスウェル方程式から計算できます。多くの重要なケースは簡略化を用いて解決できます。表皮効果を考慮した高周波電流を考慮すると、表面電流密度と磁場はラプラス方程式を解くことで得られます。導体が細い線の場合、自己インダクタンスは依然として線径と線内の電流分布に依存します。この電流分布は、他の長さスケールよりもはるかに小さい線径に対して、（線の表面上または線体積内で）ほぼ一定です

直線の単線

実際には、長い電線はインダクタンスが大きく、太い電線はインダクタンスが小さくなります。これは電気抵抗に似ています（ただし、この関係は直線的ではなく、長さと直径が抵抗に及ぼす関係とは性質が異なります）。

導線を回路の他の部分から分離すると、あらゆる公式の結果に避けられない誤差が生じます。これらのインダクタンスはしばしば「部分インダクタンス」と呼ばれます。これは、回路全体のインダクタンスに寄与するが省略されている他の要素も考慮に入れるためです。

実用的な公式

以下の公式の導出については、Rosa (1908) を参照してください。^[23]直線電線の全低周波インダクタンス（内部インダクタンスと外部インダクタンス）は、次のとおりです

$${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$$

ここで

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$^{はナノヘンリー（nHまたは10-9H}）単位の「低周波」またはDCインダクタンスです
• ${\displaystyle \ell }$ワイヤーの長さ（メートル）
• ${\displaystyle r}$メートル単位のワイヤの半径（したがって非常に小さな小数）
• 定数は、一般に と呼ばれる自由空間の透磁率を で割ったものである。磁気反応性絶縁体がない場合、古典的なμ ₀ =の定義を使用すると、値 200 が正確である。 ${\displaystyle 200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$4π × 10 ⁻⁷  H/m、2019年に再定義されたSI値μ ₀ =を使用する場合は小数点以下7桁に補正されます。1.256 637 062 12 (19) × 10 ⁻⁶  H /m .

定数0.75は、複数のパラメータ値のうちの1つに過ぎません。異なる周波数範囲、異なる形状、あるいは極端に長いワイヤの長さの場合は、若干異なる定数が必要になります（下記参照）。この結果は、半径が長さよりもはるかに小さいという仮定に基づいています。これはワイヤや棒の場合に一般的です。円板や厚い円筒の場合は、式が若干異なります。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

十分に高い周波数では、表皮効果により内部電流は消滅し、導体の表面に電流のみが残ります。交流電流のインダクタンスは、非常によく似た式で表されます。 ${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

$${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$$ここで、変数およびは上記と同じです。定数項が上記の 0.75 から 1 に変更されていることに注意してください。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r}$

例えば、ランプコードの単一の導体長さ10m 、 18AWG製 （1.024 mmの電線の場合、低周波のインダクタンスは約まっすぐ伸ばすと、k=0.75で19.67 μHになります。

ワイヤーループ

正式には、ワイヤループの自己インダクタンスは上記の式で表されます。しかし、ここでは無限大となり、積分は対数的に発散します。^[a]そのため、有限のワイヤ半径とワイヤ内の電流分布を考慮する必要があります。すべての点における積分からの寄与と補正項が残ります。^[24] ${\displaystyle \ m=n\ .}$ ${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

ここで

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$と はそれぞれ曲線に沿った距離であり、 ${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$ ${\displaystyle \ C\ }$ ${\displaystyle \ C'\ }$

${\displaystyle \ a\ }$ワイヤの半径

${\displaystyle \ \ell \ }$ワイヤーの長さ

${\displaystyle \ Y\ }$は、電線内の電流の分布に依存する定数です。

${\displaystyle \ Y=0\ }$電流が電線の表面を流れるとき（全表皮効果）、

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$電流が電線の断面全体に均一に流れている場合。

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$はループの曲線の大きさに依存する誤差項である。

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$ループに鋭い角がある場合、

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$滑らかな曲線の場合。

ワイヤの長さがその半径に比べて長い場合は、両方とも小さくなります。

ソレノイド

ソレノイドは長くて細いコイルです。つまり、長さが直径よりもはるかに大きいコイルです。このような条件下では、磁性材料を使用していない場合、コイル内の磁束密度は実質的に一定であり、次のように表されます ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

ここで、 は磁気定数、は巻数、は電流、 はコイルの長さです。端面効果を無視すると、コイルを流れる全磁束は磁束密度と断面積を掛け合わせることで得られます。 ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

これをインダクタンスの定義と組み合わせると、ソレノイドのインダクタンスは次のように表されます。 ${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$ $${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

したがって、空芯コイルの場合、インダクタンスはコイルの形状と巻き数の関数であり、電流とは無関係です。

同軸ケーブル

内部導体の半径を、透磁率を、内部導体と外部導体間の誘電体の透磁率を、外部導体の内半径を、外半径を、透磁率をとします。しかし、一般的な同軸線路の用途では、抵抗性表皮効果が無視できない周波数で（非直流）信号を通過させることに着目します。ほとんどの場合、内部導体と外部導体の項は無視できるため、次のように近似できます ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle r_{o1}}$ ${\displaystyle r_{o2}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

多層コイル

最も実用的な空芯インダクタは、巻線間の平均距離を最小限に抑えるために正方形の断面を持つ多層円筒形コイルです（円形断面の方が優れていますが、成形が困難です）。

磁気コア

多くのインダクタは、巻線の中心または部分的に巻線を囲む磁気コアを備えています。これらのインダクタは、広い範囲にわたって非線形透磁率を示し、磁気飽和などの効果をもたらします。磁気飽和により、結果として得られるインダクタンスは印加電流の関数となります。

セカントインダクタンスまたは大信号インダクタンスは磁束計算に用いられ、以下のように定義されます。

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

一方、差動インダクタンスまたは小信号インダクタンスは電圧の計算に用いられ、以下のように定義されます。

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

非線形インダクタの回路電圧は、ファラデーの法則と微積分の連鎖律で示されるように、微分インダクタンスを介して得られます。

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

非線形相互インダクタンスについても同様の定義を導き出すことができます。

相互インダクタンス

相互誘導または相互誘導係数の定義

磁気的に結合した2つのコイルの相互インダクタンスまたは相互誘導係数は、隣接するコイルの単位電流あたりの1つのコイルの磁束鎖交数に等しい。または

磁気的にリンクされた 2 つのコイルの相互インダクタンスまたは相互誘導係数は、数値的には、隣接するコイル (一次コイル) の電流の単位時間変化率あたりに 1 つのコイル (二次コイル) に誘導される起電力に等しくなります。

2本の平行直線線の相互インダクタンス

考慮すべきケースは 2 つあります。

1. 電流は各電線で同じ方向に流れ、
2. 電流は電線上を反対方向に流れます。

電線上の電流は必ずしも等しくなくてもよいが、1 本の電線がソースでもう 1 本の電線がリターンである完全な回路の場合のように、等しくなることもよくあります。

2本のワイヤループの相互インダクタンス

これは、均一な低周波電流を流す典型的な2ループ円筒コイルの一般化されたケースです。ループは独立した閉回路であり、長さや空間方向、電流の向きが異なっていても構いません。しかし、積分に含まれない誤差項は、ループの形状がほぼ滑らかで凸状である場合に限り小さくなります。つまり、ループには、折れ曲がり、鋭角、コイル、交差、平行線、凹状の空洞、その他の位相的に「近い」変形が多すぎてはいけません。3次元多様体積分公式を二重曲線積分に縮約するために必要な条件は、電流経路がフィラメント回路、つまり、その長さに比べて半径が無視できるほど小さい細線であることです。

フィラメント回路によるフィラメント回路上の相互インダクタンスは、二重積分ノイマンの式^[25]で与えられる。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

ここで

${\displaystyle C_{m}}$と はワイヤーが描く曲線です ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$は自由空間の透磁率（4π × ^10−7H /m）である。

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$回路C _mのワイヤの小さな増加

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$宇宙における位置は ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$回路C _nのワイヤの小さな増分

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$空間内の の位置です。 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$

導出

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

ここで

• ${\displaystyle I_{j}}$は番目の電線を流れる電流であり、この電流は番目の表面を通る磁束を生成します ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$は、次式で表される電気回路によるi番目の表面を通る磁束である：^[26] ${\displaystyle C_{j}}$

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

ここで

• ${\displaystyle C_{i}}$は曲線を囲む面であり、辺を持つ任意の有向領域である。 ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{j}}$は（回路の） -番目の電流による磁場ベクトルです。 ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C_{j}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$は- 番目の電流によるベクトルポテンシャルです。 ${\displaystyle j}$

3番目の等式化ステップではストークスの定理が用いられています。最後の等式化ステップでは、遅延ポテンシャルの式 を用い、遅延時間の影響を無視しています（回路の形状が、そこに流れる電流の波長に比べて十分に小さいと仮定した場合）。これは実際には近似的なステップであり、細い配線で構成された局所回路にのみ有効です。 ${\displaystyle A_{j}}$

相互インダクタンスは、一方のループまたはコイルに誘起される起電力と、もう一方のループまたはコイルに流れる電流の変化率の比として定義されます。相互インダクタンスは記号Mで表されます。

相互インダクタンスの導出

上記のインダクタンス方程式はマクスウェル方程式の帰結です。細い電線からなる電気回路という重要なケースでは、導出は簡単です。

1回または複数回の巻き数を持つワイヤループのシステムでは、ループの磁束鎖交数は次のように表される。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{m}}$ $${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

ここで はループの巻き数、はループを流れる磁束、は以下に述べる定数です。この式はアンペールの法則から導かれます。磁場と磁束は電流の線形関数です。ファラデーの電磁誘導の法則により、 ${\displaystyle N_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

ここで、 は回路に誘起される電圧を表します。係数 をインダクタンスの係数と同一視すれば、これは上記のインダクタンスの定義と一致します。全電流が に寄与するため、 は巻数の積 に比例することも分かります。 ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

相互インダクタンスと磁場エネルギー

上記のv _mの式にi _m dtを掛けてmについて合計すると、時間間隔dtでシステムに伝達されるエネルギーが得られます。 $${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

これは、電流によって引き起こされる磁場エネルギーWの変化と一致しなければならない。 ^[27]積分可能性条件

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

L _m,n  = L _n,mとなる。したがって、インダクタンス行列L _m,nは対称となる。エネルギー伝達の積分は、電流の関数としての磁場エネルギーである。 $${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

この式は、マクスウェル方程式の線形性から直接導かれる結果でもあります。電流の変化を磁場エネルギーの増減と関連付けると分かりやすいでしょう。対応するエネルギー移動には電圧が必要または発生します。K = 1の場合の 磁場エネルギー(1/2) Li ^2を力学的に例えると、質量M、速度u、運動エネルギー(1/2) Mu ²を持つ物体が挙げられます。速度（電流）の変化率と質量（インダクタンス）の積は、力（電圧）を必要とします。

相互に結合された2つのインダクタの回路図。巻線間の2本の垂直線は、トランスが強磁性コアを備えていることを示しています。「n:m」は、左側のインダクタの巻線数と右側のインダクタの巻線数の比を示しています。この図は、ドット表記法も示しています。

相互インダクタンスは、あるインダクタの電流変化が近くの別のインダクタに電圧を誘導するときに発生します。これは変圧器の動作原理として重要ですが、回路内の導体間に不要な結合を引き起こすこともあります。

相互インダクタンス は、 2つのインダクタ間の結合の尺度でもあります。回路ごとの相互インダクタンスは、二重積分ノイマンの公式で与えられます。計算手法については、こちらをご覧ください。 ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

相互インダクタンスには次のような関係があります。 $${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$

• ${\displaystyle M_{21}}$は相互インダクタンスであり、下付き文字はコイル 1 の電流によってコイル 2 に誘導される電圧の関係を指定します。
• ${\displaystyle N_{1}}$コイル1の巻き数、
• ${\displaystyle N_{2}}$コイル2の巻き数、
• ${\displaystyle P_{21}}$磁束が占める空間のパーミアンスです。

相互インダクタンスが決定されれば、それを使って回路の挙動を予測することができます。 ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$

• ${\displaystyle v_{1}}$対象となるインダクタの両端の電圧です。
• ${\displaystyle L_{1}}$対象となるインダクタのインダクタンスです。
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t}$は、1 とラベル付けされた対象のインダクタを流れる電流の時間に関する微分です。
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t}$は、最初のインダクタに結合されたインダクタ（ラベル2）を流れる電流の時間微分であり、
• ${\displaystyle M}$相互インダクタンスです。

マイナス符号は、図で電流の向きが定義されているために生じます。点に入る両方の電流が定義されているため、 の符号は正になります（式ではプラス符号になります）。^[28] ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M}$

結合係数

結合係数は、開回路の実際の電圧比と、すべての磁束が一方の磁気回路からもう一方の磁気回路に結合された場合に得られる比の比です。結合係数は、相互インダクタンスおよび自己インダクタンスと次のように関係しています。2ポート行列で表される2つの連立方程式から、開回路電圧比は次のようになります

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$ここで

• ${\displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

すべての磁束が結合している場合の比は巻数の比、つまりインダクタンスの平方根の比です

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

したがって、

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$ここで

• ${\displaystyle k}$は結合係数、
• ${\displaystyle L_{1}}$は最初のコイルのインダクタンス、そして
• ${\displaystyle L_{2}}$2番目のコイルのインダクタンスです。

結合係数は、任意のインダクタンスを持つインダクタの特定の方向との関係を規定するのに便利な方法です。多くの著者は範囲を と定義していますが、一部の著者^[29]はと定義しています。の負の値を許容することで、コイル接続の位相反転と巻線の方向を捉えることができます。^[30] ${\displaystyle 0\leq k<1}$ ${\displaystyle -1<k<1\,}$ ${\displaystyle k}$

行列表現

相互結合インダクタは、 2ポートネットワークパラメータ行列表現のいずれかで記述できます。最も直接的なのはzパラメータであり、 ^[31]で与えられます

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}.}$$

yパラメータは次のように与えられる。

$${\displaystyle [\mathbf {y} ]={\frac {1}{s}}{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}^{-1}.}$$ ここで、 は複素周波数変数、はそれぞれ一次コイルと二次コイルのインダクタンス、 はコイル間の相互インダクタンスです。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$

複数の結合インダクタ

相互インダクタンスは複数のインダクタに同時に作用することがあります。複数の相互結合インダクタの行列表現は^{[32]で与えられます} $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}&M_{12}&M_{13}&\dots &M_{1N}\\M_{12}&L_{2}&M_{23}&\dots &M_{2N}\\M_{13}&M_{23}&L_{3}&\dots &M_{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\M_{1N}&M_{2N}&M_{3N}&\dots &L_{N}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

等価回路

T回路

相互結合インダクタのT等価回路

相互結合したインダクタは、図に示すようにT字型インダクタ回路で等価的に表すことができます。結合が強く、インダクタの値が等しくない場合、降圧側の直列インダクタは負の値を取ることがあります。^[33]

これは2ポートネットワークとして解析できます。出力を任意のインピーダンスで終端すると、電圧利得は次のように表されます。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{v}}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$$

ここで、は結合定数、は複素周波数変数である（上述）。密結合インダクタの場合、これは次のように帰納される。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$$

これは負荷インピーダンスとは無関係です。インダクタが同じコアに同じ形状で巻かれている場合、この式は2つのインダクタの巻数比に等しくなります。これは、インダクタンスが巻数比の2乗に比例するためです。

ネットワークの入力インピーダンスは次のように表されます。

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}$$

これは ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}$$

したがって、電流ゲインは、さらなる条件が満たされない限り、負荷とは独立 ではない。 ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$$

が満たされる場合、

$${\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$$

そして

$${\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}$$

π回路

結合インダクタのπ等価回路

あるいは、2つの結合インダクタは、各ポートにオプションの理想変圧器を配置したπ等価回路を使用してモデル化できます。この回路はT回路よりも複雑ですが、 3つ以上の結合インダクタで構成される回路に一般化できます^{[34] 。等価回路要素}は物理的な意味を持ち、それぞれ結合経路の磁気抵抗と漏れ経路の磁気抵抗をモデル化します。例えば、これらの要素を流れる電流は、結合磁束と漏れ磁束に対応します。理想変圧器は、数式を簡略化するために、すべての自己インダクタンスを1ヘンリーに正規化します。 ${\displaystyle L_{\text{s}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$

等価回路要素の値は、結合係数から計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}}$$

ここで、結合係数行列とその補因子は次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$および ${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

2つの結合インダクタの場合、これらの式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$および ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

3つの結合インダクタの場合、（簡潔にするためにとのみを示しています） ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p1}}}$

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$および ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

共振トランス

トランスの1つの巻線にコンデンサを接続し、その巻線を同調回路（共振回路）にする場合、単同調トランスと呼ばれます。各巻線にコンデンサを接続する場合、複同調トランスと呼ばれます。これらの共振トランスは、共振回路と同様に振動する電気エネルギーを蓄えることができ、バンドパスフィルタとして機能します。共振周波数に近い周波数は一次巻線から二次巻線に通過させますが、他の周波数は遮断します。2つの巻線間の相互インダクタンスの量と回路のQ値によって、周波数応答曲線の形状が決まります。複同調トランスの利点は、単純な同調回路よりも広い帯域幅を持つことができることです。複同調回路の結合は、結合係数の値に応じて、疎結合、臨界結合、または過結合と呼ばれます 。2つの同調回路が相互インダクタンスによって疎結合されている場合、帯域幅は狭くなります。相互インダクタンスの量が増加するにつれて、帯域幅は拡大し続けます相互インダクタンスが臨界結合を超えて増加すると、周波数応答曲線のピークは2つのピークに分割され、結合が増加するにつれて2つのピークはさらに離れていきます。これは過結合として知られています。 ${\displaystyle k}$

強く結合した自己共振コイルは、中距離（最大2メートル）のデバイス間のワイヤレス電力伝送に使用できます。 ^[35]高い電力伝送率を得るには強い結合が必要であり、その結果、周波数応答のピークが分割されます。^{[36] [37]}

理想変圧器

のとき、インダクタは密結合していると呼ばれます。さらに、自己インダクタンスが無限大になると、インダクタは理想変圧器になります。この場合、電圧、電流、巻数は次のように関係付けられます ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$$ここで

• ${\displaystyle V_{\text{s}}}$は二次インダクタの両端の電圧です。
• ${\displaystyle V_{\text{p}}}$は一次インダクタ（電源に接続されているもの）の両端の電圧です
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$は二次インダクタの巻数であり、
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$一次インダクタの巻き数です。

逆に、電流は

$${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$$ここで

• ${\displaystyle I_{\text{s}}}$は二次インダクタを流れる電流です。
• ${\displaystyle I_{\text{p}}}$は一次インダクタ（電源に接続されているもの）を流れる電流です
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$は二次インダクタの巻数であり、
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$一次インダクタの巻き数です。

一方のインダクタを流れる電力は、もう一方のインダクタを流れる電力と同じです。これらの式では、電流源や電圧源による強制は無視されます。

細いワイヤ形状の自己インダクタンス

下の表は、細い円筒状の導体（電線）で作られた様々な単純な形状の自己インダクタンスの公式を示しています。一般的に、これらの公式は、電線の半径が形状の寸法よりもはるかに小さく、かつ近くに強磁性体（磁気コア）がない場合に限り正確です。 ${\displaystyle a}$

細いワイヤ形状の自己インダクタンス

種類	インダクタンス	記号の説明
単層 ソレノイド	電流シートモデル空芯コイルのウィーラー近似式: [38] [39] ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{18D+40\ell }}}$（インチ）        （cm） ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{45.72D+101.6\ell }}}$ この式は、以下の場合に1%以下の誤差を生じます。 ${\displaystyle \ell >0.4\,D~.}$	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$: インダクタンス（μH、10 −6ヘンリー） ${\displaystyle N}$: ターン数 ${\displaystyle D}$: 直径（インチ）（cm） ${\displaystyle \ell }$: 長さ（インチ）（cm）
同軸 ケーブル（HF）	${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ell \ln \left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle b}$: 外部導体の内径 ${\displaystyle a}$: 内部導体の半径 ${\displaystyle \ell }$：長さ ${\displaystyle \mu _{0}}$：表の脚注を参照
円形ループ[40]	${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mu _{0}\ r\ \left[\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\tfrac {1}{4}}Y+{\mathcal {O}}\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\right]}$	${\displaystyle r}$：ループ半径 ${\displaystyle a}$：ワイヤ半径 ${\displaystyle \mu _{0},Y}$：表の脚注を参照
丸線からの長方形[41]	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ {\biggl [}\ &\ell _{1}\ln \left({\frac {2\ell _{1}}{a}}\right)+\ell _{2}\ \ln \left({\frac {2\ell _{2}}{a}}\right)+2{\sqrt {\ell _{1}^{2}+\ell _{2}^{2}\ }}\\&-\ell _{1}\ \sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)-\ell _{2}\sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)\\&-\left(2-{\tfrac {1}{4}}Y\ \right)\left(\ell _{1}+\ell _{2}\right)\ {\biggr ]}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$：辺の長さ ${\displaystyle \ \ell _{1}\gg a,\ell _{2}\gg a\ }$ ${\displaystyle a}$：ワイヤ半径 ${\displaystyle \mu _{0},Y}$：表の脚注を参照
平行な電線のペア	${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\ \mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \left[\ln \left({\frac {s}{a}}\right)+{\tfrac {1}{4}}Y\right]}$	${\displaystyle a}$：ワイヤ半径 ${\displaystyle s}$：離隔距離 ${\displaystyle s\geq 2a}$ ${\displaystyle \ell }$: ペアの長さ ${\displaystyle \mu _{0},Y}$：表の脚注を参照
平行線ペア （HF）	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \cosh ^{-1}\left({\frac {s}{2a}}\right)\\&={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{2a}}+{\sqrt {{\frac {s^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)\\&\approx {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle a}$：ワイヤ半径 ${\displaystyle s}$：離隔距離 ${\displaystyle s\geq 2a}$ ${\displaystyle \ell }$: ペアの長さ（それぞれ） ${\displaystyle \mu _{0}}$：表の脚注を参照

${\displaystyle Y}$は0と1の間のほぼ一定の値で、電流の分布に依存します。電流が電線の表面のみを流れる場合（完全表皮効果）、電流が電線の断面全体に均一に広がる場合（直流）。丸電線の場合、Rosa (1908)は次の式と等価な式を示しています。^[23] ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle Y=1}$

$${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}}$$

ここで

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$角周波数（ラジアン/秒）です。
• ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}}$ワイヤの正味透磁率です。
• ${\displaystyle \sigma }$電線の比導電率であり、
• ${\displaystyle a}$ワイヤの半径です。

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$式を簡素化するために、式から省略された小さな項を表します。この項は「プラス」のオーダーで変化する小さな補正値と読み替えてください（大文字のO記法を参照）。 ${\displaystyle {}+{\mathcal {O}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

参照

• 電磁誘導
• ジャイレータ
• 油圧のアナロジー
• 漏れインダクタンス
• LC回路、RLC回路、RL回路
• 運動インダクタンス

脚注

1. 積分はに対してとなるため「対数的に発散する」と呼ばれ、したがって、引数が無限大に近づく対数のように無限大に近づく ${\displaystyle \ \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln(x)\ }$ ${\displaystyle \ x>0\ }$

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• FW Sears と MW Zemansky 1964 University Physics: Third Edition (Complete Volume)、Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading MA、LCCC 63-15265 (ISBN なし)。

外部リンク

• クレムソン車両電子工学研究所：インダクタンス計算機

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