三つ葉結び

3つの交差を持つ最も単純な非自明な閉じた結び目

三つ葉
通称	オーバーハンドノット
Arf不変量	1
編み込みの長さ	3
三つ編みNo.	2
橋番号	2
クロスキャップNo.	1
交差点番号	3
属	1
双曲体積	0
スティック番号	6
トンネル番号	1
解く番号	1
コンウェイ記法	[3]
A-B表記	3 1
ダウカー記法	4、6、2
最後 / 次へ	0 1 /  4 1
他の
交互、トーラス、繊維、プレッツェル、プライム、ノットスライス、リバーシブル、三色、ねじれ

数学の一分野である結び目理論において、三つ葉結び目は非自明な結び目の最も単純な例です。三つ葉結び目は、一般的なオーバーハンドノットの両端を結び合わせることで得られる結び目の輪です。最も単純な結び目である三つ葉結び目は、数学的な結び目理論の研究において基礎的な役割を果たします。

トレフォイルノットは、三つ葉のクローバー（または三つ葉）の植物にちなんで名付けられました。

説明

三つ葉結び目は、次の媒介変数方程式から得られる曲線として定義できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t+2\sin 2t\\y&=\cos t-2\cos 2t\\z&=-\sin 3t\end{aligned}}}$

(2,3)-トーラス結び目も三つ葉結び目です。以下の媒介変数方程式は、トーラス 上に存在する(2,3)-トーラス結び目を与えます。 ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(2+\cos 3t)\cos 2t\\y&=(2+\cos 3t)\sin 2t\\z&=\sin 3t\end{aligned}}}$

三つ葉結びの作り方のビデオ

オーバーハンドノットは、両端を合わせると三つ葉結びになります。

三つ葉結び目の実現

上記の曲線の連続的な変形は、トレフォイルノットとみなされます。特に、トレフォイルノットと同形な曲線は、トレフォイルとみなされます。さらに、トレフォイルノットの鏡像もトレフォイルとみなされます。位相幾何学と結び目理論では、トレフォイルは通常、明示的な媒介変数方程式ではなく、結び目図を用いて定義されます。

代数幾何学では、三葉形は単位三次元球面S ^3と複素多項式z ²  +  w ³の零点の複素平面曲線（尖頭三次曲線）とのC ²における交点として得られる。

左巻きの三つ葉と右巻きの三つ葉

テープやベルトの片方の端を3回折り返してもう一方の端に貼り付けると、端が三つ葉の結び目を形成します。^[1]

対称

三つ葉結び目は、その鏡像と区別できるという意味でキラルである。結果として生じる二つの変形は、左巻き三つ葉結び目と右巻き三つ葉結び目として知られている。左巻き三つ葉結び目を連続的に右巻き三つ葉結び目に変形することは不可能であり、その逆もまた同様である。（つまり、二つの三つ葉結び目は周囲同位体ではない。）

三つ葉結び目はキラルであるにもかかわらず、可逆性も持ちます。つまり、反時計回りの三つ葉結び目と時計回りの三つ葉結び目の間には区別がありません。つまり、三つ葉結び目のキラリティは、曲線の向きではなく、交差の上下のみに依存します。

しかし、結び目は回転対称性を持っています。軸は3色画像のページに対して垂直な線を中心としています。

三つ葉結びは三色にすることができます。

視覚的に三回対称性のない三つ葉結び目の形状

非自明性

三つ葉結び目は非自明であり、つまり、三次元において三つ葉結び目を切断せずに「ほどく」ことは不可能である。数学的には、これは三つ葉結び目が「ほどけない結び目」と同位体ではないことを意味する。特に、三つ葉結び目をほどくライデマイスター法の手順は存在しない。

これを証明するには、三つ葉結び目と無結び目を区別する結び目不変量を構築する必要があります。最も単純な不変量は三色可能性です。つまり、三つ葉結び目は三色可能ですが、無結び目は三色できません。さらに、ほぼすべての主要な結び目多項式は、他のほとんどの強い結び目不変量と同様に、三つ葉結び目と無結び目を区別します。

分類

結び目理論において、三つ葉結び目は最初の非自明結び目であり、交差数が3である唯一の結び目である。これは素数結び目であり、アレクサンダー・ブリッグス記法では3 ₁と表される。三つ葉結び目のダウカー記法は4 6 2、コンウェイ記法は[3]である。

三つ葉結び目は(2,3)-トーラス結び目として記述することができます。また、これは組紐σ ₁ ³を閉じることによって得られる結び目でもあります。

三つ葉結び目は交代結び目である。しかし、スライス結び目ではない。つまり、4次元球面内の滑らかな2次元円板を囲まない。これを証明する一つの方法は、その符号がゼロではないことに着目することである。もう一つの証明は、そのアレクサンダー多項式がフォックス・ミルナー条件を満たさないことである。

三つ葉結び目 は繊維結び目であり、つまり、におけるその補結び目は円上の繊維束である。三つ葉結び目K は、および となる複素数ペアの集合として見ることができる。すると、この繊維束には、結び目の補結び目の円 への繊維束投影としてミルノア写像が含まれる。繊維 は、一度穴が開いたトーラスである。結び目の補結び目も境界を持つザイフェルト繊維結び目であるため、水平方向の非圧縮面が含まれる。これは、ミルノア写像の繊維でもある。（これは、結び目が厚くなって固体トーラス N _ε ( K ) になり、この固体トーラスの内部が削除されてコンパクトな結び目の補結び目 が作成されていると仮定している。） ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle (z,w)}$ ${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$ ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$ ${\displaystyle S^{3}\setminus \mathbf {K} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (\mathrm {N} _{\varepsilon }(\mathbf {K} )}$

不変量

三つ葉結び目のアレクサンダー多項式は、ザイフェルト行列（左辺の場合）である可能性があるため、またはそのコンウェイ多項式^[2]により、ジョーンズ多項式は、三つ葉結び目のカウフマン多項式は、三つ葉結び目のHOMFLY多項式は、 $${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},}$$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$$ $${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$$ $${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.}$$ $${\displaystyle L(\alpha ,z)=-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}.}$$

三つ葉の結び目群は、表現によって与えられるか、またはそれと同等である^[3]この群は、3本の ストランドを持つ組紐群と同型である。 $${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle ,}$$ $${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$$

宗教と文化において

三つ葉は、最も単純で非自明な結び目として、図像学や視覚芸術においてよく使われるモチーフです。例えば、トリケトラのシンボルの一般的な形は三つ葉であり、ゲルマン民族のヴァルクヌートのいくつかのバージョンも同様です。

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  三つ葉模様の古代ノルウェーのミョルニルペンダント
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  シンプルなトリケトラ記号
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  しっかりと結ばれたトリケトラ
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  ゲルマン民族のヴァルクヌート
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  三つ葉の形をした金属製のヴァルクヌート
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  三つ葉結びのケルト十字
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  カロリング朝の十字架
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  ATVのロゴに使われている三つ葉結び
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  異なる角度の三つ葉結び目を境界とする数学的表面

現代美術では、MCエッシャーの木版画「結び目」 （1965年）に、異なる方法でねじれた立体形状の三つ葉の結び目が3つ描かれている。^[4]

参照

• プレッツェルリンク
• 八の字結び（数学）
• トリケトラのシンボル
• 五葉結び
• ゴルディアスの結び目

参考文献

1. ショー、ジョージ・ラッセル（MCMXXXIII）『結び方：実用と装飾』p.11. ISBN 978-0-517-46000-9。
2. "3_1", 『ノットアトラス』。
3. Weisstein, Eric W.「三葉結び目」。MathWorld。Wolfram著。アクセス日：2013年5月5日。
4. MCエッシャー公式サイト — ギャラリー — 「結び目」www.mcescher.com黒／緑／茶色の木版画3点。カタログ番号444。ハーグ市立美術館（1981年）。

外部リンク

• Wolframalpha: (2,3)-トーラス結び目
• トレフォイルノットの3Dモデルwww.cgtrader.com

カテゴリ:トポロジー

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