ベクターボルノロジー

数学、特に関数解析において、体上のベクトル空間上のボルノロジーが ボルノロジー ℬ を持ち、ベクトル空間演算が有界写像になる場合、そのボルノロジーはベクトル ボルノロジーと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ _{${\displaystyle \mathbb {F} }$} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

定義

前提条件

集合上の成因学は、以下の条件をすべて満たす のサブセットの集合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$つまり、 ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は包含関係の下で安定である。つまり、 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は有限和に対して安定である。つまり、 ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

集合の要素は、 が理解されていれば、-有界集合、または単に有界集合と呼ばれます。このペアは、有界構造、または有界集合と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

ボルノロジーの基本または基本システムは、の各要素が何らかの要素のサブセットであるようなのサブセットです。を含む最小のボルノロジーのサブセットのコレクションが与えられたとき、そのボルノロジーは^[1]によって生成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

と が有界集合である場合、それらの上の積有界集合は、およびの形式の集合すべての集合を基底とする有界集合である。^[1] のサブセットが積有界集合で有界となるのは、およびへの標準射影によるその像が両方とも有界となる場合である。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

と が集合論的集合である場合、関数 がの -有界部分集合を の -有界部分集合に写像する場合、その関数は局所的に有界な写像または有界な写像(これらの集合論に関して)であるという。つまり、^[1]の 場合、さらに が一対一でも有界である場合、は集合論的同型写像と呼ばれる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

ベクターボルノロジー

が体上のベクトル空間であるとします。体上のベクトル空間は、 ベクトル加算、スカラー乗算、および平衡包の形成に対して安定である場合(つまり、2 つの有界集合の和が有界である場合など) 、上のベクトル体上のベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

がベクトル空間で が上のボルノロジーである場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ベクトル発生学
2. 有界集合の有限和と平衡包は有界である^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. によって定義されるスカラー乗算写像とによって定義される加算写像は、その定義域が積分分布に従うとき、両方とも有界である（すなわち、有界部分集合を有界部分集合に写像する）^[1] ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

ベクトルのボルノロジーは、凸包の形成下で安定である（つまり、有界集合の凸包が有界である）場合、凸ベクトルのボルノロジーと呼ばれます。 また、ベクトルのボルノロジーは、唯一の有界ベクトル部分空間が0次元自明空間である場合、分離と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

通常、は実数または複素数のいずれかであり、 が凸集合からなる基底を持つ場合、上のベクトル ボルノロジーは凸ベクトル ボルノロジーと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

特徴づけ

が実数体または複素数体上のベクトル空間であり、が 上のボルノロジーであるとします。この場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ベクトル発生学
2. 加算とスカラー乗算は有界写像である^[1]
3. の全ての要素の平衡包はの要素であり、 の任意の2つの要素の和はまた の要素である^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

位相ベクトル空間上のボルノロジー

が位相ベクトル空間である場合、 上のベクトル形成論からの のすべての有界部分集合の集合は、 のフォン・ノイマン形成論、通常の形成論、または単に との形成論と呼ばれ、自然有界性と呼ばれる。^[1]任意の局所凸位相ベクトル空間において、すべての閉有界円板の集合は^[1]の通常の形成論の基底を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

特に明記しない限り、実数または複素数には常に通常の分布が備わっているものと想定されます。

ベクトルボルノロジーによって誘導されるトポロジー

が実数体または複素数体上のベクトル空間であり、が 上のベクトル空間であるとする。の凸集合、均衡集合、およびであるすべての部分集合を で表す。すると、 は局所凸位相ベクトル空間位相の原点における近傍基底を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

例

有界関数の局所凸空間

を実数または複素数（通常の分布に従う）とし、を有界構造とし、を 上のすべての局所的に有界な - 値写像のベクトル空間とします。任意のに対して となり、これが上の半ノルムを定義する場合、上の局所的に凸な位相ベクトル空間位相は、半ノルムの族によって定義される、有界集合 上の一様収束の位相と呼ばれます。^[1]この位相により、 は完全な空間になります。^[1] ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle p_{B}(f):=\sup \left|f(B)\right|}$ ${\displaystyle f\in LB(T,\mathbb {K} ),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \left\{p_{B}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$

等連続性のボルノロジー

を位相空間とし、を実数または複素数とし、を上のすべての連続 -値写像のベクトル空間とします。 のすべての等連続部分集合の集合は、上のベクトル空間論を形成します^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} ).}$

参照

• 食肉食セット
• ボルノロジー空間
• ボルノロジー
• 線型写像の空間
• 超自然的空間

引用

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、156–175頁。

参考文献

• ホグベ＝ンレンド、アンリ(1977).ボルノロジーと関数解析：双対性位相幾何学理論入門コース-ボルノロジーと関数解析におけるその応用. ノースホランド数学研究. 第26巻. アムステルダム, ニューヨーク, ノースホランド. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• クリーグル、アンドレアス、ミコール、ピーター・W. (1997).大域解析の便利な設定. 数学概説とモノグラフ.アメリカ数学会. ISBN 978-082180780-4。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_bornology&oldid=1161319006"