ウェブ状の空間

Space where open mapping and closed graph theorems hold

数学、特に関数解析学において、ウェブ空間（ webbed space）とは、開写像定理と閉グラフ定理の結果を、ウェブ空間を余域とするより広いクラスの線型写像に対しても成立させることを目的として設計された位相ベクトル空間である。ある空間がウェブ空間と呼ばれるのは、ウェブと呼ばれる集合の集合が存在し、それが特定の性質を満たす場合である。ウェブは、ド・ワイルドによって初めて研究された。

ウェブ

をハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間とする。A ${\displaystyle X}$ ウェブは、以下の吸収性と収束性を満たすディスクの集合体である^[1]

1. 層1 ：最初の層は、結合部が吸収するようなディスクのシーケンスで構成されている必要があります。 ${\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }D_{i}}$ ${\displaystyle X.}$
2. 層 2 :最初の層の各ディスクについて、ごとに となるディスクのシーケンスが存在する必要があります。 :および が吸収されます。セットが2 番目の層を形成します。 ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle D_{i1},D_{i2},D_{i3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{i}}$ $${\displaystyle D_{ij}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{i}\quad {\text{ for every }}j}$$ ${\displaystyle \cup _{j\in \mathbb {N} }D_{ij}}$ ${\displaystyle D_{i}.}$ ${\displaystyle \left(D_{ij}\right)_{i,j\in \mathbb {N} }}$
3. 層 3 : 2 番目の層の各ディスクに、同様に定義されたプロパティを満たす別のディスクシーケンスを割り当てます。明示的には、すべての に対して、およびが吸収されることを意味します。セットは3 番目の層を形成します。 ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle D_{ij1},D_{ij2},D_{ij3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{i,j}}$ $${\displaystyle D_{ijk}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{ij}\quad {\text{ for every }}k}$$ ${\displaystyle \cup _{k\in \mathbb {N} }D_{ijk}}$ ${\displaystyle D_{ij}.}$ ${\displaystyle \left(D_{ijk}\right)_{i,j,k\in \mathbb {N} }}$

このプロセスを繰り返して地層を定義します。つまり、帰納法を使って地層を地層の観点から定義します。 ${\displaystyle 4,5,\ldots .}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n.}$

あストランドはディスクの列であり、最初のディスクは例えば最初の層から選択され、2番目のディスクはそれに関連付けられた列から選択され、以下同様に続きます。また、ベクトルの列がストランドから選択される場合（ストランドの最初のディスクに属し、2番目のディスクに属し、以下同様に続く）、収束することが求められます。 ${\displaystyle D_{i},}$ ${\displaystyle D_{i},}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$

ウェブを定義できるハウスドルフ 局所凸位相ベクトル空間は、ウェブ状の空間。

例と十分な条件

定理^[2]  (de Wilde 1978) —位相ベクトル空間 がフレシェ空間であるための必要十分条件は、それがウェブ空間でありベール空間であるときである。 ${\displaystyle X}$

以下のスペースはすべてウェブ化されています。

• フレシェ空間[ ^2]
• 網目空間の列の射影極限と帰納極限。
• 網状空間の連続的に閉じたベクトル部分空間。^[3]
• 網状空間の可算積^[3]
• 網目空間のハウスドルフ商。^[3]
• ウェブ空間の連続線型写像がハウスドルフ写像である場合のウェブ空間の像。^[3]
• 網目状の空間のボルノロジー化。
• 強双対位相を備えた計量化可能な局所凸空間の連続双対空間はウェブ状である。^[2]
• が局所凸計量化可能空間の可算族の厳密な帰納的極限であるとき、強位相を持つ連続双対空間は網状である。^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
  • そのため、特に局所凸計量化可能空間の強双対は網状になる。^[5]
• が網状空間である場合、この（網状）位相よりも弱い任意のハウスドルフ局所凸位相もまた網状である。 ^[3] ${\displaystyle X}$

定理

閉グラフ定理^[6] —をTVS間の線型写像とし、そのグラフが の順次閉部分集合であるものとする。が網状空間であり、が超ボルノロジー空間（例えばフレシェ空間やフレシェ空間の帰納的極限など）である場合、 は連続である。 ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

閉グラフ定理—ベール 局所凸空間の帰納的極限から網目状の局所凸空間への任意の閉線形写像は連続である。

開写像定理—網目状の局所凸空間からBaire の局所凸空間の帰納的極限への任意の連続射影線型写像は開写像である。

開写像定理^[6] —網目状の局所凸空間から超ボルノロジー空間への任意の連続射影線型写像は開写像である。

開写像定理^[6] —局所凸ウェブ空間からハウスドルフ局所凸空間への閉線型作用素の像が非希薄であれば、それは射影開写像である。 ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

空間が局所凸でない場合、円板であるという要件が均衡であるという要件に置き換えられたウェブの概念が存在します。このようなウェブの概念については、以下の結果が得られます。

閉グラフ定理—ベール位相ベクトル空間の帰納的極限からウェブ位相ベクトル空間への任意の閉線形写像は連続である。

参照

• ほぼ開いた線形地図 - 開いた地図と類似の条件を満たす地図Pages displaying short descriptions of redirect targets
• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類
• 閉グラフ – 位相幾何学における関数の性質Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉グラフ定理（関数解析）  - グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 閉じた線形作用素 – グラフが閉じた線形作用素
• 不連続線形マップ
• F空間 – 完全な並進不変計量を持つ位相ベクトル空間
• フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完備計量空間でもある
• 角谷不動点定理 – 集合値関数の不動点定理
• 計量化可能な位相ベクトル空間 – 計量によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• 開写像定理（関数解析）  – 線型作用素が開写像となるための条件
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化

引用

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、470−471頁。
2. Narici & Beckenstein 2011、472ページ。
3. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、p. 481.
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、473ページ。
5. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、459–483頁。
6. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、474–476頁。

参考文献

• デ・ワイルド、マーク（1978）『閉グラフ定理とウェブ空間』ロンドン：ピットマン。
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• クリーグル、アンドレアス、ミコール、ピーター・W. (1997). 大域解析の便利な設定(PDF) . 数学概説とモノグラフ. 第53巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279。
• クリーグル, アンドレアス; ミコール, ピーター W. (1997).大域解析の便利な設定. 数学サーベイとモノグラフ.アメリカ数学会. pp.  557– 578. ISBN 9780821807804。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

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