ウィルクスのラムダ分布

Probability distribution used in multivariate hypothesis testing

統計学において、ウィルクスのラムダ分布（サミュエル・S・ウィルクスにちなんで名付けられた）は、多変量仮説検定、特に尤度比検定と多変量分散分析（MANOVA）において使用される確率分布です。

定義

ウィルクスのラムダ分布は、2つの独立した ウィシャート分布変数からそれらの行列式の比分布として定義される。^[1]

与えられた

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

独立しており、 ${\displaystyle m\geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

ここでpは次元数である。尤度比検定の文脈では、 mは通常誤差の自由度、nは仮説の自由度であり、これが全体の自由度となる。^[1] ${\displaystyle n+m}$

プロパティ

ウィルクス分布のパラメータには対称性がある。^[1]

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)}$

近似値

高次元のウィルクス分布の計算式や表は容易に入手できず、通常は近似値に頼ることになる。近似値の1つはMS Bartlettによるもので、大きなmに対して有効である^{[2]。これにより、ウィルクスのλは}カイ2乗分布で近似できる。

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$^[1]

もう一つの近似値はCRラオによるものである^{[1] [3]}。

関連ディストリビューション

この分布は、独立した ベータ分布に従う確率変数の積と関連付けられる。

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

したがって、これはベータ分布の多変量一般化と見なすことができます。

1次元の問題では、ウィシャート分布が1次元（つまりカイ2乗分布）である場合、ウィルクス分布は特定のパラメータセットを持つベータ分布に等しくなります。 ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

ベータ分布とF分布の関係から、ウィルクスのラムダ分布のパラメータの1つが1または2である場合、ウィルクスのラムダはF分布と関連付けられる。例えば、^[1]

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

そして

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$

参照

• カイ二乗分布
• ディリクレ分布
• F分布
• ガンマ分布
• ホテリングのT二乗分布
• スチューデントのt分布
• ウィシャート分布

参考文献

1. カンティ・マルディア、ジョン・T・ケント、ジョン・ビビー (1979).多変量解析. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-471250-9。
2. MS Bartlett (1954). 「様々な近似値における乗算係数に関する注記」. JR Stat Soc Ser B. 16 ( 2): 296–298 . JSTOR  2984057. ${\displaystyle \chi ^{2}}$
3. CR Rao (1951). 「ウィルクスの基準の分布の漸近展開」.国際統計研究所紀要. 33 : 177–180 .

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