ゼルニケ多項式

Polynomial sequence

最初の21のゼルニケ多項式は、垂直方向には放射状度、水平方向には方位角度で並べられている。

数学において、ゼルニケ多項式は単位円上で直交する多項式の列である。1953年のノーベル物理学賞受賞者であり、位相差顕微鏡の発明者である光物理学者フリッツ・ゼルニケにちなんで名付けられ、ビーム光学やイメージングなど、様々な光学分野で重要な役割を果たしている。 ^{[1] [2]}

定義

ゼルニケ多項式には偶数と奇数がある。偶数ゼルニケ多項式は次のように定義される。

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

（方位角 上の偶関数）であり、奇ゼルニケ多項式は次のように定義される。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}$

（方位角 上の奇関数）ここで、mとnは非負の整数でn ≥ m ≥ 0（球面ゼルニケ多項式ではm = 0）であり、は方位角、ρは半径距離、は以下に定義される放射状多項式である。ゼルニケ多項式は、単位円板において −1 から +1 の範囲に制限されるという性質を持つ。つまり、の場合である。放射状多項式は次のように定義される 。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ ${\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}$

偶数n − mの場合は0、奇数n − mの場合は0となる。特別な値は

${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}$

その他の表現

放射状の部分の階乗の比を二項式の積として書き直すと、係数が整数であることがわかります。

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$。

ガウス超幾何関数を終了させる表記法は、再帰性を明らかにしたり、それがヤコビ多項式の特殊なケースであることを証明したり、微分方程式を書き記したりするのに便利です。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})\\&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

n − m は偶数です。

逆関係は固定値に対して展開され、 ${\displaystyle \rho ^{j}}$ ${\displaystyle m\leq j}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle \rho ^{j}=\sum _{n\equiv m{\pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(\rho )}$

有理係数^[3] ${\displaystyle h_{j,n,m}}$

${\displaystyle h_{j,n,m}={\frac {n+1}{1+{\frac {j+n}{2}}}}{\frac {\binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{\binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}}$

偶数の場合。 ${\displaystyle j-m=0,2,4,\ldots }$

放射状多項式の因子は、範囲 において、偶数の場合はのバーンスタイン基底、奇数の場合は の関数を掛けて展開することができる。したがって、放射状多項式は、有理係数を持つ有限個のバーンスタイン多項式で表すことができる。 ${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ ${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

ロドリゲスの公式

放射状多項式はロドリゲスの公式を満たす

${\displaystyle R_{n}^{m}(x)={\frac {1}{\left({\frac {n-m}{2}}\right)!x^{m}}}\left({\frac {d}{d\left(x^{2}\right)}}\right)^{\frac {n-m}{2}}\left[x^{n+m}\left(x^{2}-1\right)^{\frac {n-m}{2}}\right].}$

プロパティ

直交性

放射状の部分の直交性は^[4]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}$

または

${\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

角度部分の直交性は、基本的な

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

ここで（ベッセル関数と関連して頻繁に現れるため、ノイマン因子と呼ばれることもある）は、 の場合には2、 の場合には1と定義される。角度部分と動径部分の積は、単位円上で積分すると、ゼルニケ関数の両指数に対する直交性を確立する。 ${\displaystyle \epsilon _{m}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle \int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},}$

ここでは円座標系のヤコビアンであり、 とは両方とも偶数です。 ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$ ${\displaystyle n-l}$ ${\displaystyle n'-l'}$

ゼルニケ変換

単位円板上の十分に滑らかな実数値位相場は、周期関数がフーリエ級数と直交表現できるのと同様に、ゼルニケ係数（奇数と偶数）で表現できる。 ${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}$

ここで係数は内積を用いて計算できる。単位円上の関数空間では、次のように定義される内積が存在する。 ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}$

ゼルニケ係数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

あるいは、円形グリッド上の位相関数Gの既知の値を用いて連立方程式を形成することもできます。位相関数は、単位グリッド全体にわたるゼルニケ多項式（既知の値）と未知係数の重み付き積によって得られます。したがって、係数は、例えば逆行列演算などによって線形連立方程式を解くことによっても求めることができます。順方向および逆方向ゼルニケ変換を計算する高速アルゴリズムは、三角関数の対称性、ゼルニケ多項式のラジアル成分と方位成分の分離可能性、およびそれらの回転対称性を利用しています。

対称性

三角関数の反射の結果、 x軸に沿った反射に関する偶奇性は

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$l ≥ 0の場合、

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$l < 0の場合。

三角関数のπシフトの結果、座標の中心における点の反射に関するパリティは

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

偶数の場合のみゼロでないゼルニケ多項式が得られるため、このように書くこともできます。( nが偶数ならlも偶数、nが奇数ならlも奇数です。) この性質は、ゼルニケ多項式を角度依存性の観点から偶数多項式と奇数多項式に分類するために使用されることがあります。( l = 0は角度依存性がないという特殊な性質を持つため、別のカテゴリを追加することも可能です。) ${\displaystyle (-1)^{l}}$ ${\displaystyle (-1)^{n}}$ ${\displaystyle n-l}$

• 角度的に偶数なゼルニケ多項式：lが偶数であるゼルニケ多項式で、 ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$
• 角度的に奇数のゼルニケ多項式: lが奇数であるゼルニケ多項式で、 ${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$

(この命名法は実際には使用されません。なぜなら、非ゼロ多項式では、偶数lは偶数nとのみ結合され、奇数l は奇数nとのみ結合されるため、角度的に偶数多項式は放射状に偶数多項式でもあり、角度的に奇数多項式は放射状に奇数多項式でもあるため、角度的に属性は不要だからです。)

放射状多項式も、次数nまたは方位角指数mに応じて偶数または奇数になります。

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}$

これらの等式は、奇数 (偶数) の場合、mにはρの奇数 (偶数) 乗のみが含まれるため、簡単にわかります(以下の例を参照)。 ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

三角関数の周期性により、中心の周りをラジアンの倍数で回転しても不変性が得られます。 ${\displaystyle 2\pi /l}$

${\displaystyle Z_{n}^{l}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{l}}\right)=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}$

微分作用素の固有関数として

ゼルニケ多項式は、現代の定式化におけるゼルニケ微分演算子の固有関数です^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}L\left[f\right]=\nabla ^{2}f-({\bf {r}}\cdot \nabla )^{2}f-2{\bf {r}}\cdot \nabla f\end{aligned}}}$

は単位円板上で自己随伴であり、固有値は負である。他の自己随伴微分作用素も構築可能であり、その場合ゼルニケ多項式はスペクトルを形成する。例えば（粗面BRDF ^[6]に関連して）これは上記とは係数 だけ異なる。 ${\displaystyle L[Z_{n}^{m}]=-n(n+2)Z_{n}^{m}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (1-\rho ^{2})\nabla Z_{n}^{m}=\left(m^{2}-n(n+2)\right)Z_{n}^{m}}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi \varphi }}$

再帰関係

ゼルニケ多項式は次の再帰関係を満たす：^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

の定義から、およびであることが分かる。次の3項再帰関係^{[8] [9]}により、他のすべてのを計算することができる。 ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ ${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$ ${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

^{これらの再帰の主な用途は、べき級数表記法[10] [11]}における振動二項項の累積で大きな桁落ちが発生するのを避けることである。 ${\displaystyle n}$

上記の関係式は、隣接する次数の2つのラジアルゼルニケ多項式から導関数を計算できるため、有用である。^[8] ${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

ガウス超幾何関数の微分方程式は次式と等価である。

${\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{m}(\rho )=[n(n+2)\rho ^{2}-m^{2}]R_{n}^{m}(\rho )+\rho (1-3\rho ^{2}){\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{m}(\rho ).}$

命名法

ノルの連続指標

応用分野にはしばしば線型代数が含まれる。線型代数では、ゼルニケ多項式と他の因子の積を積分することで行列要素が構成される。これらの行列の行と列を単一のインデックスで列挙するために、2つのインデックスnとmを単一のインデックスjに写像する慣例的な方法がNollによって導入された。^[12]

(このセクションでは、 は符号付きの上限インデックスであり、正、負、または 0 になります。) この関連付けのテーブルは次のように始まります ( OEISのシーケンスA176988 )。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z_{n}^{m}\rightarrow Z_{j}}$

${\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|m|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&m>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&m<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

n,m	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,−2	2,2	3,−1	3,1	3,−3	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,m	4.0	4,2	4,−2	4,4	4,−4	5,1	5,−1	5,3	5,−3	5.5
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

ルールは以下のとおりです。

• 偶数ゼルニケ多項式Zは、偶数インデックス j を取得し ます。 ${\displaystyle m>0}$
• 奇数のZでは、奇数のインデックス jが得られます。 ${\displaystyle m<0}$
• 与えられたn内で、値が小さいほど jも小さくなります。 ${\displaystyle \left\vert m\right\vert }$

OSA/ANSI標準インデックス

OSA ^[13]およびANSIシングルインデックスゼルニケ多項式では以下を使用します。

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+l}{2}}}$

n,l	0,0	1,−1	1,1	2,−2	2,0	2,2	3,−3	3,−1	3,1	3,3
j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n,l	4,−4	4,−2	4.0	4,2	4,4	5,−5	5,−3	5,−1	5,1	5,3
j	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

OSA/ANSI インデックスは、次のようにして標準インデックスに戻すことができます。

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8j+1}}-1}{2}}\right\rfloor ,\qquad l=2j-n(n+2).}$

フリンジ/アリゾナ大学指標

フリンジインデックス方式は、市販の光学設計ソフトウェアや、例えばフォトリソグラフィーにおける光学試験で使用されている。^{[14] [15]}

${\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|l|}{2}}\right)^{2}-2|l|+\left\lfloor {\frac {1-\operatorname {sgn} l}{2}}\right\rfloor }$

ここで、 は符号または符号関数です。最初の20個のフリンジ番号は以下にリストされています。 ${\displaystyle \operatorname {sgn} l}$

n,l	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,2	2,−2	3,1	3,−1	4.0	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,l	3,−3	4,2	4,−2	5,1	5,−1	6,0	4,4	4,−4	5,3	5,−3
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

ワイアント指数

ジェームズ・C・ワイアントは「フリンジ」インデックス方式を採用していますが、これは1ではなく0から始まる（1を減算する）点が異なります。^[16]この方法は、Zygo干渉計の干渉縞解析ソフトウェアやオープンソースソフトウェアDFTFringeなどで広く使用されています。

例

放射状多項式

最初のいくつかの放射状多項式は次のとおりです。

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}$

ゼルニケ多項式

様々な指数における最初のいくつかのゼルニケモード^{[4] [17]}を以下に示す。この表では、他のセクションとは異なる正規化が行われている。つまり、 は と等価である。 ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}[Z_{j}(\rho ,\phi )]^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)_{\text{unit circle}}=1}$

${\displaystyle Z_{n}^{l}}$	OSA/ANSI インデックス （） ${\displaystyle j}$	ノル 指数 （） ${\displaystyle j}$	ワイアント 指数 （） ${\displaystyle j}$	フリンジ/UA 指数 （） ${\displaystyle j}$	ラジアル 度数 （） ${\displaystyle n}$	方位 角度 （） ${\displaystyle l}$	${\displaystyle Z_{j}}$	古典的な名前
${\displaystyle Z_{0}^{0}}$	0 0	0 1	0 0	0 1	0	0 0	${\displaystyle 1}$	ピストン（ウィグナー半円分布を参照）
${\displaystyle Z_{1}^{-1}}$	0 1	0 3	0 2	0 3	1	−1	${\displaystyle 2\rho \sin \phi }$	傾斜（Y傾斜、垂直傾斜）
${\displaystyle Z_{1}^{1}}$	0 2	0 2	0 1	0 2	1	+1	${\displaystyle 2\rho \cos \phi }$	傾斜（X傾斜、水平傾斜）
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	0 3	0 5	0 5	0 6	2	−2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi }$	斜乱視
${\displaystyle Z_{2}^{0}}$	0 4	0 4	0 3	0 4	2	0 0	${\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}$	焦点ずれ（縦位置）
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	0 5	0 6	0 4	0 5	2	+2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi }$	垂直乱視
${\displaystyle Z_{3}^{-3}}$	0 6	0 9	10	11	3	−3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi }$	縦三つ葉
${\displaystyle Z_{3}^{-1}}$	0 7	0 7	0 7	0 8	3	−1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }$	垂直コマ
${\displaystyle Z_{3}^{1}}$	0 8	0 8	0 6	0 7	3	+1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }$	水平コマ
${\displaystyle Z_{3}^{3}}$	0 9	10	0 9	10	3	+3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi }$	斜め三つ葉
${\displaystyle Z_{4}^{-4}}$	10	15	17	18	4	−4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi }$	斜め四葉翼
${\displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	12	13	4	−2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi }$	斜二次乱視
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	0 8	0 9	4	0 0	${\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	一次球状
${\displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	11	12	4	+2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi }$	垂直二次乱視
${\displaystyle Z_{4}^{4}}$	14	14	16	17	4	+4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi }$	垂直四葉翼

アプリケーション

フラットトップビームの収差として導入された最初の21個のゼルニケ多項式（上記参照）の結果。ビームはレンズによって結像され、フーリエ変換されます。この図ではその強度が示されています。

これらの関数は円形のサポート領域、典型的には有限径のレンズとミラーのシステムを通して可視光線と赤外線波長で古典的な光学画像化を行う際の瞳孔面上に定義される基底である。その利点は、ラジアル関数の単純さから受け継がれた単純な解析特性と、ラジアル関数と方位角関数における因数分解である。これにより、例えば、ベッセル関数を用いた2次元フーリエ変換の閉じた形式の表現が得られる。 ^{[18] [19]}その欠点は、特に高いnが関係する場合、単位円板上の節線の分布が不均一であり、これが周囲付近でリンギング効果をもたらし、円形円板上で他の直交関数を定義しようとする試みにつながることが多い。^{[20] [21] [22]} ${\displaystyle \rho \approx 1}$

精密光学製造において、ゼルニケ多項式は干渉分析で観測される高次誤差を特徴付けるために使用されます。シャック・ハルトマンのような波面傾斜センサーでは、測定された傾斜をサンプリングサブアパーチャにわたって平均化されたゼルニケ多項式導関数でフィッティングすることにより、波面のゼルニケ係数を得ることができます。^[23]検眼学と眼科学 では、ゼルニケ多項式は、屈折誤差の原因となる、角膜または水晶体の理想的な球面形状からの波面収差を記述するために使用されます。ゼルニケ多項式は補償光学でもよく使用され、大気の歪みを特徴付けるために使用できます。明らかな用途としては、赤外線天文学や可視天文学、衛星画像などがあります。

ゼルニケ多項式のもう一つの応用は、回折と収差の拡張ナイボア・ゼルニケ理論にあります。

ゼルニケ多項式は、画像モーメントの基底関数として広く使用されています。ゼルニケ多項式は互いに直交しているため、ゼルニケモーメントは、モーメント間の情報の冗長性や重複なしに画像の特性を表すことができます。ゼルニケモーメントは、関心領域（ROI）内のオブジェクトのスケーリングと移動に大きく依存しますが、その大きさはオブジェクトの回転角度とは無関係です。^{[24]そのため、ゼルニケモーメントを利用して、オブジェクトの形状特性を記述する画像から}特徴を抽出することができます。たとえば、ゼルニケモーメントは、乳房腫瘤の良性と悪性^[25]や振動するディスクの表面を分類するための形状記述子として利用されています。^[26]ゼルニケモーメントは、骨肉腫癌細胞株の形状を単一細胞レベルで定量化するためにも使用されています。^[27]さらに、ゼルニケモーメントは、アルツハイマー病、軽度認知障害、および健常群のMR画像から識別情報を抽出することにより、アルツハイマー病の早期発見に利用されている。^[28]

高次元

この概念は、直交座標系の多項式を超球面座標系,に変換し、これに角度変数のヤコビ多項式の積を乗じることで、より高次元のDに展開されます。次元において、角度変数は例えば球面調和関数です。べき乗の線形結合は、次式を満たす直交基底を定義します。 ${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$ ${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$ ${\displaystyle D=3}$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$。

（ここでRの定義では係数が吸収されるのに対し、正規化では係数の選択が若干異なることに注意してください。これは主に好みの問題で、係数の整数セットを維持したいのか、直交化が含まれる場合はより厳密な式を好むのかによって異なります。）明示的な表現は^[3]です。 ${\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}$ ${\displaystyle D=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

偶数の場合はゼロ、そうでない場合は特別なケースでゼロと同じ ${\displaystyle n-l\geq 0}$ ${\displaystyle R_{n}^{(n)}(\rho )={\sqrt {2n+D}}\rho ^{n}.}$

ガウス超幾何関数の微分方程式は次式と等価である。

${\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{(l)}(\rho )=\left[n\rho ^{2}(n+D)-l(D-2+l)\right]R_{n}^{(l)}(\rho )+\rho \left[D-1-(D+1)\rho ^{2}\right]{\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{(l)}(\rho ).}$

上で引用した固定変数と可変変数のキントナーの再帰式は、一般的な形式である^[29] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n\pm 2}$ ${\displaystyle D=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&-(1+{\frac {n-l}{2}})(1-n-{\frac {D}{2}}){\frac {n+l+D}{2}}{\frac {R_{n+2}^{(l)}(\rho )}{\sqrt {2(n+2)+D}}}\\=&{\frac {n-l}{2}}(1+n+{\frac {D}{2}})(1-{\frac {n+l+D}{2}}){\frac {R_{n-2}^{(l)}(\rho )}{\sqrt {2(n-2)+D}}}\\&+(n+{\frac {D}{2}})\left[(1+n+{\frac {D}{2}})(1-n-{\frac {D}{2}})(1-\rho ^{2})+{\frac {1}{2}}(n-l)(D+n+l)+l+{\frac {D}{2}}-1\right]{\frac {R_{n}^{(l)}(\rho )}{\sqrt {2n+D}}}.\end{aligned}}}$

これはDengとGwo ^[30]によって提案された。 ${\displaystyle D=3}$

固定および可変の場合の再発は^[31] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l\pm 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l+{\frac {D}{2}}-1)\left[(l+{\frac {D}{2}})(l-2+{\frac {D}{2}})-{\frac {1}{2}}(l^{2}+lD+Dn+D^{2}/2+n^{2}-2l-D)r^{2}\right]R_{n}^{(l)}(r)\\&=-(l+{\frac {D}{2}})({\frac {n+l+D}{2}}-1)(1+{\frac {n-l}{2}})r^{2}R_{n}^{(l-2)}(r)-({\frac {n-l}{2}})({\frac {n+l+D}{2}})(l-2+{\frac {D}{2}})r^{2}R_{n}^{(l+2)}(r).\end{aligned}}}$

のケースはChongらによって発表されました。^[11] ${\displaystyle D=2}$

参照

• ヤコビ多項式
• ナイボア・ゼルニケ理論
• 擬似ゼルニケ多項式

参考文献

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外部リンク

• 拡張された Nijboer-Zernike Web サイト
• ゼルニケモーメントの高速計算のためのMATLABコード 2015年8月1日アーカイブWayback Machine
• ゼルニケ多項式を計算するための Python/NumPy ライブラリ
• 望遠鏡光学におけるゼルニケ収差
• 例: WolframAlphaを使用してZernike多項式をプロットする
• orthopy、直交多項式（ゼルニケ多項式を含む）を計算する Python パッケージ

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