三角関数の恒等式の一覧

三角法において、三角恒等式は三角関数を含む等式であり、等式の両辺が定義されている発生変数の任意の値に対して成立します。幾何学的には、これらは1つ以上の角度の特定の関数を含む等式です。これらは三角形の恒等式とは異なります。三角形の恒等式は、角度を含む可能性があるだけでなく、三角形の辺の長さやその他の長さも含む等式です。

これらの恒等式は、三角関数を含む式を簡略化する必要がある場合に便利です。重要な応用例としては、非三角関数の積分があります。一般的な手法としては、まず三角関数に置換規則を適用し、次に得られた積分を三角恒等式で簡略化します。

ピタゴラスの等式

三角関数とその単位円上の逆数。すべての直角三角形は相似、つまり対応する辺の比は同じです。sin、cos、tanの場合、単位長さの半径は、それらを定義する三角形の斜辺を形成します。逆数の恒等式は、この単位直線が斜辺ではなくなった三角形の辺の比として生じます。青色の三角形は恒等式 を示し、赤色の三角形は を示しています。 ${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }$

正弦と余弦の基本的な関係は、ピタゴラスの定理によって与えられます。

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$$

手段と手段​ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {(\sin \theta )}^{2}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {(\cos \theta )}^{2}.}$

これはピタゴラスの定理の一種と見ることができ、単位円の方程式から導かれます。この方程式は正弦または余弦のどちらについても解くことができます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$$

ここで、符号は象限によって決まります ${\displaystyle \theta .}$

この恒等式を、、またはその両方で割ると、次の恒等式が得られます。 ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$

これらの恒等式を使用すると、任意の三角関数を他の任意の関数（プラスまたはマイナスの符号まで）で表現できます。

各三角関数を他の5つの関数のそれぞれについて表す。^[1]

に関しては	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \cot \theta }$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \cot \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta }$

反射、シフト、周期性

単位円を調べることによって、三角関数の次の特性を確立することができます。

反射

反射角を増分でシフトするときの座標（ a、b ）の変換 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

ユークリッドベクトルの方向が角度で表される場合、これは自由ベクトル（原点を起点とする）と正の単位ベクトルによって決まる角度です。同じ概念はユークリッド空間内の直線にも適用でき、その場合の角度は、原点と正の 軸を通る直線に平行な線によって決まる角度です。方向を持つ直線（ベクトル）が方向を持つ直線について鏡映された場合、この鏡映された直線（ベクトル）の方向角は次の値を持ちます。 ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ $${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

これらの角度の三角関数の値は、特定の角度に対して単純な恒等式を満たす。すなわち、等しいか、反対の符号を持つか、あるいは相補三角関数を用いるかのいずれかである。これらは縮約公式とも呼ばれる。^[2] ${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \theta }$[3]奇数/偶数に反映されている ${\displaystyle \alpha =0}$	${\displaystyle \theta }$反映されている ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle \theta }$反映されている ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \theta }$反映されている ${\displaystyle \alpha ={\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle \theta }$比較して反映される ${\displaystyle \alpha =\pi }$ ${\displaystyle \alpha =0}$
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )}$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )}$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )}$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )}$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )}$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}$

シフトと周期性

角度を増分でシフトするときの座標（ a、b ）の変換 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

1四半期分シフト	半周期シフト	フル期間シフト[4]	期間
${\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta }$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}}$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}}$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \pi }$

標識

三角関数の符号は角度の象限に依存する。sgnが符号関数である場合、 ${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

三角関数は共通周期で周期的であるため、区間外のθの値については繰り返し値を取ります (上記の § シフトと周期性を参照)。 ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle ({-\pi },\pi ],}$

角度の和と差の恒等式

角度の和の三角関数の恒等式を導く幾何学的構成

とに対する角度差の恒等式を示す図 ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$

これらは角度の加法定理と減法定理（または公式）としても知られています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$$

およびの角度差恒等式は、およびという事実を用いて、 を および に代入することで、角度和恒等式から導くことができます。また、図に示している角度和恒等式の若干修正版を用いることで、これらの恒等式を導くこともできます。 ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}$ ${\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}$

これらの恒等式は次の表の最初の 2 行にまとめられています。この表には、他の三角関数の和と差の恒等式も含まれています。

正弦	${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$[5] [6]
余弦	${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$[6] [7]
正接	${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}$[6] [8]
コセカント	${\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}}$[9]
割線	${\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}}$[9]
余接	${\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}$[6] [10]
アークサイン	${\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)}$[11]
アークコサイン	${\displaystyle \arccos x\pm \arccos y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}$[12]
アークタンジェント	${\displaystyle \arctan x\pm \arctan y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)}$[13]
アークコタンジェント	${\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}$

無限個の角度の和の正弦と余弦

級数が絶対収束すると ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

この級数は絶対収束するので、必然的に かつ となる。特に 、これら2つの恒等式には、有限個の角度の和の場合には見られない非対称性が現れている。つまり、各積において、正弦因子は有限個しか存在しないが、余弦因子は余有限個存在する。正弦因子が無限個である項は、必然的にゼロとなる。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

角度のうち有限個のみが非ゼロである場合、右辺の項のうち有限個のみが非ゼロとなります。これは、正弦因子のうち有限個を除くすべてがゼロとなるためです。さらに、各項において、余弦因子のうち有限個を除くすべてが1となります。 ${\displaystyle \theta _{i}}$

和の正接と余接

（に対して）を変数のk次基本対称多項式とすると、 ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$ $${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$ ${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

それから

$${\displaystyle \tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.}$$これは、上記の正弦と余弦の和の公式を使用して示すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]\cot {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

右側の項の数は左側の項の数によって決まります。

例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

などがある。項が有限個の場合は数学的帰納法によって証明できる。^[14]項が無限個の場合はいくつかの基本的な不等式を使って証明できる。^[15]

和の正接に関連する正接の線形分数変換

と仮定し、 ${\textstyle a,b,c,d,p,q\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\frac {ai+b}{ci+d}}=pi+q}$

を任意の数とすると、前述の分数が にならないと仮定する。すると、すべての^{[16]に対して} ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \tan \varphi =c/d.}$ ${\textstyle a/c\neq b/d}$ ${\textstyle 0/0}$ ${\textstyle \theta \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\frac {a\tan \theta +b}{c\tan \theta +d}}=p\tan(\theta -\varphi )+q.}$

(この分数の分母が 0 の場合、分数の値は となります。ここで、記号 はまたは を意味するのではなく、正または負の方向のいずれかに進むことによって に近づくものであり、直線の完成形は位相的に円になります。) ${\textstyle \infty }$ ${\textstyle \infty }$ ${\textstyle +\infty }$ ${\textstyle -\infty }$ ${\textstyle \infty }$ ${\textstyle \mathbb {R} \cup \{\,\infty \,\}}$

この恒等式から、すべてのコーシー分布に従う確率変数の族は線形分数変換に対して閉じていることがすぐに示され、これは1976年以来知られている結果である。^[17]

和の割線と余割線

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

ここで、はn変数のk次基本対称多項式であり、分母の項数と分子の積の因数は左辺の和の項数に依存する。^[18]項数が有限個の場合は、そのような項の数に関する数学的帰納法によって証明することができる。 ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$

例えば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

プトレマイオスの定理

プトレマイオスの定理と正弦の角和三角恒等式の関係を示す図。プトレマイオスの定理は、対辺の長さの積の和が対角線の長さの積に等しいことを述べています。これらの辺の長さを上図に示す sin と cos の値で表すと、正弦の角和三角恒等式sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin βが得られます。

プトレマイオスの定理は三角関数の恒等式の歴史において重要な意味を持つ。これは、正弦と余弦の和と差の公式と等価な結果が初めて証明された方法だからである。この定理は、図に示すように、円周四辺形 において、対辺の長さの積の和が対角線の長さの積に等しいことを述べている。対角線または辺の1つが円の直径である特殊なケースでは、この定理から直接、角の和と差に関する三角関数の恒等式が導かれる。^[19]この関係は、ここに示すように、円の直径が長さ1になるように作図した場合に最も簡単に導かれる。 ${\displaystyle ABCD}$

タレスの定理によれば、 、、 はどちらも直角です。直角三角形と はどちらも長さ1の斜辺を共有しています。したがって、辺、、となります。 ${\displaystyle \angle DAB}$ ${\displaystyle \angle DCB}$ ${\displaystyle DAB}$ ${\displaystyle DCB}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$ ${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$

円周角定理によれば、円の中心における弦が囲む中心角は、角度 の2倍、つまり です。したがって、対称的な赤い三角形のペアはそれぞれ、中心に角度 を持ちます。これらの三角形の斜辺の長さはそれぞれ であるため、 の長さは 、つまり単に です。四辺形のもう一方の対角線は直径で長さ1であるため、対角線の長さの積も です。 ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle \angle ADC}$ ${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$

これらの値をプトレマイオスの定理の という命題に代入すると、正弦の角和の三角恒等式が得られます。 の角度差の公式は、の代わりに を直径とすることで同様に導くことができます。^[19] ${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$

倍角と半角の公式

T nはn次チェビシェフ多項式である。	${\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$[20]
ド・モアブルの公式、iは虚数単位である	${\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}$[21]

多角形公式

二倍角の公式

正弦の二倍角の公式の視覚的な説明。上記の単位辺と角度を持つ二等辺三角形の面積は⁠ ${\displaystyle 2\theta }$1/2⁠ × 底辺 × 高さは2つの方向で計算されます。垂直のとき、面積は です。横向きのとき、同じ面積は です。したがって、 ${\displaystyle \sin \theta \cos \theta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .}$

角度の2倍の公式^[22]

• ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$

三角の公式

三角の公式^[22]

• ${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

多角形公式

多重角度の公式^[23]

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=\sin(\theta )\cdot \sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}\cdot {(2\cdot \cos(\theta ))}^{n-2k-1}\cdot {n-k-1 \choose k}\\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \\{}&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}\cdot {(2\cdot \cos(\theta ))}^{n-2k}\cdot {n-k \choose k}\cdot {\frac {n}{2n-2k}}\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )}$
• ${\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )}$
• ${\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}}$

チェビシェフ法

チェビシェフ法は、番目と番目の値がわかっている場合にn番目の多重角度の式を見つけるための再帰 アルゴリズムです。^[24] ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle \cos(nx)}$は、、、から計算でき、 ${\displaystyle \cos((n-1)x)}$ ${\displaystyle \cos((n-2)x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

$${\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).}$$

これは、式を足し合わせることで証明できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}}$$

帰納法により、 はいわゆる第一種チェビシェフ多項式の多項式であることがわかります。チェビシェフ多項式#三角関数の定義を参照してください。 ${\displaystyle \cos(nx)}$ ${\displaystyle \cos x,}$

同様に、はとから計算できる。これはと の公式を加えることで証明できる。 ${\displaystyle \sin(nx)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x),}$ ${\displaystyle \sin((n-2)x),}$ ${\displaystyle \cos x}$ $${\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)}$$ ${\displaystyle \sin((n-1)x+x)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x-x).}$

チェビシェフ法と同様の目的を果たす接線については次のように書くことができます。

$${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$$

半角の公式

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}$$^{[25] [26]}

また $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$$

テーブル

これらは、和と差の恒等式、または倍角の公式のいずれかを使用して表示できます。

	正弦	余弦	正接	余接
二倍角の公式[27] [28]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}$
三角公式[20] [29]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
半角の公式[25] [26]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

正弦と余弦の三重角の公式には単一の関数の累乗しか含まれないという事実により、コンパスと定規を使用して角の三等分を作成するという幾何学の問題を、三次方程式を解くという代数の問題に関連付けることができ、これにより、与えられたツールを使用した三等分は一般に不可能であることを証明できます。

1/3角の三角恒等式を計算する公式は存在しますが、3次方程式 4 x ³ − 3 x + d = 0の零点を見つける必要があります。ここで、 は1/3角における余弦関数の値、d は全角における余弦関数の既知の値です。しかし、この方程式の判別式は正であるため、この方程式には3つの実根があります（そのうち1つだけが1/3角の余弦の解です）。これらの解はいずれも、 3次根の下で中間の複素数を使用しているため、実代数式に還元できません。 ${\displaystyle x}$

電力削減の公式

余弦二倍角の公式の 2 番目と 3 番目のバージョンを解くことによって得られます。

正弦	余弦	他の
${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}}$

コサインのべき乗減少公式：説明図。赤、オレンジ、青の三角形はすべて相似で、赤とオレンジの三角形は合同です。青の三角形の斜辺の長さは です。角はなので、その三角形の底辺の長さは です。この長さはとの長さの合計にも等しく、つまり です。したがって です。両辺を で割ると、コサインのべき乗減少公式が得られます。。コサインの半角公式は、を に置き換え、両辺の​​平方根を取ることで得られます。 ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle 2\cos \theta }$ ${\displaystyle \angle DAE}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle 1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

正弦波のべき乗減少公式：説明図。 青と緑の網掛けの三角形、および赤で縁取られた三角形は、すべて直角で相似であり、すべて角度 を含みます。赤で縁取られた三角形の斜辺の長さはなので、その辺の長さは です。線分の長さは で、 との長さの合計は の長さ、つまり 1に等しくなります。したがって、 です。両辺から を引き、2 で割ると、正弦波のべき乗減少公式 が得られます。 正弦波の半角公式は、 を で置き換え、両辺の​​平方根を取ることで得られます。この図は、垂直線分 において であることも示していることに注意してください。 ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle 2\sin \theta }$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle 2\sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ ${\displaystyle {\overline {EB}}}$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

一般にまたはのべき乗に関して、次が真であり、ド・モアブルの公式、オイラーの公式、および二項定理を使用して導くことができます。 ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

nが ... の場合	${\displaystyle \cos ^{n}\theta }$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta }$
nは奇数	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$
nは偶数	${\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}$

積和と和積の恒等式

二等辺三角形を用いた補綴計算における和差積余弦恒等式の証明

積和恒等式^[30]、あるいはプロスタファエレシス公式は、角加法定理を用いて右辺を展開することで証明できます。歴史的には、これらの公式のうち最初の4つは、天文学的計算に用いたヨハネス・ヴェルナーにちなんでヴェルナーの公式として知られていました。^[31]積和恒等式については振幅変調、和積恒等式についてはビート（音響）と位相検出器を参照してください。

積和恒等式

異なる角度の 2 つの正弦または余弦の積は、それらの角度の和と差の三角関数の和に変換できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\cos \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}.\end{aligned}}}$$当然のことながら、正接の積または商は、それぞれ余弦または正弦の和の商に変換できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta \,\tan \varphi &={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}},\\[5mu]{\frac {\tan \theta }{\tan \varphi }}&={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}.\end{aligned}}}$$

より一般的には、任意の数の正弦または余弦の積については、^{[引用が必要]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[5mu]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n},\\\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}&={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

和積の恒等式

正弦と余弦の和と積の恒等式を示す図。青い直角三角形の角、赤い直角三角形の角 です。どちらも斜辺の長さは 1 です。補助角 (ここではおよび と呼びます) は、および となるように作図されます。したがって、 および となります。これにより、それぞれ底辺に斜辺と角を持つ、 2 つの合同な紫色の輪郭の三角形とを作成できます。赤い三角形と青い三角形の高さの合計は であり、これは紫色の三角形 1 つの高さの 2 倍、つまり に等しくなります。この式の とをおよび で 書き直すと、正弦の和と積の恒等式 が得られます。同様に、赤い三角形と青い三角形の幅の合計は、対応する余弦の恒等式 になります。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )}$ ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi )}$ ${\displaystyle \theta =p+q}$ ${\displaystyle \varphi =p-q}$ ${\displaystyle AFG}$ ${\displaystyle FCE}$ ${\displaystyle \cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi }$ ${\displaystyle 2\sin p\cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi )}$

2つの角度の正弦または余弦の和は、角度の平均と角度の差の半分の正弦または余弦の積に変換できます。^[32]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta +\sin \varphi &=2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\sin \theta -\sin \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta +\cos \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta -\cos \varphi &=-2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ).\end{aligned}}}$$

2つの角度の正接の和は、角度の正弦を余弦の積で割った商に変換できる。^[32] $${\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}.}$$

エルミートの余接恒等式

シャルル・エルミートは次の等式を証明した。^[33]複素数がπの整数倍の差を持たない とする。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$$

（特に、空積は1 である）。そして、 ${\displaystyle A_{1,1},}$

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$$

最も単純で自明でない例は n  = 2 の場合である。

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$$

三角関数の有限積

互いに素な整数n、mの場合

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$$

ここでT _nはチェビシェフ多項式である。^[要出典]

正弦関数には次の関係が成り立つ。

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$$

より一般的には整数n > 0の場合^[34]

$${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).}$$

またはコード関数で記述すると、 ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$${\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).}$$

これは多項式を 線形因数に因数分解することから得られる（単位根を参照）。任意の複素数zと整数n > 0に対して、 ${\textstyle z^{n}-1}$

$${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).}$$

線形結合

周期または周波数が同じで位相シフトが異なる正弦波の線形結合は、周期または周波数が同じで位相シフトが異なる正弦波でもあることを知っておくことは、いくつかの目的において重要です。これは、正弦波データのフィッティングにおいて有用です。なぜなら、測定または観測されたデータは、以下の同相成分および直交成分の基底の未知数aおよびbと線形関係にあるため、ヤコビアン は、および と比較してより単純になるからです。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

正弦と余弦

正弦波と余弦波の線形結合、または高調波加算は、位相シフトと振幅スケーリングされた単一の正弦波と同等である。^{[35] [36]}

$${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$$

ここで、およびは次のように定義されます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}}$$

とすれば ${\displaystyle a\neq 0.}$

任意の位相シフト

より一般的には、任意の位相シフトに対して、

$${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$$

ここで、次を満たします。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$$

2つ以上の正弦波

一般的なケースは次の通りである^[36]

$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$$どこでそして $${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$$ $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$$

ラグランジュの三角関数の恒等式

これらの恒等式は、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられており、以下の通りである。 ^{[37] [38] [39]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta &={\frac {-\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.}$

関連する関数としてディリクレ核がある。

$${\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.}$$

同様の同一性は^[40]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.}$$

証明は以下のとおりです。角度の和と差の恒等式を用いて、次の式を調べてみましょう。 $${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.}$$

$${\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\cdots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha }$$この式は上記の恒等式を使って次のように書くことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\cdots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}}$$

したがって、この式を で割ると証明が完了します。 ${\displaystyle 2\sin \alpha }$

特定の線形分数変換

が線形分数変換で与えられ、同様に ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$$ $${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$$ $${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$$

もっと簡潔に言えば、もし私たちが上で述べたことをすべて受け入れるとすれば、 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$$

が直線の傾きである場合、その直線を角度θで回転させた傾きは ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -\alpha .}$

複素指数関数との関係

オイラーの公式によれば、任意の実数xに対して^[41]、iは虚数単位である。xに−xを代入すると以下のようになる。 $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ $${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.}$$

これら2つの方程式は、指数関数を用いてコサインとサインを求めるのに使えます。具体的には、^{[42] [43]} $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$$ $${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$$

これらの公式は、他の多くの三角関数の恒等式を証明するのに有用である。例えば、 e ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφは、

cos( θ + φ ) + i sin( θ + φ ) = (cos θ + i sin θ ) (cos φ + i sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ )。

左辺の実部が右辺の実部と等しいことは、余弦の角度の加法公式です。虚部が等しいことは、正弦の角度の加法公式です。

次の表は、三角関数とその逆関数を指数関数と複素対数で表したものです。

関数	逆関数[44]
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}}$	${\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}}$	${\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$
${\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)}$
${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$	${\displaystyle \operatorname {arccis} x=-i\ln x}$

複素双曲線関数との関係

三角関数は複素引数を持つ双曲線関数から導かれる。その関係式は以下に示す通りである^{[45] [46]}。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=-i\sinh(ix)\\\cos x&=\cosh(ix)\\\tan x&=-i\tanh(ix)\\\cot x&=i\coth(ix)\\\sec x&=\operatorname {sech} (ix)\\\csc x&=i\operatorname {csch} (ix)\\\end{aligned}}}$$

シリーズ拡張

べき級数展開を用いて三角関数を定義すると、次の恒等式が得られる。^[47]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$$

無限積の公式

特殊関数への応用では、三角関数の無限積公式が有用である。 ^{[48] [49]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

逆三角関数

次の恒等式は三角関数と逆三角関数を合成した結果を与える。^[50]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&=x{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}$$

上記の各式の両辺の逆数をとると、 の式が得られます。上記の式の右辺は常に反転されます。例えば、 の式は： ですが、 との式は： ${\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.}$ ${\displaystyle \cot(\arcsin x)}$ $${\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$$ ${\displaystyle \csc(\arccos x)}$ ${\displaystyle \sec(\arccos x)}$ $${\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.}$$

以下の恒等式は反射恒等式から導かれる。これらは、関係する関数の領域にある ときはいつでも成立する。 ${\displaystyle x,r,s,-x,-r,}$ ${\displaystyle -s}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}$$

また、^[51] $${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}$$ $${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}$$

逆正接関数は級数的に展開できる：^[52] $${\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}$$

変数のない恒等式

逆正接関数に関しては^[51] $${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

モリーの法則として知られる奇妙な法則は、 $${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$$

は、1 つの変数を含む恒等式の特殊なケースです。 $${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}$$

同様に、は との恒等式の特殊なケースです。 $${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$$ ${\displaystyle x=20^{\circ }}$ $${\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$$

この場合、 ${\displaystyle x=15^{\circ }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

この場合、 ${\displaystyle x=10^{\circ }}$ $${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$$

同じコサイン恒等式は $${\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$$

同様に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

同様に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}$$

以下は、変数を含む恒等式に簡単に一般化できるものではないかもしれません (ただし、以下の説明を参照してください)。 $${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$$

分母が 21 であるこの等式を考慮すると、度測定はラジアン測定よりも適切ではなくなります。 $${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}$$

因数1、2、4、5、8、10はパターンを明確にし始めるかもしれません。それらは、⁠より小さい整数です。21/2⁠は21と互いに素である（または共通の素因数を持たない）。最後のいくつかの例は、既約円分多項式に関する基本事実の系である。すなわち、余弦はこれらの多項式の零点の実部である。零点の和は、 （上記の最後の例では）21で評価されたメビウス関数である。上記の例では零点の半分しか存在しない。この最後の例の前の2つの恒等式も同様に、21をそれぞれ10と15に置き換えて得られる。

他の余弦恒等式には以下が含まれる：^[53]すべての奇数に対して同様であり、したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$$

これらの奇妙なアイデンティティの多くは、次のようなより一般的な事実から生じています。[ ^54] $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$$ $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}$$

これらを組み合わせると $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$$

nが奇数（ ）の場合には対称性を利用して ${\displaystyle n=2m+1}$ $${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$$

バターワースローパスフィルタの伝達関数は、多項式と極を用いて表すことができます。周波数をカットオフ周波数と設定することで、次の恒等式が証明されます。 $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$$

コンピューティングπ

π を大きな桁数まで効率的に計算する方法は、マチンによる次の変数なしの恒等式に基づいています。これはマチン風の式として知られています。 あるいは、レオンハルト・オイラーの恒等式を使うこともできます。 あるいは、ピタゴラス数列を使うこともできます。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$$ $${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$$

その他には以下のものがある: ^{[55] [51]} $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$$ $${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

一般に、 θ _n = Σとなる数t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1)に対して、^{n −1}
_{k =1}arctan t _k ∈ ( π /4, 3 π /4)において、t _n = tan( π /2 − θ _n ) = cot θ _nとします。この最後の式は、 t ₁ , ..., t n −1 を接線とする角度の和のコタンジェントの公式を用いて直接計算することができ、その値は (-1, 1) の範囲になります。特に、 t 1 , ..., t _{n −1}の値が全て有理数である場合、計算されたt _nは有理数_になります_。これらの値を用いて、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$$

最初の式を除くすべての式では、正接半角の公式を使用しています。最初の2つの式は、t _k値の1つ以上が(-1, 1)の範囲外であっても有効です。t = p / qが有理数の場合、上記の式における(2 t , 1 − t ² , 1 + t ² )の値は、ピタゴラスの定理(2 pq , q ² − p ² , q ² + p ² )に比例することに注意してください。

たとえば、n = 3項の 場合、 a、b、c、d > 0 となります。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$$

ユークリッドの恒等式

ユークリッドは『原論』第13巻命題10において、円に内接する正五角形の辺にある正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺にある正方形の面積の和に等しいことを示した。これは現代の三角法の言葉で表現すると次のようになる。 $${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$$

プトレマイオスはこの命題を使って、『アルマゲスト』第 1 巻第 11 章の弦の表のいくつかの角度を計算しました。

三角関数の合成

これらの恒等式は三角関数の三角関数に関係している：^[56]

${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

ここで、J _iはベッセル関数です。

このケースのさらなる「条件付き」同一性α+β+γ= 180°

条件付き三角関数恒等式は、三角関数の引数に関する特定の条件が満たされる場合に成立する三角関数恒等式である。^[57]以下の公式は任意の平面三角形に適用され、公式に現れる関数が明確に定義されている限り、から導かれる（後者は正接と余接が現れる公式にのみ適用される）。^[58] ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

歴史的な速記法

正弦、隠正弦、半正弦、そして正割は航海に用いられました。例えば、半正弦の公式は球面上の2点間の距離を計算するために用いられました。現在ではほとんど使われていません。

その他

ディリクレ核

ディリクレ核 D _n ( x )は、次の恒等式の両辺に現れる関数である。 $${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}$$

周期の積分可能な関数とディリクレ核の畳み込みは、その関数の次数フーリエ近似と一致する。任意の測度または一般化関数についても同様のことが成り立つ。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle n}$

接線半角置換

とすると[ ^59]、cis xと略されることも ある。 $${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$$ $${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},}$$ ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

tan ⁠のを に置き換えると ${\displaystyle t}$×/2⁠は微積分で使用されているため、 ⁠ は⁠に置き換えられます ${\displaystyle \sin x}$2トン/1 + t ²⁠は⁠に置き換えられます ${\displaystyle \cos x}$1 − t ²/1 + t ²⁠そして微分d xは⁠に置き換えられます2日t/1 + t ²⁠ . これにより、と の有理関数を の有理関数に、それらの原始導関数を求めることができます。 ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle t}$

ヴィエトの無限積

$${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$$

参照

• アリスタルコスの不等式
• 三角関数の微分
• 正確な三角関数の値（無理数で表された正弦と余弦の値）
• エクセカント
• 半辺式
• 双曲線関数
• 三角形を解く法則:
  • 余弦定理
    • 球面余弦定理
  • 正弦の法則
  • 接線の法則
  • 余接の法則
  • モルワイデの式
• 三角関数の積分一覧
• 三角法の記憶術
• ペンタグラマ・ミリフィカム
• 三角関数の等式の証明
• プロスタファエレシス
• ピタゴラスの定理
• 正接半角の公式
• 三角数
• 三角法
• 三角法の用途
• ヴェルシーヌとハバーシーヌ

参考文献

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参考文献

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外部リンク

• 3°と5+5/8°の整数倍、および同じ角度csc、sec、tanに対する、無理数で表されたsinとcosの値

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