ゼータ分布

ゼータ
確率質量関数 対数対数スケール上のゼータPMFのプロット。（この関数はkが正の整数値の場合のみ定義されます。接続線は連続性を示しません。）
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle s\in (1,\infty )}$
サポート	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2}$
モード	${\displaystyle 1\,}$
分散	${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3}$
エントロピ	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log(k^{s}\zeta (s))}{k^{s}\zeta (s)}}.}$
MGF	存在しない
CF	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{\zeta (s)}}}$

確率論と統計学において、ゼータ分布は離散確率分布である。Xがパラメータsを持つゼータ分布に従う確率変数である場合、 Xが正の整数値kをとる確率は確率質量関数で与えられる。

$${\displaystyle f_{s}(k)={\frac {k^{-s}}{\zeta (s)}}}$$

ここでζ ( s )はリーマンゼータ関数（s = 1の場合には定義されない）である。

Xの異なる素因数の重複度は独立した確率変数です。

リーマン ゼータ関数は正の整数kのすべての項の和であるため、ジップ分布の正規化として現れます。「ジップ分布」と「ゼータ分布」という用語はしばしば同じ意味で使用されます。しかし、ゼータ分布はそれ自体が確率分布であるにもかかわらず、同じ指数を持つ ジップの法則とは関連がありません。 ${\displaystyle k^{-s}}$

意味

ゼータ分布は正の整数 に対して定義され、その確率質量関数は によって与えられます。 ここではパラメータ、 はリーマンゼータ関数です。 ${\displaystyle k\geq 1}$ $${\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s},}$$ ${\displaystyle s>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

累積分布関数は次式で与えられる。 ここで、は一般化調和数である。 $${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},}$$ ${\displaystyle H_{k,s}}$ $${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$$

瞬間

n番目の生モーメントは、X ⁿの期待値として定義されます。

$${\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}}$$

右辺の級数はリーマンゼータ関数の級数表現に過ぎませんが、1より大きい値に対してのみ収束します。したがって、 ${\displaystyle s-n}$

$${\displaystyle m_{n}={\begin{cases}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\text{for }}n<s-1\\\infty &{\text{for }}n\geq s-1\end{cases}}}$$

ゼータ関数の比は、n  >  s  − 1 の場合でも明確に定義されます。これは、ゼータ関数の級数表現が解析的に接続できるためです。ただし、モーメントが級数自体によって規定され、したがってnが大きい場合には定義されないという事実は変わりません。

モーメント生成関数

モーメント生成関数は次のように定義される。

$${\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}$$

この級数は多重対数の定義にすぎず、 に対して有効であるため、 ${\displaystyle e^{t}<1}$

$${\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.}$$

これは を含む開区間に収束しないので、モーメント生成関数は存在しません。 ${\displaystyle t=0}$

s = 1の場合

ζ (1) は調和級数として無限大なので、 s = 1の場合は意味をなさない。しかし、Aが密度を持つ任意の正の整数の集合である場合、すなわち

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}$$

が存在する。ここでN ( A ,  n ) はAの要素数がn以下である場合、

$${\displaystyle \lim _{s\to 1^{+}}P(X\in A)\,}$$

その密度に等しいです。

後者の極限は、 Aが密度を持たない場合にも存在する。例えば、Aが最初の桁がdである正の整数全体の集合である場合、Aは密度を持たないが、それでも上記の2番目の極限は存在し、次の式に比例する。

$${\displaystyle \log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right),\,}$$

これはベンフォードの法則です。

無限に割り切れる

ゼータ分布は、幾何分布に従う独立確率変数の列から構成できる。を素数とし、 をパラメータ の幾何分布に従う確率変数とすると、 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X(p^{-s})}$ ${\displaystyle p^{-s}}$

$${\displaystyle \mathbb {P} \left(X(p^{-s})=k\right)=p^{-ks}(1-p^{-s})}$$

確率変数が独立である場合、次のように定義される 確率変数は ${\displaystyle (X(p^{-s}))_{p\in {\mathcal {P}}}}$ ${\displaystyle Z_{s}}$

$${\displaystyle Z_{s}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{X(p^{-s})}}$$

ゼータ分布に従う: 。 ${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{s}=n\right)={\frac {1}{n^{s}\zeta (s)}}}$

言い換えると、確率変数は、次のディラック質量の合計によって与えられるレヴィ測度で無限に割り切れます。 ${\displaystyle \log(Z_{s})=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}X(p^{-s})\,\log(p)}$

$${\displaystyle \Pi _{s}(dx)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\geqslant 1}{\frac {p^{-ks}}{k}}\delta _{k\log(p)}(dx)}$$

参照

その他の「べき乗法則」分布

• コーシー分布
• レヴィ分布
• レヴィ歪度アルファ安定分布
• パレート分布
• ジップの法則
• ジップ・マンデルブロの法則
• 無限に割り切れる分布
• ユール・サイモン分布

外部リンク

• ガット、アラン. 「リーマンゼータ分布に関するいくつかの考察」. CiteSeerX  10.1.1.66.3284 .Gut が「リーマン ゼータ分布」と呼んでいるものは、実際には −log X の確率分布です 。ここで、X はこの記事でゼータ分布と呼んでいるランダム変数です。
• ワイスタイン、エリック W. 「Zipf Distribution」。マスワールド。

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeta_distribution&oldid=1305371613」より取得