吸収セット

Set that can be "inflated" to reach any point

関数解析および関連する数学分野において、ベクトル空間における吸収集合とは、ベクトル空間の任意の点を最終的に必ず含むように「膨張」または「拡大」できる集合のことである。別名、放射状集合、吸収集合とも呼ばれる。あらゆる位相ベクトル空間における原点の近傍は、吸収部分集合である。 ${\displaystyle S}$

意味

スカラーの表記

が実数体または複素数体上のベクトル空間であり、任意 のに対して、を中心とする半径 の開球（それぞれ閉球）を表すものとする。スカラー集合とベクトル 集合の積を と定義し、と単一ベクトルの積を と定義する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle -\infty \leq r\leq \infty ,}$ $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{ and }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\},}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\}.}$

予選

バランスの取れたコアとバランスの取れた船体

のサブセットは、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$すべてに対して、そしてこの条件を満たすすべてのスカラーが、より簡潔に次のように記述できる場合、そして、 ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

集合が与えられたとき、を含む最小のバランス集合は ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$のバランスのとれた包であり、その中で最もバランスのとれた集合は ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$これらの 集合は、式 および で与えられます （これらの式は、バランスのとれた包とバランスのとれた核が常に存在し、かつ一意であることを示しています）。集合がバランスのとれた集合とは、そのバランスのとれた包（）またはバランスのとれた核（）に等しい場合にのみ存在します。後者の場合、これら3つの集合はすべて等しくなります。 ${\displaystyle T.}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

が任意のスカラーの 場合、がゼロ以外の 場合、またはの 場合、 ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle 0\in T}$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

一つのセットが別のセットを吸収する

とが の部分集合である場合、は ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ 以下の同等の条件のいずれかを満たす場合に吸収します。 ${\displaystyle S}$

1. 定義:任意のスカラーに対してを満たす実数が存在する。または、より簡潔に言えば、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • スカラー場がである場合、直感的に言えば、「を吸収する」とは、が永続的に「拡大」または「膨張」する場合（を指す） 、最終的には（十分に大きいすべての正の に対して）、すべてがを含み、同様に、十分に大きいすべての負の に対しても、最終的には が を含む必要があることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t<0}$
   • この定義は、基礎となるスカラー体の標準ノルム（つまり絶対値 ）に依存しており、この定義はスカラー体上の通常のユークリッド位相に結びついています。したがって、吸収集合の定義（以下に示す）もこの位相に結びついています。 ${\displaystyle |\cdot |}$
2. 任意の非ゼロ^[注1]スカラーに対して、を満たす実数が存在する。あるいは、より簡潔に言えば、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • この和集合は原点を除いた閉球に等しいので、この条件は次のように言い換えられる。 ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$ ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • 非厳密な不等式は、次の特徴付けである厳密な不等式に置き換えることができます。 ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,,}$
3. 任意の非ゼロ^[注1]スカラーに対して、を満たす実数が存在する。あるいは、より簡潔に言えば、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • これは原点を取り除いたオープンボールであり、 ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

がバランスのとれたセットである場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle A}$

4. ゼロでないスカラーが存在し、 ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • その場合、要件は削除される可能性があります。 ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$
5. ゼロでないスカラー^[注1]が存在し、 ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

(吸収集合であること、または位相において原点の近傍であることの必要条件)であれば、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$

6. を満たす任意のスカラーに対して、より簡潔に言えば、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. を満たす任意のスカラーに対して、より簡潔に言えば、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • 包含は（ なので）と等価です。これは書き直すことができるため、次の文が得られます。 ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$
8. 次のようなものが存在する ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. 次のようなものが存在する ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. 次のようなものが存在する ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • 次の特徴付けは、上記の特徴付けと、任意のスカラーに対しての平衡包がを満たし、（ であるため）その平衡核がを満たすという事実から導かれる。 ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. が存在する。つまり、集合がバランスのとれた核の正のスカラー倍数に含まれる場合、集合は吸収される。 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
12. 次のようなものが存在する ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. ゼロでない^[注1]スカラーが存在する。つまり、バランスのとれたコアにはゼロでないスカラー倍数が含まれている。 ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
14. スカラーが存在する。言葉で言えば、バランスのとれた殻を含むようにスケールできる。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
15. 次のようなスカラーが存在する。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
16. スカラーが存在する。つまり、バランスのとれたコアが含むようにスケールできる。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
17. 次のようなスカラーが存在する。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
18. となるスカラーが存在する。つまり、のバランスの取れたコアは、のバランスの取れた殻を含むようにスケールすることができる。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
19. バランスの取れたコアはバランスの取れた船体を吸収します(これ以外の「吸収」の定義条件に従って)。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$

またはの場合、このリストは次のように拡張できます。 ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

20. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$吸収します（これ以外の「吸収」の定義条件に従って）。 ${\displaystyle S}$
    • 言い換えれば、の場合（または の場合当然）上記の特徴付けにおいては に置き換えられます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

点を吸収する集合

セットは点を吸収するの は、それが単一集合。集合が原点を吸収するのは、それが原点を含む場合である。 つまり、集合が原点を吸収するのその集合のすべての点を吸収する場合である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

ある集合が別の集合を吸収するという概念は、他の定義にも用いられます。位相ベクトル空間の部分集合は、原点のすべての近傍に吸収される場合、 有界集合と呼ばれます。また、ある集合がすべての有界部分集合を吸収する場合、 その集合は「生食性」と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$

最初の例

あらゆる集合は空集合を吸収しますが、空集合は空でない集合を吸収しません。原点を含む単独集合は、自身を吸収する唯一の単独部分集合です。 ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$

がまたは と等しいと仮定します。が単位円（原点 を中心とする）と原点 を合わせたものである場合、 はを吸収する唯一の空でない集合です。さらに、の空でない部分集合で単位円 に吸収されるものは存在しません。対照的に、原点のすべての近傍は のすべての有界部分集合を吸収します（したがって、特にはすべての単独部分集合/点を吸収します）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ ${\displaystyle X}$

吸収セット

体上のベクトル空間の部分集合は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$吸収性（または吸収性）のサブセットであり、 ${\displaystyle X}$以下の同等の条件のいずれかを満たす場合に吸収されます ${\displaystyle X}$(ここでは定義から始めて、各条件が前の条件の簡単な帰結となるように順序付けられています)。

1. 定義：すべてのポイントを吸収します。つまり、すべての吸収です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
   • したがって特に、すべての吸収セットに原点が含まれていなければならない場合は、吸収できません。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\not \in A.}$
2. ${\displaystyle A}$あらゆる有限のサブセットを吸収する ${\displaystyle X.}$
3. 任意のスカラーに対して、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. 任意のスカラーに対して、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in A}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. 任意の実数に対して、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • これは原点を中心とするスカラー場の半径の開いた球体であり、 ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • オープンボールの代わりにクローズドボールを使用できます。
   • 包含関係は、次の場合のみ成立するため、これは次の文を証明します。 ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
6. 任意の実数に対して、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • 位相幾何学との関連：が通常のハウスドルフユークリッド位相幾何学で与えられている場合、集合はにおける原点の近傍である。したがって、が における原点の近傍である場合と同値となる実数が存在する。したがって、 がこの条件を満たすのは、 がユークリッド位相幾何学で与えられている場合、任意の に対してにおける の近傍である場合と同値である。これにより、次の特徴付けが得られる。 ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle B_{r}x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x;}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$
   • 1次元ベクトル空間上のTVS位相^{[注2]は、（非ハウスドルフ）}自明位相とハウスドルフユークリッド位相のみである。 の任意の1次元ベクトル部分空間は、何らかの非零元に対しての形をとり、この1次元空間に（一意な） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ハウスドルフベクトル位相の場合、で定義される写像は必然的にTVS 同型になります(通常どおり、はユークリッド計量によって誘導される標準的なユークリッド位相を備えています)。 ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
7. ${\displaystyle A}$は原点を含み、 のすべての 1 次元ベクトル部分空間に対しては、に固有のハウスドルフ ベクトル位相 (つまり、ユークリッド位相) が与えられているときの における原点の近傍です。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • この特徴付けにおいてユークリッド位相が区別される理由は、最終的には、スカラー体にこの（ユークリッド）位相が与えられたときにスカラー乗算が連続であるという、 TVS位相の定義要件^{[注 2]}に由来します。 ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
   • ${\displaystyle 0}$-近傍は吸収的である: この条件は、あらゆる位相ベクトル空間(TVS)の原点のすべての近傍が必然的に吸収的である理由についての洞察を与えます。 がTVS の原点の近傍である場合、 によって誘導される部分空間位相が備わっている場合、すべての 1 次元ベクトル部分空間に対して は、における原点の近傍です。この部分空間位相は常にベクトル位相です^{[注 2]}。 は 1 次元であるため、その上のベクトル位相は、ハウスドルフユークリッド位相と、ユークリッド位相のサブセットである自明な位相です。したがって、これらのベクトル位相のどれが上にあるかに関係なく、 は、その唯一のハウスドルフベクトル位相 (ユークリッド位相) に関して、における原点の近傍になります。 ^{[注 3]} したがって は吸収的です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$
8. ${\displaystyle A}$には原点が含まれており、 のすべての 1 次元ベクトル部分空間はに吸収されます(これ以外の「吸収」の定義条件に従って)。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • この特徴付けは、 が吸収されるという性質は、の1次元（または0次元）ベクトル部分空間に関して がどのように振舞うかにのみ依存することを示しています。対照的に、の有限次元ベクトル部分空間が次元を持ち、その固有のハウスドルフTVS位相が備わっている場合、が吸収されるだけでは、が の原点の近傍であることを保証するのに十分ではありません（それでも必要条件ではありますが）。これが起こるためには、が吸収集合であり、かつ で凸で、バランスが取れていて、閉じていることで十分です（このような集合は樽型と呼ばれ、 を含むすべての有限次元ユークリッド空間は樽型空間であるため、 は の原点の近傍になります）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z,}$

このリストに以下を追加できます: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

9. の代数的内部には原点（つまり、）が含まれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$

バランスが取れている場合は、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle A}$

10. 任意のに対して、^[1]となるスカラー（または同等に、となるスカラー）が存在する。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle cx\in A}$
11. あらゆるに対して、次のようなスカラーが存在する。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\in cA.}$

が凸型またはバランス型である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle A}$

12. 任意の正実数に対して、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rx\in A.}$
    • この条件を満たす均衡集合が必然的に に吸収されることの証明は、上記の条件(10)とすべてのスカラー(ここでは実数)に対して であるという事実から直ちに導かれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle cA=|c|A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle r:=|c|>0}$
    • この条件を満たす凸集合が必ず吸収集合となることの証明は、それほど自明ではない（しかし難しいわけではない）。詳細な証明はこの脚注^[証明1]に示されており、要約は以下に示す。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
      • 証明の要約:仮定により、任意の非ゼロ に対して、となるような正の実数およびを選ぶことが可能であり、凸集合には原点 (と同一視され、 のすべての空でない凸集合は区間であるため、 は区間と呼ばれる) が含まれる。その唯一のハウスドルフ ベクトル トポロジを与えて、残っているのはが における原点の近傍であることを示すことである。そうすれば完了なので、 と仮定して、集合は2 つの区間の和集合であり、各区間には原点を含む開区間が含まれる。さらに、これら 2 つの区間の交差はまさに原点である。したがって、凸集合に含まれる四辺形形の凸包には、明らかに原点の周りの開球が含まれる。 ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle r(-y)\in A}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} y.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
13. 任意の正実数に対して、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rA.}$
    • この条件は次と同等です: すべてがセットに属します。これは、次の特徴付けを与える場合にのみ発生します。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • の任意の部分集合に対して、任意の場合において、かつ、その場合に限って、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )T=X}$ ${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. すべての ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

（吸収性であるために必要）ならば、すべての非ゼロに対して上記の条件のいずれかをチェックするだけで十分であり、 ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$

例と十分な条件

一つのセットが別のセットを吸収する

をベクトル空間間の線型写像とし、をバランス集合とする。このとき、を吸収することは、を吸収することと同値である^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F^{-1}(C)}$ ${\displaystyle B.}$

ある集合が別の集合を吸収する場合、その集合の任意のスーパーセットも吸収する。 集合が原点を吸収するのは、原点が ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

集合が有限集合の和集合を吸収する場合と、その集合の各個別性を吸収する場合とで同値である（つまり、任意の に対してが吸収する場合とで同値である）。特に、集合がの吸収部分集合となる場合と、その集合が のすべての有限部分集合を吸収する場合とで同値である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

セットを魅力的にするには

任意のノルムベクトル空間（または半ノルムベクトル空間）の単位球は吸収性を持つ。より一般的には、が位相ベクトル空間（TVS）である場合、原点の任意の近傍は吸収性を持つ。この事実は、「吸収性」 という性質を定義する主要な動機の一つである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

吸収集合のあらゆる上位集合は吸収集合である。したがって、（1つ以上の）吸収集合の族の和集合は吸収集合である。有限個の吸収部分集合の共通集合もまた吸収集合である。しかし、半径の開球体はすべて吸収集合であるが、共通集合は吸収集合ではない。 ${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$ ${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$

が円板（凸かつ均衡な部分集合）ならば、そして特に、円板は常に の吸収部分集合である^[3] 従って、が の円板ならばがに吸収的である場合、かつ の場合に 限る この結論は、集合が均衡しているが凸ではない場合には保証されない。例えば、の軸と の和集合は、 に吸収的ではない非凸均衡集合である。 ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

吸収集合の射影線型作用素による像は、再び吸収的である。吸収部分集合（余域）の線型作用素による逆像は、再び吸収的である（域において）。吸収的であれば、対称集合についても同様である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

補助規範空間

が凸でで吸収的である場合、対称集合は凸かつ平衡（絶対凸集合またはディスクとも呼ばれる）であり、さらに で吸収的である。これにより、のミンコフスキー関数が上で半ノルムになる ことが保証され、は標準擬似測度化可能位相を保持する半ノルム空間になる。上の値域としてのスカラー倍数の集合（または を極限点として持つ他の任意の非ゼロのスカラー集合上）は、この局所凸位相の原点で吸収ディスクの近傍基を形成します。 が位相ベクトル空間であり、この凸吸収部分集合が の有界部分集合でもある場合、このすべては吸収ディスクにも当てはまり、 が非自明なベクトル部分空間を含まない場合、 はノルムとなり、補助ノルム空間と呼ばれるものを形成します。^[4] このノルム空間がバナッハ空間である場合、 はバナッハディスクと呼ばれます。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

プロパティ

あらゆる吸収集合は原点を含む。がベクトル空間上の吸収円板であるならば、吸収円板が存在し、[ ^5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq D.}$

が の吸収部分集合である場合、そしてより一般的には、となるスカラーの任意の列に対して となる。したがって、位相ベクトル空間がそれ自身の非希薄部分集合である場合（またはTVSの場合、それがベール空間である場合と同値である）、 が の閉吸収部分集合である場合、は必ずの空でない開部分集合を含む（言い換えれば、の位相内部は空ではない）。これは、が における原点の近傍であることを保証する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \left|s_{n}\right|\to \infty .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle X.}$

すべての吸収集合は全集合であり、すべての吸収部分空間は稠密であることを意味します。

参照

• 代数的内部 – 位相的内部の一般化
• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• バランスセット – 機能分析における構成
• 貪食集合 – 任意の有界部分集合を吸収できる集合
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 放射状集合 – 位相集合
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

注記

1. ゼロ以外であるという要件は、この特性から削除することはできません。 ${\displaystyle c}$
2. ベクトル空間上の位相は、スカラー体に通常のノルム誘導ユークリッド位相（そのノルムは絶対値）を与えたときに、ベクトルの加算とスカラー乗算が連続となる場合、ベクトル位相またはTVS位相と呼ばれる。連続関数の制約は連続であるため、 がTVSのベクトル部分空間である場合、のベクトルの加算とスカラー乗算も連続となる。したがって、任意のベクトル部分空間がTVSから継承する部分空間位相は、再びベクトル位相となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\times Y\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times Y\to Y}$
3. がTVS における原点の近傍である場合、 上の少なくとも何らかのTVS 位相において が原点の近傍でない1 次元ベクトル部分空間が存在するとしたら、それは異常である。上の TVS 位相は、ハウスドルフユークリッド位相と、ユークリッド位相のサブセットである自明位相のみである。したがって、この異常は、すべての1 次元ベクトル部分空間に対して がユークリッド位相においての近傍である場合に限り発生し、これは が で吸収されるための条件とまったく同じである。すべての TVS における原点のすべての近傍が必然的に吸収であるという事実は、この異常な動作が発生しないことを意味する。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

証明

1. 証明:を体上のベクトル空間とし、またはとし、体に通常のノルムユークリッド位相を持たせる。を凸集合とし、任意の に対して となる正の実数 が存在するものとする。 なぜなら、 であれば、証明は完全であるからである。したがって、 と仮定する。 明らかに、実数直線 の空でない凸部分集合はすべて区間 (開、閉、半閉のいずれでもよい。退化している可能性もある (つまり、単集合)。有界または非有界のいずれでもよい) である。凸集合の交点は凸であり、任意の に対してと が凸であることを思い出しなさい。ここで、 (原点を含み、直線 に含まれる)の凸性は、が直線 に含まれる区間であることを意味する。補題: であれば、 区間には原点を含む開部分区間が含まれる。 補題の証明: 仮定により、となるようなものを選ぶことができ( であるため)、となり、 (であるため) となるようなものも選ぶことができる。は凸であり、異なる点を含み、点の凸包を含み、その点の凸包は（特に）開区間を含み、この開区間は原点を含みます（理由を理解するには、を満たす をとれば良いでしょう）。これは補題を証明します。ここでを 固定し、 とします。 は任意であるため、が に吸収されることを証明するには、 が通常のハウスドルフユークリッド位相で与えられたとき、 がにおける原点の近傍であることを示すことが必要かつ十分です。ここで、この位相により、 で定義された写像がTVS 同型になることを思い出してください。 の場合、区間が原点の周りの開区間を含むという事実は、が における原点の近傍であることを意味します。 で証明が完了します。したがって、 と と とを仮定します。と ととを 仮定します（単純に言えば、は「-軸」であり、は の「-軸」です）。 集合は凸集合に含まれ、 の凸包はに含まれます。 補題により、とのそれぞれは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rz\in A.}$ ${\displaystyle 0\in A,}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} X\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y=\{ry:-\infty <r<\infty \}.}$ ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle -y\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r(-y)\in A,}$ ${\displaystyle r(-y)=(-r)y}$ ${\displaystyle -ry\neq Ry}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle -ry}$ ${\displaystyle Ry,}$ ${\displaystyle \{-ry,Ry\},}$ ${\displaystyle (-r,R)y=\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle (-r,R)y}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle -r<t=0<R}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle Y:=\operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\cap Y=A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle ix\in Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x=(\mathbb {R} x)+(\mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (ix)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (ix)}$ ${\displaystyle S:=(A\cap \mathbb {R} x)\cup (A\cap \mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle A\cap Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} (ix)}$は線分（区間）であり、各線分は開いた部分区間内の原点を含み、さらに、それらは明らかに原点で交差します。およびとなる実数を選び、の凸包が の凸包に含まれ、したがって凸集合にも含まれるものと しましょう 。証明を終了するには、 がにおけるの近傍であることを示せば十分です。複素平面 のサブセットとして見ると、は 4 つの角が正と負の -軸と -軸上にある（つまり、 および において）開いた正方形のような形をしています。したがって、 にはの原点を中心とする半径 の開球が含まれることは容易に検証できます。 したがって、 は希望どおりに における原点の近傍です。 ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle (-d,d)x=\{tx:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle (-d,d)ix=\{tix:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} (ix).}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [(-d,d)x]\cup [(-d,d)ix],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cong Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,\infty )x,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)x,}$ ${\displaystyle (0,\infty )ix,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)ix}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{d/2}x:=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<d/2\}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x.}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

引用

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、107–110頁。
2. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、441–457頁。
3. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、67–113頁。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、115–154頁。
5. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、149–153頁。

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