Physical quantity
角加速度 一般的な記号
α SI単位 ラジアン/秒 2 SI基本単位 では 秒 −2 擬似ベクトル 寸法 T − 2 {\displaystyle {\mathsf {T}}^{-2}}
物理学 において 、 角加速度 （記号 α 、 アルファ ）は、 角速度 の 時間変化率 です。角速度には、 スピン角速度 と 軌道角速度 という2種類があり、それぞれ、 スピン角加速度 （ 剛体の重心と交差する 回転軸 を 中心とした剛体の 動き ）と 軌道角加速度 （点粒子と外部軸の動き）があります。
角加速度は 、角度/時間の二乗という 物理的次元を持ち、 SI単位系は ラジアン/秒の二乗 （ rad⋅s −2 ）である。2次元では、角加速度は 擬似スカラー であり、その符号は角速度が反時計回りに増加するか時計回りに減少する場合は正、時計回りに増加するか反時計回りに減少する場合は負とされる。3次元では、角加速度は 擬似ベクトル である。 [1]
点粒子の軌道角加速度
2次元の粒子 二次元において、軌道角加速度とは、原点を中心とした粒子の二次元軌道角速度の変化率である。任意の時点における瞬間角速度 ωは 、次のように与えられる。
ω = v ⊥ r , {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},} ここで 、 は原点からの距離であり、 は瞬間速度の横方向成分（つまり、位置ベクトルに垂直な成分）であり、慣例により反時計回りの動きの場合は正、時計回りの動きの場合は負になります。 r {\displaystyle r} v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
したがって、粒子の 瞬間角加速度 αは [2]で与えられる。
α = d d t ( v ⊥ r ) 。 {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).} 右辺を微分積分の積の法則を使って展開すると、次のようになる。
α = 1 r d v ⊥ d t − v ⊥ r 2 d r d t . {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.} 粒子が原点の周りを円運動する特殊なケースでは、 は接線加速度 となり 、 ゼロになる（原点からの距離は一定であるため）ので、上記の式は次のように簡略化される。 d v ⊥ d t {\displaystyle \textstyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}} a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }} d r d t {\displaystyle \textstyle {\frac {dr}{dt}}}
α = a ⊥ r . {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.} 二次元において、角加速度はプラスまたはマイナスの符号を持つ数値であり、向きを示すものではありません。角速度が反時計回りに増加するか時計回りに減少する場合は、符号は慣例的に正とみなされ、角速度が時計回りに増加するか反時計回りに減少する場合は、符号は負とみなされます。したがって、角加速度は擬似スカラーと呼ばれることがあります。擬似 スカラーとは、1つの軸を反転させる、または2つの軸を入れ替えるなどの パリティ反転 によって符号が変化する数値量です 。
三次元の粒子 三次元において、軌道角加速度とは、三次元軌道角速度ベクトルが時間とともに変化する速度である。 任意の時点における瞬間角速度ベクトルは、次のように表される。 ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
ω = r × v r 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},} ここで 、粒子の位置ベクトル、 原点からの距離、 速度ベクトルである。 [2] r {\displaystyle \mathbf {r} } r {\displaystyle r} v {\displaystyle \mathbf {v} }
したがって、軌道角加速度は次のように定義される ベクトルである。 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
α = d d t ( r × v r 2 ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).} この導関数を外積の積の法則と通常の商の法則を使って展開すると、次のようになります。
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) − 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) − 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 − 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}} は なので 、 第2項は と書き直すことができる 。粒子の原点からの距離が時間とともに変化しない場合 （円運動もその一部に含まれる）、第2項は消え、上記の式は次のように簡略化される。 r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} } r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}} − 2 r d r d t ω {\displaystyle \textstyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}} r {\displaystyle r}
α = r × a r 2 . {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.} 上記の式から、この特殊なケースにおける横方向の加速度は次のように表すことができます。
a ⊥ = α × r . {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .} 2次元とは異なり、3次元における角加速度は必ずしも角速度 の変化と関連しているわけではありません。粒子の位置ベクトルが空間内で「ねじれ」、瞬間的な角変位面が変化する場合でも、 角速度の 方向 の変化は 依然として非ゼロの角加速度を生み出します。位置ベクトルが固定面に制限されている場合、つまり位置ベクトルの 方向が面に対して垂直な場合は、このような現象は起こりません。 ω = | ω | {\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|} ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
角加速度ベクトルは、より正確には 擬似ベクトル と呼ばれます。擬似ベクトルには 3 つの成分があり、回転すると点の直交座標と同じように変換されますが、反射すると直交座標のようには変換されません。
トルクとの関係 点粒子の 正味 トルクは擬似ベクトルとして定義される。
τ = r × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,} 粒子に働く正味の力は どこにあるか。 [3] F {\displaystyle \mathbf {F} }
トルクは力の回転における類似物です。力が系の並進状態の変化を引き起こすのと同様に、トルクは系の回転状態の変化を引き起こします。粒子に作用する力は F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } という式で加速度と結びついているので、粒子に作用するトルクと角加速度を結び付ける同様の式を書くことができますが、この関係は必然的により複雑になります。 [4]
まず、 上記の式にトルクを代入すると、 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).} 前のセクションから:
α = r × a r 2 − 2 r d r d t ω , {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},} ここで 、は軌道角加速度、 は軌道角速度です。したがって、 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.} 粒子の原点からの 距離が一定である特別な場合（ ）では、上式の2番目の項は消え、上式は次のように簡略化される。 r {\displaystyle r} d r d t = 0 {\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}
τ = m r 2 α , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},} これは の回転類似体として解釈することができ、ここで （ 粒子の 慣性モーメント として知られる量）は質量 の役割を果たします 。しかし、 とは異なり 、この式は任意の軌道には適用され ず 、原点を中心とした球殻内に含まれる軌道にのみ適用されます。 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } m r 2 {\displaystyle mr^{2}} m {\displaystyle m} F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
参照
参考文献 ^ 「回転変数」 LibreTexts . MindTouch. 2016年10月18日. 2020年 7月1日 閲覧 。 ^ ab Singh, Sunil K. 角速度。ライス大学。 ^ Singh, Sunil K. Torque. ライス大学. ^ Mashood, KK「回転運動学の概念インベントリの開発と評価」 （PDF） 。タタ基礎研究所、ムンバイ。pp. 52– 54。
