Mathematical function of two positive real arguments
いくつかの一般化平均 間 の算術幾何平均のプロット 。 agm ( 1 , x ) {\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)} 数学 において 、 2つの 正の実数 x と y の算術幾何平均 （AGM または agM [1] ）は、 算術平均 の列と 幾何平均 の列の相互極限です 。算術幾何平均は、 指数関数 、 三角関数 、その他の 特殊関数 、そしていくつかの 数学定数 、特に π の計算 の高速 アルゴリズム で使用されます。
AGM は、相互依存する 数列 との極限として定義されます 。 と仮定すると 、次のように記述できます。 これらの 2 つの数列は同じ数、つまり x と y の算術幾何平均に 収束します 。これは M ( x , y ) 、または agm( x , y ) や AGM( x , y ) と表記されることもあります。 a i {\displaystyle a_{i}} g i {\displaystyle g_{i}} x ≥ y ≥ 0 {\displaystyle x\geq y\geq 0} a 0 = x , g 0 = y a n + 1 = 1 2 ( a n + g n ) , g n + 1 = a n g n . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}
算術幾何平均は 複素数 に拡張することができ、 平方根の 分岐が矛盾することを許容する場合、それは 多値関数で ある。 [1]
例 a 0 = 24 と g 0 = 6 の算術幾何平均を求めるには 、次のように反復します。 最初の 5 回の反復で次の値が得られます。 a 1 = 1 2 ( 24 + 6 ) = 15 g 1 = 24 ⋅ 6 = 12 a 2 = 1 2 ( 15 + 12 ) = 13.5 g 2 = 15 ⋅ 12 = 13.416 407 8649 … ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}
a n と g n が 一致する桁数 （下線部）は、反復ごとに約2倍になります。24と6の算術幾何平均は、これら2つの数列の共通の極限であり、約 13,458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . [2]
歴史 この数列対に基づく最初のアルゴリズムは、ラグランジュ の研究で登場しました。その特性は ガウス によってさらに分析されました 。 [1]
プロパティ 2つの正の数x と y の幾何平均と算術平均は、 どちらも2つの数の間です。（ x ≠ y の場合は 厳密に 2つの数の間です。）2つの正の数の幾何平均は 算術平均よりも大きくなることはありません 。 [3] そのため、幾何平均は増加列 g 0 ≤ g 1 ≤ g 2 ≤ ... 、算術平均は減少列 a 0 ≥ a 1 ≥ a 2 ≥ ... 、および任意の n について g n ≤ M ( x , y ) ≤ a n です。 x ≠ y の場合、これらは厳密な不等式です 。
したがって、 M ( x , y )は x と y の間の数値であり 、 x と y の幾何平均と算術平均の間の数値でもあります 。
r ≥ 0の 場合、 M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) となります 。
M ( x , y ) の積分形式の表現があります : [4] ここで K ( k )は 第一種完全楕円積分 です : 算術幾何学的プロセスは非常に速く収束するため、楕円積分を効率的に計算することができ、例えば 楕円フィルタの 設計に用いられます。 [5] M ( x , y ) = π 2 ( ∫ 0 π 2 d θ x 2 cos 2 θ + y 2 sin 2 θ ) − 1 = π ( ∫ 0 ∞ d t t ( t + x 2 ) ( t + y 2 ) ) − 1 = π 4 ⋅ x + y K ( x − y x + y ) {\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}} K ( k ) = ∫ 0 π 2 d θ 1 − k 2 sin 2 θ {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
算術幾何平均は [6] によって ヤコビのθ関数 と結びついており、これを 設定することで θ 3 {\displaystyle \theta _{3}} M ( 1 , x ) = θ 3 − 2 ( exp ( − π M ( 1 , x ) M ( 1 , 1 − x 2 ) ) ) = ( ∑ n ∈ Z exp ( − n 2 π M ( 1 , x ) M ( 1 , 1 − x 2 ) ) ) − 2 , {\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},} x = 1 / 2 {\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}} M ( 1 , 1 / 2 ) = ( ∑ n ∈ Z e − n 2 π ) − 2 . {\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}
1の算術幾何平均と 2の平方根の逆数は ガウス定数 です 。 1799年、ガウスは [注 1] がレムニスケート 定数 である ことを証明しました 。 1 M ( 1 , 2 ) = G = 0.8346268 … {\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots } M ( 1 , 2 ) = π ϖ {\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}} ϖ {\displaystyle \varpi }
1941 年、 (したがって ) は テオドール・シュナイダー により 超越関数であること が証明されました。 [注 2] [7] [8] 集合 は 上で 代数的に独立 ですが 、 [9] [10] 集合 (プライムは 第 2 変数に関する 導関数 を示す) は 上で代数的に独立ではありません。実際、 [11] 幾何 調和平均GH は、幾何平均と 調和 平均の類似したシーケンスを使用して計算でき 、実際、 GH( x 、 y ) = 1/ M (1/ x 、 1/ y ) = xy / M ( x 、 y ) となります。 [12] 算術調和平均 は幾何平均 と同等です 。 M ( 1 , 2 ) {\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})} G {\displaystyle G} { π , M ( 1 , 1 / 2 ) } {\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } { π , M ( 1 , 1 / 2 ) , M ′ ( 1 , 1 / 2 ) } {\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } π = 2 2 M 3 ( 1 , 1 / 2 ) M ′ ( 1 , 1 / 2 ) . {\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}
算術幾何平均は、 対数 、 第一種および第二種の完全楕円積分と不完全楕円積分 、 [ 13] ヤコビ楕円関数 [14] などの計算に使用できます。
存在の証明 算術平均と幾何平均の不等式は 、次式が成り立つ ことを意味し 、したがって 、数列 g n は 非減少であり、 x と y のうち大きい方によって上界が定められる 。 単調収束定理 によれば、数列は収束するため、次式を満たす g が存在する。ただし、次式も成り立つことがわかる 。したがって 、次式も成り立つ。 g n ≤ a n {\displaystyle g_{n}\leq a_{n}} g n + 1 = g n ⋅ a n ≥ g n ⋅ g n = g n {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}} lim n → ∞ g n = g {\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g} a n = g n + 1 2 g n {\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}} lim n → ∞ a n = lim n → ∞ g n + 1 2 g n = g 2 g = g {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}
QED
この証明はガウスによって与えられている。 [ 1]
I ( x , y ) = ∫ 0 π / 2 d θ x 2 cos 2 θ + y 2 sin 2 θ , {\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}
積分の変数を に変更すると 、 θ ′ {\displaystyle \theta '}
sin θ = 2 x sin θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ⇒ d ( sin θ ) = d ( 2 x sin θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ) ⇒ cos θ d θ = 2 x ( x + y ) − ( x − y ) sin 2 θ ′ ( ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ) 2 cos θ ′ d θ ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\\Rightarrow d(\sin \theta )&=d\left({\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\right)\\\Rightarrow \cos \theta \ d\theta &=2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\end{aligned}}}
cos θ = ( x + y ) 2 − 2 ( x 2 + y 2 ) sin 2 θ ′ + ( x − y ) 2 sin 4 θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ = cos θ ′ ( x − y ) 2 cos 2 θ ′ + 4 x y ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ = cos θ ′ ( x + y ) 2 cos 2 θ ′ + 4 x y sin 2 θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ , {\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\&={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x-y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\&={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},\end{aligned}}}
⇒ cos θ d θ = cos θ ′ ( x + y ) 2 cos 2 θ ′ + 4 x y sin 2 θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ d θ = 2 x ( x + y ) − ( x − y ) sin 2 θ ′ ( ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ) 2 cos θ ′ d θ ′ , {\displaystyle \Rightarrow \cos \theta \ d\theta ={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta ',}
⇒ d θ = x ( ( x + y ) − ( x − y ) sin 2 θ ′ ) ( ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ) 2 d θ ′ ( x + y ) 2 cos 2 θ ′ + 4 x y sin 2 θ ′ , {\displaystyle \Rightarrow d\theta ={\frac {x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}{\frac {2d\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}\ ,}
x 2 cos 2 θ + y 2 sin 2 θ = x 2 ( ( x + y ) 2 − 2 ( x 2 + y 2 ) sin 2 θ ′ + ( x − y ) 2 sin 4 θ ′ ) + 4 x 2 y 2 sin 2 θ ′ ( ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ) = x ( ( x + y ) − ( x − y ) sin 2 θ ′ ) ( ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 θ ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {\sqrt {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}\\&={\frac {x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}\end{aligned}}}
これにより d θ x 2 cos 2 θ + y 2 sin 2 θ = 2 d θ ′ ( x + y ) 2 cos 2 θ ′ + 4 x y sin 2 θ ′ = d θ ′ ( ( x + y 2 ) 2 cos 2 θ ′ + ( x y ) 2 sin 2 θ ′ , {\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2d\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {d\theta '}{\sqrt {(({\frac {x+y}{2}})^{2}\cos ^{2}\theta '+({\sqrt {xy}})^{2}\sin ^{2}\theta '}}},}
与える
I ( x , y ) = ∫ 0 π / 2 d θ ′ ( ( x + y 2 ) 2 cos 2 θ ′ + ( x y ) 2 sin 2 θ ′ = I ( x + y 2 , x y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {(({\frac {x+y}{2}})^{2}\cos ^{2}\theta '+({\sqrt {xy}})^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {x+y}{2}},{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}
したがって、
I ( x , y ) = I ( a 1 , g 1 ) = I ( a 2 , g 2 ) = ⋯ = I ( M ( x , y ) , M ( x , y ) ) = π / ( 2 M ( x , y ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}} 最後の等式は、次のことを観察することによって得られます 。 I ( z , z ) = π / ( 2 z ) {\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}
最終的に、望ましい結果が得られます
M ( x , y ) = π / ( 2 I ( x , y ) ) . {\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}
アプリケーション
番号 π ガウス・ルジャンドルアルゴリズム によれば 、 [15]
π = 4 M ( 1 , 1 / 2 ) 2 1 − ∑ j = 1 ∞ 2 j + 1 c j 2 , {\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}
どこ
c j = 1 2 ( a j − 1 − g j − 1 ) , {\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}
と は 、 次のようにして精度を損なうことなく計算できる。 a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} g 0 = 1 / 2 {\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}
c j = c j − 1 2 4 a j . {\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}
完全楕円積分 K （罪 α ） 株主総会の採択 と 収益 a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} g 0 = cos α {\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }
M ( 1 , cos α ) = π 2 K ( sin α ) , {\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}
ここで K ( k )は 第一種 完全楕円積分である 。
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 ( 1 − k 2 sin 2 θ ) − 1 / 2 d θ . {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}
つまり、この 四半期期間は 株主総会を通じて効率的に計算できるということです。 K ( k ) = π 2 M ( 1 , 1 − k 2 ) . {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}
その他のアプリケーション AGMのこの性質と ジョン・ランデンの上昇変換 [16] を用いて、 リチャード・P・ブレント [17]は、初等 超越関数 （ e x 、 cos x 、 sin x ）の高速評価のための最初のAGMアルゴリズムを提案した 。その後、多くの研究者がAGMアルゴリズムの応用を研究した。 [18]
参照
参考文献
注記 ^ 1799年までにガウスはこの定理の証明を2つ持っていたが、どちらも現代の観点からは厳密なものではなかった。 ^ 特に、彼は、 となるような すべての に対して ベータ関数 が超越関数であることを証明した。が超越関数である という事実は、 B ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (a,b)} a , b ∈ Q ∖ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} } a + b ∉ Z 0 − {\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}} M ( 1 , 2 ) {\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})} M ( 1 , 2 ) = 1 2 B ( 1 2 , 3 4 ) . {\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}
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出典
