軸と角度の表現

Parameterization of a rotation into a unit vector and angle

角度θと軸単位ベクトルeは回転を定義し、回転ベクトルθ eによって簡潔に表されます。

数学において、軸-角度表現は、3次元ユークリッド空間における回転を2つの量でパラメータ化します。回転軸の方向を示す単位ベクトルeと、軸の周りの回転の大きさと向き（例えば、時計回り）を表す回転角θ です。原点を根点とする単位ベクトルeの方向を定義するには、3つではなく2つの数値のみが必要です。これは、 eの大きさが制約されているためです。例えば、eの仰角と方位角は、特定の直交座標系における e の位置を示すのに十分です。

ロドリゲスの回転公式によれば、角度と軸は3次元ベクトルを回転させる変換を決定します。回転は右手の法則によって規定される方向に生じます。

回転軸はオイラー軸と呼ばれることもあります。軸と角度の表現はオイラーの回転定理に基づいています。この定理によれば、3次元空間における剛体の任意の回転、または回転の連続は、単一の固定軸を中心とした純粋な回転と等価になります。

これは3 次元における多くの回転形式のうちの 1 つです。

回転ベクトル

軸-角度表現は、より簡潔な回転ベクトル（オイラーベクトルとも呼ばれます）と等価です（オイラー角のベクトル と混同しないでください）。この場合、回転軸と角度の両方が、回転軸と同方向のベクトルで表され、その長さは回転角θです。 これは、この表現を含む指数写像と対数写像 に使用されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

多くの回転ベクトルが同じ回転に対応します。特に、任意の整数Mについて、長さθ + 2 πMの回転ベクトルは、長さθの回転ベクトルとまったく同じ回転をエンコードします。したがって、任意の回転に対応する回転ベクトルの数は少なくとも可算無限大です。さらに、2 πMによるすべての回転は、まったく回転がない場合と同じであるため、特定の整数Mについて、すべての方向の長さ2 πMのすべての回転ベクトルは、ゼロベクトルと同じ回転をエンコードする 2 つのパラメータを持つ可算無限大の回転ベクトルを構成します。これらの事実は、指数写像を反転する場合、つまり、特定の回転行列に対応する回転ベクトルを見つける場合に考慮する必要があります。指数写像は全射ですが、1 対 1 ではありません。

例

地面に立っていて、重力の方向を負のZ方向とするとします。そして左に回転すると、⁠-π/2⁠ -z軸を中心としたラジアン（または-90°）。軸と角度の表現を順序付きペアとして見ると、これは次のようになる。 $${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

上記の例は、大きさが⁠の回転ベクトルとして表すことができます。π/2⁠ Z方向を指し、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

用途

軸-角度表現は、剛体力学を扱う際に便利です。回転を特徴付けるだけでなく、同次変換^{[説明が必要]やねじれといった剛体}運動の異なる表現間の変換にも役立ちます。

剛体が固定軸を中心に回転する場合、その軸角度データは一定の回転軸と、時間に連続的に依存する回転角度になります。

3 つの固有値 1 とe ^{± iθ}およびそれらに関連する 3 つの直交軸をデカルト座標でマーサーの定理に代入すると、3 次元の回転行列のデカルト座標表現を簡単に構築できます。

ベクトルの回転

オリンデ・ロドリゲスにちなんで名付けられたロドリゲス回転公式は、回転軸と回転角が与えられた場合にユークリッドベクトルを回転させる効率的なアルゴリズムです。言い換えれば、ロドリゲスの公式は、完全な行列指数を計算することなく、SO(3)からSO(3)への指数写像を計算するアルゴリズムを提供します。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

vがR ³のベクトルであり、eが原点を根とする単位ベクトルで、その回転軸を中心にv が角度θ回転する場合、回転ベクトルを求めるロドリゲスの回転公式は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \times (\mathbf {e} \times \mathbf {v} ))\,.}$$

単一のベクトルを回転させる場合、eとθを回転行列に変換してベクトルを回転させる方が効率的である可能性があります。

他の表現との関係

回転を表現する方法はいくつかあります。異なる表現が互いにどのように関連し、どのように変換するかを理解しておくと便利です。ここでは、単位ベクトルはeではなくωで表されます。

𝔰𝔬(3)からSO(3)への指数写像

指数写像は回転の軸角度表現から回転行列への変換を行う。 $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

本質的には、テイラー展開を用いることで、これら2つの表現の間に閉じた関係が導かれる。単位回転軸を表す単位ベクトルと角度θ∈Rが与えられたとき、等価な回転行列Rは以下のように与えられる。ここでKはωの外積行列であり、すなわちすべてのベクトルv∈R3に対し​​てKv = ω × vとなる^。 ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Kは歪対称であり、対角成分の平方和は1なので、Kの特性多項式 P ( t )はP ( t )=det( K − tI ) =−( t3 + ^t )となる。ケーリー・ハミルトン定理^よりP ( K ) =0となるので、これは次のことを意味する^。結果として、K4 = -K2、^K5 = K、^K6 = K2、K7 ⁼ -Kと^なる。 $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

この循環パターンは無限に続くため、Kの高次の冪はすべてKとK ²で表すことができます。したがって、上記の式から、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$ $${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

三角関数のテイラー級数の公式によって。

これはリー代数的な導出であり、ロドリゲスの回転公式^[1]の幾何学的な導出とは対照的である。

上述の指数写像の存在により、回転軸を表す単位ベクトルωと角度θは、回転行列Rの指数座標と呼ばれることもあります。

SO(3)から𝔰𝔬(3)への対数写像

Kは、回転軸ωとの外積を実行する3×3行列を表すことにします。以下のすべてのベクトルvについて、 K ( v ) = ω × vとなります。

回転行列の軸と角度の表現を取得するには、回転行列のトレースから回転角度を計算し、それを使って正規化された軸を見つけます。 $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

ここで、は回転行列の- 行 -列目の成分です。 ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

この式は、 Rが対称の場合、には適用できません。これは、何らかの整数 に対してのみ適用可能なため、 sin( ) = 0 となり、式では 0 による除算が発生します。ただし、に対する式の極限、つまり はの正しい値を与えます。一般的なケースでは、 はRIの零空間を用いて求めることもできます。回転行列#軸 の決定を参照してください。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta =k\pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta \to k\pi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

軸角度の表現は一意ではありません。回転は回転と同じであるためです。もちろん 、2πの任意の整数倍を に加えても同じ回転が得られます。より良い方法は、区間 [0, 2π) または (-π, π] に制限することです。 ${\displaystyle -\theta }$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

を既知のペアとして求める場合、それは軸の向きと一致していなければなりません（言い換えれば、とによって定義される単位円の適切な象限に位置していなければなりません）。 の外積行列も与えられた に対して利用可能であることを考慮すると、この一貫性は上記のトレース公式を以下のように一般化することで保証できます。^[2]ここで、atan2は2つの引数を持つ逆正接関数であり、区間におけるの正しい符号を提供します。この方法は、 の軸外項に存在する符号の曖昧さを解決します。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (R,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \theta ={\rm {atan2}}(-{\rm {Tr}}(\mathbf {K} R),{\rm {Tr}}(R)-1),}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle R}$

回転行列Rの行列対数は $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

例外として、 R の固有値が−1に等しい場合が発生します。この場合、対数は一意ではありません。ただし、 θ = πの場合でも、対数のフロベニウスノルムは回転行列 A と B が与えられた場合、回転行列の3次元多様体上の測地線距離は となります。 $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$ $${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

回転が小さい場合、上記のθの計算は数値的に不正確になる可能性があります。これは、 θ → 0のときに arccos の微分が無限大に近づくためです。その場合、小さな角度ではR ≈ I + θ Kとなるため、軸外項の方がθに関するより正確な情報を提供します。（これは、これらがexp( θ K )のテイラー級数の最初の2つの項であるためです。）

この定式化はθ = πにおいても数値的な問題を抱えており、軸外項は回転軸に関する情報を与えない（回転軸は符号の曖昧さを除けば依然として定義されている）。その場合、上記の式を再考する必要がある。

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$θ = πでは、次の関係が成り立ち、 Bの対角項がωの要素の平方となり、符号は (符号の曖昧さを除いて) Bの軸外項の符号から決定できるようになります 。 $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$ $${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

単位四元数

次の式は軸角度座標をバーソル（単位四元数）に変換します。 $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

スカラーrとベクトルvで表されるベルソルq = r + vを考えると、軸角度座標は次のように抽出できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

回転角度のより数値的に安定した表現には、atan2関数を使用します。ここで、| v |は3 ベクトルvのユークリッド ノルムです。 $${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$

参照

• 同次座標
• 擬似ベクトル
• 行列なしの回転
• ねじり理論、ねじれ、ねじり、レンチの概念を用いた剛体の運動と速度の表現

参考文献

1. これは回転群の三重項表現、すなわちスピン1に当てはまります。より高次元の表現／スピンについては、Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.を参照してください。
2. Dai, Jian S. (2012). 「埋め込みシャスル運動を備えた有限変位スクリューオペレータ」. Journal of Mechanisms and Robotics . 4 (4): 041002. doi :10.1115/1.4006951. 論文の式(28)に示されている元の式では、関数の両引数にという因子が含まれていることに注意してください。しかし、任意のおよびに対して となるため、この因子は省略しても問題ありません。 ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle {\rm {atan2}}(.,.)}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (\alpha y,\alpha x)=\operatorname {atan2} (y,x)}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

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