ブロック行列

数学において、ブロック行列または分割行列とは、ブロックまたは部分行列と呼ばれるセクションに分割されていると解釈される行列である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

直感的には、ブロック行列として解釈される行列は、元の行列を水平線と垂直線の集合で分割（または区分）し、小さな行列の集合にしたものとして視覚化できます。^{[ 3 ] [ 2 ]}たとえば、以下に示す 3×4 行列は、水平線と垂直線によって 4 つのブロックに分割されています。左上の 2×3 ブロック、右上の 2×1 ブロック、左下の 1×3 ブロック、右下の 1×1 ブロックです。

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$$

任意の行列は 1 つ以上の方法でブロック行列として解釈することができ、それぞれの解釈は行と列がどのように分割されるかによって定義されます。

この概念は、行列を集合 に分割し、さらにを集合 に分割することで、より正確に表すことができます。元の行列は、これらのグループの「合計」とみなされます。つまり、元の行列の要素は、何らかの のオフセット要素と1対1で対応します（ただし、および）。^{[ 4 ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\text{colgroups}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

ブロック行列代数は一般に行列のカテゴリの二重積から生じる。^{[ 5 ]}

168×168要素のブロック行列。12×12、12×24、24×12、24×24のサブ行列が含まれています。非ゼロ要素は青色、ゼロ要素は灰色で表示されます。

例

マトリックス

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$$

4つのブロックに分割して視覚化することができます。

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right].}$$

水平線と垂直線には特別な数学的意味はないが^{[ 6 ] [ 7 ]}、分割を視覚化するための一般的な方法である。^{[ 6 ] [ 7 ]}この分割によって、は4つの2×2ブロックに分割され、 ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{11}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{12}&={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\\[1ex]\mathbf {P} _{21}&={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{22}&={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

分割された行列は次のように表される^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$$

正式な定義

とする。の分割はの 表現であり、 ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}},}$$

ここで、は連続する部分行列、、 である。^{[ 9 ]}分割の要素はブロックと呼ばれる。^{[ 9 ]} ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$ ${\displaystyle A_{ij}}$

この定義によれば、どの列のブロックも列数が同じでなければなりません。^{[ 9 ]}同様に、どの行のブロックも行数が同じでなければなりません。^{[ 9 ]}

パーティション分割方法

行列は様々な方法で分割することができる。^{[ 9 ]}例えば、行列が次のように表される場合 、その行列は列によって分割されていると言われる。 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n}),}$$

ここではの 番目の列である。^{[ 9 ]}行列は行ごとに分割することもできる。 ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}},}$$

ここでは の-行目である。^{[ 9 ]} ${\displaystyle a_{i}^{T}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$

共通パーティション

多くの場合、^{[ 9 ]} 2×2分割に遭遇します

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}},}$$

特に の形で表され、 はスカラーである: ^{[ 9 ]} ${\displaystyle A_{11}}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}.}$$

ブロック行列演算

転置

させて

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$$

ここで。（この行列は§ 加算と§ 乗算で再利用されます。）その転置は^{[ 9 ] [ 10 ]です。} ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}},}$$

転置を共役転置に置き換えても同じ式が成り立つ。^{[ 9 ]}

ブロック転置

ブロック行列に対しても、転置の特殊な形式を定義することができます。この形式では、個々のブロックは順序が変更されますが、転置は行われません。 をブロックを持つブロック行列とすると、 のブロック転置はを持つブロック行列です。^{[ 11 ]}従来のトレース演算子と同様に、ブロック転置はとなる線形写像です。^{[ 10 ]}しかし、一般に、と のブロックが可換でない限り、この性質は成り立ちません。 ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ ${\displaystyle k\times l}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B_{ij}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times k}$ ${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$ ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

追加

させて

$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}},}$$

ここで、 、 を§転置で定義された行列とする。（この行列は§乗算で再利用される。）、、、ならば、^{[ 9 ]} ${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle q=s}$ ${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

$${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}.}$$

乗算

因子の部分行列の代数のみを扱うブロック分割行列積を用いることも可能です。しかしながら、因子の分割は任意ではなく、2つの行列間の「適合分割」 ^{[ 12 ]}と、使用されるすべての部分行列積が定義されるような「適合分割」^{[ 13 ]が必要です。} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

2 つの行列および が、積について等角的に分割されていると言われるのは、乗算が、部分行列をスカラーであるかのように扱いながら順序を保って実行され、関係する部分行列の積と和がすべて定義されている場合です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

— アラク・M・マタイとハンス・J・ハウボルド『線形代数：物理学者とエンジニアのためのコース』^{[ 14 ]}

§転置で定義された行列をとし、§加法で定義された行列を とする。このとき、行列積 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle C=AB}$$

ブロックごとに実行することができ、行列が得られる。結果の行列の各行列は、以下の乗算によって計算される。^{[ 6 ]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (p\times s)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$$

または、繰り返されるインデックスを暗黙的に合計する アインシュタイン表記法を使用します。

$${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$$

これを行列で表すと^{[ 9 ]となる。} ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}.}$$

反転

行列が 4 つのブロックに分割されている場合、次のようにブロックごとに反転できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$

ここで、AとDは任意サイズの正方ブロックであり、BとCはそれらと分割可能である。さらに、 Aと、 PにおけるAのシュアー補集合：P / A = D − CA ⁻¹ Bは逆行列でなければならない。^{[ 15 ]}

同様に、ブロックを並べ替えると次のようになる。^{[ 16 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

ここで、DとPにおけるDのシュアー補数: P / D = A − BD ⁻¹ Cは逆行列でなければならない。

AとD が両方とも逆である場合、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I\end{bmatrix}}.}$$

ワインスタイン・アロンザイン恒等式により、ブロック対角行列の 2 つの行列のうち 1 つが逆行列である場合、もう 1 つも逆行列になります。

完全逆行列から部分逆行列を計算する

ブロック反転公式における行列とその逆行列間の対称性により、行列Pとその逆行列P ⁻¹が共形に分割される場合、

$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}},\quad P^{-1}={\begin{bmatrix}{E}&{F}\\{G}&{H}\end{bmatrix}}}$$

すると、任意の主部分行列の逆行列はP ⁻¹の対応するブロックから計算できる。

$${\displaystyle {A}^{-1}={E}-{FH}^{-1}{G}}$$ $${\displaystyle {D}^{-1}={H}-{GE}^{-1}{F}}$$

この関係は、E ⁻¹ = A − BD ⁻¹ C （シュアー補集合）であることを認識し、 PとP ⁻¹の役割を逆にして同じブロック反転式を適用することから導かれる。^{[ 17 ] [ 18 ]}

行列式

上の行列の行列式の公式は、適切な更なる仮定の下で、4つの部分行列と正方行列からなる行列に対しても成立する。ライプニッツの公式かシュール補集合を含む因数分解を用いて証明できる最も簡単な公式は^{[ 16 ]}である。 ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$$

この式を用いると、との特性多項式はとの特性多項式の積と同じであることが分かります。さらに、またはが対角化可能であれば、とも 対角化可能です。逆は偽です。 を確認してください。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

が逆行列である場合、^{[ 16 ]} ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$$

が可逆であれば、^{[ 19 ] [ 16 ]} ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$$

ブロックが同じサイズの正方行列である場合、さらに式が成り立ちます。例えば、と が可換である場合（つまり、）、^{[ 20 ]} 同様のステートメントが、、⁠ ⁠の場合にも成り立ちます。つまり、 の場合、 と の順序の変更に注意してください（の代わりに）。同様に、の場合、 はに置き換える必要があります（つまり になります）。また、 の場合、 になります。最後の 2 つの結果では、基礎となるリングの可換性を使用する必要がありますが、最初の 2 つの結果では必要ありません。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$ $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle AC=CA}$ ${\displaystyle BD=DB}$ ${\displaystyle AC=CA}$ $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-CB).}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle CB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle BD=DB}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle \det(DA-BC)}$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle \det(DA-CB)}$

この式は、個々のブロック間に適切な可換条件が満たされる限り、 個以上のブロックから構成される行列に一般化されている。 ^{[ 21 ]} ${\displaystyle 2\times 2}$

とについては、次の式が成り立つ（と が可換でなくても）^{[ 16 ]} ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$$

特殊なタイプのブロック行列

直和とブロック対角行列

直和

任意の行列A（サイズm  ×  n）とB（サイズp  ×  q）に対して、AとBの直和はA⊕Bと表され、次のように定義される^{[ 10 ]}  。 

$${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$$

例えば、

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

この操作は、任意の次元の配列に自然に一般化されます ( AとB の次元数が同じである 場合)。

2 つの行列のベクトル空間の直和内の任意の要素は、2 つの行列の直和として表すことができることに注意してください。

ブロック対角行列

ブロック対角行列とは、主対角ブロックが正方行列で、対角外ブロックがすべて零行列であるような正方行列であるブロック行列である。 ^{[ 16 ]}つまり、ブロック対角行列Aは次の形式を持つ。

$${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{bmatrix}}}$$

ここでA _kはk = 1, ..., nに対して正方行列である。言い換えれば、行列AはA ₁ , ..., A _nの直和である。^{[ 16 ]}これはA ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n ^{[ 10 ]}または diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) ^{[ 10 ]}と表記することもできる （後者は対角行列に使用されるのと同じ形式である）。任意の正方行列は、1つのブロックのみを持つブロック対角行列と見なすことができる。

行列式とトレースについては、次の特性が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[ 22 ] [ 23 ]}および

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[ 16 ] [ 23 ]}

ブロック対角行列が逆行列となるのは、その主対角ブロックのそれぞれが逆行列となる場合のみであり、この場合、その逆行列は^{[ 24 ]で与えられる別のブロック対角行列となる。} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$$

の固有値^{[ 25 ]}と固有ベクトルは、単にそれらを結合したものである。^{[ 23 ]} ${\displaystyle {A}}$ ${\displaystyle {A}_{k}}$

ブロック三角行列

ブロック三重対角行列は、もう一つの特殊なブロック行列です。ブロック対角行列と同様に、正方行列であり、下対角、主対角、上対角に正方行列（ブロック）を持ち、その他のブロックは零行列です。ブロック三重対角行列は本質的に三重対角行列ですが、スカラーの代わりに部分行列を持ちます。ブロック三重対角行列は、以下の形式を持ちます 。 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{bmatrix}}}$$

ここで、、はそれぞれ下対角、主対角、上対角の正方部分行列である。^{[ 26 ] [ 27 ]} ${\displaystyle {A}_{k}}$ ${\displaystyle {B}_{k}}$ ${\displaystyle {C}_{k}}$

ブロック三角行列は、工学問題（例えば、数値流体力学）の数値解法においてしばしば用いられる。LU分解のための最適化された数値解法^{[ 28 ]}が利用可能であり、ブロック三角行列を係数行列として持つ方程式系に対する効率的な解法アルゴリズムが存在する。三角行列を含む方程式系を効率的に解くために使用されるトーマスアルゴリズムは、行列演算を用いてブロック三角行列に適用することもできる（ブロックLU分解も参照）。

ブロック三角行列

行列が上ブロック三角行列（またはブロック上三角行列^{[ 29 ]}）であるとは、およびと なる正の整数が存在する場合である。 ここで、 行列はすべての に対して となる。 ^{[ 25 ] [ 29 ]} 同様に、が下ブロック三角行列である場合は、 および となる正の整数が存在する場合である。^{[ 25 ]} ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$ ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

ブロックテプリッツ行列

ブロックテプリッツ行列は、別の特殊なブロック行列であり、テプリッツ行列には対角線に沿って繰り返される要素があるため、行列の対角線に沿って繰り返されるブロックが含まれます。

行列がブロックテプリッツ行列であるのは、すべての に対して成り立つときである。つまり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle k-i=l-j}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},}$$

ここで。^{[ 25 ]} ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

ブロックハンケル行列

行列がブロックハンケル行列であるのは、すべての に対して成り立つときである。つまり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle i+j=k+l}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},}$$

ここで。^{[ 25 ]} ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

参照

• クロネッカー積（ブロック行列となる行列直積）
• ジョルダン標準形（有限次元複素ベクトル空間上の線型作用素の標準形）
• シュトラッセンアルゴリズム（従来の行列乗算アルゴリズムよりも高速な行列乗算アルゴリズム）

注記

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参考文献

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