剛体

Physical object which does not deform when forces or moments are exerted on it

剛体の位置は、その重心の位置と姿勢（合計で少なくとも6つのパラメータ）によって決まります。^[1]

物理学において、剛体（剛体オブジェクトとも呼ばれる）^[2]とは、変形圧力または変形力が加えられたときに変形がゼロまたは無視できる固体 である。剛体上の任意の2点間の距離は、外部から加えられた力やモーメントに関係なく、時間的に一定のままである。剛体は通常、質量の連続分布であると考えられる。剛体力学は力学の中の分野であり、変形を引き起こす可能性のある効果を考慮せずに物体の運動と力を研究する（変形可能な物体を考慮する材料力学とは対照的である）。

特殊相対性理論の研究では、完全な剛体は存在せず、物体は光速に近い速度で運動していない場合にのみ剛体であると仮定できます。光速に近い速度では質量が無限に大きくなります。量子力学では、剛体は通常、質点の集合体として考えられます。例えば、分子（質点である電子と原子核から成る）はしばしば剛体と見なされます（分子を剛体回転子として分類するを参照）。

原則

直線位置と角度位置

剛体の位置は、それを構成するすべての粒子の位置です。この位置の記述を簡略化するために、剛体が剛体であるという性質、すなわち、すべての粒子が互いに同じ距離を保つという性質を利用します。剛体が剛体である場合、少なくとも3つの非共線的な粒子の位置を記述すれば十分です。これにより、選択された3つの粒子に対する他のすべての粒子の相対的な位置が時間不変であれば、それらの位置を再構築することが可能になります。しかし、通常は、数学的にはより簡便でありながら同等の別のアプローチが用いられます。剛体全体の位置は次のように表されます。

1. 物体の線形位置または位置、すなわち物体の粒子の1つの位置、特に基準点として選択された位置（通常は物体の質量中心または重心と一致する）と、
2. 物体の角度位置（向きまたは姿勢とも呼ばれます）。

したがって、剛体の位置には、それぞれ線速度と角速度の2つの要素があります。^[3]線速度、角速度、加速度、運動量、力積、運動エネルギーなど、剛体の運動を記述する 他の運動量についても同様です。^[4]

線形位置は、ベクトルで表すことができます。ベクトルの末端は空間内の任意の参照点（選択された座標系の原点）にあり、先端は剛体上の任意の関心点（通常は質量中心または重心）にあります。この参照点は、剛体に固定された座標系の原点を定義する場合があります。

剛体の向きを数値的に記述する方法はいくつかあり、3 つのオイラー角のセット、四元数、方向余弦行列(回転行列とも呼ばれる) などがあります。これらの方法はすべて、実際には、剛体に対する固定の向きを持つ (つまり、剛体と一緒に回転する)基底関数系(または座標系) の向きを、剛体の動きを観測する別の基底関数系 (または座標系 ) を基準として定義します。たとえば、飛行機に対する固定の向きを持つ基底関数系は、3 つの直交単位ベクトル b ₁、b ₂、b ₃のセットとして定義できます。ここで、 b ₁は翼の翼弦線に平行で前向き、b ₂は対称面に垂直で右向き、b ₃は外積 によって与えられます。 ${\displaystyle b_{3}=b_{1}\times b_{2}}$

一般に、剛体が運動すると、その位置と向きは時間とともに変化します。運動学的な意味では、これらの変化はそれぞれ並進と回転と呼ばれます。実際、剛体の位置は、仮想的な基準位置（必ずしも運動中に剛体が実際に取る位置とは一致しない）から始まる、剛体の仮想的な並進と回転（回転並進）と見なすことができます。

線速度と角速度

速度(線速度とも呼ばれる) と角速度は、参照フレームに対して測定されます。

剛体の線速度はベクトル量であり、その直線位置の時間変化率に等しい。したがって、線速度は物体に固定された基準点の速度である。純粋な並進運動（回転を伴わない運動）においては、剛体上のすべての点は同じ速度で移動する。しかし、回転運動を伴う場合、物体上の任意の2点の瞬間速度は通常同じではない。回転体上の2点が同じ瞬間速度を持つのは、それらが瞬間的な回転軸に平行な軸上にある場合のみである。

角速度は、剛体の向きが変化する角速度と剛体が回転する瞬間軸（この瞬間軸の存在は、オイラーの回転定理によって保証されている）を記述するベクトル量です、常に同じ角速度を経験します。純粋な回転運動の間、瞬間回転軸上にある点を除いて、剛体上のすべての点の位置が変わります。向きと角速度の関係は、位置と速度の関係に直接類似しているわけではありません。角速度は向きの時間変化率ではありません。なぜなら、微分して角速度を取得できる向きベクトルなどの概念が存在しないからです

運動方程式

角速度の加法定理

基準系Nにおける剛体Bの角速度は、 Nにおける剛体Dの角速度とDに対するBの角速度の和に等しい。^[5]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.}$

この場合、剛体と参照フレームは区別できず、完全に互換性があります。

位置の加法定理

任意の3点P、Q、Rの集合について、PからRへの位置ベクトルは、PからQへの位置ベクトルとQからRへの位置ベクトルの和になります。

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.}$

位置ベクトルのノルムは空間距離です。ここでは、3つのベクトルの座標はすべて、同じ方向の座標系で表す必要があります。

速度の数学的定義

参照フレームNにおける点Pの速度は、OからPまでの位置ベクトルのNにおける時間微分として定義される。 ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })}$

ここで、O は参照フレーム N に固定された任意の点であり、d/d t演算子の左側の N は、参照フレーム N で導関数が取られることを示します。O が N で固定されている限り、結果は O の選択とは無関係です。

加速度の数学的定義

基準フレームNにおける点Pの加速度は、その速度のN方向の時間微分として定義される。 ^[6]

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).}$

剛体上に固定された2点の速度

剛体B上に固定された2点PとQについて、Bが参照フレームN内で角速度を持つ場合、N内でのQの速度はN内でのPの速度の関数として表すことができます。^[7] ${\displaystyle \scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}}$

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.}$

ここでPからQへの位置ベクトルである。^[7]座標はN（またはNと同じ方向のフレーム）で表現される。この関係はPとQの間のノルム距離の時間的不変性から導くことができる。 ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

剛体上に固定された2点の加速度

剛体N上の2点の速度の式を時間に関して微分すると、剛体B上の点Qの参照フレームNにおける加速度は次のように表される。

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$

ここでBの参照フレームNにおける角加速度である^。[7] ${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}}$

剛体上に固定された2点の角速度と加速度

前述のように、剛体B上のすべての点は固定された参照フレームN内で同じ角速度を持ち、したがって同じ角加速度を持つ。 ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.}$

剛体上の一点の速度

点Rが剛体B内を運動し、Bが参照フレームN内を運動する場合、N内でのRの速度は

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

ここでQはBに固定された点であり、関心のある瞬間にRと瞬間的に一致する。^{[8]この関係は、}剛体上に固定された2点の速度 の関係とよく組み合わせられる。

剛体上の一点の加速度

物体BがN座標系で動いている間に物体B内で動く点RのN座標系における加速度は次のように与えられる。

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

ここでQはBに固定された点であり、関心のある瞬間にRと瞬間的に一致する。^[8] この式は、剛体に固定された2点の加速度と組み合わせられることが多い。

その他の数量

Cが物体に付随する局所座標系 Lの原点である場合、剛体の空間加速度またはねじれ 加速度はCの空間加速度として定義されます（上記の物質加速度とは対照的です）。ここで $${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$局所座標系Lにおける物体の基準点に対する点/粒子の位置を表す（物体の剛性により、これは時間に依存しない）
• ${\displaystyle A(t)\,}$は方向行列であり、行列式1を持つ直交行列で、別の座標系Gの任意の基準方向に対する局所座標系Lの方向（角度位置）を表します。この行列は、各列に1つずつ、 Gに対するLの軸の方向を定義する3つの直交単位ベクトルと考えることができます。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)}$剛体の角速度を表す
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})}$点/粒子の全速度を表す
• ${\displaystyle \mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})}$点/粒子の総加速度を表す
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)}$剛体の角加速度を表す
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})}$点/粒子の空間加速度を表す
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)}$剛体の空間加速度（つまり、 Lの原点の空間加速度）を表します。

2D では、角速度はスカラーであり、行列 A(t) は、単に角速度の時間積分である角度によるxy平面での回転を表します。

乗り物や歩行者などは、通常、速度の方向の変化に応じて回転します。つまり、自身の向きに応じて前進します。そして、物体が平面上の閉軌道を描く場合、軌道を一周する時間間隔にわたって積分した角速度は、360°の整数倍になります。この整数は、速度の原点を基準とした回転数です。多角形の頂点に関連付けられた回転量を比較してみましょう。

瞬間回転軸の公式

が滑らかな3次元ベクトル場であり、が 内の点であり、 であると仮定する。を中心とする半径 の球体、 を とする。次の式を調べる。 ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{O}=\mathbf {v} (O)}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {P} -O}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }=\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O})}{r^{2}}}\,dV.}$

における速度場を線形化すると、が得られます 。ここで、は におけるヤコビ行列です。 ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O}=(\nabla \mathbf {v} )_{O}\,\mathbf {r} +o(r),}$ ${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{O}}$ ${\displaystyle O}$

これを対称部分と反対称部分に分解します。反対称部分は となります。線型代数により、となるベクトルが存在します 。実際、直接計算すると となります。対称部分は積分に寄与しないため、 ${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{O}=J_{s}+J_{a}}$ ${\displaystyle J_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$ ${\displaystyle J_{a}\mathbf {r} ={\boldsymbol {w}}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={1 \over 2}\nabla \times \mathbf {v} (O)}$ ${\displaystyle J_{s}}$

${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }=\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (J_{a}\mathbf {r} )}{r^{2}}}\,dV+o(\varepsilon ^{3})=\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {w}}\times \mathbf {r} )}{r^{2}}}\,dV+o(\varepsilon ^{3}).}$

三重積の恒等式を用いると、 $${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {w}}\times \mathbf {r} )}{r^{2}}}={\boldsymbol {w}}-{\frac {(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {w}})\mathbf {r} }{r^{2}}}.}$$

球面対称性を利用して球面積分すると、 $${\displaystyle \int _{B_{\varepsilon }}{\frac {(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {w}})\mathbf {r} }{r^{2}}}\,dV={\frac {1}{3}}{\text{Vol}}(B_{\varepsilon }){\boldsymbol {w}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }={\frac {2}{3}}{\text{Vol}}(B_{\varepsilon }){\boldsymbol {w}}+o(\varepsilon ^{3}),\quad {\rm {with}}\quad {\boldsymbol {w}}={1 \over 2}\nabla \times \mathbf {v} (O).\quad (*)}$$

ちなみに、この式は、 におけるベクトル場の回転の積分定式化を提供します。 ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} (O)=\lim _{\varepsilon \to 0}{3 \over {\text{Vol}}(B_{\varepsilon })}\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O})}{r^{2}}}\,dV.}$$

瞬間回転ベクトルの座標自由式

ここで、剛体が角速度 で回転していると仮定します。剛体運動学では、上記の記法を用いると、速度場は各時刻において で与えられます。したがって、ベクトル場はにおいて線形です。したがって が成り立ちます。したがって、上記の式において、 との項は完全に消滅します。したがって が成り立ちます。 を解く と、を中心とするすべての球について、 が成り立ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {P} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {\mathbf {P} } )-\mathbf {v} _{O}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{O}\,\mathbf {r} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =J_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {w}}}$ ${\displaystyle o(r)}$ ${\displaystyle o(\varepsilon ^{3})}$ ${\displaystyle (*)}$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }={\frac {2}{3}}\mathrm {Vol} (B_{\varepsilon })\,{\boldsymbol {\omega }}.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {3}{2\,\mathrm {Vol} (B_{\varepsilon })}}\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O})}{r^{2}}}\,dV.}$$

カールフォーミュラ

および が同様に消えるという事実（上記参照）から、回転の式は次のようになります。 ${\displaystyle (*)}$ ${\displaystyle o(\varepsilon ^{3})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} (O).}$$

運動学

物体に剛体接続された任意の点は、物体の直線運動を記述するための参照点（座標系Lの原点）として使用できます（直線位置、速度、加速度ベクトルは選択に応じて異なります）。

ただし、アプリケーションによっては、次のような選択肢が便利な場合があります。

• システム全体の質量の中心。これは、空間内で自由に移動する物体にとって一般的に最も単純な運動をします。
• 並進運動がゼロまたは単純化される点、たとえば、車軸またはヒンジ、ボールジョイントの中心など。

重心を基準点として使用する場合:

• （直線）運動量は回転運動とは無関係です。常に、剛体の全質量と並進速度の積に等しくなります。
• 重心に対する角運動量は、並進運動がない場合と同じで、常に慣性テンソルと角速度の積に等しい。角速度を物体の主軸と一致する座標系で表す場合、角運動量の各成分は慣性モーメント（慣性テンソルの主値）と対応する角速度成分の積となる。トルクは慣性テンソルと角加速度の積となる。
• 外力がない場合に可能な運動は、一定速度での並進、固定された主軸の周りの定常回転、およびトルクのない歳差運動です。
• 剛体に対する正味の外力は、常に総質量と並進加速度の積に等しくなります (つまり、正味の外部トルクがゼロでない場合や物体が回転している場合でも、並進運動に対してはニュートンの第 2 法則が当てはまります)。
• 総運動エネルギーは、単純に並進エネルギーと回転エネルギーの合計です 。

幾何学

2つの剛体は、一方から他方への適切な回転がない場合、異なる（コピーではない）と言われます。剛体は、その鏡像がその意味で異なる場合、つまり対称性を持たないか、対称群に適切な回転のみが含まれる場合、キラルと呼ばれます。反対の場合、物体はアキラルと呼ばれます。つまり、鏡像はコピーであり、異なる物体ではありません。このような物体は対称面を持つ場合がありますが、必ずしもそうではありません。物体の像が回転したバージョンとなる反射面が存在する場合もあります。後者はS _2nに当てはまり、 n = 1の場合は反転対称です。

（剛体の）長方形の透明シートの場合、反転対称性は、片側に回転対称性のない像があり、もう片側には上側の像が上下逆さまに透けて見える像がある場合に相当します。以下の2つのケースを区別できます。

• 画像のあるシート面は対称ではありません。この場合、2 つの面は異なりますが、鏡面に対して垂直な軸を中心に 180° 回転させると、オブジェクトの鏡像は同じになります。
• 画像のあるシートの表面には対称軸があります。この場合、2 つの辺は同じであり、オブジェクトの鏡像も同じです (この場合も、鏡面に対して垂直な軸を中心に 180° 回転した後)。

透徹した像を持つシートはアキラルである。ここでも2つのケースを区別することができる。

• 画像のあるシート面には対称軸がなく、両側が異なります
• 画像のあるシート面には対称軸があり、両側は同じです

構成空間

一点が固定された剛体（すなわち並進運動がゼロの剛体）の配置空間は、回転群SO(3)の基礎多様体によって与えられる。固定されていない（並進運動がゼロでない）剛体の配置空間はE ⁺ (3)であり、これは3次元ユークリッド群の直接等長変換の部分群（並進と回転の組み合わせ）である。

参照

• 角速度
• 軸の規則
• 生まれつきの硬直性
• 古典力学（ゴールドスタイン）
• 差動回転
• オイラー方程式（剛体力学）
• オイラーの法則
• 幾何力学
• 剛体力学
• 剛性ローター
• 剛体変換
• 微小回転
• 固体力学

注記

1. ロレンツォ・シャヴィッコ、ブルーノ・シチリアーノ (2000)。 「§2.4.2 ロール-ピッチ-ヨー角」。ロボットマニピュレータのモデリングと制御(第 2 版)。スプリンガー。 p. 32.ISBN​ 1-85233-221-2。
2. Andy Ruina、Rudra Pratap (2015). 『静力学と動力学入門』オックスフォード大学出版局.（リンク：[1]）
3. 一般に、物理学では、点または粒子の位置は、直線の角度位置、または線分（たとえば、円運動では、回転点と回転中心を結ぶ「半径」）、基底関数、または座標系とは対照的に、線形位置としても知られています。
4. 運動学において、線形とは「直線または曲線（空間における粒子の軌道）」に沿ったものを意味します。しかし、数学においては、線形は異なる意味を持ちます。どちらの文脈においても、「線形」という言葉は「線」という言葉に関連しています。数学において、線はしばしば直線として定義されます。この定義を採用する人々にとって、曲線は直線であってもよく、曲線は存在しないものとされています。運動学において、「線」という用語は「軌跡」または「経路」という用語の同義語として使用されます（つまり、数学において「曲線」という用語に与えられているのと同じ、限定されない意味を持ちます）。つまり、直線と曲線の両方が存在するものとされています。運動学と力学において、以下の単語は「線」という用語と同じ限定されない意味を指します。
   • 「線形」（直線または曲線に沿って）
   • 「直線的な」（=直線に沿って、ラテン語のrectus = まっすぐ、linere = 広がる）
   • 「曲線的」（=曲線に沿った、ラテン語のcurvus = 曲がった、linere = 広がる）から。
   位相幾何学と気象学では、「線」という用語は同じ意味を持ちます。つまり、等高線は曲線です。
5. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). 「2-4補助参照フレーム」. Dynamics Online . カリフォルニア州サニーベール: OnLine Dynamics, Inc.
6. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). 「2-6 速度と加速度」. Dynamics Online . カリフォルニア州サニーベール: OnLine Dynamics, Inc.
7. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). 「2-7 剛体上に固定された2点」. Dynamics Online . カリフォルニア州サニーベール: OnLine Dynamics, Inc.
8. Kane, Thomas; Levinson, David (1996). 「2-8 剛体上を移動する一点」Dynamics Online . カリフォルニア州サニーベール: OnLine Dynamics, Inc.

参考文献

• ロイ・フェザーストーン（1987年）『ロボットダイナミクスアルゴリズム』Springer、ISBN 0-89838-230-0。この参考文献は、ロボット応用において、ねじ理論と剛体力学を効果的に組み合わせています。また、著者は、方程式を簡素化し、簡潔な表記を可能にするため、物質加速度ではなく空間加速度を多用しています。
• JPL DARTSページには空間演算子代数のセクション（リンク：[2]）と広範な参考文献リスト（リンク：[3]）があります。
• アンディ・ルイナ、ルドラ・プラタップ（2015年）『静力学と動力学入門』オックスフォード大学出版局。（リンク：[4]）。
• デニス・M・コッホマン教授、ダイナミクス講義ノート、ETHチューリッヒ。[5]

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの剛体関連メディア
• ウィキクォートにおける剛体に関する引用

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