ボルノロジー

Mathematical generalization of boundedness

数学、特に関数解析において、集合X上のボルノロジー（boronology）とは、有界性の概念を一般化する公理を満たすXの部分集合の集合である。ボルノロジーとボルノロジー解析の背後にある重要な動機の一つは、ボルノロジー空間が関数解析におけるホモロジー代数の便利な設定を提供するという事実である。これは^{、[1] 9ページ}によれば、ボルノロジー空間の圏が加法的、完全、共完全であり、内部ホモロジー代数に随伴するテンソル積を持つためであり、これらはすべてホモロジー代数に必要な要素である。

歴史

ボルノロジーは関数解析から派生した。関数解析の問題を研究する自然な方法は2つある。1つは位相に関する概念（ベクトル位相、連続演算子、開集合／コンパクト集合など）を研究することであり、もう1つは有界性^[2]に関する概念（ベクトルボルノロジー、有界演算子、有界部分集合など）を研究することである。

関数解析の起源となったノルム空間では、位相概念とボルノロジー概念は異なるが互いに補完し合い、密接に関連している。たとえば、原点を中心とする単位球は、原点の近傍であると同時に有界部分集合でもある。さらに、ノルム空間の部分集合が原点の近傍である（それぞれ、 は有界集合 である）のは、まさにこの球の非ゼロのスカラー倍を含む（それぞれ、に含まれる）ときである。したがって、これは位相概念とボルノロジー概念が異なるが互いに補完し合っている（定義が と のどちらを使用するかによってのみ異なるという意味で）一例である。場合によっては、位相概念とボルノロジー概念の区別が不要なこともある。たとえば、ノルム空間間の線型写像では、連続であること（位相概念）は有界であること（ボ​​ルノロジー概念）と同義である。位相とボルノロジーの区別は、ノルム空間では曖昧であったり不要であったりすることが多いが、ノルム空間の一般化を研究するときにはより重要になる。それにもかかわらず、ボルノロジーとトポロジーは、一つの同じ現実の二つの必要かつ異なる、そして補完的な側面として考えることができます。^[2] ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$

位相ベクトル空間の一般理論は、まずノルム空間の理論から生まれ、次に位相ベクトル空間の一般理論からボルノロジー（位相ベクトル空間の概念）が生まれたが、ボルノロジーはその後、関数解析における基本概念として認識されるようになった。^[3]ジョージ・マッキー（マッキー空間は彼にちなんで名付けられている） の研究から生まれた有界部分集合の重要性は、特にマッキー・アレンズ定理とマッキー位相によって、双対性理論において初めて明らかになった。^[3] 1950 年代頃から、位相ベクトル空間はある主要な問題の研究には不十分であることが明らかになった。^[3] たとえば、いくつかの重要な位相代数の乗算演算は連続ではなかったが、多くの場合有界であった。^[3] TVSが不十分であることが判明した他の主要な問題としては、より一般的な微分積分​​理論の開発、（通常の）スカラー値分布からベクトル値分布や作用素値分布への分布の一般化、そしてゲルファントの正則関数解析（主にバナッハ代数や局所凸代数と連携している）をより広い作用素のクラス（スペクトルがコンパクトでないものも含む）に拡張することなどが挙げられる。ボルノロジーはこれらの問題やその他の問題、特に代数幾何学や一般位相幾何学の問題を調査するための有用なツールであることが判明している^[4]。

定義

集合上の集合論とは、有限和集合と部分集合をとる集合の被覆である。集合論の元は有界集合と呼ばれる。

明確に言えば、ボルノロジーまたは集合の有界性は、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$包含または​下向きに閉じている：のあらゆる部分集合はの要素である ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • 平易な英語で言えば、これは、有界集合のサブセットが有界であることを意味します。
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ カバーする の すべての点は何らかの要素であるか、または同値である。 ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}B}.}$
   • (1)を仮定すると、この条件は次のように置き換えることができる:簡単に言えば、これはすべての点が有界であることを意味する。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は有限和集合に対して安定である：の有限個の元の和集合はの元である。あるいは、に属する任意の2つの集合の和集合も に属する。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • 平易に言えば、2 つの有界集合の和集合は有界集合であるということです。

この場合、そのペアは ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$境界構造またはボルノロジー集合。^[5]

したがって、集合論は、二項和の下で閉じている下向きの閉被覆として同値に定義できる。有限和の下で閉じており、部分集合を取る（性質（1）および（3））空でない集合族は、イデアルと呼ばれる（ブール代数／すべての部分集合からなる集合体におけるイデアルであるため）。したがって、集合上の集合論は、以下を覆うイデアルとして同値に定義できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

の元は -有界集合または単に ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$が理解されていれば、有界集合s は有界となる。性質(1)と(2)は、 のあらゆる単集合部分集合がs 上のあらゆる集合論の元となる、性質(3)は、 のあらゆる有限部分集合についても同じことが成り立つことを保証する。言い換えれば、点と有限部分集合は、あらゆる集合論において常に有界である。特に、空集合は常に有界である。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X.}$

が有界構造である場合、補集合は（適切な）フィルタと呼ばれ、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X\notin {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\}}$無限遠フィルタ[^5]は、常に自由フィルタであり、定義により、空の交差/核を。なぜなら、 ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

ベースとサブベース

とが上の成育学... ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$より細かく、またはよりも強く、また、 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$粗いまたは^[5]よりも弱い ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}.}$

集合の 族は ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ベースまたはボルノロジーの基本システムであり、任意のボルノロジーに対して、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\subseteq A.}$

集合の族は ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$集合の有限和集合の集合が^[5]の基底を形成する場合、ボルノロジーのサブベースとなる。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

誕生学のあらゆるベースは、そのサブベースでもあります。

生成された誕生学

上の（1つ以上の）ボルノロジーの集合の積は、再び 上のボルノロジーとなる。 ボルノロジーのそのような積は を覆う。なぜなら、 上のすべてのボルノロジーはのすべての有限部分集合を含むからである（つまり、が 上のボルノロジーであり、が有限ならば）。そのような積は（部分集合の）包含と有限和に関しても閉じていることが容易に証明され、したがって 上のボルノロジーとなる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

最小のボルノロジーの部分集合の集合を与えられたとき、その集合は ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$によって生成されたボルノロジー ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$。^[5]含む 上のすべてのボルノロジーの共通部分と等しいの冪集合は常に 上のボルノロジーであるの部分集合族はすべて上の少なくとも1つのボルノロジーに必ず含まれるため、この共通部分は明確に定義されている。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

境界付き地図

とが有界構造であると仮定する。写像は ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$局所的に境界のある地図、あるいは単に有界写像とは、任意の- 有界集合像- 有界集合である場合である。つまり、任意の^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle f(A)\in {\mathcal {B}}.}$

二つの局所有界写像の合成もまた局所有界なので、すべての有界構造のクラスは、その射が有界写像であるような圏を形成することは明らかである。この圏における同型は、ボルノモルフィズムであり、その逆写像も局所的に有界なである^[5]

境界付きマップの例

が2つの位相ベクトル空間（必ずしもハウスドルフ空間ではない）間の連続線型作用素である場合、およびがフォン・ノイマン分布に従うとき、それは有界線型作用素である。ここで、集合が有界となるのは、原点のすべての近傍に吸収されるときである（これらはTVSの部分集合であり、他の分布が明示的に指定されていない場合には通常、有界であると言われる）。逆は一般に偽である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

2つのTVS間の連続写像は必然的に局所的に有界となる。 ^[5] ${\displaystyle f:X\to Y}$

一般的な建設

離散的誕生学

任意の集合の冪集合は、と呼ばれるボルノロジーである。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$離散的ボルノロジー[^5]は の部分集合であるので、離散的ボルノロジーは 上の最良ボルノロジーである。が有界構造である場合、（ボルノロジーは下向きに閉じているため） が離散的ボルノロジーである場合、かつその場合のみ、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}.}$

不連続な誕生学

任意の集合に対して、その有限部分集合全体の集合は、と呼ばれるボルノロジーである。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$非離散的ボルノロジー。これは、あらゆるボルノロジーの部分集合であることを意味する、最も粗いボルノロジーである。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

有界基数集合

の可算部分集合全体の集合は、上のボルノロジーである。 より一般的には、任意の無限基数に対して、最大で以下の基数を持つ の部分集合全体の集合は、上のボルノロジーである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X.}$

逆イメージボルノロジー

が写像で が上のボルノロジーである場合、はによって生成されるボルノロジーを表し、これは逆像ボルノロジーまたはによって上に誘導される初期ボルノロジーと呼ばれる^[5]。 ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left[f^{-1}({\mathcal {B}})\right]}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$

を集合とし、を有界構造の -添字族とし、を-添字族の写像とし、 任意の ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:S\to T_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$これらの写像によって決定される逆像ボルノロジー は各写像を局所的に有界にすることに関する最も強いボルノロジーである^[5]に等しい。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{i}:(S,{\mathcal {A}})\to \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in I}\left[f^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)\right]}.}$

直接イメージ形成学

を集合とし、を有界構造の -添字族とし、を-添字族の写像とし、 任意の ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:T_{i}\to S}$ ${\displaystyle i\in I.}$ これらの写像によって決定されるの直接像ボルノロジーは、それぞれを局所的に有界にするの最も弱いボルノロジーである。各 に対して がによって生成されるボルノロジーを表す、それぞれと有限個をの形の のすべての部分集合の集合に等しい。^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)\to (S,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}_{i}\right),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

亜空間誕生学

が有界構造であり、その 部分集合であるとする。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$の部分空間ボルノロジー はの包含写像（ によって定義されるににすることに関する最も優れたボルノロジーである。^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$

製品誕生学

を有界構造の -添字族とし、各に対して とを標準射影とする。 ${\displaystyle \left(X_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X={\textstyle \prod \limits _{i\in I}X_{i}},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}}$上の積ボルノロジーは、正準射影によって決定される逆像ボルノロジーである。 つまり、各正準射影を局所的に有界とした場合の最も強いボルノロジーである。積ボルノロジーの基底は^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \left\{\prod \limits _{i\in I}B_{i}~:~B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}.}$

位相的構成

コンパクトなボルノロジー

位相空間 の部分集合は、その閉包がのコンパクト部分空間であるとき、相対的にコンパクトと呼ばれる。 任意の位相空間において、単独部分集合が相対的にコンパクトであるような位相空間（例えばT1空間）に対して、 のすべての相対的にコンパクト部分集合の集合は、と呼ばれるボルノロジーを形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$^[5]T1空間 間の連続写像はすべて、それらのコンパクトボルノロジーに関して有界である。 ${\displaystyle X.}$

の比較的コンパクトな部分集合の集合は、上の成育学である。この成育学の基底は、の形の閉区間すべてによって与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle [-n,n]}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

メトリックボーンロジー

距離空間 が与えられると、距離分布は、最大値が有限であるようなすべての部分集合から構成されます。 ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \sup _{s,t\in S}d(s,t)<\infty }$

同様に、測度空間 が与えられた場合、有限測度（つまり ）のすべての測定可能な部分集合の族は、の上の成因学を形成する。 ${\displaystyle (X,\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S\in \Omega }$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle X.}$

閉鎖と内部のボルノロジー

が位相空間であり、が上のボルノロジーであるとする。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

の集合のすべての位相的内部の集合によって生成されるボルノロジー（つまり、によって生成されるボルノロジーは、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\operatorname {int} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$の内部は^[5]で表され、 ボルノロジーは ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$開く場合 ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$

の集合のすべての位相閉包の集合によって生成される（つまり、 によって生成される）ボルノロジーは、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\operatorname {cl} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$の閉包は^[5]で表され、 必然的に ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$

ボルノロジーは ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$以下の同等の条件のいずれかを満たす場合は 閉じられます。

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {cl} {\mathcal {B}};}$
2. の閉部分集合は生成する；^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. あらゆる閉鎖は^[5]に属する ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

ボルノロジーは ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$が開状態と閉状態の両方を持つ場合が適切である^{。 [5]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

位相空間は ${\displaystyle X}$局所的に有界 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$、または単に局所的に有界とは、近傍が に属する。局所的に有界な位相空間のすべてのコンパクト部分集合は有界である。^[5] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

位相ベクトル空間のボルノロジー

が位相ベクトル空間（TVS）である場合、 のすべての有界部分集合の集合は上のボルノロジー（実際にはベクトルボルノロジーでさえ）を形成し、 と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$のフォン・ノイマン系統 ${\displaystyle X}$学通常のボルノロジー、または単にの誕生学は、 ${\displaystyle X}$自然な有界性。^[5]任意の局所凸TVS において、円板の集合は、^[5]の基底を形成する。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

2 つのボルノロジー空間間の線型写像は、それが（通常のボルノロジーに関して）有界である場合に限り連続である。

位相環

が可換位相環であるとする。の部分集合は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$有界集合とは、原点の各近傍に対して、原点の近傍が存在し、^[5] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle SV\subseteq U.}$

参照

• 貪食集合 – 任意の有界部分集合を吸収できる集合
• ボルノロジー空間 – 有界作用素が連続する空間
• 粗い構造#有界集合 – 幾何学と位相幾何学における概念
• 線型写像の空間
• 超自然的空間
• ベクターボルノロジー

参考文献

1. Block, Jonathan; Daenzer, Calder (2009-01-09). 「接続のあるガーベのMukai双対性」. arXiv : 0803.1529 [math.QA].
2. Hogbe-Nlend 1971、5ページより。
3. Hogbe-Nlend 1971、pp.1-2。
4. ホグベ・ンレンド 1971.
5. Narici & Beckenstein 2011、156–175 ページ。

• ホグベ＝ンレンド、アンリ(1977).ボルノロジーと関数解析：双対性位相幾何学理論入門コース-ボルノロジーと関数解析におけるその応用. ノースホランド数学研究. 第26巻. アムステルダム, ニューヨーク, ノースホランド. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Hogbe-Nlend、Henri (1971)。 「近代動物の歴史」(PDF)。Séminaire Choquet: Initiation à l'analyse (フランス語)。10 (1): 1–7 . MR  0477660。
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン, ハイデルベルク, ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. pp.  29– 33, 49, 104. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• クリーグル、アンドレアス、ミコール、ピーター・W. (1997). 大域解析の便利な設定(PDF) . 数学概説とモノグラフ. 第53巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bornology&oldid=1315605356"