連続体の濃度

Cardinality of the set of real numbers

集合論において、連続体の基数（こつすうたいのう）とは、実数の集合（連続体とも呼ばれる）の基数、あるいは「大きさ」のことである。これは無限基数であり、 （小文字のフラクトゥール「c」）または^[1]で表される。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}.}$

実数は自然数よりも多く存在します。さらに、の元数はの冪集合と同じ数です。記号的に、 の濃度を と表すと、連続体の濃度は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

これは、 1874年にゲオルク・カントールが行った、画期的な異無限数研究の一環である非可算性の証明によって証明されました。この不等式は後に、1891年の対角論証においてより簡潔に述べられました。カントールは濃度を全単射関数の観点から定義しました。すなわち、二つの集合が同じ濃度を持つためには、それらの集合の間に全単射関数が存在する必要がある、ということです。

任意の2つの実数a  <  bの間には、どれだけ近かったとしても、他の実数は常に無限個存在し、カントールはそれらの数が実数全体の集合に含まれる数と同数であることを示した。言い換えれば、開区間( a , b )はと同数であり、また任意のn次元ユークリッド空間（空間充填曲線を参照）などの他のいくつかの無限集合とも同数である。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

最小の無限基数は（アレフゼロ）である。2番目に小さい基数は（アレフワン）である。連続体仮説は、基数が厳密にとの間にある集合は存在しないと主張し、 を意味する。^[2]この仮説の真偽は決定不可能であり、広く用いられている選択公理を持つツェルメロ・フランケル集合論（ZFC） では証明できない。 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

プロパティ

不可算性

ゲオルク・カントールは、無限集合の大きさを比較するために濃度の概念を導入しました。彼は、実数の集合が非可算無限であることを示したことで有名です。つまり、 は自然数の濃度よりも確実に大きいということです。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

実際には、これは実数の数が整数の数より厳密に多いことを意味します。カントールはこの命題をいくつかの異なる方法で証明しました。このトピックに関する詳細は、カントールの最初の非可算性の証明とカントールの対角線論証を参照してください。

基数等式

カントールの対角線議論のバリエーションは、カントールの定理を証明するために使用できます。この定理では、任意の集合の濃度はその冪集合の濃度よりも確実に小さいと述べられています。つまり、（したがって、自然数の冪集合は可算ではありません） ^[3]。実際、 の濃度は、定義により と等しくなります。これは、可算無限集合のサブセットと実数との間で両方向に 1 対 1 のマッピングを提供し、両方向に 1 対 1 のマッピングを持つ 2 つの集合は同じ濃度を持つというカントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理を適用することによって示されます。 ^{[4] [5]}一方向では、実数は、デデキント切断、有理数の集合、^[4]またはその2 進展開と同一視できます。^[5]逆に、半開区間 の数の2進展開は、展開が1である位置の集合として見ると、可算集合の部分集合（展開における位置の集合）から実数への1対1の写像をほぼ与えますが、2進展開が終端する数に対しては1対1の写像にはなりません。この2進展開は、1の繰り返し列で終わる非終端展開によっても表すことができます。これは、非終端の繰り返し1展開に1を加えて に写像することで、1対1の写像にすることができます。^[5]したがって、^{[4] [5]} ${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [1,2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}$

基数等式は基数算術を使って証明できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

基数算術の規則を用いると、次のことが証明できる。

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$

ここでnは2以上の任意の有限基数であり、

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}$

ここで、 はRの冪集合の濃度、です。 ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$

𝔠 = 2の別の説明^{א _‎0}

すべての実数には少なくとも1つの無限小数展開が存在する。例えば、

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

π = 3.14159....

(最初の 2 つの例のように、展開が繰り返される場合でも、これは当てはまります。)

いかなる場合においても、小数点以下の桁数は自然数の集合と一対一に対応付けられるため、可算です。これにより、例えばπの小数点第1位、第100位、第100万位などについて議論することが合理的になります。自然数には基数があるため、それぞれの実数は展開時に桁を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

各実数は整数部分と小数部に分解できるため、次のようになります。

${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

そこで私たちは

${\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,}$

一方、3や7のみを含む小数が実数の一部に過ぎないと考えると、 ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{3,7\}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}$

そしてこうして

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}$

ベス番号

ベス数の列はと の設定によって定義されます。2番目のベス数であるベス1も同様です。 ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

3 番目の beth 数beth-twoは、 のべき集合 (つまり、実数直線のすべての部分集合の集合)の濃度です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

連続体仮説

連続体仮説は、が第二のアレフ数でもあると主張する。^[2]言い換えれば、連続体仮説は、濃度が と の間に厳密に収まる集合は存在しないと述べている。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}$

この命題は、現在では、カート・ゲーデルとパウル・コーエンによって示されたように、選択公理（ZFC）を持つツェルメロ–フランケル集合論の公理とは独立であることがわかっています。^{[6] [7] [8]}つまり、仮説とその否定は両方ともこれらの公理と整合性があります。実際、すべての非ゼロの自然数nに対して、等式=は ZFC とは独立しています（連続体仮説の場合）。他のほとんどのアレフについても同じことが当てはまりますが、場合によっては、共終性（例： ）を理由にケーニッヒの定理によって等式が排除されることがあります。特に、はまたは のいずれかである可能性があります。ここでは最初の不可算順序数であるため、 は後続基数または極限基数、および通常基数または特異基数のいずれかである可能性があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

連続体の濃度を持つ集合

数学で研究される集合の多くは、濃度が に等しい。よくある例としては、次のようなものがある。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• 実数​ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• （単位区間などの）任意の（非退化）閉区間または開区間 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$
• 無理数
• 超越数
  実代数的数の集合は可算無限です（各式にゲーデル数 を割り当てます）。したがって、実代数的数の濃度は です。さらに、実代数的数と実超越数は互いに素な集合であり、その和は です。したがって、 の濃度は なので、実超越数の濃度は です。が証明されれば、複素超越数についても同様の結果が得られます。 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}$
• カントール集合
• ユークリッド空間 ^[9] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 複素数​ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

  カントールのユークリッド空間の濃度の証明によれば、^[9] 。定義により、任意の は、何らかの に対してと一意に表現できる。したがって、一対一表現を定義する 。 ${\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}$
• 自然数の冪集合（自然数のすべての部分集合の集合） ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$
• 整数列の集合（つまり、すべての関数、しばしば と表記される） ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$
• 実数の列の集合、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• からまでのすべての連続関数の集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• （つまり、内の開集合全体の成す集合）上のユークリッド位相 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 上のボレルσ-代数（つまり、内のすべてのボレル集合全体の集合）。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 選択公理を仮定したアーベル商群 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$

より高い濃度を持つ集合

基数が大きいセットには次のものが含まれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• のすべての部分集合の集合（すなわち、べき集合） ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• 実数の部分集合上で定義された指示関数の集合2 ^R （この集合はと同型であり 、指示関数は各部分集合の要素を選択して含める） ${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• からまでのすべての関数の集合 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• のルベーグσ-代数、すなわち、内のすべてのルベーグ可測集合全体の集合。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からまでのすべてのルベーグ積分可能関数の集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からまでのすべてのルベーグ測定可能な関数の集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 、、およびのストーン・チェフコンパクト化 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 複素数の（離散）体のすべての自己同型の集合。

これらはすべて基数を持っています（2つ）。 ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$

参照

• 連続体の基本特性

参考文献

1. 「超限数 | 数学」ブリタニカ百科事典. 2020年8月12日閲覧。
2. Weisstein, Eric W. 「Continuum」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月12日閲覧。
3. 「カントールの定理」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
4. スティルウェル、ジョン (2002). 「連続体問題」.アメリカ数学月刊. 109 (3): 286– 297. doi :10.1080/00029890.2002.11919865. JSTOR  2695360. MR  1903582.
5. Johnson, DL (1998). 「基数」.第6章 基数. 数と集合による論理の要素. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer London. pp.  113– 130. doi :10.1007/978-1-4471-0603-6_6. ISBN 9781447106036。
6. ゲーデル, クルト (1940-12-31). 連続体仮説の一貫性. (AM-3). doi :10.1515/9781400881635. ISBN 9781400881635。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
7. コーエン, ポール・J. (1963年12月). 「連続体仮説の独立性」.米国科学アカデミー紀要. 50 (6): 1143–1148 . Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN  0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557  . 
8. コーエン, ポール・J. (1964年1月). 「連続体仮説の独立性 II」.米国科学アカデミー紀要. 51 (1): 105–110 . Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN  0027-8424. PMC 300611. PMID 16591132  . 
9. カントルは驚いたのか?、フェルナンド・Q・グーヴェア、アメリカ数学月刊誌、2011年3月。

参考文献

• ポール・ハルモス著『素朴集合論』プリンストン、ニュージャージー州：D.ヴァン・ノストランド社、1960年。Springer-Verlag社（ニューヨーク、1974年）より再版。ISBN 0-387-90092-6（シュプリンガー出版社版）。
• ジェック、トーマス、2003年。『集合論：第三千年紀版、改訂・拡張版』シュプリンガー、ISBN 3-540-44085-2。
• クネン、ケネス、1980年。『集合論：独立性証明入門』エルゼビア、ISBN 0-444-86839-9。

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