Exact homotopy case
数学 において 、 ユニタリ群 U( n ) の 分類空間 とは、パラコンパクト空間 X 上の任意のエルミート束が、ホモトピーを除いて一意な 写像 X → BU( n )によるEU( n )の引き戻しとなるような 普遍束EU( n )を伴う空間BU( n )である。特に 、主U(1)束 が応用される 。
この普遍ファイバリング空間は、次のように構成できる。
無限次元複素 ヒルベルト空間における n 平面の グラスマン多様体 、 または、 誘導位相による n 平面の グラスマン多様体 の直接的な極限。 両方の構造についてはここで詳しく説明します。
無限のグラスマンニアンとしての構築 普遍束 の全 空間 EU( n ) は次のように与えられる。
E U ( n ) = { e 1 , … , e n : ( e i , e j ) = δ i j , e i ∈ H } . {\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.} ここで、 H は無限次元複素ヒルベルト空間、 e i はH のベクトル 、は クロネッカーのデルタ である 。記号 は H 上の 内積 である。したがって、EU( n ) は H 内の n 直交 座標系全体の空間であることが わかる 。 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
この空間におけるU( n )の群 作用 は自然である。したがって、 基底空間 は
B U ( n ) = E U ( n ) / U ( n ) {\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)} はHにおける グラスマン n 次元部分空間（または n 次元平面） の集合である 。つまり、
B U ( n ) = { V ⊂ H : dim V = n } {\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}} したがって、 Vは n 次元ベクトル空間 になります。
線束の場合 n = 1 のとき、 EU(1) = S ∞ が成り立ち 、これは 縮約空間として知られて いる。したがって、基底空間は BU(1) = CP ∞ 、つまり無限次元 複素射影空間となる。したがって、 多様体 M 上の 円束 の 同型類 の集合は、 Mから CP ∞ へ の写像の ホモトピー類 と一対一に対応する 。
また、次のような関係もある。
B U ( 1 ) = P U ( H ) , {\displaystyle BU(1)=PU(H),} つまり、BU(1)は無限次元 射影ユニタリ群 である。詳細な議論と性質については、その記事を参照のこと。
トーラス T は抽象的には U(1) × ... × U(1)と同型だが、選択された識別を持つ必要はないので、B T と書く。
位相 K理論 K 0 (B T )は 数値多項式 によって与えられます。詳細は以下を参照してください。
帰納的極限としての構成 F n ( C k )を C k の n 次元ベクトルの直交族全体の空間とし 、 G n ( C k ) をC k のn 次元部分ベクトル空間 のグラスマン多様体とする。普遍束の全空間は F n ( C k )の k → ∞ における直極限とすることができ、基底空間は G n ( C k )の k → ∞ における直極限とすることができる 。
構成の妥当性 このセクションでは、EU( n )上のトポロジーを定義し 、EU( n )が実際に収縮可能であることを証明します。
群U( n )はFn( Ck ) に 自由 に作用し 、その商はグラスマン多様体 Gn ( Ck ) で ある。写像
F n ( C k ) ⟶ S 2 k − 1 ( e 1 , … , e n ) ⟼ e n {\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}} はファイバーF n −1 ( C k −1 )のファイバー束である 。したがって、は自明であり、 ファイバー化の長い正確な列 のため 、 π p ( S 2 k − 1 ) {\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})}
π p ( F n ( C k ) ) = π p ( F n − 1 ( C k − 1 ) ) {\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))} のときはいつでも 。k を 十分に大きくとることで、正確には に対して 、このプロセスを繰り返して p ≤ 2 k − 2 {\displaystyle p\leq 2k-2} k > 1 2 p + n − 1 {\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}
π p ( F n ( C k ) ) = π p ( F n − 1 ( C k − 1 ) ) = ⋯ = π p ( F 1 ( C k + 1 − n ) ) = π p ( S k − n ) . {\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).} この最後の群は k > n + p の場合には自明である。
E U ( n ) = lim → k → ∞ F n ( C k ) {\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})} をすべてのF n ( C k )の 直接的な極限 とする （誘導位相を持つ）。
G n ( C ∞ ) = lim → k → ∞ G n ( C k ) {\displaystyle G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})} すべてのG n ( C k )の 直接の極限 となる （誘導された位相を持つ）。
補題: この群はすべての p ≥ 1 に対して自明である。 π p ( E U ( n ) ) {\displaystyle \pi _{p}(EU(n))}
証明： γ : S p → EU( n ) とすると、 S p はコンパクトで あるので、 γ( S p ) がF n ( C k )に含まれるような k が存在する。k を 十分に大きく取ると 、γ は基点に関して定数写像にホモトピックであることが分かる。 ◻ {\displaystyle \Box }
さらに，U( n )はEU( n )に自由に作用する．空間 F n ( C k )と G n ( C k )は CW複体 である．これらの空間はCW複体への分解があり， F n ( C k )と G n ( C k )の分解はF n ( C k +1 )と G n ( C k +1 )の分解の制限によって誘導される ．したがって，EU( n )（および G n ( C ∞ )）はCW複体である． ホワイトヘッドの定理 と上記の補題により，EU( n )は縮約可能である．
BU( n ) 命題 ： 整数 環 に 係数を持つ コホモロジー環 は、 チャーン類 によって生成される ： [1] BU ( n ) {\displaystyle \operatorname {BU} (n)} Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
H ∗ ( BU ( n ) ; Z ) = Z [ c 1 , … , c n ] . {\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].} 証明:まず n = 1の場合を考えてみましょう。 この場合、U(1)は円 S 1 であり、普遍バンドルは S ∞ → CP ∞ です。CP k のコホモロジーは （c 1はU(1)バンドルS 2 k +1 → CP kのオイラー類）と同型であること は よく 知ら れ て い ます [ 2 ] 。 また 、 k ∈ N * に対する CP k → CP k +1の注入は、 射影 空間 の コホモロジー の これら の表現と互換性があります。これは n = 1 の場合の命題を証明します。 Z [ c 1 ] / c 1 k + 1 {\displaystyle \mathbb {Z} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}
ホモトピーファイバー列が存在する
S 2 n − 1 → B U ( n − 1 ) → B U ( n ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)} 具体的には、全空間の点は、 複素ベクトル空間 を分類する 基底空間の点 と の単位ベクトルによって与えられ、 これら は一緒に を分類し 、 によって自明化された の 分割は、 の直和を表す 写像を実現します。 B U ( n − 1 ) {\displaystyle BU(n-1)} B U ( n ) {\displaystyle BU(n)} V {\displaystyle V} u {\displaystyle u} V {\displaystyle V} u ⊥ < V {\displaystyle u^{\perp }<V} V = ( C u ) ⊕ u ⊥ {\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }} u {\displaystyle u} B U ( n − 1 ) → B U ( n ) {\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)} C . {\displaystyle \mathbb {C} .}
ギシン数列 を適用すると 、長い正確な数列が得られる。
H p ( B U ( n ) ) ⟶ ⌣ d 2 n η H p + 2 n ( B U ( n ) ) ⟶ j ∗ H p + 2 n ( B U ( n − 1 ) ) ⟶ ∂ H p + 1 ( B U ( n ) ) ⟶ ⋯ {\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots } ここで、 は ファイバー の 基本類 である 。ギシン列 [ 要出典 ] の性質により、 は乗法準同型である。帰納法により、 は を 持つ元によって生成される。 ここで は ゼロでなければならないため、 は 射影的でなければならない。したがって、 は 常に 射影的でなければならない。 多項式環 の 普遍的性質 により 、各生成子の逆像の選択は乗法分割を誘導する。したがって、正確性により、 は常に 単射的 でなければならない。したがって、環準同型によって分割される 短い完全列 が得られる。 η {\displaystyle \eta } S 2 n − 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}} j ∗ {\displaystyle j^{*}} H ∗ B U ( n − 1 ) {\displaystyle H^{*}BU(n-1)} p < − 1 {\displaystyle p<-1} ∂ {\displaystyle \partial } j ∗ {\displaystyle j^{*}} j ∗ {\displaystyle j^{*}} ⌣ d 2 n η {\displaystyle \smile d_{2n}\eta }
0 → H p ( B U ( n ) ) ⟶ ⌣ d 2 n η H p + 2 n ( B U ( n ) ) ⟶ j ∗ H p + 2 n ( B U ( n − 1 ) ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0} したがって、 が 成り立つと結論付けられます 。これで帰納法が完了します。 H ∗ ( B U ( n ) ) = H ∗ ( B U ( n − 1 ) ) [ c 2 n ] {\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]} c 2 n = d 2 n η {\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }
BU(のK理論 n ) 位相複素K理論を、 スペクトルで表されるコホモロジー理論として考える 。この場合、 [ 3] およびは、 および に対する 自由 加群である 。 [4] この記述において、上の積構造は、ベクトル束のホイットニー和によって与えられる のH空間構造に由来する。この積は ポンチャギン積 と 呼ばれる K U {\displaystyle KU} K U ∗ ( B U ( n ) ) ≅ Z [ t , t − 1 ] [ [ c 1 , . . . , c n ] ] {\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]} K U ∗ ( B U ( n ) ) {\displaystyle KU_{*}(BU(n))} Z [ t , t − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]} β 0 {\displaystyle \beta _{0}} β i 1 … β i r {\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}} n ≥ i j > 0 {\displaystyle n\geq i_{j}>0} r ≤ n {\displaystyle r\leq n} K U ∗ ( B U ( n ) ) {\displaystyle KU_{*}(BU(n))} B U {\displaystyle BU}
位相 的 K 理論は、 数値 対称多項式の 観点から明示的に知られています 。
K理論は、 ボット周期定理 により 2 周期であり 、BU( n ) は複素多様体の極限であるため、偶数次元のセルのみを持つ CW 構造を持ち、奇数 K 理論は消滅するため、 K 0 の 計算に簡約されます。
したがって 、 、ここで t は Bott ジェネレータです。 K ∗ ( X ) = π ∗ ( K ) ⊗ K 0 ( X ) {\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)} π ∗ ( K ) = Z [ t , t − 1 ] {\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}
K 0 (BU(1))は w の 数値多項式 の環であり、 H ∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ] の部分環とみなされます。ここで w はトートロジーバンドルの元双対です。
n -トーラスの場合 、 K 0 (B T n ) はn 変数の数値多項式である 。K 0 (B T n ) → K 0 (BU( n )) は 、 T n が U ( n ) の 最大トーラスであるため、分割原理 により全射となる 。 この 写像 は 対称 化 写像 で ある 。
f ( w 1 , … , w n ) ↦ 1 n ! ∑ σ ∈ S n f ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) ) {\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})} そして、その像は、次の整数条件を満たす対称多項式として識別される。
( n n 1 , n 2 , … , n r ) f ( k 1 , … , k n ) ∈ Z {\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} } ここで
( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} は 多項係数 であり 、 それぞれ r個 の異なる整数が繰り返されます k 1 , … , k n {\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}} n 1 , … , n r {\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}
無限分類空間 標準包含は、 それぞれの分類空間に 標準包含を誘導します。それぞれの余極限は次のように表されます U ( n ) ↪ U ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)} BU ( n ) ↪ BU ( n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}
U := lim n → ∞ U ( n ) ; {\displaystyle \operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);} BU := lim n → ∞ BU ( n ) . {\displaystyle \operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).} BU {\displaystyle \operatorname {BU} } はまさに の分類空間です 。 U {\displaystyle \operatorname {U} }
参照
注釈 ^ Hatcher 02, 定理4D.4 ^ R. Bott, LW Tu-- 代数的位相幾何学における微分形式 、数学大学院テキスト82、Springer ^ アダムス 1974、49ページ ^ アダムス 1974、47ページ
参考文献 JF Adams (1974)、 『安定ホモトピーと一般化ホモロジー』 、シカゴ大学出版局、 ISBN 0-226-00524-0 および の計算が含まれています 。 K U ∗ ( B U ( n ) ) {\displaystyle KU^{*}(BU(n))} K U ∗ ( B U ( n ) ) {\displaystyle KU_{*}(BU(n))} S. Ochanine; L. Schwartz (1985)、「Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex」、 Math. Z. 、 190 (4): 543– 557、 doi :10.1007/BF01214753 任意のコンパクトで連結なリー群の -comoduleとして の の記述が含まれます 。 K 0 ( B G ) {\displaystyle K_{0}(BG)} K 0 ( K ) {\displaystyle K_{0}(K)} L. Schwartz (1983)、「K-théorie et homotopiestead」、 論文 、パリ第 7 大学 明示的な説明 K 0 ( B U ( n ) ) {\displaystyle K_{0}(BU(n))} A. Baker; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989)「クンマー合同性と BU の安定ホモトピーについて」 アメリカ数学会誌 、 316 (2)、アメリカ数学会誌: 385– 432、 doi :10.2307/2001355、 JSTOR 2001355 ハッチャー、アレン（2002年）『代数的位相幾何学』ケンブリッジ： ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 0-521-79160-X 。 ミッチェル、スティーブン（2001年8月）。普遍主束と分類空間 （PDF） 。
外部リンク 
![{\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8ba5412b49b3afd3226c9732af443a008f7962)
![{\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edeb759218182847d3c45b76144c20863ba731a7)
![{\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb{Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f57362dc9e50c25c79c6831f6df9558b762f0c1)
![{\displaystyle \mathbb{Z}[t,t^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5e4346ad5a10b8340dd3eccd0b6fd469758911)
![{\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a0b83ceab2a2dbb9d3698ccda39ad8666b37f6)
